1、(理解排列、組合的概念理解排列、組合的概念/能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式組合數(shù)公式/能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題)10.2 10.2 排列與組合排列與組合1排列的概念：排列的概念：從從n個(gè)不同元素中，任取個(gè)不同元素中，任取m(mn)個(gè)元素個(gè)元素(這里的被取元素各不相同這里的被取元素各不相同)按照按照一定的順序一定的順序排成一列，叫做從排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列個(gè)元素的一個(gè)排列2排列數(shù)的定義：排列數(shù)的定義：從從n個(gè)不同元素中，任取個(gè)不同元素中，任取m(mn)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從個(gè)元素的所有排列

2、的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)元素中取出個(gè)元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào) 表示表示3排列數(shù)公式排列數(shù)公式 n(n1)(n2)(nm1)4全排列數(shù)公式全排列數(shù)公式 A n(n1)(n2)21n！(叫做叫做n的階乘的階乘)5組合的定義組合的定義：一般地一般地，從，從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素個(gè)元素并成一組并成一組，叫做，叫做從從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合個(gè)元素的一個(gè)組合6組合數(shù)的定義：組合數(shù)的定義：從從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從做從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取

3、出m個(gè)元素的個(gè)元素的組合數(shù)組合數(shù)用符號(hào)用符號(hào)C 表示表示7組合數(shù)公式組合數(shù)公式 (n，mN*，且，且mn)18 8名名運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)員參加男子參加男子100米的決賽已知運(yùn)動(dòng)場(chǎng)有從內(nèi)到外編號(hào)依次為米的決賽已知運(yùn)動(dòng)場(chǎng)有從內(nèi)到外編號(hào)依次為1,2,3,4,5,6,7,8的八條跑道，若指定的的八條跑道，若指定的3名運(yùn)動(dòng)員所在的跑道編號(hào)必須是三個(gè)連名運(yùn)動(dòng)員所在的跑道編號(hào)必須是三個(gè)連續(xù)數(shù)字續(xù)數(shù)字(如：如：4,5,6)，則參加比賽的這，則參加比賽的這8名運(yùn)動(dòng)員安排跑道的方式共有名運(yùn)動(dòng)員安排跑道的方式共有()A360種種 B4 320種種 C720種種 D2 160種種解析：解析：本題考查排列組合知識(shí)；可分步完成先

4、從本題考查排列組合知識(shí)；可分步完成先從8個(gè)數(shù)字中取出個(gè)數(shù)字中取出3個(gè)連續(xù)的三個(gè)個(gè)連續(xù)的三個(gè)數(shù)字共有數(shù)字共有6種可能，將指定的種可能，將指定的3名運(yùn)動(dòng)員安排在這三個(gè)編號(hào)的跑道上，最后剩下名運(yùn)動(dòng)員安排在這三個(gè)編號(hào)的跑道上，最后剩下的的5個(gè)排在其他的編號(hào)的個(gè)排在其他的編號(hào)的5個(gè)跑道上，故共有個(gè)跑道上，故共有 4 320種方式種方式答案：答案：B2高三高三(一一)班需要安排畢業(yè)晚會(huì)的班需要安排畢業(yè)晚會(huì)的4個(gè)音樂(lè)節(jié)目，個(gè)音樂(lè)節(jié)目，2個(gè)舞蹈節(jié)目和個(gè)舞蹈節(jié)目和1個(gè)曲藝節(jié)目的個(gè)曲藝節(jié)目的演出順序，要求兩個(gè)舞蹈節(jié)目不連排，則不同排法的種數(shù)是演出順序，要求兩個(gè)舞蹈節(jié)目不連排，則不同排法的種數(shù)是()A1 800 B

5、3 600 C4 320 D5 040解析：解析： 120303 600.答案：答案：B3(2010開(kāi)封高三月考開(kāi)封高三月考)某班級(jí)某班級(jí)從從A、B、C、D、E、F六名學(xué)生中選六名學(xué)生中選4人參加人參加4100米接力比賽，其中第一棒只能在米接力比賽，其中第一棒只能在A，B中選一人，第四棒只能在中選一人，第四棒只能在A，C中選一人，則不同的選派方法共有中選一人，則不同的選派方法共有()A24種種 B36種種 C48種種 D72種種解析解析：若第一棒選：若第一棒選A，則有，則有A 種選派方法；若第一棒選種選派方法；若第一棒選B，則有，則有2A ，由分，由分類計(jì)數(shù)原理共有類計(jì)數(shù)原理共有36種種答案答

