1、學習-好資料圓錐曲線的方程與性質1.橢圓（1）橢圓概念平面內與兩個定點 FF2的距離的和等于常數 2a （大于IF1F2I）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離 2c叫橢圓的焦距。若 M為橢圓上任意一點，則有| MF1 |十|MF2 |=2a。2222xyyx橢圓的標傕萬程為：3+彳=1 （abA0）（焦點在x軸上）或/2 + =1 （aAb0）（焦點在y軸abab上）。注：以上方程中a,b的大小a>b>0,其中b2 =a2 c2；2222-xyyx22在=十-=1和 +=1兩個方程中都有 a >b>0的條件，要分清焦點的位置，只要看x和y的分a

2、bab22母的大小。例如橢圓 x-+2-=1（m>0, n >0 , m=n ）當m An時表示焦點在x軸上的橢圓；當 men時 m n表示焦點在y軸上的橢圓。（2）橢圓的性質x2 y2范圍：由標傕萬程 -7+22 = 1知|x|Ma , | y|Mb ,說明橢圓位于直線 x = ±a, y=±b所圍成的矩形里； a b對稱性：在曲線方程里，若以-y代替y方程不變，所以若點（x,y）在曲線上時，點（x,-y）也在曲線上，所以曲線關于x軸對稱，同理，以 -x代替-方程不變，則曲線關于 y軸對稱。若同時以 -x代替x, -y代替y方程也不變，則曲線關于原點對稱。所以

3、，橢圓關于-軸、y軸和原點對稱。這時，坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是對稱中心，橢圓的對稱中心叫橢圓的中心；頂點：確定曲線在坐標系中的位置，常需要求出曲線與-軸、y軸的交點坐標。在橢圓的標準方程中，令x=0,得y =±b ,則BK0, b） , B2（0,b）是橢圓與y軸的兩個交點。同理令 y =0得x = ±a ,即A（a,0）,A2（a,0）是橢圓與-軸的兩個交點。所以，橢圓與坐標軸的交點有四個，這四個交點叫做橢圓的頂點。同時，線段 AA2、B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為2a和2b, a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。由橢圓的對稱性知：橢圓的短軸端點

4、到焦點的距離為a ;在RtAOB2F2中，|OB2 |=b , |OF2 |= c , | B2F2 |=a ,且 |OF2 |2 4 B2F2 |2 -|OB2 |2 ,即 c2 =a2 -b2 ；c離心率：橢圓的焦距與長軸的比 e =叫橢圓的離心率。a aca0,0<ec1,且e越接近1, c就a越接近a,從而b就越小，對應的橢圓越扁；反之， e越接近于0, c就越接近于0,從而b越接近于a ,這時 橢圓越接近于圓。當且僅當 a=b時，c = 0,兩焦點重合，圖形變為圓，方程為x2 + y2=a2。2.雙曲線(1)雙曲線的概念平面上與兩點距離的差的絕對值為非零常數的動點軌跡是雙曲線(

5、| PF1 | -1 PF2 |= 2a )。注意：式中是差的絕對值，在0 <2a <| F1F2 |條件下；|PF1 | | PF2 |=2a時為雙曲線的一支； |PF21 T PF1 | = 2a時為雙曲線的另一支(含 F1的一支)；當2a =| F1F21時，|PF11 |PF21|= 2a表示兩條射 線；當2a>|FiF2|時，|PFi | |PF2|二2a不表示任何圖形；兩定點 Fi, F2叫做雙曲線的焦點， 尸尸21叫做 焦距。(2)雙曲線的性質22范圍：從標準方程 三_ =1 ,看出曲線在坐標系中的范圍：雙曲線在兩條直線x = ±a的外側。即a2 b2

6、2 .2. x >a , x之a即雙曲線在兩條直線 x = ±a的外側。22對稱性：雙曲線 二-J=1關于每個坐標軸和原點都是對稱的，這時，坐標軸是雙曲線的對稱軸，原點 a b 22是雙曲線 -4 = 1的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心。 a b22頂點：雙曲線和對稱軸的交點叫做雙曲線的頂點。在雙曲線，4=1的方程里，對稱軸是 x,y軸，所a b22以令y =0得x =±a ,因此雙曲線和x軸有兩個交點 A (a,0)A2(a,0),他們是雙曲線 % = 1的頂點。 a b令x =0,沒有實根，因此雙曲線和 y軸沒有交點。1）注意：雙曲線的頂點只有兩個，這

