1、2021/8/61 線性方程組線性方程組)1 .2(22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa線性方程組的一般形式線性方程組的一般形式: : 當(dāng)常數(shù)項不全為零時當(dāng)常數(shù)項不全為零時, ,稱為稱為非齊次線性方程組非齊次線性方程組; ; 當(dāng)常數(shù)項全等于零時當(dāng)常數(shù)項全等于零時, ,稱為稱為齊次線性方程組齊次線性方程組. .設(shè)設(shè) mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211稱稱A為為(2.1)的的系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣.一、一、n元線性方程組的相關(guān)概念元線性方程組的相關(guān)概念2021/8/62nxxxX21mbbbB21稱為稱為n元元未知量

2、矩陣未知量矩陣.稱為稱為(2.1)的的常數(shù)項矩陣常數(shù)項矩陣.于是線性方程組于是線性方程組(2.1)寫成矩陣方程形式寫成矩陣方程形式 BAX 將系數(shù)矩陣將系數(shù)矩陣A和常數(shù)項矩陣和常數(shù)項矩陣B放在一起構(gòu)成的矩陣放在一起構(gòu)成的矩陣,即即稱為稱為(2.1)的的增廣矩陣增廣矩陣mmnmmnnbbbaaaaaaaaaBAA21212222111211)(2.1)一一對應(yīng)一一對應(yīng)2021/8/63二、克拉默二、克拉默(Cramer)法則法則注：注： Cramer法則僅適用于方程組中法則僅適用于方程組中方程的個數(shù)方程的個數(shù)等等于于未知量的個數(shù)未知量的個數(shù)情形。情形。 考慮未知量的個數(shù)與線性方程的個數(shù)相同的情況

3、考慮未知量的個數(shù)與線性方程的個數(shù)相同的情況: : (2.2).,22112222212111212111nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa2021/8/6422221211212111bxaxabxaxa對于二元線性方程組對于二元線性方程組ABxABxdetdetdetdet2211，11122122det0aaAaa當(dāng)系數(shù)行列式時，方程組的解可表為其中其中22111122221211det,detbabaBababB2021/8/65推廣到推廣到n元線性方程組元線性方程組其中其中定理定理2.12.1( (克拉默法則克拉默法則) )如果線性方程組如果線性方程組(2.

4、2)(2.2)的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式 則線性方程組有則線性方程組有惟惟一的一個解一的一個解 并且并且 , 0detA,21nxxxdet,1, 2,detjjBxjnA(2.3)., 2 , 1(det,det122211111212222111211njabaabaabaBaaaaaaaaaAnnnnnnjnnnnnn克拉默法則的結(jié)論包含三層涵義克拉默法則的結(jié)論包含三層涵義: :方程組方程組(2.2)(2.2)有解有解; ;解是惟一的解是惟一的; ;方程組的解可由公式方程組的解可由公式(2.3)(2.3)給出給出. .2021/8/66線性代數(shù)方程組的一般形式線性代數(shù)方程組的一般形式(1)

5、mnAxbAR 用用矩矩陣陣形形式式表表示示為為其其增增廣廣矩矩陣陣記記為為11112211211222221122 nnnnmmmnnma xa xaxba xa xaxbaxaxaxb 求解線性代數(shù)方程組的基本定理求解線性代數(shù)方程組的基本定理2021/8/67MATLAB實現(xiàn)實現(xiàn): x=Ab2021/8/68【引引 例例 】求下列三階線性代數(shù)方程組的近似解5426255452321321321xxxxxxxxxMATLAB程序為：A=2 -5 4;1 5 -2;-1 2 4；b=5;6;5；x=Ab2021/8/69 在MATLAB命令窗口，先輸入下列命令構(gòu)造系數(shù)矩陣A和右端向量b： A=

6、2 -5 4;1 5 -2;-1 2 4A = 2 -5 4 1 5 -2 -1 2 4 b=5;6;5b = 5 6 5 然后只需輸入命令x=Ab即可求得解x： x=Abx = 2.7674 1.1860 1.34882021/8/610一、 特殊矩陣的實現(xiàn)2021/8/611 1.零矩陣零矩陣:所有元素值為零的矩陣稱為零矩陣。零矩陣可以用zeros函數(shù)實現(xiàn)。zeros是MATLAB內(nèi)部函數(shù)，使用格式如下： zeros(m)：產(chǎn)生m m階零矩陣； zeros(m,n)：產(chǎn)生m n階零矩陣，當(dāng)m=n時等同于zeros(m)； zeros(size(A)：產(chǎn)生與矩陣A同樣大小的零矩陣。一、 特殊