6、案：B4如圖如圖，將，將1,2,3填入填入33的方格中，要求每行、每列都沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，下面是的方格中，要求每行、每列都沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，下面是一種填法，則不同的填寫方法共有一種填法，則不同的填寫方法共有()A6種種 B12種種C24種種 D48種種解析：解析：只需要填寫第一行第一列，其余即確定了因此只需要填寫第一行第一列，其余即確定了因此 12(種種)答案：答案：B常見(jiàn)的排列問(wèn)題有三種：常見(jiàn)的排列問(wèn)題有三種：(1)排隊(duì)；排隊(duì)；(2)排數(shù)；排數(shù)；(3)排課程表對(duì)于排課程表對(duì)于“ “在在” ”或者或者“ “不不在在” ”的排列問(wèn)題的計(jì)算方法主要是：的排列問(wèn)題的計(jì)算方法主要是：(1)位置優(yōu)先法；位置優(yōu)先

7、法；(2)元素優(yōu)先法；元素優(yōu)先法；(3)間接間接計(jì)算法計(jì)算法【例【例1】甲、乙、丙、丁四名甲、乙、丙、丁四名同學(xué)排成一排，分別計(jì)算滿足下列條件的排法種數(shù)同學(xué)排成一排，分別計(jì)算滿足下列條件的排法種數(shù)(1)甲不在排頭、乙不在排尾；甲不在排頭、乙不在排尾；(2)甲不在第一位、乙不在第二位、丙不在第三位、丁不在第四位；甲不在第一位、乙不在第二位、丙不在第三位、丁不在第四位；(3)甲一定在乙的右端甲一定在乙的右端(可以不鄰可以不鄰)解答：解答：(1)直接排，要分甲排在排尾和甲既不排在排頭也不排在排尾兩種情直接排，要分甲排在排尾和甲既不排在排頭也不排在排尾兩種情況況若甲排在排尾共有若甲排在排尾共有 6種排

8、法種排法若甲既不在排頭也不在排尾共有若甲既不在排頭也不在排尾共有 8種排法，種排法，由分類計(jì)數(shù)原理：由分類計(jì)數(shù)原理： 14(種種)也可間接計(jì)算：也可間接計(jì)算： 14(種種)(2)本題可轉(zhuǎn)化為將數(shù)字本題可轉(zhuǎn)化為將數(shù)字1,2,3,4排成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，且排成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，且1不在千位，不在千位，2不不在百位，在百位，3不在十位，不在十位，4不在個(gè)位；因此可寫出不在個(gè)位；因此可寫出A 24種所有排列，從中挑選滿種所有排列，從中挑選滿足條件的共足條件的共9種種可考慮求有限集合的并集元素的個(gè)數(shù)問(wèn)題：可考慮求有限集合的并集元素的個(gè)數(shù)問(wèn)題： 則有則有card(ABCD)card(A)card(

9、B)card(C)card(D)card(AB)card(AC)card(AD)card(BC)card(BD)card(CD)card(ABC)card(ABD)card(BCD)card(ACD)card(ABCD)設(shè)所有排列組成的集合為設(shè)所有排列組成的集合為I；甲在首位的排列組成的集合為甲在首位的排列組成的集合為A，乙在第二位的排列組成的集合為，乙在第二位的排列組成的集合為B，丙在第三，丙在第三位的排列組成的集合為位的排列組成的集合為C，丁在末位的排列組成的集合為，丁在末位的排列組成的集合為D，則，則card(I)card(ABCD)2446624119.可考慮直接排法：可考慮直接排法：

10、甲有甲有3種排法；若甲排在第二位，則乙有種排法；若甲排在第二位，則乙有3種排法；甲、乙排好后，丙、丁只有一種排法；甲、乙排好后，丙、丁只有一種排法，由分步計(jì)數(shù)原理知滿足條件的所有排法共有種排法，由分步計(jì)數(shù)原理知滿足條件的所有排法共有3319(種種)(3)可先排丙、丁有可先排丙、丁有 種排法，則甲、乙只有一種排法，由分步計(jì)數(shù)原理滿足條種排法，則甲、乙只有一種排法，由分步計(jì)數(shù)原理滿足條件的排列共有件的排列共有 112(種種)或看作定序問(wèn)題或看作定序問(wèn)題 12.變式變式1.(1)從從6 6人人中選中選4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個(gè)城市游覽，要求每人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個(gè)城市游覽，