7、是與橢圓不同的（橢圓有四個頂點），雙曲線的頂點分別是實軸的兩個端點。2）實軸：線段 A A2叫做雙曲線的實軸，它的長等于2a,a叫做雙曲線的實半軸長。虛軸：線段 B B?叫做雙曲線的虛軸，它的長等于 2b,b叫做雙曲線的虛半軸長。漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從22圖上看，雙曲線 與與=1的各支向外延伸時，與這兩條直線逐漸接近。 a b等軸雙曲線：1）定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：a = b；2）等軸雙曲線的性質：（1）漸近線方程為：y = ±x ；（2）漸近線互相垂直。注意以上幾個性質與定義式彼此等價。

8、亦即若題目中出現上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時其 他幾個亦成立。223）注意到等軸雙曲線的特征 a =b,則等軸雙曲線可以設為：x -y （九#0），當兒0時交點在x軸, 當九0時焦點在y軸上。2222、一 xy- y x注意 =1與匚 =1的區別：三個量a,b,c中a,b不同（互換）c相同，還有焦點所在的坐標 16 99 16軸也變了。3.拋物線（1）拋物線的概念平面內與一定點 F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線（定點F不在定直線l上）。定點F叫做拋物線的焦點，定直線 l叫做拋物線的準線。方程y2 =2 px （p 0 ）叫做拋物線的標準方程。注意：它表示的拋物線的焦

9、點在x軸的正半軸上，焦點坐標是F （衛，0）,它的準線方程是 x = -:22（2）拋物線的性質一條拋物線，由于它在坐標系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標準方程還有其他幾種形式：y2 = -2px, x2 =2py , x2 = -2py.這四種拋物線的圖形、標準方程、焦點坐標以及準線方程如下表：標準方程y2 =2px (p>0) yy2 = -2 px (p>0)x2 ;(p： y= 2py>0)x2 = -2 py (p>0)圖形l一to(F分A口三luxK焦點坐標(-,0)2p (4,0)p (0,7)2p（。二）準線方程x = -E2x，

10、2Ty4范圍x >0x <0y至0y < 0對稱性x軸x軸y軸y軸頂點(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)離心率e = 1e = 1e = 1e = 1說明：（1）通徑：過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通徑；（2）拋物線的幾何性質的特點：有一個頂點，一個焦點，一條準線，一條對稱軸，無對稱中心，沒有漸近線；（3）注意強調p的幾何意義：是焦點到準線的距離。4.高考數學圓錐曲線部分知識點梳理一、方程的曲線：在平面直角坐標系中，如果某曲線C（看作適合某種條件的點的集合或軌跡）上的點與一個二元方程 f（x,y）=0 的實數解建立了如下的關系：（1）曲線上的點的坐標都是這個方程的

11、解；（2）以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點，那么這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線。點與曲線的關系：若曲線C的方程是f（x,y）=0 ,則點P0（x 0,y 0）在曲線C上仁f（x 0,y 0）=0；點P0（x 0,y 0）不在曲線C 上 U f（x 0,y 0）豐 0。兩條曲線的交點：若曲線Ci, C2的方程分別為fi（x,y）=0,f 2（x,y）=0,則點P°（x °,y。）是C, G的交點。 f1（x0,y0） 二0方程組有n個不同的實數解，兩條曲線就有n個不同的交點；方程組沒有實數解，曲線就沒f2（x0,y0）=0有交點。二、圓:1、定義：點集

12、M| | OM| 二r,其中定點。為圓心，定長r為半徑.2、方程：（1）標準方程：圓心在 c（a,b）,半徑為r的圓方程是（x-a） 2+（y-b） 2=r2圓心在坐標原點，半徑為r的圓方程是x2+y2=r2(2) 一般方程：當 D2+E2-4F>0時，一元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程，圓心為(_D,_E)半徑22O O ccDeE2- 2是 Jd 2 +E24F 。配萬，將萬程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 化為(x+一)2+(y+_) 2=D + E- 4F2224當D2+E2-4F=0時，方程表示一個點(-D,- E);22當D2+E2-4FV0時，方

