1、第第 3 3 講講 圓的方程圓的方程 一、選擇題一、選擇題 1(2009 上海上海)點點 P(4，2)與圓與圓 x2y24 上任一點連線的中點的軌跡方程是上任一點連線的中點的軌跡方程是( ) A(x2)2(y1)21 B(x2)2(y1)24 C(x4)2(y2)24 D(x2)2(y1)21 解析：解析：設中點設中點 M 的坐標為的坐標為(x，y)，與之對應的圓上動點，與之對應的圓上動點 Q 的坐標為的坐標為(x0，y0)，顯然，顯然 M 與與 Q的對應關系為：的對應關系為： xx042，yy0(2)2，同時同時 Q 滿足在圓滿足在圓 x2y24 上，即上，即 x20y204；利用；利用M

2、與與 Q 的對應關系將的對應關系將 x、y 代入，得中點代入，得中點 M 的軌跡方程為：的軌跡方程為：(x2)2(y1)21. 答案：答案：A 2已知圓已知圓 C1：(x1)2(y1)21，圓，圓 C2與圓與圓 C1關于直線關于直線 xy10 對稱，則圓對稱，則圓 C2的方的方程為程為( ) A(x2)2(y2)21 B(x2)2(y2)21 C(x2)2(y2)21 D(x2)2(y2)21 解解 析 ：析 ： 設 點設 點 (x ， y) 與 圓與 圓 C1的 圓 心的 圓 心 ( 1,1) 關 于 直 線關 于 直 線 x y 1 0 對 稱 ， 則對 稱 ， 則 y1x11，x12y1

3、210，解得解得 x2，y2.從而可知圓從而可知圓 C2的圓心為的圓心為(2，2)，又知其半徑為，又知其半徑為1，故所求圓，故所求圓 C2的方程為的方程為(x2)2(y2)21. 答案：答案：B 3(2009 遼寧遼寧)已知圓已知圓 C 與直線與直線 xy0 及及 xy40 都相切，圓心在都相切，圓心在直線直線 xy0 上，上，則圓則圓 C 的方程為的方程為( ) A(x1)2(y1)22 B(x1)2(y1)22 C(x1)2(y1)22 D(x1)2(y1)22 解析：解析：因為兩條直線因為兩條直線 xy0 與與 xy40 平行，故它們之間的距離即為圓的直徑，所平行，故它們之間的距離即為圓

4、的直徑，所以以 2R422 2，所以，所以 R 2.設圓心坐標為設圓心坐標為 P(a，a)，則點，則點 P 到兩條切線的距離都等到兩條切線的距離都等于半徑，所以于半徑，所以2|a|2 2，|2a4|2 2，解得，解得 a1，故圓心為，故圓心為(1，1)，所以圓的標準方，所以圓的標準方程為程為(x1)2(y1)22. 答案：答案：B 4(2010 浙江寧波調研浙江寧波調研)若直線若直線 l：axby40(a0，b0)始終平分圓始終平分圓 C：x2y28x2y10，則，則 ab 的最大值為的最大值為( ) A4 B2 C1 D.14 解析：解析：由題意知，圓由題意知，圓 C 的圓心坐標為的圓心坐標

5、為(4，1)又直線又直線 l 始終平分圓始終平分圓 C，所以直線，所以直線 l 必必過圓心，故過圓心，故 44ab2 4ab，故，故 ab1. 答案：答案：C 二、填空題二、填空題 5(2009 廣東廣東)以點以點(2，1)為圓心且與直線為圓心且與直線 xy6 相切的圓的方程是相切的圓的方程是_ 解析：解析：圓與直線相切，則圓心到該直線的距離等于該圓的半徑，由題意，得圓心圓與直線相切，則圓心到該直線的距離等于該圓的半徑，由題意，得圓心(2， 1)到直線到直線 xy6 的距離為的距離為|216|121252， 故該圓的方程為：， 故該圓的方程為： (x2)2(y1)2 52 2252. 答案：答

6、案：(x2)2(y1)2252 6圓心在直線圓心在直線 2x3y10 上的圓與上的圓與 x 軸交于軸交于 A(1,0)，B(3,0)兩點，則圓的方程為兩點，則圓的方程為_ 解析：解析：所求圓與所求圓與 x 軸交于軸交于 A(1,0)，B(3,0)兩點，故線段兩點，故線段 AB 的垂直平分線的垂直平分線 x2 過所求圓過所求圓的圓心，又所求圓的圓心在直線的圓心，又所求圓的圓心在直線 2x3y10 上，所以兩直線的交點坐標即為所求圓的上，所以兩直線的交點坐標即為所求圓的圓心坐標，解之得為圓心坐標，解之得為(2,1)，進一步可求得半徑為，進一步可求得半徑為 2，所以圓的標準方，所以圓的標準方程為程為