11、要求每個(gè)城市有一人游覽，每人只游覽一個(gè)城市，且這個(gè)城市有一人游覽，每人只游覽一個(gè)城市，且這6個(gè)人中甲、乙兩人不去巴黎游個(gè)人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有覽，則不同的選擇方案共有()A300種種 B240種種 C144種種 D96種種(2)安排安排5名歌手的演出順序時(shí)，要求某名歌手不第一個(gè)出場(chǎng)，另一名歌手不最后名歌手的演出順序時(shí)，要求某名歌手不第一個(gè)出場(chǎng)，另一名歌手不最后一個(gè)出場(chǎng)，不同排法的種數(shù)是一個(gè)出場(chǎng)，不同排法的種數(shù)是_(用數(shù)字作答用數(shù)字作答)解析：解析：(1) 240. (2)答案：答案：(1)B(2)78排列中的排列中的“ “相鄰相鄰” ”問(wèn)題一般采用捆綁法；而問(wèn)題一般采

12、用捆綁法；而“ “互不相鄰互不相鄰” ”問(wèn)題一般采用插空法問(wèn)題一般采用插空法【例【例2】 a1，a2，a8共八個(gè)元素共八個(gè)元素，分別計(jì)算滿足下列條件的排列數(shù)，分別計(jì)算滿足下列條件的排列數(shù)(1)八個(gè)元素排成一排，且八個(gè)元素排成一排，且a1，a2，a3，a4四個(gè)元素排在一起；四個(gè)元素排在一起；(2)八個(gè)元素排成一排，且八個(gè)元素排成一排，且a1，a2，a3，a4四個(gè)元素互不相鄰；四個(gè)元素互不相鄰；(3)八個(gè)元素排成一排，且八個(gè)元素排成一排，且a1，a2，a3，a4四個(gè)元素互不相鄰，并且四個(gè)元素互不相鄰，并且a5，a6，a7，a8也互不相鄰；也互不相鄰；(4)排成前后兩排每排四人排成前后兩排每排四人解

13、答：解答：(1)a1，a2，a3，a4四個(gè)元素四個(gè)元素排在一起，共有排在一起，共有A 種排法，再與種排法，再與a5，a6，a7，a8進(jìn)行排列共有進(jìn)行排列共有A 種排法，由分步計(jì)數(shù)原理知：滿足條件的排列數(shù)為種排法，由分步計(jì)數(shù)原理知：滿足條件的排列數(shù)為 2 880.(2)先排先排a5，a6，a7，a8，四個(gè)元素共有四個(gè)元素共有A 種排法；種排法；可將可將a1，a2，a3，a4排入由排入由a5，a6，a7，a8間隔出的五個(gè)位置中間隔出的五個(gè)位置中的四個(gè)，共有的四個(gè)，共有A 種排法，由分步計(jì)數(shù)原理知：滿足條件的排列數(shù)為種排法，由分步計(jì)數(shù)原理知：滿足條件的排列數(shù)為 2 880.(3)先先排排a5，a6，

14、a7，a8，；共有；共有 種排法；然后排種排法；然后排 a1，a2，a3， a4共有共有2 種排法；種排法；由分步計(jì)數(shù)原理共有由分步計(jì)數(shù)原理共有 1 152種排法種排法(4)前排有前排有 種排法，后排有種排法，后排有 種排法，種排法，由分步計(jì)數(shù)原理知共有由分步計(jì)數(shù)原理知共有 8！種排法種排法變式變式2.4個(gè)男個(gè)男同學(xué)，同學(xué)，3個(gè)女同學(xué)站成一排個(gè)女同學(xué)站成一排(1)3個(gè)女同學(xué)必須排在一起，有多少種不同的排法？個(gè)女同學(xué)必須排在一起，有多少種不同的排法？(2)任何兩個(gè)女同學(xué)彼此不相鄰，有多少種不同的排法？任何兩個(gè)女同學(xué)彼此不相鄰，有多少種不同的排法？(3)其中甲、乙兩同學(xué)之間必須恰有其中甲、乙兩同學(xué)

15、之間必須恰有3人，有多少種不同的排法？人，有多少種不同的排法？(4)甲、乙兩人相鄰，但都不與丙相鄰，有多少種不同的排法？甲、乙兩人相鄰，但都不與丙相鄰，有多少種不同的排法？(5)女同學(xué)從左到右按高矮順序排，有多少種不同的排法？女同學(xué)從左到右按高矮順序排，有多少種不同的排法？(3個(gè)女生身高互不相等個(gè)女生身高互不相等)解答：解答：(1)3個(gè)女個(gè)女同學(xué)是特殊元素，我們先把她們排好，共有同學(xué)是特殊元素，我們先把她們排好，共有 種排法；由于種排法；由于3個(gè)女同個(gè)女同學(xué)必須排在一起，我們可視排好的女同學(xué)為一整體，再與男同學(xué)排隊(duì)，這時(shí)是學(xué)必須排在一起，我們可視排好的女同學(xué)為一整體，再與男同學(xué)排隊(duì)，這時(shí)是5個(gè)

