1、會計學1數理方程與特殊函數數理方程與特殊函數(hnsh)鐘爾杰非鐘爾杰非齊次方程求解齊次方程求解第一頁，共15頁。0,3sin, 002020 tttxxuxxuuu )0,0(9894 txuuxxtt P.51例例6 0, 0, 00002tttLxxxxttuuBuuAuau例例1. 求定解問題求定解問題(wnt)的形式解的形式解.其中其中(qzhng), A 和和 B 均為常數均為常數.解解:令令u(x, t )=V(x, t )+W(x) utt = Vtt , uxx = Vxx+ W” utt = a2uxx + A Vtt =a2Vxx + W” + A 取取 Vtt =a2V

2、xx 得常微分方程得常微分方程(wi fn fn chn): a2W”+ A = 0第1頁/共14頁第二頁，共15頁。求常微分方程求常微分方程(wi fn fn chn)問題問題 BWWAWaLxx, 0002令令 u=V+W 0),(0, 00002tttLxxxxttVxWVVVVaV)2(222xALBaLxaAW 得得 1sincos),(nnLxnLatnCtxV LndxLxnxWLC0sin)(2 BuuLxx , 000, 00 LxxVVBuuttt 00, 00,00 tttVWV)(sin1xWLxnCnn 第2頁/共14頁第三頁，共15頁。)(),(,000 xuxuB

3、uAutttLxx )0,0(2 tLxCuauxxtt思考題思考題:分析分析(fnx):令令u(x, t )=V(x, t )+W(x) utt = Vtt , uxx = Vxx+ W” utt = a2uxx C Vtt =a2Vxx + W” C取取 Vtt =a2Vxx 得常微分方程得常微分方程: a2W” = C2aCW BuAuLxx ,0)()()(0, 0000 xuxWxVVVtttLxx xxttVaV2 第3頁/共14頁第四頁，共15頁。 0, 00, 0)0,0(,0002tttLxxxxttuuuutLxguau例例2令令 u(x u(x，t) = v(xt) =

4、v(x，t) + W(x)t) + W(x) utt a2uxx= g utt a2uxx= g vtt a2vxx + W” vtt a2vxx + W” = g = g 邊界邊界(binji): v(0, t)+W(0)=0, v(L, t)+W(L)=0(binji): v(0, t)+W(0)=0, v(L, t)+W(L)=0初始初始: v(x: v(x，0) +W(x)=0, vt(x0) +W(x)=0, vt(x，0) = 00) = 0取取W(x), W(x), 滿足滿足 0)(, 0)0(2LWWgWaxx)(2)(2xLxagxW 第4頁/共14頁第五頁，共15頁。得齊次

5、方程得齊次方程(fngchng) 0,2/ )(0, 0)0,0(, 002002tttLxxxxttvaxLgxvvvtLxvav 1sincos),(nnLxnLatnCtxv LndxLxnxLxagLC02sin)(22 1)cos(2332 nngL 13322sincos1)1(2)(2),(nnLxnLatnngLLxxagtxu 第5頁/共14頁第六頁，共15頁。非齊次方程非齊次方程(fngchng) xuxuuutLxtxfuautttLxxxxtt 0002,0, 00,0),(令令 u(x,t)= v + W ,問題問題(wnt)分解為問題分解為問題(wnt)I和問題和問

6、題(wnt)II xvxvvvtLxuavtttLxxxxtt 0002,0, 00,0, 1sin)sincos(),(nnnLxnLatnDLatnCtxv 問題問題(wnt)I第6頁/共14頁第七頁，共15頁。 0, 00, 00,0),(0002tttLxxxxttWWWWtLxtxfWaW問題問題(wnt)II設問題設問題II的解可以按固有函數的解可以按固有函數(hnsh)展開展開 0)()(),(nnnxXtTtxW其中其中, Xn(x)是滿足是滿足(mnz)齊次邊界條件的固有函齊次邊界條件的固有函數數 0)(, 0)0(0, 0LXXLxXXnn LxnxXn sin)( 第7頁

7、/共14頁第八頁，共15頁。將將 f(x, t )也展開為固有也展開為固有(gyu)函數函數Xn(x) 的級數的級數 1sin)(),(nnxLntftxf 1sin)(),(nnxLntTtxW 代入方程代入方程(fngchng): Wtt a2Wxx = f(x,t) 112sin)(sin)(nnnnnxLntfxLnTLanT )()(2tfTLanTnnn 第8頁/共14頁第九頁，共15頁。0)()0()0 ,(1 nnnxXTxW由初始條件由初始條件：0)()0()0 ,(1 nnnxXTxW0)0( nT0)0( nT)()(2tfTLanTnnn 0)0( nT0)0( nT其

8、中其中(qzhng) LndxLxntxfLtf0sin),(2)( 齊次常微分方程齊次常微分方程(wi fn fn chn)通解通解 非齊次方程非齊次方程(fngchng)特解特解( P.4P.5 )第9頁/共14頁第十頁，共15頁。 tnndtLanfanLtT0)(sin)()( 1sin)(),(nnLxntTtxW LxntTtxWnn sin)(),( 0,0,sincos2 tLxtLxAuauxxtt 0, 00, 0000 tttLxxxxuuuu習題習題(xt)3.5第第3題題固有固有(gyu)值問值問題題: 0)(, 0)0(0, 0LXXLxXX 第10頁/共14頁第十

9、一頁，共15頁。 1cos)(sincosnnxLntftLxA xLnAxXnn cos)( 222Lnn 固有固有(gyu)值值固有固有(gyu)函數函數將右端函數將右端函數(hnsh)按固有函數按固有函數(hnsh)展開展開tAtf sin)(1 對比兩端固有函數系數對比兩端固有函數系數, 得得 fn(t) = 0, n = 2,3, 1cos)(),(nnLxntTtxu LxtT cos)(1第11頁/共14頁第十二頁，共15頁。tATLaT sin)(121 0)0(1 T0)0(1 T tdtLaAaLtT01)(sinsin)( tdtLaLatLaLa0)cos()cos(2

10、1 )(/()sinsin(LaLatLatLa LxLaLatLatLaaLAtxu cos)(sinsin),( 積化和差積化和差第12頁/共14頁第十三頁，共15頁。思考題思考題1. 非齊次波動方程非齊次波動方程(fngchng)的特解齊次化方法的求的特解齊次化方法的求解方法與求非齊次線性方程解方法與求非齊次線性方程(fngchng)組的解方組的解方法有何不同？法有何不同？2. 特解齊次化方法中微分方程特解齊次化方法中微分方程(fngchng)與原問題與原問題有何不同？有何不同？3. 固有函數展開法所針對的微分方程固有函數展開法所針對的微分方程(fngchng)有有何特點？何特點？4. 二階線性常系數非齊次常微分方法的解是如何求二階線性常系數非齊次常微分方法的解是如何求出的？出的？習題習題(xt)3. 5: 2(xt)3. 5: 2，3 3 第13頁/共14頁第十四頁，共15頁。NoImage內容(nirng)總結會計學。數理方程與特殊函數鐘爾杰非齊次方程求解。第2頁/共14頁。第3頁/共14頁。非齊次方程特解(