1、2-1-12 利益分配的合作博弈模型1、問題的提出在經濟和社會活動中，若干實體（如個人、公司、黨派、國家等）相互合作結成聯盟或者集團，常能獲利得比他們單獨行動時更大的經濟或社會效益，并且，通常這種利益是非對抗性的。合理地分配這些效益的方案是促成合作的前提，那么，應該如何分配利益才算是合理？2、模型的構建若干方合作獲利的效益分配問題，稱為合作博弈。1953年，L.S.Shapley給出了n人合作博弈問題的一種方法。假定在n方合作博弈中，若干人的每一種組合（特別，單人也看作為一種組合）都會得到一定的效益，合作中人數的增加不會引起效益的減少，于是，全體人員的合作將帶來最大效益，在這種假定下，Shap

2、ley提出了一系列的公理的唯一的分配這個最大效益的一種方案，并且嚴格證明了這種方案是滿足這組公理的唯一的分配。設為合作博弈的n方。對于參加者的某種組合(即的一個子集)S,以記其相應的效益(它是一種有特定含義的特征函數).。用表示中第位成員從合作收益中應得到的一份收入。稱為Shapley值，它由效益函數確定它的計算公式為其中是中包含的所有子集，是子集中的元素個數（組合中的參加者數量），是加權因子注意到是有第方參加的某種合作方案的獲利，表示在這種合作方式中第方退出以后的獲利。因此，可以看成在這種合作方案中第方的“貢獻”。根據前面的假設，任何一方在任何合作方案中的貢獻都是非負的。而則是在各種有第方參

3、加的合作方案中第方“貢獻”的加權總和。通俗地說，就是按照貢獻大小分配利益?？梢宰C明，這種分配方案滿足：i）不貢獻的不得利（即如果他在各種合作方案中所有的貢獻值都為零，則他的獲利為零）：ii）各合作方的獲利總和等于總收益。 3模型求解與應用 下面通過實例說明模型如何根據求解合作獲利的效益分配，沿河有1、2、3三個城鎮，地理位置及各城鎮的距離如圖2-9所示。城鎮排放的污 需經過處理才能排入河中，三個城鎮既可以單獨建污水處理廠，也可以聯合建廠，用管道將污 集中處理（污水 必須從上游城鎮送往下游城鎮，處理廠必須建在下游位置。）按照經驗公式，建造污水處理廠的費用和鋪設管道的費用分別為 其中表示污水處理量

4、（噸/秒），表示管道長度（km）、如果三城鎮的污水量分別為6，試從節約總投資的角度為三城鎮制定建廠方案。如果聯合建廠，費用應如何分擔。三城鎮建廠方案一共有以下5種 （1） 城鎮分別建造，建造費用分別為×總投資額為（2） 城1，2合作，在城2處建廠，城3單獨建，建造費用為，總投資額為。（3） 城2，3合作，在城3處建廠，城1單獨建.建造費用為，總投資額為。（4） 城1，3合作，在城3處建廠，城2單獨建.建造費用為，總投資額為。（5） 三方合作建廠.建造費用為比較以上方案，費用最省的自然是第5種，三城鎮自然都會考慮合作建設。那么，應該如何分擔這筆合作建造費用？如果不采用Shapley的方

5、法，人們首先會想到根據排放污水量平均分擔的辦法.于是，城1應該分擔，同樣，城2應分擔，城3應分擔。然而，按照這樣的方案，城1可以節省23千元。城3可以節省36千元，城3 卻只能節省11千元似乎并不盡合理。考慮到合作建廠的費用由建處理廠和鋪設管道兩部分組成，城3提出另外的方案：建處理廠費用應按排污量平均分擔，而2，3段管道費用應由1，2兩城分擔，1，2段管道費用由城1單獨承擔.這種方案貌似公平，但仔細算來，城3只需承擔費用而城2和城1的費用將分別達到130千元和245千元（計算略）.城1甚至超過單獨建廠的費用,這顯然更是不合理的。如果采用Shapley的方法，我們可以把合作方案節省的投資額看成收