16、元個(gè)元素的全排列，應(yīng)有素的全排列，應(yīng)有A種排法，由分步計(jì)數(shù)的原理種排法，由分步計(jì)數(shù)的原理,有有 720種不同排法種不同排法(2)先將男生排好，共有先將男生排好，共有 種排法，再在這種排法，再在這4個(gè)男生的中間及兩頭的個(gè)男生的中間及兩頭的5個(gè)空檔中插入個(gè)空檔中插入3個(gè)個(gè)女生有女生有 種方案，故符合條件的排法共有種方案，故符合條件的排法共有 1 440種不同排法種不同排法(3)甲、乙甲、乙2人先排好，有人先排好，有A 種排法，再?gòu)挠嘞路N排法，再?gòu)挠嘞?人中選人中選3人排在甲、乙人排在甲、乙2人中間，有人中間，有 種排法，這時(shí)把已排好的種排法，這時(shí)把已排好的5人視為一整體，與最后剩下的人視為一整體，

17、與最后剩下的2人再排，又有人再排，又有 種排種排法，這樣總共有法，這樣總共有 720種不同排法種不同排法(4)先排甲、乙和丙先排甲、乙和丙3人以外的其他人以外的其他4人，有人，有 種排法；由于甲、乙要相鄰，故再把甲、種排法；由于甲、乙要相鄰，故再把甲、乙排好，有乙排好，有 種排法；最后把甲、乙排好的這個(gè)整體與丙分別插入原先排好的種排法；最后把甲、乙排好的這個(gè)整體與丙分別插入原先排好的4人人的空檔中有的空檔中有 種排法這樣，總共有種排法這樣，總共有 960種不同排法種不同排法(5)從從7個(gè)位置中選出個(gè)位置中選出4個(gè)位置把男生排好，則有個(gè)位置把男生排好，則有 種排法然后再在余下的種排法然后再在余下

18、的3個(gè)空個(gè)空位置中排女生，由于女生要按身體高矮排列，故僅有一種排法這樣總共有位置中排女生，由于女生要按身體高矮排列，故僅有一種排法這樣總共有 840種不同排法種不同排法.排列與組合的根本區(qū)別在于是排列與組合的根本區(qū)別在于是“ “有序有序” ”還是還是“ “無(wú)序無(wú)序” ”，對(duì)于將若干個(gè)相同小球放入幾，對(duì)于將若干個(gè)相同小球放入幾個(gè)不同的盒子中，此類問(wèn)題可利用個(gè)不同的盒子中，此類問(wèn)題可利用“ “擋板法擋板法” ”求解，實(shí)質(zhì)上是最終轉(zhuǎn)化為組合問(wèn)求解，實(shí)質(zhì)上是最終轉(zhuǎn)化為組合問(wèn)題題【例【例3】7 7個(gè)相同個(gè)相同的小球，任意放入的小球，任意放入4個(gè)不同的盒子中，試問(wèn)：每個(gè)盒子都不空的放個(gè)不同的盒子中，試問(wèn)：

19、每個(gè)盒子都不空的放法共有多少種？法共有多少種？解答解答：解法一：解法一：先將其中先將其中4個(gè)相同的小球放入個(gè)相同的小球放入4個(gè)盒子中，有個(gè)盒子中，有1種放法；再將其種放法；再將其余余3個(gè)相同的小球放入個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的盒子中，有以下個(gè)不同的盒子中，有以下3種情況：種情況：(1)某一個(gè)盒子放某一個(gè)盒子放3個(gè)小球，就可從這個(gè)小球，就可從這4個(gè)不同的盒子中任選一個(gè)放入這個(gè)不同的盒子中任選一個(gè)放入這3個(gè)小球，個(gè)小球，有有 種不同的放法；種不同的放法；(2)這這3個(gè)小球分別放入其中的個(gè)小球分別放入其中的3個(gè)盒子中，就相當(dāng)于從個(gè)盒子中，就相當(dāng)于從4個(gè)不同的盒子中任選個(gè)不同的盒子中任選3個(gè)個(gè)盒子，分