7、矩陣的實現(xiàn) 常見的特殊矩陣有零矩陣、幺矩陣、單位矩陣、三角形矩陣等，這類特殊矩陣在線性代數(shù)中具有通用性；還有一類特殊矩陣在專門學(xué)科中有用，如有名的希爾伯特(Hilbert)矩陣、范德蒙(Vandermonde) 矩陣等。2021/8/612 2.幺矩陣幺矩陣:所有元素值為1的矩陣稱為幺矩陣。幺矩陣可以用ones函數(shù)實現(xiàn)。它的調(diào)用格式與zeros函數(shù)一樣。 【例例1 1】 試用ones分別建立32階幺矩陣、和與前例矩陣A同樣大小的幺矩陣。 用ones(3,2) 建立一個3 2階幺陣： ones(3,2) % 一個32階幺陣 ans =1 1 1 1 1 1一、 特殊矩陣的實現(xiàn)2021/8/613

8、 3.單位矩陣單位矩陣:主對角線的元素值為1、其余元素值 為 0 的 矩 陣 稱 為 單 位 矩 陣 。 它 可 以 用MATLAB內(nèi)部函數(shù)eye建立，使用格式與zeros相同。 4.數(shù)量矩陣數(shù)量矩陣:主對角線的元素值為一常數(shù)d、其余元素值為0的矩陣稱為數(shù)量矩陣。顯然，當(dāng)d=1時，即為單位矩陣，故數(shù)量矩陣可以用eye(m)*d或eye(m,n)*d建立。一、 特殊矩陣的實現(xiàn)2021/8/614 5.對角陣對角陣:對角線的元素值為常數(shù)、其余元素值為0的矩陣稱為對角陣。我們可以通過MATLAB內(nèi)部函數(shù)diag，利用一個向量構(gòu)成對角陣；或從矩陣中提取某對角線構(gòu)成一個向量。使用 格式為diag(V)和

9、diag(V,k)兩種。2021/8/615 6.用一個向量V構(gòu)成一個對角陣 設(shè)V為具有m個元素的向量，diag(V)將產(chǎn)生一個mm階對角陣，其主對角線的元素值即為向量的元素值；diag(V,k)將產(chǎn)生一個nn(n=m+|k|，k為一整數(shù))階對角陣，其第k條對角線的元素值即為向量的元素值。注意：當(dāng)k0，則該對角線位于主對角線的上方第k條；當(dāng)k0，該對角線位于主對角線的下方第|k|條；當(dāng)k=0，則等同于diag(V)。用diag建立的對角陣必是方陣。一、 特殊矩陣的實現(xiàn)2021/8/616 【例例2 2】已知向量v，試建立以向量v作為主對角線的對角陣A；建立分別以向量v作為主對角線兩側(cè)的對角線的

10、對角陣B和C。 MATLAB程序如下：2021/8/617v =1;2;3; % 建立一個已知的向量AA=diag(v)A= 1 0 0 0 2 0 0 0 3B=diag(v,1)B = 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0C=diag(v,-1)C = 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 % 按各種對角線情況構(gòu)成相應(yīng)的對角陣A、B和C一、 特殊矩陣的實現(xiàn)2021/8/618 7.從矩陣中提取某對角線 我們也可以用diag從矩陣中提取某對角線構(gòu)成一個向量。設(shè)A為m n階矩陣，diag(A)將從矩陣A中提取其主對角線產(chǎn)生一個具有min(m,n)

11、個元素的向量。diag(A,k)的功能是： 當(dāng)k0，則將從矩陣A中提取位于主對角線的上方第k條對角線構(gòu)成一個具有n-k個元素的向量；當(dāng)k0，則將從矩陣A中提取位于主對角線的下方第|k|條對角線構(gòu)成一個具有m+k個元素的向量；當(dāng)k=0，則等同于diag(A)。一、 特殊矩陣的實現(xiàn)2021/8/619 【例例3 3】 已知矩陣A，試從矩陣A分別提取主對角線及它兩側(cè)的對角線構(gòu)成向量B、C和D。 MATLAB程序如下：A=1 2 3;4 5 6; % 建立一個已知的23階矩陣A% 按各種對角線情況構(gòu)成向量B、C和DB=diag(A)B = 1 5C=diag(A,1)C = 2 6D=diag(A,-

