1、灰色系統理論與建模灰色系統理論與建模主講: 門可佩教授2009.03.16灰色系統理論基礎灰色系統理論基礎l19821982年，中國學者鄧聚龍教授創立的灰色系統理年，中國學者鄧聚龍教授創立的灰色系統理論，是一種研究少數據、貧信息不確定問題的新方論，是一種研究少數據、貧信息不確定問題的新方法。灰色系統理論以法?；疑到y理論以“部分信息已知、部分信息未部分信息已知、部分信息未知知”的的“小樣本小樣本”、“貧信息貧信息”不確定系統為研究不確定系統為研究對象，主要通過對部分已知信息的生成、開發，提對象，主要通過對部分已知信息的生成、開發，提取有價值的信息、實現對系統運行行為、演化規律取有價值的信息、實

2、現對系統運行行為、演化規律的正確描述和有效監控?；疑到y模型對實驗觀測的正確描述和有效監控?；疑到y模型對實驗觀測數據沒有什么特別的要求和限制，因此應用領域十數據沒有什么特別的要求和限制，因此應用領域十分寬廣。分寬廣。 GM(1, 1) 模型的一般過程模型的一般過程1.累加生成。設累加生成。設 為原始序列為原始序列 對對 進行一次累加生成，得生成序列進行一次累加生成，得生成序列其中其中,(0)X(0)(0)(0)(0)(1),(2),( )Xxxxn(1)(1)(1)(1)(1),(2),( )Xxxxn(0)X(1)(0)1( )( ),1,2,kixkxi knGM(1, 1) 模型的一般

3、過程模型的一般過程2. 建模。建模。 由由 構造背景值序列構造背景值序列其中，其中， 一般取一般取= 0.5 ,建立白化方程建立白化方程(影子方程影子方程)為為 稱之為稱之為GM(1, 1)模型的原始形式模型的原始形式(1)X(1)(1)(1)(1)(2),(3),( )Zzzzn(1)(1)(1)( )(1)(1)( )zkxkxk2,3,kn(2,3, )kn( 1 )( 1 )d xa xbd tGM(1, 1) 模型的一般過程模型的一般過程這里，符號這里，符號GM(1, 1)的含義如下：的含義如下： G M （1， 1） Grey Model 1階方程階方程 1個變量個變量 將上式離散

4、化，微分變差分，得到將上式離散化，微分變差分，得到GM(1, 1)微微分方程如下：分方程如下：稱之為稱之為GM(1, 1)模型的基本形式。模型的基本形式。(0)(1)( )( )xkazkbGM(1, 1) 模型的一般過程模型的一般過程 其中其中a, ba, b為待定系數，分別稱之為發展系數和灰色為待定系數，分別稱之為發展系數和灰色作量作量,a,a的有效區間是的有效區間是(-2, 1)(-2, 1)。3. 3. 求解參數。求解參數。 應用最小二乘法可經下式得：應用最小二乘法可經下式得：其中其中, ,1(,)()TTTnaa bBBBY(1)(1)(1)(1)(1)(1)11 / 2(1)(2)

5、,1 1 / 2(2)(3),11 / 2(1)( ),xxxxBxnxn(0)(0)(0)(2),(3),( )nYxxxnGM(1, 1) 模型的一般過程模型的一般過程4. 建立預測公式建立預測公式(1)(0)(0)(1)(1) (1)(1)(1)(1)( )akbbxkxeaaxkxkxkGM(1, 1) 模型的一般過程模型的一般過程5.檢驗模型檢驗模型求出求出 與與 之殘差之殘差 ，相對誤差，相對誤差求出原始數據平均值求出原始數據平均值 , 殘差平均值殘差平均值 : ( 0 )11()nkxxkn(0)(0)( )( )( )ekxkxk( 0 )()1 0 0 %()ke kxk(0

6、)( )xk(0)( )xk()e kkxe(0)21( )1nkeeknGM(1, 1) 模型的一般過程模型的一般過程l求出原始數據方差求出原始數據方差 與殘差方差與殘差方差 的均方差比值的均方差比值C和小誤差概率和小誤差概率p: l當當 ， ， 時，模型精度時，模型精度為一級。當發展系數為一級。當發展系數 時時, 則所建則所建GM(1, 1) 模型則可用于中長期預測。模型則可用于中長期預測。 21s22s2(0)2111( )nksxkxn2(0)2211( )nkseken0.35C 0.95p ( 2, 1)0.3aa 且21Css(0)1( )0.6745 pP ekes0.01k

