1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第三章 三角函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用三角學(xué)的發(fā)展，由起源迄今差不多經(jīng)歷了三四千年之久，在古代，由于古代天文學(xué)的需要，為了計算某些天體的運(yùn)行行程問題，需要解一些球面三角形，在解球面三角形時，往往把解球面三角形的問題歸結(jié)成解平面三角形，這些問題的積累便形成了所謂古代球面三角學(xué)古代平面三角學(xué)；雖然古代球面三角學(xué)的發(fā)展早于古代平面三角學(xué)，但古代平面三角學(xué)卻是古代球面三角學(xué)的發(fā)展基礎(chǔ)。三角函數(shù)在數(shù)學(xué)中屬于初等函數(shù)里的超越函數(shù)的一類函數(shù)。它們本質(zhì)上是任意角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。由于三角函數(shù)具有周期性，所以并不具有單射函數(shù)意義上的反函數(shù)。三角函數(shù)在復(fù)數(shù)中有重要的應(yīng)用

2、，在物理學(xué)中也是常用的工具。由于三角函數(shù)的周期性，它并不具有單值函數(shù)意義上的反函數(shù)。三角函數(shù)在復(fù)數(shù)中有較為重要的應(yīng)用。在物理學(xué)中，三角函數(shù)也是常用的工具。 在實(shí)際生活中，有許多周期現(xiàn)象可以用三角函數(shù)來模擬，如物理中簡諧振動、交流電中的電流、潮汐等，都可以建立三角函數(shù)的模型利用三角函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)問題；很多最值問題都可以轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)來解決，如天氣預(yù)報、建筑設(shè)計、航海、測量、國防中都能找到神奇的三角函數(shù)的影子。因而三角函數(shù)解決實(shí)際問題應(yīng)用極廣、滲透能力很強(qiáng)。停車場設(shè)計問題如圖ABCD是一塊邊長為100m的正方形地皮，其中ATPN是一半徑為90m的扇形小山，P是弧TN上一點(diǎn)，其余部分都是平地，現(xiàn)

3、一開發(fā)商想在平地上建造一個有邊落在上的長方形停車場，求長方形停車場面積的最大值和最小值。分析：矩形的面積顯然跟的位置有關(guān)，連，延長若直接設(shè)，則,在中， ，從而得， ）·x，雖然可以得出函數(shù)關(guān)系，但是求解面積的最值比較復(fù)雜。不妨以角為變量建立函數(shù)關(guān)系。解：如上添加輔助線，設(shè)，則,，設(shè)，則。代入化簡得故當(dāng)時，；當(dāng)時， (m2)通訊電纜鋪設(shè)問題 ACDB如圖，一條河寬km，兩岸各有一座城市的直線距離是4km，今需鋪設(shè)一條電纜連與，已知地下電纜的修建費(fèi)是2萬元/km，水下電纜的修建費(fèi)是4萬元/km，假定河岸是平行的直線（沒有彎曲），問應(yīng)如何鋪設(shè)方可使總施工費(fèi)用達(dá)到最少？分析：設(shè)電纜為時費(fèi)用最

4、少，因?yàn)楹訉挒槎ㄖ?，為了表示的長，不妨設(shè)解：設(shè)，則, 總費(fèi)用為=問題轉(zhuǎn)化為求的最小值及相應(yīng)的值，而表示點(diǎn)與點(diǎn)斜率的2倍，有圖可得在單位圓周上運(yùn)動，當(dāng)直線與圓弧切于點(diǎn)時，u取到最小值。此時， ， 。 即水下電纜應(yīng)從距B城（）km處向城鋪設(shè)，圖三因此此時總費(fèi)用達(dá)最小值2+2（萬元）。注：本題在求u的最小值時，除了利用數(shù)結(jié)合的方法外，還可以利用三角函數(shù)的有界性等方法。探索與思考：1. 你能用其他方法解決上述兩個實(shí)際問題嗎？2. 通過兩個例子你能體會三角函數(shù)在生活中應(yīng)用之大，從而體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義了嗎？食品包裝問題 某糖果廠為了拓寬其產(chǎn)品的銷售市場，決定對一種半徑為1的糖果的外層包裝進(jìn)行設(shè)計。設(shè)計時要