7、(x2)2(y1)22. 答案：答案：(x2)2(y1)22 7(2009 揚州調研揚州調研)若直線若直線 axby1 過點過點 A(b，a)，則以坐標原點，則以坐標原點 O 為圓心，為圓心，OA 長為半徑長為半徑的圓的面積的最小值是的圓的面積的最小值是_ 解析：解析：直線直線 axby1 過點過點 A(b，a)， abab1， ab12，又，又 OAa2b2， 以以 O 為圓心，為圓心，OA 長為半徑的圓的面積：長為半徑的圓的面積：SOA2(a2b2)2ab， 面積的最小值為面積的最小值為 . 答案：答案： 三、解答題三、解答題 8已已知圓的方程是知圓的方程是 x2y22(m1)x4my5m

8、22m80， (1)求此圓的圓心與半徑；求此圓的圓心與半徑； (2)求證：不論求證：不論 m 為何實數，它們表示圓心在同一條直線上的等圓為何實數，它們表示圓心在同一條直線上的等圓 解：解：(1)配方得：配方得：(xm1)2(y2m)29 圓心為圓心為(1m,2m)，半徑，半徑 r3. (2)證明：證明：由由(1)可知，圓的半徑為定值可知，圓的半徑為定值 3，且，且 x1my2m， 2xy2. 不論不論 m 為何值，方程表示的圓的圓心在直線為何值，方程表示的圓的圓心在直線 2xy20 上，且為等圓上，且為等圓 9(2010 遼寧撫順調研遼寧撫順調研)已知圓已知圓 x2y24 上一定點上一定點 A

9、(2,0)，B(1,1)為圓內一點，為圓內一點，P，Q 為圓為圓上的動點上的動點 (1)求線段求線段 AP 中點的軌跡方程；中點的軌跡方程； (2)若若PBQ90 ，求線段，求線段 PQ 中點的軌跡方程中點的軌跡方程 解：解：(1)設設 AP 中點為中點為 M(x，y)，由中點坐標公式可知，由中點坐標公式可知，P 點坐標為點坐標為(2x2,2y) P 點在圓點在圓 x2y24 上，上，(2x2)2(2y)24. 故線段故線段 AP 中點的軌跡方程為中點的軌跡方程為(x1)2y21. (2)設設 PQ 的中點為的中點為 N(x，y)，在，在 RtPBQ 中，中，|PN|BN|，設，設 O 為坐標

10、原點，連接為坐標原點，連接 ON，則則 ONPQ， 所以所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2， 所以所以 x2y2(x1)2(y1)24. 故線段故線段 PQ 中點的軌跡方程為中點的軌跡方程為 x2y2xy10. 10(2009 南通模擬南通模擬)已知以點已知以點 C t，2t(tR，t0)為圓心的圓與為圓心的圓與 x 軸交于點軸交于點 O、A，與，與 y 軸軸交于點交于點 O、B，其中，其中 O 為原點為原點 (1)求證：求證：OAB 的面積為定值；的面積為定值； (2)設直線設直線 y2x4 與圓與圓 C 交于點交于點 M，N，若，若 OMON，求圓，求圓 C 的的方程方

11、程 證明：證明：(1)設圓的方程為設圓的方程為 x2y2DxEy0， 由于圓心由于圓心 C t，2t，D2t，E4t， 令令 y0 得得 x0 或或 xD2t，A(2t,0)， 令令 x0 得得 y0 或或 yE4t，B 0，4t， SOAB12|OA| |OB|12 |2t| 4t4(定值定值) (2)解：解：OMON，O 在在 MN 的垂直平分線上，而的垂直平分線上，而 MN 的垂直平分線過圓心的垂直平分線過圓心 C， kOC12， 2tt12，解得，解得 t2 或或 t2， 而當而當 t2 時，直線與圓時，直線與圓 C 不相交，不相交，t2， D4，E2， 圓的方程為圓的方程為 x2y24x2y0. 1(2010 創新題創新題)已知直線已知直線 3xy2m0 與圓與圓 x2y2n2相切，其中相切，其中 m，nN*， 且且 nm5，則滿足條件的有序實數對，則滿足條件的有序實數對(m，n)共有共有( ) A1 個個 B2 個個 C3 個個 D4 個個 解析：解析：由題意可得，圓心到直線的距離等于圓的半徑，即由題意可得，圓心到直線的距離等于圓的半徑，即 2m1n，所以，所以 2m1m5，因為因為 m，nN*，所以，所以 m1n1， m2n2， m3n4， m4n8，故有序實數對，故有序實數對(m，n)共有共有4 個個 答案：答案：D 2()已