1、 專題十七空間向量與立體幾何 挖命題 【真題典例】 (2018 遼蘇* 22, 10 井小玄布正三裔曲 SC-角 I血寂再. 點代”分擁那占.就釣中也 ： I :風異面直軸 P 兩腔沽 ：?. ：H； :求苴昨與平血 4 優；所朗的 Ll 能低 【考情探究】 考點 內容解讀 5 年考情 預測熱 度 考題示例 考向 關聯考點 空間向量及 應用 1. 空間向量的概念 2. 空間向量共線、共面 的充分必要條件 3. 空間向量的加法、減 法及數乘運算 4. 空間向量的坐標表示 5. 空間向量的數量積 6. 空間向量的共線與垂 直 7. 空間向量的應用 2015 江蘇,22 1. 求二面角 2. 求異面

2、直線所成角 3. 空間向量的數量積 直線與平面所 成角 2017 江蘇,22 1. 求異面直線所成角 2. 求二面角 3. 空間向量的數量積 2018 江蘇,22 1. 求異面直線所成角 2. 求直線與平面所成 角 3. 空間向量的數量積 分析解讀 空間向量及其應用在高考中的考查比較單一 ，主要涉及用空間向量求解空間幾何體中的異面 直線所成角、直線與平面所成角、二面角以及存在性問題或角的取值范圍問題 .考查的幾何體主要是棱柱、 棱錐等常規幾何體，難度中等. O 械心電點 1.用空阿向恥 E 異血克找所成麻 2 用畝問向比艮 fl 我與平肉汁朮巾 3 空閭向就的韻試覘 解題思路 電竝 間直博坐械

3、彖一求山點的樂標一尿 m 酬的方向向量斛聲船向量 Tt人自 方譴總箱 I. 的細 t 的翊: 山求兩條戌捷所對應的方向時童上; 口 #曲也扛所竝 Fl o的余曹血*小卜 玄線 I 丨川斤成角皿弦值 Him = Iru? fl .0 易錯驚示 :I a-:向雖僅求線面宦的正轅借的涉 Sh 【1 味宜線的方商商量和平面的袪囪就 I 昴面克線脈或常飾勺電國為 fl-1cifr JFI_n L. 2 茂 fit 用的止彼値為 I M 、 并不是 Wi.WQ L 破考點 【考點集訓】 考點一空間向量的運算 1. 已知 a=(入+1,0,2),b=(6,2 卩-1,2 入),若 a/b, _則入與卩的值是

4、 _. 答案 2, -或-3,- 2. 已知 a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t), 貝 U|b-a| 的最小值為 _ . 答案 3. 如圖所示，已知空間四邊形 ABCD勺每條邊和對角線長都等于 1,點 E,F,G 分別是 AB,AD,CD 的中點，計算: (1) ; 解析設 =a, =b, =c, 貝 K|a|=|b|=|c|=1,va,b=vb,c=vc,a =60 . =-c-a, =-a, =b-c, 以 (1) = - (-a)= a -_a c=-. 2 (2) (c-a) (b-c)= 一(b c-a b-c +a c)=- _. 考點二空間向量的應用 1. (2018

5、 江蘇泰興中學調研,22)如圖，在三棱錐 P-ABC 中，已知平面 PAB 上平面 ABC,AC!BC,AC=BC=2a點 O,D 分別是 AB,PB 的中點,PO山 B,連接 CD. (1)若 PA=2a,求異面直線 PA與 CD 所成角的余弦值的大小若二面角 A-PB-C 的余弦值的大小為 求 PA. 解析連接 0C. 因為平面 PAB上平面 ABC,平面PABT 平面 ABC=AB,PQAB,PC?平面 PAB 所以 P0 壬平面 ABC 從而 PO1AB,PO!OC. 因為 AC=BC點 Q是 AB 的中點，所以 QCAB,且 QA=QB=QC=a. 如圖，建立空間直角坐標系 Q-xy

6、z. (2)設 PQ=h，則 P(O,O,h). 因為 PQJQC,QCLAB,而 PQnAB=Q 所以 QC 平面 PAB. 從而 =(_a,0,0)是平面 PAB 的一個法向量. 不妨設平面 PBC 的法向量為 n=(x,y,z). 因為 =(0, _a,-h), =( _a,- _a,0),所以 n 不妨令 x=1,則 y=1,z=,則n= 由已知，得一= 化簡得 h2=-a2.因為 PA=2a,所以 PQ= 所以 A(0,- 從而 =(，- 因為 a,0),B(0, a,0),C( a,0,0),P(0,0, a,- _a), = =-_,所以異面直線 a),D PA與 CD所成角的余

7、弦值的大小為 =0,n =0,所以 所以 PA= a. 2. （2019 屆江蘇梁豐中學調研）如圖，已知正方形 ABCD和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直，AB= 一,AF=1. 求二面角 A-DF-B 的大小； 試在線段 AC 上確定一點 P,使 PF與 BC 所成的角為 60 . 設平面 BDF的法向量為 n=（x,y,z）. - _: 亠,所以9 =60 ,即二面角 A-DF-B 的大小為 60 設 P（入，入,0）,入q0, 一,貝 U =（-入，一-入,1）, 因為異面直線 PF與 BC所成的角為 60 ，所以|cos|=-， 即 =一,解得入=或入=（舍去）. 所以當 P 是線段

