1、、填空題1.用最速下降法求f (x )=100(x2 x1)+(1 x1)最優(yōu)解時(shí)，設(shè)x(0)= I-0.5,0.5 ,第一步迭代的搜索方向?yàn)?.機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)采用數(shù)學(xué)的規(guī)劃法，其核心一是最佳步長(zhǎng)，二是搜索方向。3.當(dāng)優(yōu)化問題是凸規(guī)劃的情況下,在任何局部最優(yōu)解就是全域最優(yōu)解。4.應(yīng)用外推法來確定搜索區(qū)間時(shí)，最后得到的三點(diǎn)，即為搜索區(qū)間的始點(diǎn)，中間點(diǎn)和終點(diǎn)，他們的函數(shù)值形 成趨勢(shì)高低高。5.包含n個(gè)設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化問題，稱為維優(yōu)化問題。6.7.與負(fù)梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值下降方向,與梯度成直角的方向?yàn)楹瘮?shù)值的不變方向。8.設(shè)G為nxn對(duì)稱正定矩陣，若 在共輾關(guān)系。n維空間中有兩個(gè)非零向量 d0, d

2、1,滿足(d0)Gd1=0,則d0, d1之間存9.設(shè)計(jì)變量，目標(biāo)函數(shù)，約束條件是優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型的基本要素。一、“，1 TT 函數(shù)一x Hx +B x+c的梯度為HX+B 。210.對(duì)于無約束二元函數(shù) f (x1，x2 ),若在x0 =(x12,x34 )點(diǎn)處取得極小值，其必要條件是套x0點(diǎn)的梯度為0,充分條件是生x0點(diǎn)的海賽矩陣正定。11.K-T條件可以敘述為在極值點(diǎn)處目標(biāo)函數(shù)的負(fù)梯度為起作用的各約束函數(shù)梯度的非負(fù)線性組合。12.用黃金分割法求一元函數(shù)消去后得到新區(qū)間f (x )=x2 10x+36的極值點(diǎn)，初始搜索區(qū)間Ia,b】= 10,10，經(jīng)第一次區(qū)間2.36 1013.14.

3、優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型的基本要素有設(shè)計(jì)變量，目標(biāo)函數(shù)，約束條件。牛頓法搜索方向dk = -(V2f (xk,Vf (xk ),其計(jì)算量 太,且要求初始在級(jí)極小點(diǎn) 附近位置。1,將函數(shù) f(X)=x i +X2 -x ix2-10x i-4x 2+60 表示成-xthx +btx +C 的形式 215 .存在矩陣H,向量d1 , d2,當(dāng)滿足diHcb=0向量d1和向量d2是關(guān)于H共二方向。16 .采用外點(diǎn)法求約束優(yōu)化問題時(shí)，將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為外點(diǎn)形式時(shí)引入的懲罰因子r數(shù)列，具有 單調(diào)遞垠_ 特點(diǎn)。17 .采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解多元函數(shù)極值點(diǎn)時(shí)，根據(jù)迭代公式需要進(jìn)行一維搜索，即求最佳步長(zhǎng)。18 .

4、對(duì)于一維搜索，搜索區(qū)間為 b,b】，中間插入兩個(gè)點(diǎn)a1 , n , a1cbi，計(jì)算出f (a)< f化)，則縮短后 的搜索區(qū)間為匕,片L19 .由于確定 搜索方向和最佳步長(zhǎng)的方法不一致,派生出不同的無約束優(yōu)化問題過程中，懲罰因子具體有j|T0變化規(guī)律。20 .尋出等式約束極值條件時(shí)，將等式優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束問題的方法有消元法和拉格朗日乘子法。21 .優(yōu)化問題中二元函數(shù)等值線，從外層向內(nèi)層函數(shù)值逐漸變生22 .優(yōu)化設(shè)計(jì)中，可行設(shè)計(jì)點(diǎn)為可行域內(nèi)的設(shè)計(jì)點(diǎn)。23 .方向倒數(shù)定義為函數(shù)在某點(diǎn)處沿某一方向的變化率。24 .設(shè)f(x)為定義在凸集R上具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則f(x )在R上為凸函

