1、第三節(jié)不等式的性質及一元二次不等式突破點一不等式的性質抓牢雙基咱學回扣基本知識1.比較兩個實數大小的方法a b0? ab( (a, b R作差法 3 b= 0 ? a = b(a, b R,a b0? a1? ab(a R, b0(2)作商法 b= i? a=ba R, b0 ,ab1 ? a0 .2.不等式的基本性質性質性質內容特別提醒對稱性ab? bb, bc? ac?可加性ab, c R? a + cb+ c?可乘性ab c0? acbc注意 c 的符號ab c0? acbr?a+ cb+ d cd.?同向同正可乘性ab0 cd0:? acbd0?可乘方性ab0? anbn(n N ,

2、n 1)a, b 同為正數可開方性ab0?舊叭(n N , n2)3.不等式的一些常用性質(1)倒數的性質1111a biiiab,ab0? 齊a0b?：b0,0c&.0axb 或 axb0? &；0，則 aam(bm0)-b丁； a0)-基本能力a b “若-,則 ab.()c c若ab, cd,貝 U acbd.( )答案：( (1)V(2)X(3)X二、填空題1 11若 avbvO,則荷與大小關系是-（用“aab，則實數 b 的取值范圍是 _答案：（R, 1）研透高孝深化提能典例感悟1. 設 M = 2a(a 2), N = (a+ 1)(a 3)，則有( () )A.

3、MNB. M NC.M0，所以MN，故選 A.1 12.(2018 吉安一中二模)已知下列四個關系式： ab? acbc;ab? ab0， cd0? db； ab1 , cb0,、判斷題 （對的打錯的打X”)11 1若1b b0，則1 a+b0b 時，不正確.1 1由于 cd0，所以-0 ,d ca b又 ab0，所以-0 ,正確.d c由于 a-1，當 x0 時，ax-x,故 ac 1,所以 ba.a 3in 2答案：v1 11 14.已知一 2x + y，-w3x+ yw孑孑，貝卩 9x+ y 的取值范圍是 _.解析：設 9x+ y= a(2x+ y) + -(3x + y),則 9x+

4、y= (2a + 3-)x + (a + -)y,于是比較兩邊系|2a+ 3-= 9,7數得得 a = 6, -= 7.由已知不等式得一3w 6(2x+ y)w3, w 7(3x +a + -= 1,271313y) )w7，所以一云三 9x + yw云.答案：方法技巧1.比較兩個數( (式)大小的兩種方法2.不等式性質應用問題的常見類型及解題策略(1)利用不等式性質比較大小.熟記不等式性質的條件和結論是基礎，靈活運用是關鍵,要注意不等式性質成立的前提條件.(2)與充要條件相結合的問題.用不等式的性質分別判斷p? q 和 q? p 是否正確，要注意特殊值法的應用.(3)與命題真假判斷相結合的問

5、題.解決此類問題除根據不等式的性質求解外，還經常 采用特殊值驗證的方法.突破點二一元二次不等式抓牢雙基自學回扣基本知識1.三個“二次”之間的關系判別式= b2 4ac 0= 0Av0二次函數y= ax2+ bx+c(a 0)的圖象V A一兀二次方程ax2+ bx+c= 0(a 0)的根有兩個相異實根X1, X2( (X1 0(a 0)的解集XIXVX1或 XX2X X 4 詩R一兀二次不等式ax + bx+ cv0(a 0)的解集x|X1O(vO)恒成立的條件基本能力一、判斷題( (對的打“/ ，錯的打“x”)(1)若不等式 ax2+ bx+ c0.()若方程 ax2+ bx + c= 0(a

6、豐0)沒有實數根，則不等式ax2+ bx+ c0 的解集為空集.()(3)若不等式 ax2+ bx+ c 0 對 x R 恒成立，則其判別式牡0.()答案：“(2)x(3)x二、填空題1 不等式亠;-1 的解集是_ .x 1解析：原不等式可化為 0,x 1不等式 ax2+ bx+ c0 對任意實數不等式 ax2+ bx+ c0,或*c0A0.x 恒成立？ a= b= 0,或*a0,c0IA 0,且 x 1 工 0,解得 x1 或 x 0.答案：( (一30U(1 ,+ )2設 a 1,則關于 x 的不等式 a(x a)x0 的解集是 一 2，3 J 貝卩 a+ b 的值是_答案：144若不等式

7、 ax2 ax+ 1 a a aa.a.a a a a aA網一把丕等圭變爭為二次現垂數為于雯的殛濮羽戒一判 T 計算對應方程的判別式，判斷方程抿的情況 亠求出對應的一元二次方程的根，或根據判別TI? -i式說明方程有沒有實根利用“大于取兩邊，小于取中間寫出不等式 匡1的解集f9x +2x,X0,22右 f(2 a )f(a),則實數 a2x x , xa2.函數 f(x)是奇函數，且在 R 上單調遞增， f(2 a2)f(a)等價于 2 a2a，即 a2+ a 20,解得2a 0,xa ,/ 12x2- ax- a20,即(4x+ a)(3x a)0.aa令(4x+ a)(3x a)= 0，

8、解得 xi= 4, x?=3.1當 a0 時，a3，解集為x xa| ;2當 a = 0 時，x20，解集為x|x R，且XM0;3當 a3，解集為x x .a aa a、綜上所述：當 a0 時，不等式的解集為x x 或 x；卩；43,當 a = 0 時，不等式的解集為x|x R，且 x 工 0;當 a0 時，不等式的解集為1x xa.I34丿方法技巧解含參數的一元二次不等式時分類討論的依據(1) 二次項中若含有參數應討論是等于0,小于 0,還是大于 0,然后將不等式轉化為一次不等式或二次項系數為正的形式.(2) 當不等式對應方程的實根的個數不確定時，討論判別式與 0 的關系.(3) 確定無實

9、根時可直接寫出解集，確定方程有兩個實根時， 要討論兩實根的大小關系，從而確定解集形式.考法二由一元二次不等式恒成立求參數范圍考向一在實數集 R 上恒成立例 2 (2019 大慶期中) )對于任意實數 X，不等式(a 2)x2 2(a 2)x 40 恒成立，則 實數 a 的取值范圍是_.解析當 a 2 = 0，即 a = 2 時，一 40 恒成立；a 20，當 a 2 工 0 時，則有 f2解得2a2，4(a 2J+ 46(a2 0，二一 2 m 對任意的 x (0,1恒成立，則實數 m 的取值范圍為 _.解析令 f(x)= X2 4x, x (0,1, / f(x)圖象的對稱軸為直線 x=2,

10、：f(x)在(0,1上單調遞減，.當 x= 1 時 f(x)取得最小值，為3, mW3.答案mW3方法技巧解決一元二次不等式在某區(qū)間恒成立問題常轉化為求二次函數的最值問題或用分離參數法求最值問題.集訓沖關1.考法一如果關于 x 的不等式 x2vax+ b 的解集是x|lvx 0 對任意實數 x 都成立，則 = (k1)2+ 4(k 1)W0,解得3Wkw1,故選 D.3.考法二 考向二若不等式 x2+ mx 10 對于任意 x m , m + 1都成立，則實數 m的取值范圍是解析：由題意，得函數 f(x)= x2+ mx 1 在m , m + 1上的最大值小于 0, 又拋物線 f(x)= x2+mx 1 開口向上，f m = m2+ m2