13、程不表示任何圖形 .(3)點與圓的位置關系已知圓心C(a,b),半徑為r,點M的坐標為(x 0,y 0),則| MC| < ry 點M在圓C內，|MCI =ru 點 M在圓 C上，I MCI >ry 點 M 在圓 C內，其中 I MCI = v；(x0 - a)2 + (y0 -b)2 o(4)直線和圓的位置關系：直線和圓有相交、相切、相離三種位置關系：直線與圓相交之有兩個公共點；直線與圓相切-有一個公共點；直線與圓相離 之 沒有公共點。直線和圓的位置關系的判定：(i)判別式法；(ii)利用圓心C(a,b)至U直線Ax+By+C=0的距離d =Aa+Bb + C% A2 B2與半徑

14、r的大小關系來判定。三、圓錐曲線的統一定義:平面內的動點 P(x,y)到一個定點F(c,0)的距離與到不通過這個定點的一條定直線l的距離之比是一個常數e(e>0),則動點的軌跡叫做圓錐曲線。其中定點 F(c,0)稱為焦點，定直線l稱為準線，正常數 e稱為離心率。當0 < e<1時，軌跡為橢圓；當 e=1時，軌跡為拋物線；當 e>1時，軌跡為雙曲線。四、橢圓、雙曲線、拋物線:橢圓雙曲線拋物線定義1.到兩定點F1,F2的距離之和為定值2a(2a>|F同)的 點的軌跡1 .到兩定點Fi,F 2的距離之差的 絕對值為定值2a(0<2a<|F尼|) 的點的軌跡2

15、 .與定點和直線的距離之比為 定值e的點的軌跡.(e>1)與定點和直線的距離相等的2.與定點和直線的距離之 比為定值e的點的軌跡.(0<e<1)點的軌跡.軌跡條件點集：（M I=2a, I FI MF+ | MF | 1F2 | v 2a.點集：M I=± 2a,MF | - | MF| . F2F2 | > 2a.點集M |線I MF| 二點M到直 l的距離.ijr.rE1圖形M aK-XAJ于nrr1n方程標準 方程22x yf + 4- = 1( a > b >0)a2 b222xy.F 2T =1(a>0,b>0) aby2 =

16、 2 px參數 方程：x = acos 日 i y = bsinH （參數e為離心角）：x = asecQ :y = btan日（滲數8為離心角）22 .2一河(t)、y = 2pt范圍a<x<a,b'幼|x| > a , yRx>0中心原點O (0, 0)原點O (0, 0)頂點(a,0), (a,0),(0,b) , (0,b)(a,0), (a,0)(0,0)對稱軸x軸，y軸；長軸長2a,短軸長2bx軸，y軸； 實軸長2a,虛軸長2b.x軸焦點Fi(c,0), F 2( c,0)Fi(c,0), F2(c,0)f(7，0) 2準線2* a x= ±

17、;c準線垂直于長軸，且在橢圓外.2* a x=± c準線垂直于實軸，且在兩頂點的 內側.x=衛 x2準線與焦點位于頂點兩側，且到頂點的距離相等.焦距一，/ 2 ,22c(c=寸a -b)2c (c= V a2 + b2 )離心率ce = (0 < e <1) ae = ' (e a1) ae=1【備注1】雙曲線:等軸雙曲線：雙曲線x2-y2 = ±a2稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為y=±x,離心率e=石.22共軻雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸， 實軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軻雙曲線 .224=九與 a b2222x2 。= T互為共

18、軻雙曲線，它們具有共同的漸近線：' 4 =0.a2 b2a2 b22222共漸近線的雙曲線系方程:2它的雙曲線方程可設為3a=-4 二九(九#。)的漸近線方程為 二二=。如果雙曲線的漸近線為 X±y=om, a2 b2a2 b2a -b24 = ( =0).b【備注2】拋物線：(1)拋物線y2=2px(p>0)的焦點坐標是(B,0),準線方程x=-,開口向右；拋物線 y2 =-2px(p>0)的焦點坐 22標是(-£,0),準線方程x=E,開口向左；拋物線 x2=2py(p>0)的焦點坐標是(0,),準線方程y=-,開2222口向上；拋物線x2=-

19、2py (p>0)的焦點坐標是(0,-),準線方程y=,開口向下. 222p2(2)拋物線y =2px(p>0)上的點M(x0,y0)與焦點F的距離 MF =x0+上；拋物線y =-2px(p>0)上的點M(x0,y0) 2與焦點F的距離MF =-p-x02(3)設拋物線的標準方程為y2 =2px(p>0),則拋物線的焦點到其頂點的距離為-,頂點到準線的距離 p ,焦點22到準線的距離為 p.(4)已知過拋物線y2=2px(p>0)焦點的直線交拋物線于A、B兩點，則線段AB稱為焦點弦，設A(x1,y1),B(x2,y2) . .一 2p 2則弦長 AB =xi +

