1、積分法積分法原原 函函 數(shù)數(shù)選選擇擇u u有有效效方方法法基基本本積積分分表表第一換元法第一換元法 第二換元法第二換元法直接直接積分法積分法分部分部積分法積分法不不 定定 積積 分分幾種特殊類型幾種特殊類型函數(shù)的積分函數(shù)的積分一、主要內容一、主要內容1 1、原函數(shù)、原函數(shù) 如果在區(qū)間如果在區(qū)間I內，可導函數(shù)內，可導函數(shù))(xF的導函數(shù)為的導函數(shù)為)(xf， 即， 即Ix ， 都 有， 都 有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()( ，那么函數(shù)，那么函數(shù))(xF就稱為就稱為)(xf或或dxxf)(在區(qū)間在區(qū)間I內原函數(shù)內原函數(shù).定義定義原函數(shù)存在定理原函數(shù)存在定理 如如果果函函數(shù)數(shù))(xf在

2、在區(qū)區(qū)間間I內內連連續(xù)續(xù)，那那么么在在區(qū)區(qū)間間I內內存存在在可可導導函函數(shù)數(shù))(xF，使使Ix ，都都有有)()(xfxF .即：即：2 2、不定積分、不定積分(1) 定義定義 在區(qū)間在區(qū)間I內，函數(shù)內，函數(shù))(xf的帶有任意常數(shù)項的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)稱為的原函數(shù)稱為)(xf在區(qū)間在區(qū)間I內的內的不定積分不定積分，記，記為為 dxxf)(CxFdxxf )()(函函數(shù)數(shù))(xf的的原原函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形稱稱為為)(xf的的積積分分曲曲線線. dxxgxf)()(10 dxxgdxxf)()(2) 微分運算與求不定積分的運算是微分運算與求不定積分的運算是的的. dxxkf)(20 dxxf

3、k)(（k是是常常數(shù)數(shù)，)0 k(3) 不定積分的性質不定積分的性質 )()(xfdxxfdxd dxxfdxxfd)()( CxFdxxF)()( CxFxdF)()(3 3、基本積分表、基本積分表 kCkxkdx()1(是常數(shù)是常數(shù))1(1)2(1 Cxdxx Cxxdxln)3( dxx211)4(Cx arctan dxx211)5(Cx arcsin xdxcos)6(Cx sin xdxsin)7(Cx cos xdxxtansec)10(Cx sec xdxxcotcsc)11(Cx csc dxex)12(Cex xdx2cos)8( xdx2secCx tan xdx2sin

4、)9( xdx2cscCx cot dxax)13(Caax ln Cxxdxcoslntan)16( Cxxdxsinlncot)17( Cxxxdx)tanln(secsec)18( Cxxxdx)cotln(csccsc)19(Caxadxxa arctan11)20(22Cxaxaadxxa ln211)22(22Caxdxxa arcsin1)23(22Caxxdxax )ln(1)24(2222Caxaxadxax ln211)21(22Cx sh)14( xdxch xdxCx ch)15(sh5 5、第一類換元法、第一類換元法4 4、直接積分法、直接積分法定定理理 1 設設)(

5、uf具具有有原原函函數(shù)數(shù)，)(xu 可可導導，則則有有換換元元公公式式 dxxxf)()( )()(xuduuf 第一類換元公式（第一類換元公式（）由定義直接利用基本積分表與積分的性質求不由定義直接利用基本積分表與積分的性質求不定積分的方法定積分的方法.;)(. 11dxxxfnn ;)(. 2dxxxf;)(ln. 3dxxxf;)1(. 42dxxxf;cos)(sin. 5xdxxf;)(. 6dxaafxx常見類型常見類型:;sec)(tan. 72xdxxf;1)(arctan. 82dxxxf 6 6、第二類換元法、第二類換元法定定理理 設設)(tx 是是單單調調的的、可可導導的的

6、函函數(shù)數(shù)，并并且且0)( t ，又又設設)()(ttf 具具有有原原函函數(shù)數(shù)，則則有有換換元元公公式式 )()()()(xtdtttfdxxf 其中其中)(x 是是)(tx 的反函數(shù)的反函數(shù).第二類換元公式第二類換元公式常用代換常用代換:.,)(. 1Rbatx .sin,)(. 222taxxaxf 令令如如三角函數(shù)代換三角函數(shù)代換.,)(. 322ashtxxaxf 令令如如雙曲函數(shù)代換雙曲函數(shù)代換.1. 4tx 令令倒置代換倒置代換7 7、分部積分法、分部積分法分部積分公式分部積分公式dxvuuvdxvu duvuvudv 8.8.選擇選擇u u的有效方法的有效方法: :LIATELIA