12、1)D = 4一、 特殊矩陣的實現(xiàn)2021/8/620 8.上三角陣：使用格式為triu(A)、triu(A,k) 設(shè)A為mn階矩陣，triu(A)將從矩陣A中提取主對角線之上的上三角部分構(gòu)成一個m n階上三角陣；triu(A,k)將從矩陣A中提取主對角線第|k|條對角線之上的上三角部分構(gòu)成一個mn階上三角陣。注意：這里的k與diag(A,k)的用法類似，當(dāng)k0，則該對角線位于主對角線的上方第k條；當(dāng)k0，該對角線位于主對角線的下方第|k|條；當(dāng)k=0，則等同于triu (A)一、 特殊矩陣的實現(xiàn)2021/8/621 【例例4 4】試分別用triu(A)、triu(A,1)和、triu(A,-

13、1)從矩陣A提取相應(yīng)的上三角部分構(gòu)成上三角陣B、C和D。 MATLAB程序如下：A=1 2 3;4 5 6;7 8 9;9 8 7; % 一個已知的43階矩陣A% 構(gòu)成各種情況的上三角陣B、C和DB=triu(A)B = 1 2 3 0 5 6 0 0 9 0 0 0C=triu(A,1)D=triu(A,-1)一、 特殊矩陣的實現(xiàn)2021/8/622 9.下三角陣：使用格式為tril(A)、tril(A,k) tril的功能是從矩陣A中提取下三角部分構(gòu)成下三角陣。用法與triu相同。2021/8/623 10.空矩陣空矩陣 在MATLAB里，把行數(shù)、列數(shù)為零的矩陣定義為空矩陣。空矩陣在數(shù)學(xué)意

14、義上講是空的，但在MATLAB里確是很有用的。例如 A=0.1 0.2 0.3;0.4 0.5 0.6; B=find(A1.0) B = 這里 是空矩陣的符號，B=find(A1.0)表示列出矩陣A中值大于1.0的元素的序號。當(dāng)不能滿足括號中的條件時，返回空矩陣。另外，也可以將空矩陣賦給一個變量，如： B= B = 一、 特殊矩陣的實現(xiàn)2021/8/624二、矩陣的特征值 與特征向量2021/8/625 對于NN階方陣A，所謂A的特征值問題是：求數(shù)和N維非零向量x（通常為復(fù)數(shù)），使之滿足下式： A. x= x 則稱為矩陣A的一個特征值（特征根），而非零向量x為矩陣A的特征值所對應(yīng)的特征向量。

15、 對一般的N N階方陣A，其特征值通常為復(fù)數(shù)，若A為實對稱矩陣，則A的特征值為實數(shù)。二、矩陣的特征值與特征向量2021/8/626 MATLAB提供的內(nèi)部函數(shù)eig可以用來計算特征值與特征向量。eig函數(shù)的使用格式有五 種 ， 其 中 常 見 的 有 E = e i g ( A ) 、V,D=eig(A)和V,D=eig(A,nobalance)三種，另外兩種格式用來計算矩陣的廣義特征 值 與 特 征 向 量 ： E = e i g ( A , B ) 和V,D=eig(A,B)。二、矩陣的特征值與特征向量2021/8/627 (1) E=eig(A)：由eig(A)返回方陣A的N個特征值，構(gòu)

16、成向量E； (2) V,D=eig(A)：由eig(A)返回方陣A的N個特征值，構(gòu)成NN階對角陣D，其對角線上的N個元素即為相應(yīng)的特征值，同時將返回相應(yīng)的特征向量賦予NN階方陣V的對應(yīng)列，且A、V、D滿足AV=V D； (3) V,D=eig(A,nobalance)：本格式的功能與格式(2)一樣，只是格式(2)是先對A作相似變換(balance)，然后再求其特征值與相應(yīng)的特征向量；而本格式則事先不作相似變換；二、矩陣的特征值與特征向量2021/8/628 (4) E=eig(A,B)：由eig(A,B)返回NN階方陣A和B的N個廣義特征值，構(gòu)成向量E。 (5) V,D=eig(A,B)：由e

17、ig(A,B)返回方陣A和B的N個廣義特征值，構(gòu)成N N階對角陣D，其對角線上的N個元素即為相應(yīng)的廣義特征值，同時將返回相應(yīng)的特征向量構(gòu)成NN階滿秩矩陣，且 滿足AV=B V D。二、矩陣的特征值與特征向量2021/8/629 【例例5 5】試用格式(1)求下列對稱矩陣A的特征值；用格式(2)求A的特征值和相應(yīng)的特征向量，且驗證之。 A = 1.0000 1.0000 0.5000 1.0000 1.0000 0.2500 0.5000 0.2500 2.0000 ; 執(zhí)行eig(A)將直接獲得對稱矩陣A的三個實特征值：二、矩陣的特征值與特征向量2021/8/630 eig(A) ans =