20、x2 +p或 AB =(“為直線 AB的傾斜角),y1y2 = p , x1x2 = sin a叫做焦半徑).五、坐標的變換:(1)坐標變換：在解析幾何中，把坐標系的變換(如改變坐標系原點的位置或坐標軸的方向)叫做坐標變換.實施坐標變換時，點的位置，曲線的形狀、大小、位置都不改變，僅僅只改變點的坐標與曲線的方程(2)坐標軸的平移：坐標軸的方向和長度單位不改變，只改變原點的位置，這種坐標系的變換叫做坐標軸的平移，簡稱移軸。x = x' h x'= x - h 或y = y'k y'=y-k(3)坐標軸的平移公式：設平面內任意一點M,它在原坐標系xOy中的坐標是(x

21、,y),在新坐標深x ' O' y中的坐標是(x , y ).設新坐標系的原點叫做平移(或移軸)公式.(4)中心或頂點在(h,k)的圓錐曲線方程見下表:方程焦點焦線對稱軸橢圓(x-h)22 a+3=1 b2(± c+h,k)2x= ± +h cx=h y=k22(x-h) +(y-k) 一 + -|b2a2(h, ± c+k)2 y=±-a_+k cx=h y=k雙曲線(x-h)2 (y-k)2 ,12.21ab(± c+h,k)2x=± +k cx=h y=k(y-k)2 (x-h)2_1 2,2ab(h, 

22、7; c+h)2 y=±-a_+k cx=h y=k拋物線(y-k) 2=2p(x-h)(+h,k)2x= - +hy=k(y-k) 2=-2p(x-h)(-p +h,k)x= +hy=k(x-h) 2=2p(y-k)(h,-p +k)y= - +kx=h(x-h) 2=-2p(y-k)(h,-p +k)y= +kx=h六、橢圓的常用結論：1 . 點P處的切線 PT平分 PF1F2在點P處的外角.2 .PT平分 PF1F2在點P處的外角，則焦點在直線 PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.3 .以焦點弦PQ為直徑的圓必與又應準線相離.4 .以焦點半徑PF1為直

23、徑的圓必與以長軸為直徑的圓內切225.若Po(Xo,yo)在橢圓 + *=1上，則過P0的橢圓的切線方程是 -2". 2 = 1 .a ba b226.若Po(Xo,yo)在橢圓 '十*=1外，則過P0作橢圓的兩條切線切點為Pi、則切點弦PR的直線方程是a b泌©2.2.a b227.橢圓1+七=1 (a >b>0)的左右焦點分別為 F, F2,點P為橢圓上任意一點/FPF2=¥,則橢圓的焦點 a b2角形的面積為5占F七=b tan-.x2y2.8 . 橢圓+22=1 (a>b>0)的焦半徑公式a2b2|MFi| = a exo,

24、 |MF2| = a -e%（ Fi（-c,0） , F2（c,0） M（Xo,y°）.9 .設過橢圓焦點F作直線與橢圓相交 P、Q兩點，A為橢圓長軸上一個頂點，連結AP和AQ分別交相應于焦點F的橢圓準線于 M N兩點，則 MFL NF.10 .過橢圓一個焦點F的直線與橢圓交于兩點P、Q, Ai、A2為橢圓長軸上的頂點，AiP和A2Q交于點M,A2P和AiQ交于點N,則MFL NF.22211 . AB是橢圓 勺+與=1的不平行于對稱軸的弦，M（X0,yo）為AB的中點，則koM kAB=by,即a baKb%K AB 2a V。222212.若P0（X0,y0）在橢圓xy+4=1內

25、，則被Po所平分的中點弦的方程是 筆+岑=空+駕； a ba b a b【推論】:2222221、若P0（X0,y0）在橢圓與+4=1內，則過P。的弦中點的軌跡方程是 與+占=W+/。橢圓當+當=1 a ba b a b a bPi及時AP與A2P2交點的軌跡方程（a>b>。）的兩個頂點為 A1（-a,0） , A2（a,0）,與y軸平行的直線交橢圓于2b2=1.日X-a22x y2、過橢圓 7+ 3=1 （a >0, b >0）上任一點A（X0,y0）任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于B,C兩點，則直a b線BC有定向且kBC =器（常數）.a V。223、若P為橢圓

