1、2020年“炎德英才杯”高二基礎學科知識競賽數學時量：120分鐘 滿分：150分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求。1.已知命題p：x>0，ln(x1)>0，則命題p的否定是a.x>0，ln(x1)0 b.x0，ln(x1)>>0c.x0>0，ln(x01)>0 d.x0>0，ln(x01)02.已知集合ax|1<x<2，btz|t2x1，xa，則aba.1，0，1 b1，0 c0，1 d.03.已知正項等比數列an的公比為q，若a2a64a52，則公比qa. b. c.

2、 d.24.已知a，b均為單位向量，它們的夾角為60°，caµb，若ac，則下列結論正確的是a0 b.0 c.20 d.205.(2x2)5的展開式中，x4的系數是a160 b.80 c.50 d.106.已知cos()sin()，()，則sin2a. b. c. d.7.唐朝著名的鳳鳥花卉紋浮雕銀杯如圖1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體(如圖2).當這種酒杯內壁表面積(假設內壁表面光滑，表面積為s平方厘米，半球的半徑為r厘米)固定時，若要使得酒杯的容積不大于半球體積的2倍，則r的取值范圍為a.(0， b.，) c.(， d.，)8.巳知實數a，b滿足a

3、b>0，則的最大值為a.2 b.2 c.32 d.32二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項中，有多項符合要求全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分。9.在平面直角坐標系xoy中，雙曲線a的焦點f位于x軸上，且雙曲線a與雙曲線b：有相同漸近線，則下列結論正確的是a雙曲線a與雙曲線b的離心率相等b雙曲線a與雙曲線b的焦距相等c.若雙曲線a的焦點f到漸近線距離為2，則雙曲線a的標準方程為d.若雙曲線a的焦點f到漸近線距離為2，則雙曲線a的標準方程為10.2019年國際數學奧林匹克競賽(imo)中國隊王者歸來，6名隊員全部摘金，總成績榮獲世界第一，數學

4、奧林匹克協會安排了分別標有序號為“1號”“2號”“3號”的三輛車，等可能隨機順序前往機場接參賽選手。某嘉賓突發奇想，設計兩種乘車方案。方案一：不乘坐第一輛車，若第二輛車的車序號大于第一輛車的車序號，就乘坐此車，否則乘坐第三輛車；方案二：直接乘坐第一輛車。記方案一與方案二坐到“3號”車的概率分別為p1，p2，則下列結論正確的是a.p1<p2 b.p1p2 c.2p13p2 d.p1p211.如圖所示，已知棱長為1的正方體abcda1b1c1d1中，e，f，m分別是線段ab、ad、aa1的中點，點p、q分別在線段a1b1、a1d1上，且a1pa1qx(0<x<1)。設平面mef平

5、面mpql，則下列結論正確的是a.l/平面abcd b.lacc.直線l與平面bcc1b1不垂直 d.當x變化時，l不是定直線12.已知函數f(x)sin(x)(>0)滿足f(x0)f(x01)，且f(x)在(x0，x01)上有最小值，無最大值。則下述四個結論正確的是af(x0)1 b.若x00，則f(x)sin(2x)c.f(x)的最小正周期為3 d.f(x)在(0，2019)上的零點個數最少為1345個三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知i是虛數單位，復數zai(ar)，且滿足z，則|z| 。14.已知函數f(x)，則f(x22x)<f(2x)的解集是 。

6、15.已知拋物線：y22px(p>0)的焦點為f，準線為直線l，點a與f在準線l的兩側，且afl，|af|2p，b(，y0)是拋物線上的一點，bc垂直l于點c，ab分別交l，cf于點d，e，則|bc| ；若|ef|df|，則的值為 。16.巳知函數f(x)x3ax2ax1(a1)在不同的兩點p1(t1，f(t1)，p2(t2，f(t2)處的切線的斜率相等，若不等式f(t1t2)m0(mr)恒成立，則實數m的取值范圍是 。四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(本小題滿分10分)在3a2b2b40，a4b4，s327這三個條件中任選一個補充在下面

7、問題中，并解答問題。設等差數列an的前n項和為sn，數列bn的前n項和為tn， ，a5b1，4tn3bn1(nn*)，是否存在實數，對任意nn*都有sn?若存在，求實數的取值范圍；若不存在，請說明理由。(注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分)18.(本小題滿分12分)三角形abc的內角a，b，c的對邊分別為a，b，c，已知acosbsina。(1)求b；(2)若abc為銳角三角形，且c1，求abc面積的取值范圍。19.(本小題滿分12分)已知四棱錐pabcd中，底面abcd是邊長為2的菱形，且abc60°，pa平面abcd，e，m分別是bc，pd上的中點，直線em與平面pa

8、d所成角的正弦值為，點f在pc上移動。(1)證明：無論點f在pc上如何移動，平面aef平面pad；(2)若點f為pc的中點，求二面角cafe的余弦值。20.(本小題滿分12分)過橢圓c：內一點a(0，1)的動直線l'與橢圓相交，當l'平行于x軸和垂直于x軸時，l'被橢圓c所截得的線段長均為2。(1)求橢圓c的標準方程；(2)過點f(，0)作直線l交橢圓c于點m，n，求三角形omn面積的最大值。21.(本小題滿分12分)華為手機的“麒麟970”芯片在華為處理器排行榜中最高主頻2.4ghz，同時它的線程結構也做了很大的改善，整個性能及效率至少提升了50%，科研人員曾就是否需

9、采用西門子制程這一工藝標準進行了反復比較，在一次實驗中，工作人員對生產出的50片芯片進行研究，結果發現使用了該工藝的30片芯片有28片線程結構有很大的改善，沒有使用該工藝的20片芯片中有12片線程結構有很大的改善。(1)用列聯表判斷：這次實驗是否有99.5%的把握認為“麒麟970”芯片的線程結構有很大的改善與使用西門子制程這一工藝標準有關?(2)在“麒嶙970”芯片的線程結構有很大的改善后，接下來的生產制作還需對芯片的晶圓依次進行金屬濺鍍，涂布光阻，蝕刻技術。光阻去除這四個環節的精密操作，進而得到多晶的晶圓，生產出來的多晶的晶圓經過嚴格的質檢，確定合格后才能進入下一個流程。如果生產出來的多晶的晶圓在質檢中不合格，那么必須依次對前四個環節進行技術檢測并對所有的出錯環節進行修復才能成為合格品。在實驗的初期，由于技術的不成熟。生產制作的多晶的晶圓很難達到理想狀態，研究人員根據以往的數據與經驗得知在實驗生產多晶的晶圓的過程中，前三個環節每個環節生產正常的概率為，每個環節出錯需要修復的費用均為200元，第四環節生產正常的概率為，此環節出錯需要修復的費用為100元，問：一次試驗生產出來的多晶的晶圓要成為合格品大約還需要消耗多少元