5、求同時滿足如下條件：PABCO（1）外包裝要呈一封閉的圓錐形狀；（2）為減少包裝成本，要求所用材料最?。唬?）為了方便攜帶，包裝后每個糖果的體積最小。問：這些條件能同時滿足嗎？如果能，如何設(shè)計這個圓錐的底面半徑和高？此時所用的外包裝用料是多少？體積是多少？若不能，請說明理由。分析：要求該圓錐的全面積和體積，需要知道它的下底面半徑AC、母線PA及高PC，這些變量之間的關(guān)系可以通過一個“角”把它們聯(lián)系起來。解：如圖，設(shè)，則，下底面半徑,母線長，高則 (+1)=; = 當(dāng)且僅當(dāng),即時，能使和同時取到最小值，此時，即當(dāng)圓錐的下底面半徑和高分別為、2時能同時滿足條件，外包裝用料是，體積是。營救區(qū)域規(guī)劃問

6、題如圖，在南北方向直線延伸的湖岸上有一港口A，一機(jī)艇以60km/h的速度從A出發(fā)，30分鐘后因故障而停在湖里，已知機(jī)艇出發(fā)后先按直線前進(jìn)，以后又改成正東，但不知最初的方向和何時改變方向。如何去營救，用圖示表示營救的區(qū)域。分析：1.要表示出一個區(qū)域，一般可在直角坐標(biāo)系中表示，所以應(yīng)首先建立直角坐標(biāo)系；2.題中涉及到方向問題，所以不妨用方向角作為變量來求解。解：以A為原點(diǎn)，過A的南北方向直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，如圖：設(shè)機(jī)艇的最初航向的方位角為，設(shè)OP方向前進(jìn)m到達(dá)點(diǎn)P，然后向東前進(jìn)n到達(dá)點(diǎn)Q發(fā)生故障而拋錨。則,令點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，則 機(jī)艇中途東拐，又 滿足不等式組和的點(diǎn)所在的區(qū)域，按對稱性知上圖陰影

7、區(qū)域所示。探索與思考：1.你能用其他方法解決上述兩個實(shí)際問題嗎？2.通過兩個例子你能體會三角函數(shù)在生活中應(yīng)用之大，從而體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義了嗎？足球射門問題 GEPCFBAD在訓(xùn)練課上，教練問左前鋒，若你得球后，沿平行于邊線的直線助攻到前場（如圖，設(shè)球門寬米，球門柱到的距離米），那么你推進(jìn)到距底線多少米時，為射門的最佳位置？（即射門角最大時為射門的最佳位置）？請你幫助左前鋒回答上述問題。分析：本題中要求射門的最佳位置，題目中已對題意進(jìn)行了明確，即只要當(dāng)射門角最大時為最佳位置。所以設(shè)角后“求解角”的過程是本題的關(guān)鍵。若直接在非特殊中利用邊來求的最值，顯得比較繁瑣，注意到，而后兩者都在中，故可應(yīng)用直

8、角三角形的性質(zhì)求解。 解：如圖，設(shè)，, , =。若令，則=，當(dāng),即時，取到最小值，從而可知時，取得最大值，即時，有最大值。故當(dāng)點(diǎn)距底線為米時，為射門的最佳位置。依圖像知，在白天的915時這個時間段可供沖浪愛好者進(jìn)行沖浪運(yùn)動。點(diǎn)評：本例一開始也可直接建立余弦函數(shù)模型。另外，模擬漢書中的少數(shù)點(diǎn)有誤差是允許的。最值問題三角函數(shù)的最值問題不僅與三角自身的所有基礎(chǔ)知識密切相關(guān),而且與代數(shù)中的二次函數(shù)、一元二次方程、不等式及某些幾何知識的聯(lián)系也很密切。因此,三角函數(shù)的最值問題的求解,不僅需要用到三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、圖象以及三角函數(shù)的恒等變形,還經(jīng)常涉及到函數(shù)、不等式、方程以及幾何計算等眾多知識

9、。這類問題往往概念性較強(qiáng),具有一定的綜合性和靈活性。 如圖， 其中 是一半徑為的扇形小山，其余部分都是平地。一開發(fā)商想在平地上建一個矩形停車場，使矩形的一個頂點(diǎn)在弧上，相鄰兩邊落在正方形的邊上，求矩形停車場面積的最大值和最小值。解：設(shè), ,延長，易得， ，從而令 ，則，故當(dāng)時，有最小值；當(dāng)時，有最大值思維點(diǎn)拔引進(jìn)變量建立面積函數(shù)后，問題轉(zhuǎn)化為求解三角函數(shù)的最值問題.一條河寬1km，兩岸各有一座城鎮(zhèn)和的直線距離是4km，僅需在間鋪設(shè)一條電纜。已知地下電纜的修建費(fèi)是2萬元/km，水下電纜的修建費(fèi)是2萬元/km。假設(shè)河的兩岸呈平行線狀，那么如何鋪設(shè)電纜方可使總是費(fèi)用達(dá)到最少？A CDB 圖九 解：如