26、 與+與=1 (a>b>0)上異于長軸端點的任一點,F1, F 2是焦點，ZPF1F2, ZPF2F1,a ba c：ia c 2222x y4、設橢圓 =+=1 （a>b>0）的兩個焦點為F1、F2,P （異于長軸端點）為橢圓上任意一點，在PFF2中，記a b則 ac = tan-cot-.41PF2=a, “訐2=%/肝2P一則有 snf=c = e.更多精品文檔25、若橢圓與十a求一點P,使得PFi是P到對應準線距離 d與PF2的比例中項.2 X6、P為橢圓一2 +a2y=1 (a>b>0)上任一點，Fi,F2為二焦點，A為橢圓內一定點，則b2a|AF

27、21qPA|十|PFi怪2a + |AFJ當且僅當A,F2,P三點共線時，等號成立.7、橢圓2(x -xo)(y -yo)22=1與直線Ax + By + C = 0有公共點的充要條件是A2a2 B2b2 ,(Ax02By0 C)2.2X8、已知橢圓xy十a2 y_ b2=1 (a>b>0), O為坐標原點，P、Q為橢圓上兩動點，且 OP_LOQ. (1)2 - 2|OP| |OQ|11=Ib2224a2b2;(2) |OP| +|OQ| 的取大值為-2a ba b;(3) S由PQ的取小值是 -2.a b9、過橢圓=1(a>b>0)的右焦點F作直線交該橢圓右支于M,N

28、兩點，弦MN勺垂直平分線交x軸于P,24=1 (a>b>0)的左、右焦點分別為 Fi、F2,左準線為L,則當0vew J21時，可在橢圓上 b2則明|MN |10、已知橢圓2X+2a2 y_ b2=1 ( a >b>0) ,A、日是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點P(Xo,0),2.2則_a ":二 Xo a2.2a -b11、設P點是橢圓22X7 + -y2 =1 ( a >b>0)上異于長軸端點的任一點a b,F1、F2為其焦點記/F1PF2=e | PF1 | PF2 尸2b21 cos-c c.2.(2)S,PF1F2 =b

29、 tan -.22x y_ _12、設A、B是橢圓 三十三=1( a >b>0)的長軸兩端點，P是橢圓上的一點， NPAB=aa b/PBA = P, /BPA = ¥, c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有 (1) |PA|=2ab21 cos： |222a -c cos.(2)tan 二 tan : = 1 -e2.(3)S PAB 二2a2b2b2 -a2cot22x y_13、已知橢圓 f+0=i( a >b>0)的右準線l與x軸相交于點E,過橢圓右焦點F的直線與橢圓相交于 A、 a bB兩點，點C在右準線l上，且BC _L x軸，則直線AC經過線段E

30、F的中點.14、過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線必與切線垂直.15、過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直16、橢圓焦三角形中，內點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數e(離心率).(注：在橢圓焦三角形中，非焦頂點的內、外角平分線與長軸交點分別稱為內、外點 .)17、橢圓焦三角形中，內心將內點與非焦頂點連線段分成定比e.18、橢圓焦三角形中，半焦距必為內、外點到橢圓中心的比例中項.七、雙曲線的常用結論：1、點P處的切線 PT平分 PF1F2在點P處的內角.2、PT平分 PF1F2在點P處

31、的內角，則焦點在直線 PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩 個端點.3、以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線 相交.4、以焦點半徑PR為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切.(內切：P在右支；外切：P在左支)22xyx0x y0y5、若P)(x0,y。)在雙曲線 二=1 (a>0,b>0)上，則過P0的雙曲線的切線方程是 受岑 =1. abab226、若P)(xo, yo)在雙曲線 勺冬=1 (a>0,b>0)外，則過Po作雙曲線的兩條切線切點為P、P2,則切點弦a bP1P2的直線方程是萼-誓=1.a b227、雙曲線 三-冬=1 (a>0,b>

32、;。)的左右焦點分別為 F, F2,點P為雙曲線上任意一點 NF1PF2=¥,則雙曲 a b線的焦點角形的面積為 SFPF -b2cot-.228、雙曲線 1 4=1 (a>0,b>o)的焦半徑公式：(-,0) , F2(c,0)當M (x0, y°)在右支上時， a b| MF1 |=exo +a , | MF2尸ex。a ；當 M(x0, y°)在左支上時，| MF1|= e%+a ,| MF2|=-exo-a。9、設過雙曲線焦點F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點，A為雙曲線長軸上一個頂點，連結AP和AQ分別交相應于焦點F的雙曲線準線于 M N兩點，