8、 AC的中點時,PF與 BC 所成的角為 60 . 3. （2019 屆江蘇高郵中學調研）如圖所示的幾何體中，面 CDEF為正方形，面 ABC：為等腰梯 形,AB CD,AB=2BCBC=60 且平面 CDEF1 平面 ABCD. %、 F a 川 解析（1）由已知易得 CD,CB,CE 兩兩垂直，以 為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系 C-xyz, 則 C(0,0,0),D( 又 =( ,0), =( ,0,1), 令 x=1,則 y=1,z=- ,所以 n=(1,1,- ）是平面 BDF 的一個法向量. 設二面角 A-DF-B 的大小為9 ,顯然 9為銳角, 所以 cos 9 =|co

9、s|= ,1). 由題意易得平面 所以 PA= a. （1）求 BC與平面 EAC 所成角的正弦值； （2）求證：線段 ED上不存在點 Q,使得平面 EAC 平面 QBC. 解析 因為四邊形 CDEF 為正方形，所以 ED1DC. 又因為平面 CDEFJ 平面 ABCD 平面 CDEF 平面 ABCD=DC,ED平面 CDEF所以 ED平面 ABCD. 在平面 ABCD 內過點 D作 DHLbAB,垂足為 H,所以 ED1DH. 因為 ABCD 所以 DH1DC. 所以 DH,DC,DE 兩兩垂直. 以 D 為原點，DH,DC,DE 所在直線分別為 x,y,z 軸建立空間直角坐標系 D-xyz

10、. 取 c=2,得 m=-= 是平面 QBC 勺一個法向量 要使平面 EAC平面 QBC 只需 mn=0,即-=X +t X1+2X仁 0,此方程無解. 所以線段 ED 上不存在點 Q,使得平面 EAC 平面 QBC. 煉技法設 BC=2 廁 DC=DE=2, 因為 AB=2BC/ABC=60 所以 AH=1,HB=3,DH= 所以 A( ：-1,0),B( ,3,0),C(0,2,0),E(所以=(一,-3,0), =(0,-2,2), =(_,1,0). 設平面 EAC的法向量為 n=(x,y,z),則有 所以 取 z=1,得 n=( ,1,1). 設 BC 與平面 EAC所成的角為9 ,

11、則 sin 9 =|cos|= 所以 BC與平面 EAC 所成角的正弦值為一. 證明：假設線段 ED 上存在點 Q,設 Q(0,0,t)(0 W = - =, 所以異面直線 MN與 PC 所成角的大小為-. 由 知 =(-1,1,- 一)， =(2,0,0), = -_ 一 設 m=(x,y,z)是平面 PCB 的法向量，則 即- - 令 y= _,則 z=1,即 m=(0, _,1)是平面 PCB的一個法向量. 設 n=(x 1,y 1,z 1)是平面 PCN 的法向量，_則 即- - 令 X1=2,則 y1=4,Z1= 一，即 n=(2,4, _), 所以 cos= 易知二面角 N-PC-

12、B 的平面角為銳角，所以二面角 N-PC-B的余弦值為 2. (2018 江蘇揚州中學調研)如圖，在直三棱柱 ABC-ABG 中,AAi=AB=AC=2,ABAC,M 是棱 BC的中點，點 P 在線 段 AB 上. (1)若 P 是線段 AB 的中點，求直線 MP 與直線 AC所成角的大小； 若 N是 CC的中點，直線 AB 與平面 PMN所成角的正弦值為二，求線段 BP的長度. 解析建立如圖所示的空間直角坐標系 A-xyz. 則 A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A i(0,0,2),M(1,1,0). (1)因為 P 是線段 AB的中點， 所以 P(1,0,1),貝 U

13、 =(0,-1,1),又=(0,2,0). 又 V , q0, n,所以 V , =. 所以直線 MP 與直線 AC 所成的角的大小為-. 易得 N(0,2,1),所以 =(-1,1,1). 設 P(x,y,z), =入 ,0 w入 W1, 則(x-2,y,z)=入(-2,0,2), 所以 所以 P(2-2 入,0,2 入), 所以 =(1-2 入,-1,2入). 設平面 PMN 的法向量 n=(x,y,z),所以 = 則 n 丄 ，n 丄 所以 取 n= 因為 =(-2,0,2), 設直線 AB與平面 PMN 所成角為9 . 由sin 件=lccsvn |= = =,得N =(負值舍去) 所