18、-0.0166 1.4801 2.5365 而下列命令則將其三個實特征值作為向量賦予變量E： E=eig(A) E = -0.0166 1.4801 2.5365二、矩陣的特征值與特征向量2021/8/631三、行列式的值2021/8/632 MATLAB提供的內(nèi)部函數(shù)det用來計算矩陣的行列式的值。設(shè)矩陣A為一方陣(必須是方陣)，求矩陣A的行列式值的格式為：det(A)。注意：本函數(shù)同樣能計算通過構(gòu)造出的稀疏矩陣的行列式的值。關(guān)于如何構(gòu)造稀疏矩陣，將在本章最后一節(jié)介紹。三、行列式的值2021/8/633 【例例6 6】利用隨機函數(shù)產(chǎn)生一個三階方陣A，然后計算方陣之行列式的值。 A=rand(

19、3) A = 0.9501 0.4860 0.4565 0.2311 0.8913 0.0185 0.6068 0.7621 0.8214 det(A) ans = 0.42892021/8/634四、 矩陣求逆及其 線性代數(shù)方程組求解2021/8/635 1 . 矩陣求逆矩陣求逆 若方陣A,B滿足等式 A*B = B*A = I (I為單位矩陣) 則稱A為B的逆矩陣，或稱B為A的逆矩陣。這時A，B都稱為可逆矩陣(或非奇異矩陣、或滿秩矩陣)，否則稱為不可逆矩陣(或奇異矩陣、或降秩矩陣)。四、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解2021/8/636 【例例7 7】試用inv函數(shù)求方陣A的逆陣A-1賦值

20、給B，且驗證A與A-1是互逆的。A=1 -1 1;5 -4 3;2 1 1;B=inv(A)B = -1.4000 0.4000 0.2000 0.2000 -0.2000 0.4000 2.6000 -0.6000 0.2000A*Bans = 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000B*Aans = 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000四、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解2021/8/637 2. 矩陣求逆解法矩陣求逆解法

21、 利用求系數(shù)矩陣A的逆陣A-1，我們可以得到矩陣求逆解法。對于線性代數(shù)方程組Ax=b，等號兩側(cè)各左乘A-1，有： A-1Ax=A-1b 由于A-1A=I，故得： x=A-1b四、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解2021/8/638 【例例8 8】試用矩陣求逆解法求解例6.20中矩陣A為系數(shù)矩陣的線性代數(shù)方程組Ax=b的解。 A=1 -1 1;5 -4 3;2 1 1; b=2;-3;1; x=inv(A)*b x = -3.8000 1.4000 7.2000四、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解2021/8/639 3. 直接解法直接解法 對于線性代數(shù)方程組Ax=b，我們可以運用左除運算符“”象解

22、一元一次方程那樣簡單地求解： x=Ab 當(dāng)系數(shù)矩陣A為N*N的方陣時，MATLAB會自行用高斯消去法求解線性代數(shù)方程組。若右端項b為N*1的列向量，則x=Ab可獲得方程組的數(shù)值解x（N*1的列向量）；若右端項b為N*M的矩陣，則x=Ab可同時獲得同一系數(shù)矩陣A、M個方程組數(shù)值解x（為N*M的矩陣），即x(:,j)=Ab(:,j)，j=1,2,M。四、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解2021/8/640132321112345111xxx543321112345111yyy四、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解2021/8/641 解法解法1：分別解方程組 (1)Ax=b1；(2)Ay=b2 A=1

23、-1 1;5 -4 3;2 1 1; b1=2;-3;1; b2=3;4;-5; x=Ab1 x = -3.8000 1.4000 7.2000y=Ab2 -3.6000 -2.2000 4.4000得兩個線性代數(shù)方程組的解： (1) x1= -3.8， x2= 1.4， x3= 7.2； (2) y1= -3.8， y2= 1.4， y3= 7.2四、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解2021/8/642 解法解法2：將兩個方程組連在一起求解：Az=b b=2 3;-3 4;1 -5 z=Ab z = -3.8000 -3.6000 1.4000 -2.2000 7.2000 4.4000 很明