7、TE選擇法選擇法L-對數(shù)函數(shù)；對數(shù)函數(shù)；I-反三角函數(shù)；反三角函數(shù)；A-代數(shù)函數(shù)；代數(shù)函數(shù)；T-三角函數(shù)；三角函數(shù)；E-指數(shù)函數(shù)；指數(shù)函數(shù)； 哪哪個在前哪個選作個在前哪個選作u.9 9、幾種特殊類型函數(shù)的積分、幾種特殊類型函數(shù)的積分（1）有理函數(shù)的積分）有理函數(shù)的積分定義定義兩個多項式的商表示的函數(shù)稱之兩個多項式的商表示的函數(shù)稱之.mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(其中其中m、n都是非負整數(shù)；都是非負整數(shù)；naaa,10及及mbbb,10都是實數(shù)，并且都是實數(shù)，并且00 a，00 b.真分式化為部分分式之和的真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法待定系數(shù)

8、法四種類型分式的不定積分四種類型分式的不定積分;ln. 1CaxAaxAdx ;)(1()(. 21CaxnAaxAdxnn ;arctanln2. 342422222CqxqNqpxxMdxqpxxNMxpppMp dxqpxxNqpxxdxpxMdxqpxxNMxnMpnn)()()2(2)(. 42222此兩積分都可積此兩積分都可積,后者有遞推公式后者有遞推公式令令2tanxu 212sinuux 2211cosuux uxarctan2 duudx212 dxxxR)cos,(sinduuuuuuR22221211,12 （2） 三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式的積分定義定義 由三角

9、函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算構成的函數(shù)稱之一般記為構成的函數(shù)稱之一般記為)cos,(sinxxR（3） 簡單無理函數(shù)的積分簡單無理函數(shù)的積分討論類型：討論類型：),(nbaxxR ),(necxbaxxR 解決方法：解決方法：作代換去掉根號作代換去掉根號;necxbaxt 令令;nbaxt 令令例例1 1 dxxx1)23()23(2原式原式解解.4932 dxxxxx求求 1)23()23(23ln12xxd 123ln12tdt dttt)1111(23ln21Ctt 11ln)2ln3(ln21.2323ln)2ln3(ln21Cxxxx tx )23(

10、令令二、典型例題二、典型例題例例2 2解解.cos1)sin1( dxxxex求求 dxxxxex2cos2)2cos2sin21(2原式原式 dxxexexx)2tan2cos21(22tan)2(tan( xxdexxde )2tan(xedx.2tanCxex 例例3 3解解.15)1ln(22 dxxxx求求5)1ln(2 xx,112x 5)1ln(5)1ln(22 xxdxx原原式式.5)1ln(32232Cxx )1221(1122xxxx 例例4 4解解.1122 dxxxx求求,1tx 令令dttttt)1(1)1(111222 原式原式dttt 211 22212)1(11

11、ttddttCtt 21arcsin.1arcsin12Cxxx (倒代換倒代換)例例5 5解解.1632 xxxeeedx求求,6tex 令令,ln6tx ,6dttdx dttttt61123 原原式式dtttt )1)(1(622211)1)(1(6tDCttBtAttt 設設)1()()1()1)(1(622 ttDCttBtttA解得解得. 3, 3, 3, 6 DCBAdttttt)133136(2 原式原式Ctttt arctan3)1ln(23)1ln(3ln62.arctan3)1ln(23)1ln(3636Ceeexxxx 例例6 6解解.)1ln(arctan2 dxxx

12、x求求dxxx)1ln(2 )1()1ln(2122xdx .21)1ln()1(21222Cxxx 21)1ln()1(21arctan222xxxxd 原原式式xxxxarctan)1ln()1(21222 dxxxx1)1ln(21222 例例7 7解解.)2(10 xxdx求求 )2(10109xxdxx原式原式 )2()(101101010 xxxdCxx )2ln(ln2011010.)2ln(201ln2110Cxx .2)1ln(23)1ln()1(arctan212222Cxxxxxxx 例例8 8解解.)1()1(342 xxdx求求.)1()11()1()1(234342

