1、（15）整數(shù)的分類【知識(shí)精讀】1 余數(shù)的定義：在等式AmBr中，如果A、B是整數(shù)，m是正整數(shù)，r為小于m的非負(fù)整數(shù)，那么我們稱r是A 除以m的余數(shù)。即：在整數(shù)集合中被除數(shù)除數(shù)×商余數(shù) (0余數(shù)<除數(shù))例如：13，0，1，9除以5的余數(shù)分別是3，0，4，1（15（1）4。95（2）1。）2 顯然，整數(shù)除以正整數(shù)m ,它的余數(shù)只有m種。例如 整數(shù)除以2，余數(shù)只有0和1兩種，除以3則余數(shù)有0、1、2三種。3 整數(shù)的一種分類：按整數(shù)除以正整數(shù)m的余數(shù)，分為m類，稱為按模m分類。例如：m=2時(shí)，分為偶數(shù)、奇數(shù)兩類，記作2k,2k1（k為整數(shù)）m=3時(shí)，分為三類，記作3k,3k+1,3k+

2、2. 或3k,3k+1，3k1其中3k1表示除以3余2。m=5時(shí)，分為五類，5k.5k+1,5k+2,5k+3,5k+4 或5k,5k±1,5k±2，其中5k2表示除以5余3。4 余數(shù)的性質(zhì)：整數(shù)按某個(gè)模m分類，它的余數(shù)有可加，可乘，可乘方的運(yùn)算規(guī)律。舉例如下：（3k1+1）+(3k2+1)=3(k1+k2)+2 （余數(shù)112） （4k1+1）(4k2+3)=4(4k1k2+3k1+k2)+3（余數(shù)1×33）（5k±2）225k2±20k+4=5(5k2±4k)+4（余數(shù)224）以上等式可敘述為： 兩個(gè)整數(shù)除以3都余1，則它們的和除以

3、3必余2。 兩個(gè)整數(shù)除以4，分別余1和3，則它們的積除以4必余3。 如果整數(shù)除以5，余數(shù)是2或3，那么它的平方數(shù)除以5，余數(shù)必是4或9。余數(shù)的乘方，包括一切正整數(shù)次冪。如：17除以5余2 176除以5的余數(shù)是4 （2664）5 運(yùn)用整數(shù)分類解題時(shí)，它的關(guān)鍵是正確選用模m。【分類解析】例1. 今天是星期日，99天后是星期幾？分析：一星期是7天，選用模m=7, 求99除以7的余數(shù)解：99（72）9，它的余數(shù)與29的余數(shù)相同，29（23）383（71）3它的余數(shù)與13相同，99天后是星期一。又解：設(shè)A表示A除以7的余數(shù)，99（72）92983（71）3131例2. 設(shè)n為正整數(shù)，求43 n+1 除以

4、9的余數(shù)。分析：設(shè)法把冪的底數(shù)化為9kr形式解：43 n+14×43n=4×(43)n=4×（64）n4×(9×71)n (9×71)n除以9的余數(shù)是1n=143 n+1 除以9的余數(shù)是4。例3. 求證三個(gè)連續(xù)整數(shù)的立方和是9的倍數(shù)解：設(shè)三個(gè)連續(xù)整數(shù)為n1,n,n+1M=(n1)3+n3+(n+1)3=3n(n2+2) 把整數(shù)n按模3，分為三類討論。當(dāng)n=3k （k為整數(shù)，下同）時(shí)，M3×3k(3k)2+2=9k(9k2+2)當(dāng)n=3k+1時(shí)，M3（3k+1）(3k+1)2+23（3k+1）(9k2+6k+3)=9(3k+1

5、)(3k2+2k+1)當(dāng)n=3k+2時(shí)，M3（3k+2）(3k+2)2+23（3k+2）(9k2+12k+6)9(3k+2)(3k2+4k+2)對(duì)任意整數(shù)n，M都是9的倍數(shù)。例4. 求證：方程x23y2=17沒有整數(shù)解證明：設(shè)整數(shù)x按模3分類討論，當(dāng)x3k時(shí)，（3k）23y2=17, 3(3k2y2)=17當(dāng)x=3k±1時(shí)，（3k±1）23y2=17 3(3k2±2ky2)=16由左邊的整數(shù)是3的倍數(shù)，而右邊的17和16都不是3的倍數(shù)，上述等式都不能成立，因此，方程x23y2=17沒有整數(shù)解例5. 求證：不論n取什么整數(shù)值，n2+n+1都不能被5整除證明：把n按模

6、5分類討論， 當(dāng)n=5k時(shí)，n2+n+1=(5k)2+5k+1=5(5k2+k)+1當(dāng)n=5k±1 時(shí)，n2+n+1（5k±1）25k±1125k2±10k+1+5k±115（5k2±2kk）2±1當(dāng)n=5k±2時(shí)，n2+n+1（5k±2）25k±2125k2±20k+4+5k±215（5k2±4k+k+1）±2綜上所述，不論n取什么整數(shù)值，n2+n+1都不能被5整除又證：n2+n+1n(n+1)+1 n(n+1)是兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的積，其個(gè)位數(shù)只能是0，2，

7、6n2+n+1的個(gè)位數(shù)只能是1，3，7，故都不能被5整除。【實(shí)戰(zhàn)模擬】1. 已知a=3k+1, b=3k+2, c=3k (a,b,c,k都是整數(shù))填寫表中各數(shù)除以3的余數(shù)。a+ba+cabac2a2ba2b2b3b5a+b)5 2. 376÷7的余數(shù)是3今天是星期日，第2天是星期一，那么第2111天是星期幾？4已知m,n都是正整數(shù)，求證：3nm(n2+2)5. 已知a是奇數(shù)但不是3的倍數(shù)，求證：24（a21）（提示a可表示為除以6余1或5，即a=6k±1）一二三四五123487659101112161514136 把正整數(shù)按表中的規(guī)律排下去，問100將排在哪一列？答：7

8、已知正整數(shù)n不是4的倍數(shù)求證：1n2n3n4n是10的倍數(shù)8. 任給5個(gè)整數(shù)，必能從中找到3個(gè)，其和能被10整除，這是為什么？9對(duì)任意兩個(gè)整數(shù)，它們的和、差、積中至少有一個(gè)是3的倍數(shù)，試說明理由。10任意10個(gè)整數(shù)中，必有兩個(gè),它們的差是9的倍數(shù)。這是為什么？如果改為任意n1個(gè)，則必有兩個(gè),它們的差是n的倍數(shù)，試說明理由。11.證明x2+y2-8z=6沒有整數(shù)解 12.從1開始的正整數(shù)依次寫下去，直到第198位為止即那么這個(gè)數(shù)用9除之，余數(shù)是練習(xí)2. 1 3. 日 4. 設(shè)n=3k, 3k+1, 3k-1討論 6. 100除以8余數(shù)為4，故在第五列7. 可列表說明n=4k+3,4k+2,4k+1,4k時(shí)，其和均為08.整數(shù)除以3，余數(shù)