6、益，它將符合特征函數的要求，因此，可以要Shapley值計算各方節省的資金額。更方便地，可以直接用各種合作方案的建造費用作為效益函數計算 Shapley值，其結果就是各方應承擔的投資費用.用上述數據計算，以第1城為例，可得下表表2-1-6230350490580016026039023019023019012231/31/61/61/3230/3190/6230/6190/3210即得。類似地可以計算得到，.也就是說，如果三方合作，則各方投資應按上述比例分攤.這時，各方按排污量平均每秒噸的投資額分別為42千元、41.67千元、和40.83千元.排放距離即鋪設管道長些，承擔費用略大些。各方節省額

7、的差額比按照排放污水量平均分擔方案小些，這種分攤結果還是更合理些。2-4-1鋼管的訂購和運輸模型1、問題的提出 2000年全國大學生數學建模競賽B題鋼管的訂購種運輸，問題是要鋪設天然氣輸送管道，在若干鋼管生產廠以及不同的運輸路徑、方案中，如何進行選擇，確定購運計劃，才能使總費用最小。2模型和構建鋼管的訂購和運輸賽題提出的大到上是這樣的問題：要鋪設一條的輸送天然氣的主管道，如圖2-24所示。經篩選后可以生產這種主管道鋼管的鋼廠有.圖中粗線表示鐵路，單細線表示公路，雙細線表示要鋪設管道的地方（假設沿線原有公路或建有施工公路），每段鐵路和公路旁的數字表示路段長（單位：km）.為和距離有所區別，1 k

8、m 長的鋼管稱為1個單位。鋼廠在指定期限內該種鋼管的最大生產能力為單位（如下表）：表2-4-11234567800800100020002000200030001單位鋼管的鐵路運價如下表：表2-4-2里程（km）300301350351400401450451500運價（萬元）2023262932里程（km）5016006017007018008019009011000運價（萬元）3744505560注：1000km 以下每增加1100 km，運價增加5運價（萬元）。 公路運價不1單位鋼管每千米路程0.1運價（萬元）（不足1km部分按1 km計算）.鋼管可從某幾家鋼廠訂購，由鐵路、公路運往各鋪

9、設點（不足是運到而是管道的全線）。請制定訂購和運輸計劃，我們應當分成幾個層面和的子問題考慮：首先需要計算出單位長度鋼管從各鋼廠S，運到需要鋪設點P，（以1km管道為一個點，總共有5171個點）的最小運輸費用鋼管可以通過鐵路或公路運輸。公路運費是運輸里程的線性函數（稍有不同的是不足1km要進整），但是鐵路運價卻是一種分段的階躍的常數函數。因此在計算時，不管對運輸里程還是費用而言，都不具有可加性。圖論中用以計算最短路的Dijkstra 算法和Floyd算法等都將失效，只能將鐵路運價（即由運輸總里程找出對應費率）和公路運價分別計算后再迭加，好在整個圖形比較簡單，鋼廠出來都是鐵路，鋪設點沿線都是公路。

10、而且通常情況下平均每千米的鐵路運價要低于公路運價，所以只要在優先考慮盡量使用鐵路運輸的前提下，通過可能方案的枚舉，就能找到費用最小的路徑和費用。（根據題目提供的數據，鐵路運價中601km段的運價比分解為300+301段的運價要高，從而帶來計算的問題。這可能是命題者的疏忽。此外，有個別點對在運輸方案的枚舉計算時會出現意外，但這不具一般性。）其實，并不需要逐一求出所有點對的費用。因為從到總要經過某個樞紐站。假定位于構紐站和之間，那么只要比較從和兩者的大小。也就是說，只要先求出的費用（），再在段上找出通過兩側到達鋪設點費用相同的平衡點，顯然如果在平衡點的左側應該經過，在平衡點的右側則應該經過到達。這