20、別放入這盒子，分別放入這3個(gè)相同的小球，有個(gè)相同的小球，有 種不同放法；種不同放法；(3)這這3個(gè)小球中有兩個(gè)小球放在個(gè)小球中有兩個(gè)小球放在1個(gè)盒子中，另個(gè)盒子中，另1個(gè)小球放在另一個(gè)盒子中，從這個(gè)小球放在另一個(gè)盒子中，從這4個(gè)不同的盒子中任選兩個(gè)盒子排成一列，有個(gè)不同的盒子中任選兩個(gè)盒子排成一列，有 種不同的方法種不同的方法綜上可知，滿足題設(shè)條件的放法為綜上可知，滿足題設(shè)條件的放法為解法二：解法二：“每個(gè)盒子每個(gè)盒子都不空都不空”的含義是的含義是“每個(gè)盒子中至少有一個(gè)小球每個(gè)盒子中至少有一個(gè)小球”，合理的，合理的分類是正確解題的關(guān)鍵若用分類是正確解題的關(guān)鍵若用“隔板法隔板法”，可易得，可易得

21、 20.變式變式3.(1)計(jì)算計(jì)算xyz6的正整數(shù)解有多少組；的正整數(shù)解有多少組；(2)計(jì)算計(jì)算xyz6的非負(fù)整數(shù)解有多少組的非負(fù)整數(shù)解有多少組解答：解答：(1)可看做可看做將將6個(gè)相同小球放入三個(gè)不同盒子中，每盒非空有多少種放個(gè)相同小球放入三個(gè)不同盒子中，每盒非空有多少種放法轉(zhuǎn)化為法轉(zhuǎn)化為00000011的排列，要求的排列，要求1不排在兩端且不相鄰，共有不排在兩端且不相鄰，共有C 10種排法，種排法，因此方程因此方程xyz6有有10組不同的正整數(shù)解；組不同的正整數(shù)解；(2)可看做將可看做將6個(gè)相同小球放入三個(gè)不同的盒子中，轉(zhuǎn)化為個(gè)相同小球放入三個(gè)不同的盒子中，轉(zhuǎn)化為00000011的排列，共

22、的排列，共有有C 28種排法，因此方程種排法，因此方程xyz6有有28組不同的非負(fù)整數(shù)解組不同的非負(fù)整數(shù)解1解決有條件排列問(wèn)題中的解決有條件排列問(wèn)題中的“相鄰相鄰”與與“互不相鄰互不相鄰”等問(wèn)題；解決相鄰問(wèn)題可等問(wèn)題；解決相鄰問(wèn)題可采用采用“捆綁法捆綁法”，而解決互不相鄰問(wèn)題可采用，而解決互不相鄰問(wèn)題可采用“插空法插空法”2元素在某一位置上，或不在某一位置上，可從特殊元素入手考慮，可從特殊元素在某一位置上，或不在某一位置上，可從特殊元素入手考慮，可從特殊位置進(jìn)行考慮，還可間接計(jì)算位置進(jìn)行考慮，還可間接計(jì)算【方法規(guī)律方法規(guī)律】3解決排列組合問(wèn)題可遵循解決排列組合問(wèn)題可遵循“先組合后排列先組合后排

23、列”的原則，區(qū)分排列組合問(wèn)題主要的原則，區(qū)分排列組合問(wèn)題主要是判斷是判斷“有序有序”和和“無(wú)序無(wú)序”，更重要的是弄清怎樣的算法有序，怎樣的算法，更重要的是弄清怎樣的算法有序，怎樣的算法無(wú)序，關(guān)鍵是在計(jì)算中體現(xiàn)無(wú)序，關(guān)鍵是在計(jì)算中體現(xiàn)“有序有序”和和“無(wú)序無(wú)序”4要能夠?qū)懗鏊蟹蠗l件的排列或組合，盡可能使寫出的排列或組合與計(jì)算要能夠?qū)懗鏊蟹蠗l件的排列或組合，盡可能使寫出的排列或組合與計(jì)算的排列數(shù)相符，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，這樣既可以加深對(duì)問(wèn)題的理解，檢驗(yàn)算的排列數(shù)相符，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，這樣既可以加深對(duì)問(wèn)題的理解，檢驗(yàn)算法的正確與否，又可以對(duì)排列數(shù)或組合數(shù)較小的問(wèn)題的解決起到事半功倍的法的正確與否，又可以對(duì)排列數(shù)或組合數(shù)較小的問(wèn)題的解決起到事半功倍的效果效果. (本題滿分本題滿