7、GM(1, 1) 模型的一般過程模型的一般過程 精度檢驗等級參照表精度檢驗等級參照表相對誤差相對誤差 關聯度關聯度均方差比值均方差比值小誤差概率小誤差概率一級一級二級二級三級三級四級四級0.010.010.050.050.100.100.200.200.900.900.800.800.700.700.600.600.350.350.500.500.650.650.800.800.950.950.800.800.700.700.600.6000C0p例題例題 設原始序列為：設原始序列為：試用試用GM(1,1)模型對模型對 進行模擬。進行模擬。(0)(0)(0)(0)(0)(0)(1),(2),(

8、3),(4),(5)Xxxxxx(0)X(2.874,3.278,3.337,3.390,3.679)第一步第一步對對 作一階累加作一階累加(0)X(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1),(2),(3),(4),(5)Xxxxxx(2.874,6.152,9.489,12.897,16.558)第二步第二步對對 作緊鄰均值生成。令作緊鄰均值生成。令得得(1)X(1)(1)(1)( )0.5(1)0.5( )zkxkxk(1)(1)(1)(1)(1)(2),(3),(4),(5)Zzzzz(4.513,7.820,11.184,14.718)于是，(1)(1)(1)(1)4.5131(2)

9、17.8201(3) 111.184 1(4) 114.718 1(5) 1zzBzz (0)(0)(0)(0)3.278(2)3.336(3)3.390(4)3.678(5)xxYxx第三步第三步對參數列對參數列 進行最小二乘估計。進行最小二乘估計。得得( , )Taa b10.03720()3.06536TTaB BBY第四步第四步確定模型確定模型及時間相應式及時間相應式(1)(1)0.03723.06536dxxdt(1)(0)(1)(1)akbbxkxeaa0.037285.27615182.402151ke第五步第五步求求 的模擬值的模擬值(1)X(1)(1)(1)(1)(1)(1)

10、(1),(2),(3),(4),(5)Xxxxxx(2.8704,6.1060,9.4605,12.9422,16.5558)第六步第六步還原求出還原求出 的模擬值的模擬值得得(0)(1)(1)(1)(1)( )xkxkxk (0)(0)(0)(0)(0)(0)(1),(2),(3),(4),(5)Xxxxxx(2.8740,3.2320,3.3545,3.4817,3.6136)(0)X第七步第七步檢驗誤差。檢驗誤差。殘差平方和殘差平方和平均相對誤差平均相對誤差(2)(3) (2), (3), (4), (5)0.01511(4)(5)Ts 5211.6025%4kk 誤差檢驗表誤差檢驗表序

11、號序號實際數據實際數據模擬數據模擬數據殘差殘差相對誤差相對誤差12343.2783.3373.3903.6793.2303.35453.48173.61360.0460-0.0175-0.09170.06541.40%0.52%2.71%1.78%(0)( )x k(0)( )xk(0)(0)( )( )( )k x k x kk殘差修正殘差修正GM(1,1)若用若用 修正修正 則稱修正后的時間響應式則稱修正后的時間響應式為殘差修正為殘差修正GM(1,1)模型，簡稱殘差模型，簡稱殘差GM(1,1)0(0)0(1)()(0)(0)00(1) (1)(1)( )akak kakbbxekkaaxk

12、bbbkkxeakeaaa(0)X 0新陳代謝新陳代謝GM(1,1) 設原始序列為：設原始序列為： 設設 為最新信息，置入最新信息，去掉最老信為最新信息，置入最新信息，去掉最老信息息 ，稱用，稱用 建立的模型為新陳代謝建立的模型為新陳代謝GM(1,1)(0)(0)(0)(0)(1),(2),( )Xxxxn(0)(1)xn (0)(1)x(0)(0)(0)(0)(2),(3),(1)XxxxnGM(1，1)模型的變換模型的變換1.GM增量模型增量模型 對原始據時間序列采用特殊的預處理，即先進行一對原始據時間序列采用特殊的預處理，即先進行一累減算子運算，分離出增量部分累減算子運算，分離出增量部分

13、 再對增量序列建立普通再對增量序列建立普通GM(1, 1)預測模型，最后再經預測模型，最后再經 式式 還原成總量。我們稱經過還原成總量。我們稱經過 這種變換的模型為灰色增量這種變換的模型為灰色增量模型模型(IGM模型模型)。(0)(0)(0)(0)()( 1)()ztxx tx t (0)(0)(0)(1)()()xtztxt 2.新初值新初值GM模型模型以以 為初始條件的為初始條件的GM模型模型 根據灰色系統理論的新信息優先原理，把根據灰色系統理論的新信息優先原理，把 的第的第n個分量作為灰色微分模型的初始條件，可以個分量作為灰色微分模型的初始條件，可以使模型精度有所提高?；疑⒎址匠淌鼓Ｐ?/p>

