1、22簡單的三角恒等變換導學目標： 1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟練應用.2.能運用兩角和與差的三角公式進行簡單的恒等變換自主梳理1二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2_；(2)cos 2_11_；(3)tan 2_ (且k)2公式的逆向變換及有關變形(1)sin cos _cos ；(2)降冪公式：sin2_，cos2_；升冪公式：1cos _，1cos _；變形：1±sin 2sin2cos2±2sin cos _.自我檢測1(·陜西)函數f(x)2sin xcos x是 ()a最小正周期為2的奇函數b最小正周期為2的偶函數c最小正周期為的

2、奇函數d最小正周期為的偶函數2函數f(x)cos 2x2sin x的最小值和最大值分別為 ()a3,1b2,2c3，d2，3函數f(x)sin xcos x的最小值是 ()a1bc.d14(·清遠月考)a、b為直角三角形的兩個銳角，那么sin a·sin b ()a有最大值，最小值0b有最小值，無最大值c既無最大值也無最小值d有最大值，無最小值探究點一三角函數式的化簡例1求函數y74sin xcos x4cos2x4cos4x的最大值和最小值變式遷移1(·泰安模擬)函數f(x).(1)求f的值；(2)當x時，求g(x)f(x)sin 2x的最大值和最小值探究點二三

3、角函數式的求值例2sin(2)·sin(2)，(，)，求2sin2tan 1的值變式遷移2(1)是第一象限角，且cos ，求的值(2)cos()，<，求cos(2)的值探究點三三角恒等式的證明例3(·蘇北四市模擬)sin(2)3sin ，設tan x，tan y，記yf(x)(1)求證：tan()2tan ；(2)求f(x)的解析表達式；(3)假設角是一個三角形的最小內角，試求函數f(x)的值域變式遷移3求證：.轉化與化歸思想的應用例(12分)(·江西)函數f(x)sin2xmsinsin.(1)當m0時，求f(x)在區間上的取值范圍；(2)當tan 2時，

4、f()，求m的值【答題模板】解(1)當m0時，f(x)sin2xsin2xsin xcos x，3分由x，得2x，4分所以sin，5分從而得f(x)的值域為.6分(2)f(x)sin2xsin xcos xcos 2xsin 2xcos 2xsin 2x(1m)cos 2x，8分由tan 2，得sin 2，cos 2.10分所以，11分解得m2.12分【突破思維障礙】三角函數式的化簡是指利用誘導公式、同角根本關系式、和與差的三角函數公式、二倍角公式等，將較復雜的三角函數式化得更簡潔、更清楚地顯示出式子的結果化簡三角函數式的根本要求是：(1)能求出數值的要求出數值；(2)使三角函數式的項數最少、

5、次數最低、角與函數的種類最少；(3)分式中的分母盡量不含根式等1求值中主要有三類求值問題：(1)“給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，從外表來看是很難的，但仔細觀察非特殊角與特殊角總有一定關系，解題時，要利用觀察得到的關系，結合公式轉化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數而得解(2)“給值求值：給出某些角的三角函數式的值，求另外一些角的三角函數值，解題關鍵在于“變角，使其角相同或具有某種關系(3)“給值求角：實質是轉化為“給值求值，關鍵也是變角，把所求角用含角的式子表示，由所得的函數值結合該函數的單調區間求得角2三角恒等變換的常用方法、技巧和原那么：(1)在化簡求值和證明時常用如下方法：切割化

6、弦法，升冪降冪法，和積互化法，輔助元素法，“1”的代換法等(2)常用的拆角、拼角技巧如：2()()，()，()，是的二倍角等(3)化繁為簡：變復角為單角，變不同角為同角，化非同名函數為同名函數，化高次為低次，化多項式為單項式，化無理式為有理式消除差異：消除與未知、條件與結論、左端與右端以及各項的次數、角、函數名稱、結構等方面的差異 (總分值：75分)一、選擇題(每題5分，共25分)1(·平頂山月考)0<<，3sin 2sin ，那么cos()等于 ()a.bc.d2tan()，tan，那么tan等于 ()a.b.c.d.3(·石家莊模擬)cos 2 (其中)，那