33、則MN NF.10、過雙曲線一個焦點 F的直線與雙曲線交于兩點 P、Q, A1、A2為雙曲線實軸上的頂點，AP和AQ交于點M, A2P和A1Q交于點N,則M。NF.22211、AB是雙曲線 與，=1(a>0,b>0)的不平行于對稱軸的弦，M(x0, y0)為AB的中點，則Kom 'Kab,a ba y0即Kabb2X02a V0X12、右B8y。)在雙曲線工ab2= 1(a>0,b>0)內，則被Po所平分的中點弦的方程是XoXyoyx13、右P0(x0,y0)在雙曲線ab2=1 (a>0,b>0)內，則過Po的弦中點的軌跡方程是2 ,22,2abab

34、22XyX0XNoN2,2一 2,2abab22X0y。.一 X1、雙曲線xy-ab2=1 (a>0,b>0)的兩個頂點為 A(a,0), A2(a,0),與y軸平行的直線交雙曲線于P、P2時 xA1P1與A2P2交點的軌跡萬程是十ab22、過雙曲線2,2ab=1 (a>0,b>o)上任一點 A(X0,y°)任意作兩條傾斜角互補白直線交雙曲線于B,C兩點,則直線bc有定向且kBC =b2Xo2a Vo3、若P為雙曲線二ab2=1 (a>0,b >0)右(或左)支上除頂點外的任一點,F1, F 2是焦點，/PF1F2=aZPF2F1 = P，則=ta

35、n-cot(或22c-a=tan - co t ).4、設雙曲線Xy-b2=1 (a>0,b>0)的兩個焦點為Fi、F2,P(異于長軸端點)為雙曲線上任意一點，在PF1F2中，記 F1PF2/PF1F2 = P , /F1F2P = ¥,則有sin 二X5、若雙曲線-y-ab2-(sin 一sin :)c一 = e.a=1 (a>0,b>0)的左、右焦點分別為 F、F2,左準線為L,則當1vew J2 + 1時，可在雙曲線上求一點 P,使得PR是P到對應準線距離d與P桎的比例中項. X6、P為雙曲線T a2方=1 (a>0,b>0)上任一點，F1,

36、F2為二焦點，A為雙曲線內一定點，則 b2IAF2I 2a 4PA|十|PF1,當且僅當A,F2,P三點共線且P和A,F2在y軸同側時，等號成立.7、雙曲線xy-a2，=1 (a>0,b>0)與直線 Ax+By+C =0有公共點的充要條件是A2a2 B2b2 M C2.b2x2 y28、已知雙曲線=1(b>a >0), O為坐標原點，P、Q為雙曲線上兩動點，且 OP_LOQ.a2 b2一2 b2S&PQ的最小值是-42 b - a2. 2|OQ二二；（2） |OP| 2+|OQ|2的最小值為一；（3）2222a bb - a22x y9、過雙曲線 -=1 (a&

37、gt;0,b>0)的右焦點F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點，弦MN勺垂直平分線交a bx軸于P,則|PF| e|MN | 一 222x y10、已知雙曲線-y4=1 (a>0,b >0),A、B是雙曲線上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點P(x0,0), a ba2 +b2則xo之a一b-或a2,2a bxo -a22x V11、設P點是雙曲線 22=1 (a>0,b>0)上異于實軸端點的任一點，F1、F2為其焦點記/FiPF2=e ,則a b小2b2°、 c |PF1|PF2| = r0S.（2）S.PF1F212=b cot -. 222

38、x V12、設A、B是雙曲線-2_=1 (a>0,b>0)的長軸兩端點，P是雙曲線上的一點， NPAB = a,a b/PBA = P, /BPA = ¥, c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有|PA卜2 ,2ab |cos： |222.| a。c cos |-2 一 2ab(2) tan 工 tan - =1 -e .(3) S PAB = 22 cot .b a22x V_13、已知雙曲線 二=1 (a>0,b>0)的右準線l與x軸相交于點E,過雙曲線右焦點 F的直線與雙曲線相 a b交于A、B兩點，點C在右準線l上，且BC_Lx軸，則直線 AC經過線段EF的中點.14、過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線必與切線 垂直.15、過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線交相應準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.16、雙曲線焦三角形中，外點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半