24、顯，這里的解z的兩個列向量便是前面分別求得的兩組解x和y四、矩陣求逆及其線性代數(shù)方程組求解2021/8/643 數(shù)值求解方法有以下三條途徑（三種框架）數(shù)值求解方法有以下三條途徑（三種框架） 迭代法：構(gòu)造迭代格式，產(chǎn)生迭代序列，通過無限迭代法：構(gòu)造迭代格式，產(chǎn)生迭代序列，通過無限 次迭代過程求解。有限次截斷得近似解。次迭代過程求解。有限次截斷得近似解。極小化方法：構(gòu)造二次模函數(shù)，用迭代過程求二次極小化方法：構(gòu)造二次模函數(shù)，用迭代過程求二次 模函數(shù)的極小化問題，即變分法（經(jīng)模函數(shù)的極小化問題，即變分法（經(jīng) n次運算，理論上得精確解）要求次運算，理論上得精確解）要求A 對稱正定對稱正定(S.P.D)

25、直接法：利用直接法：利用GaussGauss消元或矩陣分解，通過有限次運消元或矩陣分解，通過有限次運 算可求出精確解。算可求出精確解。2021/8/644 用增廣矩陣表示為用增廣矩陣表示為同解同解初等變換初等變換組組化為同解的上三角方程化為同解的上三角方程將原方程組將原方程組求解求解gUxbAxgUxbAxRAbAxnn 第二節(jié)第二節(jié) 高斯消元法及其計算機實現(xiàn)高斯消元法及其計算機實現(xiàn)2021/8/645 A b U g )1()1()1(2)1(1)1(2)1(2)1(22)1(21)1(1)1(1)1(12)1(11nnnnnnnbaaabaaabaaa )()()2(2)2(2)2(22)

26、1(1)1(1)1(12)1(11nnnnnnnbabaabaaa2021/8/646三角形方程組包括上三角形方程組和下三角三角形方程組包括上三角形方程組和下三角形方程組，是最簡單的線性方程組之一。上形方程組，是最簡單的線性方程組之一。上三角方程組的一般形式是三角方程組的一般形式是： ),.,2 , 1(0.111112222211212111niabxabxaxabxaxabxaxaxaiinnnnnnnnnnnnnnn 其其中中一、三角形方程組的解法一、三角形方程組的解法2021/8/6471242343444573131313131xxxxxxxxx 用用回回代代法法求求解解線線性性方方

27、程程組組例例43424314212341(1313)/ 30( 75)( 750)244121,)(1 ,2,0:,1)TTxxxxxxxxxxxxx 所所以以，解解為為（解解2021/8/6481 , 1/ )(/1 niaxabxabxnikiikikiinnnn 為求解上三角方程組，從最后一個方程入手，先為求解上三角方程組，從最后一個方程入手，先解出解出 xn= =bn/ann, , 然后按方程由后向前的順序，從方程然后按方程由后向前的順序，從方程中依次解出中依次解出xn-1,xn-2,x1。這樣就完成了上三角方程組這樣就完成了上三角方程組的求解過程。這個過程被稱為回代過程其計算步驟如的

28、求解過程。這個過程被稱為回代過程其計算步驟如下：下：2021/8/6491 , 1/ )(/1 niaxabxabxnikiikikiinnnn function X=backsub(A,b)%InputA is an nn upper- triangular nonsingullar matrix% -b is an n1 matrix%OutputX is the solution to the system AX=b函數(shù)名函數(shù)名返回變量返回變量參數(shù)表參數(shù)表n=length(b);X=zeros(n,1);X(n)=b(n)/A(n,n);for i=n-1:-1:1 X(i)=(b(i)

29、-A(i,i+1:n)* X(i+1:n)/A(i,i);endA的第的第i行、第行、第i+1到到n列元素列元素構(gòu)成的行向量構(gòu)成的行向量2021/8/65011212322232429xxxxxx 用用回回代代法法求求解解線線性性例例 、方方程程組組1231232/ 21(21)/11(93121)/ 41,)(1 ,1 , ):1xxxxxx 所所以以，解解為為（解解21111)(1)22ninin nn 求求解解一一個個三三角角形形方方程程組組需需 次次除除法法與與（次次乘乘法法。2021/8/65112111111,/()/(2,3, )niiiikkiikxxxxbaxba xain

30、下下三三角角形形方方程程組組可可以以參參照照上上三三角角形形方方程程組組的的解解法法來來求求解解，下下三三角角形形方方程程組組的的求求解解順順序序是是從從第第一一個個方方程程開開始始，按按從從上上到到下下的的順順序序，依依次次解解出出：其其計計算算公公式式為為：如如上上解解三三角角形形方方程程組組的的方方法法稱稱為為回回代代法法. .1111211222211220,1,2,nnnnnniia xbaxaxbaxaxaxbain 下下三三角角方方程程組組的的一一般般形形式式為為：其其中中2021/8/652 高斯消元法是一個古老的直接法高斯消元法是一個古老的直接法, ,由它改進得到由它改進得到