7、么sin 的值為 ()a.bc.d4假設f(x)2tan x，那么f的值為 ()ab8c4d4abc中，假設cos 2b3cos(ac)20，那么sin b的值是 ()a.b.c.d1題號12345答案二、填空題(每題4分，共12分)6(·全國)為第二象限的角，且sin ，那么tan 2_.7函數y2cos2xsin 2x的最小值是_8假設，那么cos sin 的值為_三、解答題(共38分)9(12分)化簡：(1)cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°；(2).10(12分)(·南京模擬)設函數f(x)sin xco

8、s xcos xsin.(1)求f(x)的最小正周期；(2)當時，求函數f(x)的最大值和最小值11(14分)(·北京)函數f(x)2cos 2xsin2x4cos x.(1)求f()的值；(2)求f(x)的最大值和最小值答案 自主梳理1(1)2sin cos (2)cos2sin22cos22sin2(3)2.(1)sin 2(2)2cos22sin2(sin ±cos )2自我檢測課堂活動區例1解題導引化簡的原那么是形式簡單，三角函數名稱盡量少，次數盡量低，最好不含分母，能求值的盡量求值此題要充分利用倍角公式進行降冪，利用配方變為復合函數，重視復合函數中間變量的范圍是關

9、鍵解y74sin xcos x4cos2x4cos4x72sin 2x4cos2x(1cos2x)72sin 2x4cos2xsin2x72sin 2xsin22x(1sin 2x)26，由于函數z(u1)26在1,1中的最大值為zmax(11)2610，最小值為zmin(11)266，故當sin 2x1時，y取得最大值10，當sin 2x1時，y取得最小值6.變式遷移1解(1)f(x)2cos 2x，f2cos2cos .(2)g(x)cos 2xsin 2xsin.x，2x，當x時，g(x)max，當x0時，g(x)min1.例2解題導引(1)這類問題一般是先化簡再求值；化簡后目標更明確；

10、(2)如果能從條件中求出特殊值，應轉化為特殊角，可簡化運算，對切函數通常化為弦函數解由sin(2)·sin(2)sin(2)·cos(2)sin(4)cos 4，cos 4，又(，)，故，2sin2tan 1cos 2cos 2cos.變式遷移2解(1)是第一象限角，cos ，sin .(2)cos(2)cos 2cossin 2sin(cos 2sin 2)，<，<.又cos()>0，故可知<<，sin()，從而cos 2sin(2)2sin()cos()2×()×.sin 2cos(2)12cos2()12×(

11、)2.cos(2)(cos 2sin 2)×().例3解題導引此題的關鍵是第(1)小題的恒等式證明，對于三角恒等式的證明，我們要注意觀察、分析條件恒等式與目標恒等式的異同，特別是分析和要求的角之間的關系，再分析函數名之間的關系，那么容易找到思路證明三角恒等式的實質就是消除等式兩邊的差異，有目的地化繁為簡，左右歸一或變更論證對于第(2)小題同樣要從角的關系入手，利用兩角和的正切公式可得關系第(3)小題那么利用根本不等式求解即可(1)證明由sin(2)3sin ，得sin()3sin()，即sin()cos cos()sin 3sin()cos 3cos()sin ，sin()cos 2

12、cos()sin ，tan()2tan .(2)解由(1)得2tan ，即2x，y，即f(x).(3)解角是一個三角形的最小內角，0<，0<x，設g(x)2x，那么g(x)2x2(當且僅當x時取“)故函數f(x)的值域為(0，變式遷移3證明因為左邊右邊所以原等式成立課后練習區1d0<<，3sin 2sin ，6sin cos sin ，又sin 0，cos ，cos()cos()cos .2c因為，所以().所以tantan.3bcos 212sin2，sin2.又，sin .4bf(x)2tan x2tan xf8.5c由cos 2b3cos(ac)20化簡變形，得2

13、cos2b3cos b10，cos b或cos b1(舍)sin b.6解析因為為第二象限的角，又sin ，所以cos ，tan ，所以tan 2.71解析y2cos2xsin 2xsin 2x1cos 2xsin 2xcos 2x1sin1，當sin(2x)1時，函數取得最小值1.8.解析(sin cos )，cos sin .9解(1)sin 22sin cos ，cos ，(2分)原式···.(6分)(2)原式(9分)tan4.(12分)10解f(x)sin xcos xcos xsinsin 2xcos 2x1sin1.(4分)(1)t，故f(x)的最小正周期為.(6分)(2)