5、數(shù)充分必要條件是海賽矩陣G (X堆R上處處大于025 .在n維空間中互相共軻的非零向量是個(gè)數(shù)最多有口個(gè)。26 .約束優(yōu)化問題在 可行域內(nèi)對(duì)設(shè)計(jì)變量求目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)。27 .外點(diǎn)懲罰函數(shù)法的迭代過程在可行域外進(jìn)行，懲罰項(xiàng)的作用是迫使迭代點(diǎn)逼近邊界或等式約束曲面二、選擇題1 .下面 Cf法需要求海賽矩陣。2 .對(duì)于約束問題根據(jù)目標(biāo)函數(shù)等值線和約束曲線，判斷xC)=i,i為D , x2= I-,- 1為。,2 23 .內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)用于求解 B優(yōu)化問題。4 .拉格朗日乘子法師求解等式約束優(yōu)化問題的一種經(jīng)典法，它是一種 _D。5 .對(duì)于一維搜索，搜索區(qū)間為b,b,中間插入兩個(gè)點(diǎn)6,a1cbi，計(jì)算出f

6、 (a)< f (b ),則縮短后的搜索區(qū)間為 D。6 . D 不是優(yōu)化設(shè)計(jì)問題數(shù)學(xué)模型的基本要素。7 .變尺度發(fā)的迭代公式為xk41 =xk -akHf (xk ),下列不屬于Hk必須滿足的條件是 C。8 .函數(shù)f(x用某點(diǎn)的梯度方向?yàn)楹瘮?shù)在該點(diǎn)的A 。9 .下面四種無約束優(yōu)化方法中， D在構(gòu)成搜索方向時(shí)沒有使用到目標(biāo)函數(shù)的一階或二階導(dǎo)數(shù)。10 .設(shè)f(x)為定義在凸集 R上且具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則f(x )在R上為凸函數(shù)的充分必要條件是海賽矩陣G(x/R上處處_A。11 .通常情況下，下面四種算法中收斂速度最慢的是B。12 . 一維搜索試探方法中，黃金分割法比二次插值法的收斂速度

7、A 。13 .下列關(guān)于最常用的一維搜索試探方法黃金分割法的敘述，錯(cuò)誤的是C D,假設(shè)要求在區(qū)間Ia,bl插入兩點(diǎn) a1, a2, a1 < a2。14 .與梯度成銳角的方法為函數(shù)值A(chǔ) 方向,與負(fù)梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值_B_方向，與梯度成直角的方向?yàn)楹瘮?shù)值的C 方向。15 .二維目標(biāo)函數(shù)的無名束極小點(diǎn)就是 A 。16 .最速下降法相鄰兩搜索方向dk和dk+1必為向量 B。17 .下列關(guān)于共軻梯度法白敘述，錯(cuò)誤的是 A O18 .下列關(guān)于內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法的敘述，錯(cuò)誤的是A q19 .設(shè)f（X）是定義在凸集 D上具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則f（X ）在D上嚴(yán)格凸函數(shù)的充要條件是B:20 .下列幾

8、種無約束問題求解方法中，哪種算法需要計(jì)算海賽矩陣A 。21 .關(guān)于正交方向和共軻方向之間的關(guān)系，下列說法正確的是B。22 .多元函數(shù)的海賽矩陣是其 B_偏導(dǎo)數(shù)所形成的對(duì)稱矩陣。23 .關(guān)于變尺度優(yōu)化方法的變尺度矩陣Ak ,下列說法不正確的是 C。24 .關(guān)于梯度，下列說法不正確的是 B。25 .與梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值A(chǔ) 方向。三、判斷題1 .二元函數(shù)等值線密度的區(qū)域函數(shù)值變化慢。（x ）2 .海賽矩陣正定的充要條件是它的各階主子式都大于零。（，）3 .當(dāng)?shù)咏鼧O值點(diǎn)時(shí)，最速下降法會(huì)出現(xiàn)鋸齒現(xiàn)象，導(dǎo)致收斂速度慢。（，）4 .外點(diǎn)懲罰函數(shù)法的懲罰因子降低系數(shù)越小，則迭代次數(shù)越多。（，）5 .

9、梯度法求解無約束優(yōu)化問題的迭代過程中相鄰兩次迭代方向?qū)Ｙ惥仃嚬草V。（x ）6 .數(shù)值迭代法求極值的核心就是建立搜索方向和計(jì)算最佳步長(zhǎng)。（，）7 .海賽矩陣負(fù)定的充要條件是它的各階主子式都大于零。（x）8 .拉格朗日乘子法師求解無約束優(yōu)化問題的一種方法。（x ）9 .凸規(guī)劃的任何局部最優(yōu)解就是全局最優(yōu)解。（，）10 . 一維搜索的二次插值法用到了點(diǎn)的函數(shù)值，一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)信息。（x）11 .二元函數(shù)等值線稀疏的區(qū)域函數(shù)值變化慢。（，）12 .海賽矩陣正定的充要條件是它的主子式都小于零。（x）13 .外點(diǎn)懲罰函數(shù)法師只試用于不等式約束問題（x）14 .變尺度法求解優(yōu)化問題時(shí)需計(jì)算海賽矩陣（x