11、樣就可以大大減少計算量。（直接計算需要算7×5171個量，而計算的費用則需要7×14個，平衡點共7×13個，總共119個量。每個點的費率再需加一小段公路運費即可）。根據題意，公路路段的費用，行駛里程不足1km部分按1km計算。因此，平衡點的小數部分是不起作用的，不妨均取整數，根據鋪設點在平衡點的哪一側來確定費率。知道了從鋼廠到鋪設點的費率，就容易得出原問題的數學模型運輸問題模型。模型一：線性規模型用表示鋪設點的鋼管是否從第家鋼廠購運而來。如果是則取1，否則取0。那么，總的運輸費用便是：根據鋼廠生產能力有以下不等式：于是，原問題就可以表示成：這就是原問題的運輸問題模

12、型。用該模型求解，顯然存在變量過多（共有7×5171個）的困難。考慮到前文所述鋼廠到鋪設點的運輸必定要經過樞紐站，因此可以用下述方式簡化。模型二：二次規劃模型用表示從鋼廠運到樞紐站、分別表示從樞紐站向右邊（即段）及左邊（即段）的鋼管總量，（這里假設、都是整數）。注意到將總量為的鋼管運到每單位鋪設點，其運費應為第一公里、第二公里直到第公里的運費之和，即為。往左也一樣。又因為從樞紐站運往兩邊的量受路段長度制約，故有綜上所述，原問題的模型為：用該模型，變量個數從7×5171=36197減少到7×14+2×13=114個。上述模型，其目標函數是一個二次函數，而約

13、束條件則是線性方程和線性不等式組。這種形式的數學規劃問題稱為二次規劃。它的一般形式為：對于二次規劃的討論，可參閱有關文獻。3、模型的求解對于所構建的線性規劃運輸問題模型，一般數學軟件包都有相關的軟件可以采用。由于約束條件的系數矩陣的全幺模性，用普通的線性規劃方法直接可以得到整數解，不用作特別處理，只是由于變量較多，可能有的計算機容納不了。至于模型二的二次規劃模型，同樣有軟件可以。2-4-12大型超市購物者付款排隊系統優化模型1問題的提出大型超市收銀臺前排長隊的現象始終困擾著購物者，而過多的收銀窗口導致的成本增加又困擾著商場經營者。前者影響到公司在消費者心中的形象，后者影響到商場的經營效益。窗口

14、開得多好還是開得少好？采取什么優化措施才能兼顧消費者滿意與商場經營者成本最低？2模型的構建購物者到達的時候是隨機的，購物者交費的時刻也是隨機的。若開放的窗口過少，購物者等待時間會很長，很可能會選擇臨近的商場；若開放的窗口過多，雖然減少了購物者的等待時間，但將導致收銀員空閑，增加商場的經營成本。顯而易見，商場經營者解決這一問題的基本思路是：構建數學模型，在消費者能夠忍受的等待時間條件下，求解使經營成本最小的窗口設置數目。很多文獻均把購物者由于等待所產生的費用假設為一個已知量，將等待費用和服務成本的總費用作為目標函數得到最優的控制策略，但在實際應用中購物者的等待費用往往很難確定。例如，一個70歲的

15、退休老人與一個30歲的年輕人同樣等待1個小時所產生的損失費用顯然是不同的，同一個人在不同時間的等待損失費用也是不同的。另一方面，由于這類企業競爭激烈，應提高服務質量，把令購物者滿意放在首位。因此，上述方法在實際中往往是不可行的?；诖?，通過調查獲得購物者能接受的平均等待時間，提出了以為約束條件的優化模型，在此約束條件下求得使服務成本最小的收費臺數。（1）系統描述大型超市購物者交費排隊系統是一個隨機服務系統，有如下特征：（i）購物者達到收費系統是相互獨立的，購物者相繼到達的時間間隔是隨機的；（ii）服務規則遵從先到先服務原則，且為等待制，即購物者接受服務需要等待；（iii）購物者交費時間是相互獨