31、的選主元法的選主元法, ,是目前計算機上常用于求低階稠密矩陣是目前計算機上常用于求低階稠密矩陣方程組的有效方法方程組的有效方法, ,其特點就是通過消元將其特點就是通過消元將一般線性一般線性方程組方程組的求解問題轉(zhuǎn)化為的求解問題轉(zhuǎn)化為三角方程組三角方程組的求解問題。的求解問題。 高斯消元法的求解過程高斯消元法的求解過程, ,可大致分為兩個階段可大致分為兩個階段: :首先首先, ,把原方程組化為上三角形方程組把原方程組化為上三角形方程組, ,稱之為稱之為“消消元元”過程過程; ;然后然后, ,用逆次序逐一求出上三角方程組用逆次序逐一求出上三角方程組( (原原方程組的等價方程組方程組的等價方程組)

32、)的解的解, ,稱之為稱之為“回代回代”過程過程. . 高斯高斯“消消元元”過程過程可通過矩陣運算來實現(xiàn)。具可通過矩陣運算來實現(xiàn)。具體過程如下：體過程如下：二、高斯消元法二、高斯消元法2021/8/65312312312323623493263Gaussxxxxxxxxx 用用消消元元法法求求解解方方程程例例組組11/1/21/2/01, 362319432632111313111212111)1( aamaamanbAA增增廣廣矩矩陣陣：解：解：11121,:11L AxL b 1 1L L = =, ,完完成成第第一一步步消消元元 得得2021/8/654(2)(2)(2)22323222

33、2212110,/1/( 1)111,11amaaLL L AxL L b = =, ,完完成成第第二二步步消消元元 得得 3332632332321xxxxxx3231231233 /31( 32)( 321)16236213111,1,1xxxxxxxxx 回回代代求求得得故故所所求求解解為為 011032106321)2(A 330032106321)3(A2021/8/655將方程組將方程組Ax=b的系數(shù)矩陣與右端項合并為的系數(shù)矩陣與右端項合并為 11121121222212,nnnnnnnaaabaaabA bAaaab (1)(1)(1)1111(1)(1)(1)(1)(1)12(

34、1)(1)(1)1.,.,.nnnnnnaabAAbaab記記 (1)(1)1(1)11111,0,.,0.TALLa 對對的的第第一一列列構(gòu)構(gòu)造造使使1(1)11111110,2,.,iiaamina （ ）（ ）：設(shè)設(shè)取取第第一一步步2111111nmLm 2021/8/656(1)(1)(1)(1)111211(2)(2)(2)(1)(2)(2)(2)(2)(2)2222112(2)(2)(2)2.0.,.,0.nnnnnnnaaabaabL AAbaab (2)(1)(1)1 1(2)(1)(1)1 12, ,2,2,ijijijiiiaam ain jnbbm bin (1)(1)1

35、(1)(1)11AxbLL AxL b 對對方方程程組組從從左左邊邊乘乘以以(1)(1)(1)1111(1)211(1)(1)(1)111.1.1nnnnnnaabmL Aaabm 2021/8/657(2)(2)2222(2)2203,.,iiaamina ：設(shè)設(shè)，第第二二步步取取(2)(2)32222(1)(1)(1)(1)(1)1112131,1(2)(2)(2)(2)22232,2(2)(1)(3)(3)(3)(3)221333,3(3)(3)(3)3,111,100000nnnnnn nnmALmaaaabaaabL AL L AaaAbaab - -對的第二列構(gòu)造對的第二列構(gòu)造-

36、-使使2021/8/658(2 )22(2 )22,iiama (1)(1)2121L L AxL L b (3)(2)(2)22(3)(2)(2)22,3,3,4,.,ijijijiiiaam ai jnbbm bin (1)(1)(1)(1)111211(2)(2)(2)(2)2222322(2)(2)(2)22(1)(1)(1)(1)1112131,(2)(2)(2)22232,(3)(3)333,(331.10.10.100000nnnnnnnnnnnaaabaabmL Aaabmaaaaaaaaaa - - -(1)1(2)2(3)(3)3)(3)(3),n nnbbAbab 202