13、 xxxxx,11 xxt令令,)1(22dxxdt 則則有有 原原式式 234)1()11(xxxdxdtt 3421Ct 3123.11233Cxx 例例9 9解解.cos1sin dxxxx求求dxxxxx 2cos22cos2sin22原式原式dxxdxxx 2tan2cos22dxxdxxxx 2tan2tan2tan.2tanCxx 例例1010解解 dxxfxfxfxfxf)()()()()(322原式原式.)()()()()(32 dxxfxfxfxfxf求求 dxxfxfxfxfxfxf)()()()()()(22 )()()()(xfxfdxfxf.)()(212Cxfxf

14、 例例1111解解., 1max dxx求求, 1max)(xxf 設設,1,11,11,)( xxxxxxf則則,),()(上上連連續(xù)續(xù)在在 xf).(xF則必存在原函數(shù)則必存在原函數(shù)須處處連續(xù)，有須處處連續(xù)，有又又)(xF.1,2111,1,21)(32212 xCxxCxxCxxF)21(lim)(lim12121CxCxxx ,21112CC 即即)(lim)21(lim21321CxCxxx ,12123CC 即即.1,12111,211,21, 1max22 xCxxCxxCxdxx故故.1,2132CCCC 可可得得,1CC 聯(lián)聯(lián)立立并并令令一、一、 選擇題：選擇題：1 1、 設

15、設)(, )(21xFxF是區(qū)間是區(qū)間I內連續(xù)函數(shù)內連續(xù)函數(shù))(xf的兩個不的兩個不 同的原函數(shù)，且同的原函數(shù)，且0)( xf, ,則在區(qū)間則在區(qū)間I內必有內必有（ ）（A A） CxFxF )()(21；（B B） CxFxF )()(21；（C C） )()(21xCFxF ；（D D） CxFxF )()(21. .2 2、若、若, )()(xfxF 則則 )(xdF= =（ ）（A A） )(xf； （B B） )(xF；（C C） Cxf )(； （D D） CxF )(. .測測 驗驗 題題3 3、)(xf在某區(qū)間內具備了條件在某區(qū)間內具備了條件（ ）就可保證它的）就可保證它的 原

16、函數(shù)一定存在原函數(shù)一定存在（A A） 有極限存在；有極限存在； （B B）連續(xù)；）連續(xù)；（B B） 有界；有界； （D D）有有限個間斷點）有有限個間斷點 4 4、下列結論正確的是、下列結論正確的是（ ）（A A） 初等函數(shù)必存在原函數(shù)；初等函數(shù)必存在原函數(shù)；（B B） 每個不定積分都可以表示為初等函數(shù)；每個不定積分都可以表示為初等函數(shù)；（C C） 初等函數(shù)的原函數(shù)必定是初等函數(shù)；初等函數(shù)的原函數(shù)必定是初等函數(shù)；（D D） CBA,都不對都不對 . .5 5、函函數(shù)數(shù)2)()(xxxf 的的一一個個原原函函數(shù)數(shù) )(xF( ( ) )（A A）334x; ; （B B）234xx; ;（C C

17、) )(3222xxx ; ; （D D）)(322xxx . .6 6 、 已已 知知 一一 個個 函函 數(shù)數(shù) 的的 導導 數(shù)數(shù) 為為xy2 ，21 yx時時且且, ,這這個個函函數(shù)數(shù)是是（ ） （A A）;2Cxy （B B）;12 xy （C C）Cxy 22; ; （D D）.1 xy7 7、下列積分能用初等函數(shù)表出的是、下列積分能用初等函數(shù)表出的是（ ） （A A） dxex2； （B B） 31xdx； （C C） dxxln1； （D D） dxxxln. .8 8、 ,)()(CxFdxxf且且,batx 則則 dttf)(（ ） （A A）CxF )(； （B B） CtF

18、)(; ; （C C）CbatFa )(1; ; （D D）CbatF )( . . 9 9、 dxxx2ln（） （A A）Cxxx 1ln1; ; （B B）Cxxx 1ln1; ; （C C）Cxxx 1ln1； （D D）Cxxx 1ln1. . 1 10 0、 10)14( xdx（ ） （A A）Cx 9)14(191； （B B）Cx 9)14(1361； （C C）Cx 9)14(1361； （D D）Cx 11)14(1361. .二、求下列不定積分：二、求下列不定積分： 1 1、 dxxx1cos12; ; 2 2、 522xxdx; ; 3 3、 dxxxx2215)1ln(; ; 4 4、 dxxx222)1(; ; 5 5、 211xdx; ; 6 6、 dxxxx1122; ; 7 7、 )1(2xxeedx; ; 8 8、 xdxx arccos2; ; 9 9、 234811xxdxx; ; 10 10、 dxx