14、精度有所提高。灰色微分方程 的時間響應的時間響應函數為函數為 還原值還原值(1)( )x n(1)x(1)(1)()( )( )a t nbbxtxneaa(0)(1)(1)(1)(1)(1)(1)( )(1)( )aa tnbxtxtxtexnea (1)x(1)x3.離散離散GM模型模型稱為稱為離散離散GM(1, 1)模型，即模型，即DGM(1, 1)模型。模型。時間響應函數：時間響應函數：這里，這里， (1)(1)12(1)()xkxk(1)(0)11211(1)(1)1kkxkx112(,)()TTTB BB ( 0 )( 0 )( 0 )(1)(2)()xxxn(1)(1)(1)(1

15、)(1)(1)11/2(1)(2),1 1/2(2)(3),11/2(1)( ),xxxxBxnxn 還原值還原值 DGM(1, 1)模型是灰色預測模型的一種新形式，可模型是灰色預測模型的一種新形式，可以全面解釋原以全面解釋原GM(1, 1)模型從離散形式到連續形式模型從離散形式到連續形式轉變問題，用轉變問題，用DGM(1, 1)做純指數增長序列預測模做純指數增長序列預測模擬，結果完全符合增長規律，解決了預測穩定性擬，結果完全符合增長規律，解決了預測穩定性問題。問題。 (0)(1)(1)(1)(1)(1 )(1 )(1 )( )x kx kx kx k 1,2,1kn4. 無偏無偏GM(1,1

16、)模型模型l在求出 之后, 得到模型：1,()TTTna bB BB Y 01(0) ( ) (1) (1)(2,3, )a kaxkexb a ek 無偏無偏GM(1,1)模型模型l令 l再令，l建立無偏GM(1, 1)模型 l與傳統的GM(1, 1)模型相比，無偏GM(1, 1)模型不存在傳統GM(1, 1)模型所固有的偏差，因而就消除了傳統GM(1, 1)模型在原始數據序列增長率較大時失效的現象，使得其應用范圍變得更加廣泛。此外，無偏GM(1, 1)模型無需進行累減還原，簡化了建模步驟，提高了模型的計算速度。 1222ln,22abaa 1012(2,3,)kxkek無偏無偏GM(1,1

17、)模型模型l實際應用時，灰色模型維數的選擇也影響到預測的精度。對于維數的選擇將采用如下的方法：先由全部的個原始數據建立第一個無偏灰色預測模型，考慮所建立的模型是否符合實際要求，否則去掉 ，用剩余的 個數據建立第二個無偏灰色模型，看是否符合實際要求，否則去掉 ，用剩余的 個數據建立第三個無偏灰色模型，依此類推，直到第 個數據被去掉為止。在所建立的 個無偏灰色模型中選擇擬合 最優的曲線作為預測曲線。 01x1n 02x2n14mn m m 0 xn 灰色關聯分析灰色關聯分析 灰色關聯分析的基本思想灰色關聯分析的基本思想 根據序列曲線幾何形狀的相似程度來判斷其聯系根據序列曲線幾何形狀的相似程度來判斷

18、其聯系是否緊密。曲線越接近，相應序列之間關聯度就越大，是否緊密。曲線越接近，相應序列之間關聯度就越大，反之就越小。反之就越小。關聯度關聯度 關聯度分析是分析系統中各因素關聯程度的方關聯度分析是分析系統中各因素關聯程度的方法，在計算關聯度前應計算關聯系數。法，在計算關聯度前應計算關聯系數。 （1）關聯系數：）關聯系數： 設設則關聯系數定義為：則關聯系數定義為： 00001 ,2 ,.,XkXXXn 00001 ,2 ,.,XkXXXn 00000000minminmaxmax( )maxmaxXkXkXkXkkXkXkXkXk式中：式中： 為第為第k個點個點 和和 的絕對誤差的絕對誤差 為兩極最小差為兩極最小差 為兩極最大差為兩極最大差 成為分辨率，成為分辨率， 一般取一般取對單位不一，初值不同的序列，在計算相關系數前應對單位不一，初值不同的序列，在計算相關系數前應首先進行初始化，即對該序列所有數據分別除以第首先進行初始化，即對該序列所有數據分別除以第一個數據一個數據 00XkXk 0X 0X 00min min XkXk 00maxmax XkXk010.5（2）關聯度）關聯度 和和 的關聯度的關聯度 0Xk 0Xk11nkrkn灰色絕對關聯度灰色絕對關聯度設系統行為序列設系統行為序列 與與 長度相同，長度相同，則稱則稱為為 與與 的灰色絕對關