37、1/8/659進行到第進行到第k步消元時步消元時( )(1)( )kkkAAAk 下下一一步步消消元元，從從，將將的的第第 列列的的對對角角元元以以下下的的元元素素化化為為零零。(1)(1)(1)(1)(1)11121311(2)(2)(2)(2)222322(3)(3)(3)3333()()()()1()()()1,1,11()()()(),1.nnnkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkknkn knnnaaaabaaabaabAaabaabaaab 2021/8/660( )( )( )0,(1,., )kkikkkkikkkkaamaiknGaussL 設(shè)設(shè)取取，構(gòu)構(gòu)造造變變換換陣陣

38、,111111Tkkkkn kIl emm (1)()kkkAL A 消消元元計計算算遞遞推推公公式式：()(1,2,1)kkkakn 稱稱為為主主元元素素. .( )( )(1)( )( )(1)( )( )1,1/21,3kkikikkkkkkijijikkjkkkiiikkiknmaaaam ajknbbm b （）（ ），（ ）2021/8/661(1)(1)(1)(1)11112211(2)(2)(2)22222()()nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxbaxb 即即 用回代過程求解上三角方程組，即可得解向量用回代過程求解上三角方程組，即可得解向量 ( x1*,x2*, ,x

39、n* ) )T. .是是高高斯斯消消元元的的前前提提。)1,2, 1( ,0)( nkakkk(1)(1)121121nnLL L AxLL L b (1)(1)(1)(1)111211(2)(2)(2)()2222()()000nnnnnnnnaaabaabAab 最最后后得得2021/8/662求解的全過程包括兩個步驟：消元和回代求解的全過程包括兩個步驟：消元和回代2. 2. 回代求解回代求解( )( )( )( )( )1/()/1,2,1nnnnnnnkkkkkkjjkkj kxbaxbaxaknn ( )( )(1)( )( )(1)( )( )1,11,1/21,3kkikikkk

40、kkkijijikkjkkkiiikkkniknmaaaam ajknbbm b （ ）（ ），（ ）1. 1. 順序消元順序消元2021/8/663步步消消元元計計算算后后，第第的的二二維維數(shù)數(shù)組組存存放放一一個個用用用用動動態(tài)態(tài)存存儲儲方方式式。最最初初在在計計算算機機中中計計算算時時，采采存存儲儲方方式式kAnn ), 1;, 1(), 1()1()()(nkjnkiaankimakijkijikkik )()(1,)()(1,1)(,1)(1)()3(3)3(33)2(2)2(23)2(22)1(1)1(13)1(12)1(11)(.knnkknknkkkkkkkkkkkkknnnka

41、aaaaaaaaaaaaaaaAikm) 1( kija2021/8/664UIL 消元過程全部完成后，原來的二維數(shù)組中存放的消元過程全部完成后，原來的二維數(shù)組中存放的元素實際上是一個新的矩陣，記為元素實際上是一個新的矩陣，記為FAFAA用動態(tài)形式表示為用動態(tài)形式表示為)(1,321)3(3)3(1, 3)3(333231)2(2)2(1,2)2(23)2(2221)1(1)1(1, 1)1(13)1(12)1(11nnnnnnnnnnnnnnFammmmaaammaaaamaaaaaA2021/8/665function X=gauss(A,b)%InputA is an nn nonsin

42、gullar matrix% -b is an n1 matrix%OutputX is the solution to the system AX=bMATLAB For Gaussian Eliminationn n=size(A); % 確定確定A的維數(shù)的維數(shù)X=zeros(n,1);for k=1:n-1 for i=k+1:n % 消元過程消元過程 m=A(i,k)/ A(k,k); % A(k,k) 0 A(i,k+1:n)= A(i,k+1:n)-m*A(k,k+1:n); b(i)= b(i)-m*b(k); endendX=backsub(A, b); %回代求解回代求解20

43、21/8/666function X=gauss(A,b)%InputA is an nn nonsingullar matrix% -b is an n1 matrix%OutputX is the solution to the system AX=bMATLAB For Gaussian Eliminationn n=size(A); % 確定確定A的維數(shù)的維數(shù)X=zeros(n,1);for k=1:n-1 for i=k+1:n % % 消元過程消元過程 A(i,k) =A(i,k)/ A(k,k); % A(k,k) 0 A(i,k+1:n)= A(i,k+1:n)- A(i,k)