10、 ）15 .梯度法求解無約束優(yōu)化問題的迭代過程中相鄰兩次迭代方向相互垂直。（，） 四、問答題1 .什么是一維搜索問題？答：當(dāng)方向dk給定時(shí)，求最佳步長(zhǎng) 外就是求一元函數(shù)f（xk*）= f（xk+o（kdk）=平（%）的極值問題，它 稱為一維搜索。2 .試述兩種一維搜索方向的原理，它們之間有何區(qū)別？答：搜索的原理是：區(qū)間消去法原理區(qū)別：(1)、試探法：給定的規(guī)定來確定插入點(diǎn)的位置，此點(diǎn)的位置確定僅僅按照區(qū)間的縮短如何加快，而不顧及函數(shù)值的分布關(guān)系，如黃金分割法(2)、插值法：沒有函數(shù)表達(dá)式，可以根據(jù)這些點(diǎn)處的函數(shù)值，利用插值方法建立函數(shù)的某種近似表達(dá)式， 近而求出函數(shù)的極小點(diǎn)，并用它作為原來函數(shù)

11、的近似值。這種方法稱為插值法，又叫函數(shù)逼近法。3 .共軻梯度法是利用梯度求共軻方向的，那共軻方向與梯度之間有什么關(guān)系？1f X =XtGX bTX c kk對(duì)于二次函數(shù)，2,從X點(diǎn)出發(fā)，沿G的某一共軻方向d作一維搜索，到達(dá)ml.(x, ri,r2)= f (x) rj G(gj(x) rp H (hk(x)X 點(diǎn)，則X 點(diǎn)處的搜索方向d應(yīng)滿足j，yj T(d ) (gi-gk ) = °,即終點(diǎn)Xk與始點(diǎn)Xk的梯度之差gM1-gMf dk dj正交。3 .懲罰函數(shù)法求解約束優(yōu)化問題的基本原理是什么？答：懲罰函數(shù)求解約束優(yōu)化問題的基本原理是將約束優(yōu)化問題中的不等式和等式約束優(yōu)化函數(shù)經(jīng)過

12、加權(quán)轉(zhuǎn)化后，和原目標(biāo)函數(shù)結(jié)合成新的目標(biāo)函數(shù)-懲罰函數(shù)，即求解該新的目標(biāo)函數(shù)的無約束極小值，以期得到原問題的約束最優(yōu)解。4 .與最速下降法和牛頓法比較，試述變尺度法的特點(diǎn)。答：牛頓法對(duì)于二次正定函數(shù)只需作一次迭代就得到最優(yōu)解，特別是在極小點(diǎn)附近，收斂性很好、速度快， 而最速下降法在極小點(diǎn)附近收斂速度很差。但牛頓法也有缺點(diǎn)，它要求初始點(diǎn)在最優(yōu)點(diǎn)附近，否則牛頓法 不能保證其收斂，甚至也不是下降方向。因此，變尺度法就是在克服了梯度法收斂速度慢和牛頓法計(jì)算量、 存儲(chǔ)量大的特點(diǎn)基礎(chǔ)上而發(fā)展起來。6 .試述數(shù)值解法求最佳步長(zhǎng)因子的基本思路。答主要用數(shù)值解法，利用計(jì)算機(jī)通過反復(fù)迭代計(jì)算求得最佳步長(zhǎng)因子的近似值

13、.7 .寫出應(yīng)用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)值迭代公式，并說明公式中各變量的意義，并說明迭代公式 的意義。X1=x0+a0d0.答：意義是從 X0出發(fā)沿某一規(guī)定方向 do求函數(shù)的極值點(diǎn)，設(shè)此點(diǎn)為 X1,再從X1出發(fā)沿di方向求函數(shù) 的極值點(diǎn)X2,如此繼續(xù)。8 .變尺度矩陣的搜索方向是什么？變尺度矩陣應(yīng)滿足什么條件？變尺度矩陣在極小點(diǎn)處逼近什么矩陣？并 寫出其初始形式。答：搜索方向是擬牛頓方向S (0)=-A(0) f(X(k),條件：(1)為保證迭代公式具有下降的性質(zhì)，要求變尺度矩陣中的每一個(gè)矩陣都是對(duì)稱正定的。( 2)要求矩陣之間具有簡(jiǎn)單的形式 ：H-"Hk'Ek。(3)