10、圖所示，設(shè)過點(diǎn)作對岸的垂線，垂足為,若從到的線路鋪設(shè)電纜，雖然最短，但陸上線路太長并不合算。設(shè)在之間取一點(diǎn), 則,依題意知總施工費(fèi)用y(萬元)的函數(shù)關(guān)系式為 令，則有 （1） 即先從鎮(zhèn)沿河岸鋪設(shè)地下電纜至距離鎮(zhèn)km,處的點(diǎn),再從點(diǎn)向鎮(zhèn)鋪設(shè)水下電纜，可使得總施工費(fèi)用最少，約為11.2萬元。把一段半徑為R的圓木，鋸成橫截面為矩形的木料，怎樣鋸法，才能使橫截面積最大？ABCDO分析：如圖所示： 設(shè)，則當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，所以在圓木的橫截面上截取內(nèi)接正方形時，才能使橫截面積最大。生活中的實(shí)際問題：在這里提供這樣一個生活中的問題，看看它們與三角函數(shù)的聯(lián)系。（讓學(xué)生探究解決）在一住宅小區(qū)里，有一塊空地，這塊

11、空地可能有這樣三種情況：（1）是半徑為10米的半圓；（2）是半徑為10米，圓心角為的扇形；（3）是半徑為10米，圓心角為的扇形；現(xiàn)要在這塊空地里種植一塊矩形的草皮，使得其一邊在半徑上，應(yīng)如何設(shè)計，使得此草皮面積最大？并求出面積的最大值。分析1：第一種情況，如圖所示：連結(jié)，設(shè)，則， ADBFECO這時 此時，點(diǎn)A、D分別位于點(diǎn)O的左右方處時S取得最大值100。ADBFECO分析2：第二種情況，連結(jié)OC，設(shè)，則， 當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，ADBECO分析3：如圖所示：連結(jié)設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，學(xué)生發(fā)言完畢，老師總結(jié)，將每個同學(xué)的發(fā)言簡單整理；引導(dǎo)學(xué)生分析此題與引例中的題的聯(lián)系。試試身手：(看誰做得快

12、又準(zhǔn)確) 下表是某地一年中10天測量的白晝時間統(tǒng)計表（時間近似到0.1小時）日期1月1日2月28日3月21日4月27日5月6日6月21日8月13日9月20日10月25日12月21日日期位置序號x15980117126172225263298355白晝時間y（小時）5.610.212.416.417.319.416.412.48.55.4（I）以日期在365天中的位置序號x為橫坐標(biāo)，白晝時間y為縱坐標(biāo)，在給定坐標(biāo)系中畫出這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖； （）試選用一個形如的函數(shù)來近似描述一年中白晝時間y與日期位置序號x之間的函數(shù)關(guān)系.注：求出所選用的函數(shù)關(guān)系式；一年按365天計算 （）用（）中的函數(shù)模型估計該

13、地一年中大約有多少天白晝時間大于15.9小時. 解：（I）畫散點(diǎn)圖見下面.（）由散點(diǎn)圖知白晝時間與日期序號之間的函數(shù)關(guān)系近似為，由圖形知函數(shù)的最大值為19.4，最小值為5.4，即，由19.45.4=14，得A=7；由19.4+5.4=24.8，得t=12.4；又T=365，（） 該地大約有121天（或122天）白晝時間大于15.9小時.小結(jié)： 通過我們的研究，我們深深地體會到，身邊就有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)就在身邊，在以后的學(xué)習(xí)過程中，只要我們勇于探索，有些同學(xué)可能會成為真正的發(fā)明家、創(chuàng)造者，我們現(xiàn)在的研究讓它作為一個奠基，通過我們的研究開拓思路，為將來成為一名數(shù)學(xué)家、發(fā)明家創(chuàng)造良好的條件?？傊?，設(shè)“角”求解的應(yīng)用題