44、 *A(k,k+1:n); b(i)= b(i)- A(i,k) *b(k); endendX=backsub(A, b); %回代求解回代求解2021/8/667 高斯消元法的計算量分析高斯消元法的乘除總運算分析為分析為消元次數(shù)消元次數(shù)k k 消元乘法次數(shù)消元乘法次數(shù) 消元除法次數(shù)消元除法次數(shù) 回代乘除法次數(shù)回代乘除法次數(shù) 1 n(n-1) n-11 n(n-1) n-1 2 (n-1)(n-2) n-2 2 (n-1)(n-2) n-2 . . k (n-k+1)(n-k) n-k k (n-k+1)(n-k) n-k . . n-1 2 n-1 2* *1 11 1 n(n+1)/2n(

45、n+1)/2高斯消元法的計算量為高斯消元法的計算量為 232(1)(1)(1)32233n nn nn nnnNn乘乘 除除 回代回代 當(dāng)當(dāng) n n 充分大時為充分大時為 N Nn n3 3/3/32021/8/668 消元法是解線性方程組的基本方法，具有消元法是解線性方程組的基本方法，具有計算簡單的優(yōu)點，但有時由于主元過小，使得計算簡單的優(yōu)點，但有時由于主元過小，使得計算結(jié)果嚴(yán)重失真計算結(jié)果嚴(yán)重失真, ,實際中常采用選主元高斯消實際中常采用選主元高斯消元法。元法。2021/8/669例例4:討論下面方程組的解法討論下面方程組的解法0.0001x1+x2=1 x1+x2=2假設(shè)求解是在四位浮點

46、十進制數(shù)假設(shè)求解是在四位浮點十進制數(shù)的計算機上進行的計算機上進行0.1000 10-3 x1 + 0.1000 101 x2 = 0.1000 1010.1000 101 x1 +0.1000 101 x2 = 0.2000 101 解解: :本題用機器數(shù)系表示為本題用機器數(shù)系表示為 a11 =0.0001, m21=a21/a11=1/0.0001= 104, 消元消元得得 回代解得回代解得 x2=1=1 , x1=0=0 嚴(yán)重失真嚴(yán)重失真! ! (本題的準(zhǔn)確解為本題的準(zhǔn)確解為 x1= = 10000/9999, x2= =9998/9999）a22(2)= 0.1000 101 - 104

47、 0.1000 101 = 0.00001 105 - 0.1000 105 (對階計算對階計算) = - 0.1000 105 0.1000 10-3 x1 + 0.1000 101 x2 = 0.1000 101 -0.1000 105 x2 = -0.1000 105 主元主元a11過小過小2021/8/670 選主元基本思想選主元基本思想 用高斯消元法求解線性方程組時用高斯消元法求解線性方程組時, ,為避免小的主元為避免小的主元. .在進在進行第行第k k步消元前步消元前, ,應(yīng)該在第應(yīng)該在第k k列元素列元素 ( (i=k,ni=k,n) )中找出第中找出第一個出現(xiàn)的絕對值最大者一個

48、出現(xiàn)的絕對值最大者, ,例如例如 ， 再把第再把第i ik k個方程與第個方程與第k k個方程組進行交換個方程組進行交換, ,使使 成為主元成為主元. .我們我們稱這個過程為選主元稱這個過程為選主元. .由于只在第由于只在第k k列元素中選主元列元素中選主元, ,通常通常也稱為也稱為按列選主元按列選主元. . )(kika()()maxkkki kikkinaa )(kija 如果在第如果在第k k步消元前步消元前, ,在第在第k k個方程到第個方程到第n n個方程所有個方程所有的的x xk k到到x xn n的系數(shù)的系數(shù) ( (i=k,n;j=k,ni=k,n;j=k,n) )中中, ,找出

49、絕對值找出絕對值最大者最大者, ,例如例如 ( )kki ka三、選主元三、選主元高斯消元高斯消元法法2021/8/671再交換第再交換第k k, ,ikik兩個方程和第兩個方程和第k k, ,jkjk列列, ,使使 成為主元成為主元. . 稱這個過程為稱這個過程為完全選主元完全選主元. 不論是哪種方式選出主元不論是哪種方式選出主元, ,而后再按上面介紹的計算步而后再按上面介紹的計算步驟進行消元的計算驟進行消元的計算, ,一般都稱為選主元的高斯消元法一般都稱為選主元的高斯消元法. .在在實際計算中實際計算中, ,常用按列選主元的高斯消元法常用按列選主元的高斯消元法. .( )k kki ja( )( ),maxk kkki jijk i j naa 2021/8/672( )( )( )( )( )()()| max|,1,(1),(,2kkkkkkkkkkki kikk i nkkkkkkji jkjkji ji jkikkiikikinaaAAbikTikaajk knTaaaaTbbTb bbbT 對對每每一一步步 第第 步步