14、 要求矩陣必須滿足擬牛頓條件。變尺度矩陣在極小點(diǎn)處逼近海塞矩陣的逆矩陣。初始形式Hk=I (單位矩陣)。9 .在變尺度法中，變尺度矩陣 H k為什么要求都是正定對(duì)稱的？T kT答：因?yàn)槿粢笏阉鞣较騞k 二一Hkgk為下降方向，即要求gkd<0,也就是gkHkgk10,這樣 gkHkgk >0,即Hk應(yīng)為對(duì)稱正定。10 .什么是共軻方向？滿足什么關(guān)系？共軻與正交是什么關(guān)系?答：共軻方向是若干個(gè)方向矢量組成的方向組，具有某種共同的性質(zhì)，之間存在特定的關(guān)系。存在矩陣H,T向量d1, d2 ,當(dāng)滿足di Hd2=0,向量d1和向量d2是關(guān)于H共軻方向。共軻是正交的推廣，正交是共軻 的特例

15、。11 .請(qǐng)寫出應(yīng)用MATLA就化工具箱處理約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的基本步驟。答：(1)編寫定義目標(biāo)函數(shù)的 M-件如：function f =ws331(x)f=1000-x(1)A2-2*x(2)A2-x(3)A2-x(1)*x(2)-x(1)*x(3)(2)編寫定義約束方程函數(shù)的M-件如：function c,ceq =ws332(x)C (小于等于 0) =-x(1);-x(2);-x(3);Ceq (等于 0) =x(1)A2+x(2)A2+x(3)A2-25;8*x(1)+14*x(2)+7*x(3)-56;(3)在窗口調(diào)用求解命令求解.o求解格式為：x0=-1,1x, fval=fmin

16、con(fun1 ,x0,con)12.試述求解無約束優(yōu)化問題的最速下降法與牛頓型方法的優(yōu)缺點(diǎn)。答：最速下降法此法優(yōu)點(diǎn)是直接、簡(jiǎn)單，頭幾步下降速度快。缺點(diǎn)是收斂速度慢，越到后面收斂越慢。牛 頓法優(yōu)點(diǎn)是收斂比較快，對(duì)二次函數(shù)具有二次收斂性。缺點(diǎn)是每次迭代需要求海塞矩陣及其逆矩陣，維數(shù) 高時(shí)及數(shù)量比較大。13 .何為優(yōu)化設(shè)計(jì)的可行設(shè)計(jì)域和可行設(shè)計(jì)點(diǎn)？答：可行域：滿足所有約束條件的設(shè)計(jì)點(diǎn)，它在設(shè)計(jì)空間中的活動(dòng)范圍稱作可行域。在可行域內(nèi)的任意一點(diǎn) 可以叫做可行設(shè)計(jì)點(diǎn)。14 .無約束優(yōu)化問題數(shù)值求解的一般步驟是什么？答：(1)編寫 M-件，function f =fun1(x)如 f=xA4-5*xA3

17、+4*xA2-6*x+60目標(biāo)函數(shù)文件。(2)在命令窗口中調(diào)用無約束線性函數(shù)fminunc求解。(單變量用 fminbnd )求解格式為：x0=-1,1x, fval=fminunc(fun1,x0)五、解答題1 .試用牛屯法求f (x) = (x1 -2 f +(x1 -2x2 2的最優(yōu)解，設(shè)初始點(diǎn)/)=12,1/。2 .設(shè)有函數(shù)f (X )=x： +2x2 -2x1x2 -4x1,試?yán)脴O值條件求其極值點(diǎn)和極值。3 .試用梯度法求目標(biāo)函數(shù) f (X )=1.5x；+0.5x2 x1x2 -2x1的最優(yōu)解，設(shè)初始點(diǎn)x(°)= 2,4廣，迭代 精度6=0.02 (迭代一步)。4 .求目標(biāo)函數(shù)f(X )=x； +2x； +x& +4% +6x2 +10的極值和極值點(diǎn)。5 .試證明函數(shù)f (X )=2x；+5x；+x2 +2x3x2+2乂3為6x2 +3在點(diǎn)11,1,21T處具有極小值。6 .設(shè)非線性規(guī)劃問題用K-T條件驗(yàn)證xd)= 1,0 T為其約束最優(yōu)點(diǎn)。7 .給定約束優(yōu)化問題驗(yàn)證在點(diǎn)x = b