14、以 =_ ,所以 BP三BA=_. 3. (2017 江蘇鎮江期末)如圖，在四棱錐 P-ABCD 中,PA J底面 ABCD,ADAB,AB/DC,AD=DC=AP=2,AB=1,是棱 PC 的中點. 求直線 BE 與平面 PBD所成角的正弦值； 若 F 為棱 PC 上一點，滿足 BFMC,求二面角 F-AB-P 的正弦值. 解析(1)以 A 為原點，分別以 AB AD AP 所在直線為 x軸、y 軸、z軸建立空間直角坐標系 A-xyz, 則 B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2), 由 E 為棱 PC 中點，得 E(1,1,1), 故=(0,1,1), =(-

15、1,2,0), =(1,0,-2). 設 n=(x,y,z) 為平面 PBD 的法向量, 則 n 丄,n丄 即 不妨令 y=1,可得 n=(2,1,1)為平面 PBD 的一個法向量， 于是 cosn, = 一 所以直線 BE 與平面 PBD所成角的正弦值為一. (2) =(1,2,0), =(-2,-2,2), =(2,2,0), =(1,0,0). 由點 F在棱 PC上設=入,0 w入1. 故 = + = + 入 =(1-2 入,2-2 入,2 入), 由 BF 山 C,得 =0, 因此 2(1-2 入)+2(2-2 入)=0, 即 =_. 設 ni=(x,y,z)為平面 FAB 的法向量，

16、 則 ni =0,n i =0, 即 _ _ _ 不妨令 z=1,可得 ni=(0,-3,1) 為平面 FAB的一個法向量 取平面 ABP的法向量中=(0,1,0), 貝U cos=- : 即 sin=. 故二面角 F-AB-P的正弦值為一 方法二 利用空間向量求解探索性問題的方法 (2018 江蘇無錫期末)如圖，在四棱錐 P-ABCD 中,KBP是等邊三角形，底面 ABCD 是直角梯 形，ZDAB=90 ,ADC,E是線段 AB 的中點,PE底面 ABCD 已知 DA=AB=2BC=2. (1)求二面角 P-CD-A的正弦值； 試在平面 PCD上找一點 M,使得 EML 平面 PCD. 解析

17、 因為 PEJ 底面 ABCD 過 E 作 ES/BC,S 為 ES 與 CD 的交點，則 ES1AB,以 E 為坐標原點 軸的正半軸， 方向為 y軸的正半軸， 方向為 z 軸的正半軸建立空間直角坐標系 ，則 E(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),A(-1,0,0),D(-1,2,0),P(0,0, _), 故 =(-2,1,0), =(1,1,- 一). 設平面 PCD 的法向量為 n=(x,y,z), 則- - - 令 x=1,得 n=(1,2, _)為平面 PCD的一個法向量. 又平面 ABCD的一個法向量為 m=(0,0,1), 所以 cos= - = - =,方向為

18、x 所以 sin=, 即所求二面角 P-CD-A的正弦值為一. (2)設點 M 的坐標為(x i,y i,z i), 因為 EMLE平面 PCD, 所以 ii,即一=, 也即 y 1=2x1 ,Z 1 = _x1. 又 =(x 1,y 1 ,z 1- -),=(-1,2,- _), =(1,1,- 所以 =入 g =(入-g ,入 +2 g ,- 一入-_ g ), 所以 x1=入-卩，y 1=入 +2 g =2x1 =2(入-g ), 即入=4 g . 又Z1 -_=- 一入 - g , 解得 入=-,所以 g =一， 所以點 M 的坐標為 過專題 【五年高考】 A組自主命題江蘇卷題組 1.

19、 (2018 江蘇,22,10 分)如圖,在正三棱柱 ABC-ABC 中,AB=AA=2,點 P,Q 分別為 AR,BC 的中點. (1)求異面直線 BP 與 AC 所成角的余弦值； 求直線 CC 與平面 AQC所成角的正弦值. H 解析 本題主要考查空間向量、異面直線所成角和線面角等基礎知識 ，考查運用空間向量解決問題的能力 如圖，在正三棱柱 ABC-ABG 中， 設 AC,A1C的中點分別為 0,0, 則 OB9C,OO9C,OO!OB, 以 , , 為基底，建立空間直角坐標系 O-xyz. 因為 AB=AA=2,所以 A(0,-1,0),B( =0,0),C(0,1,0),A 1(O,-

20、1,2),B * _,0,2),C 2,1,2). (1)因為 P為 AB 的中點，所以 P 二-一. 從而=- ,=(0,2,2). 故 |cos|= - - = - = - . 因此，異面直線 BP 與 AC所成角的余弦值為 因為 Q 為 BC 的中點，所以 Q , 因此 =-, =(0,2,2), =(0,0,2). 設 n=(x,y,z) 為平面 AQC 的一個法向量， 則 即 不妨取 n=( ,-1,1). 設直線 CO 與平面 AQC所成角為9 , 貝 U sin 9 =|cos|= - - = =, 所以直線 CC 與平面 AQC 所成角的正弦值為一. 2. （2017 江蘇,22,10 分）如圖,在平行六面體 ABCD-AaCD 中,AA】目面 ABCD且 AB=AD=2,AA= : ZBAD=120 . (