16、立的。系統運行較長時間達到穩態，進入系統的購物者可隨時改變其隊列，假設購物者的到達服從泊松分布，其交費時間服從負指數分布，因此這個收費系統是M/M/C/的一個排隊系統。變量設置：為購物者平均到達率，為服務員的服務率，為系統的服務強度，為開放臺收銀機時在統計平衡狀態下系統中有個購物者的概率，為時段使服務成本最小的收費臺數，為白天或晚上購物者能夠接受的平均等待時間。當到達率為，服務率為的生滅過程達到穩態時，可得由定義可得，在M/M/C/系統中，對于時段，當系統達到統計平衡狀態時，每個購物者在系統中的等待時間W的均值為其中本文的模型是，當系統達到統計平衡狀態時，一個購物者在收費系統中的平均等待時間不

17、超過購物者能夠接受的平均等待時間的條件下，求最小的收費臺開放數。設表示在時段，當收費臺開放數為時，個收費臺中正在工作的臺數，則的分布為所以，因此，收費臺的有效工作率為（2）實際數據的收集與整理對成都某大型超市進行調查，數據如下：（i）共設有40臺收銀機，這些收銀機各時段的開放情況見表2-4-18.表2-4-18 各時段樣本均值 單位:人/小時時段/時9:00-10:0010:00-11:0011:00-12:0012:00-13:0013:00-14:0014:00-15:0015:00-16:00平均到達率775.6834.6754.3560.8541.9589.3888.8時段/時16:0

18、0-17:0017:00-18:0018:00-19:0019:00-20:0020:00-21:0021:00-22:0022:00-23:00平均到達率1014958.8756802.7803.5699.4286.2（ii）在收費系統現場連續記錄了150名購物者各自進入系統的時刻，利用文獻中定數檢驗法得到一天時段內進入收費系統的購物者流是一個符合泊松分布的購物者流，其平均到達率記為（數據見表2-4-18）。值得注意的是，進入收費系統的購物者流在一個時段內是一平穩泊松流，但在整個一天內卻不是一個平穩泊松流。（iii）利用計算機收費記錄數據，隨機選取了400名購物者交費時所需的時間數據，通過統

19、計檢驗得到購物者交費時所需的時間，是服從負指數分布且其均值為（iv）通過對100名隨機選擇的購物者的調查，獲得了購物者在交費時能夠接受的等待時間數據。對這些數據的分析發現，9：0019：00購物者能夠接受的等待時間均值為小時，19：0023：00的均值為小時。這說明，晚上購物者的時間沒白天那么緊迫，所以晚上能夠接受的等待時間大于白天能夠接受的等待時間。3模型求解根據上述模型，借助MATLAB軟件，代入以上的商場數據即可研究該排隊系統中服務臺數的優化設計問題。編寫含有5個子程序（關于和的MATLAB源程序來實現如下功能：給定購物者在各時段的平均到達率、平均服務率，以及服務臺數起始變化值及終止值（

20、需要注意最小開放服務臺數應保證系統服務率，才能使系統達到統計平衡）的情況下，算出各時段購物者等待時間不超過的值，再算出值及的值，計算結構見表2-4-19。時段/時優化后的收費臺數實際開放的收費臺數9:0010:00223021.07610.95810:0011:00233022.67930.98611:0012:00211220.48980.97612:0013:00161215.23910.95213:0014:00151214.72550.98214:0015:00171216.01360.94215:0016:00251224.15380.96616:0017:00281227.5543

21、0.98417:0018:00273026.05430.96518:0019:00213020.54350.97819:0020:00233022.75990.98920:0021:00233022.78560.9921:0022:00201219.00540.9522:0023:00847.77720.972從表2-4-19可見，在時段9:0011:00及17:0021:00優化的臺數小于實際開放的的臺數，可見這些時段實際開放的臺數過多，而11:0017:00和21:0023:00期間實際開放的收費臺數又太少，尤其是22:0023:00時段，這樣購物者等待的時間將會超過他們能接受的等待時間，

22、從而使得購物者不滿意。從表2-4-19還可看到，優化后各時段收費系統的有效工作率均在95%以上，說明收銀員的工作量比較飽和，避免了由于收銀臺開放數過多造成的人員浪費。大型超市的排隊系統還可設置少許輔助人員，在客流量大時作收銀員，客流量小時可將購物者準備購買但排隊時又放棄購買的貨物整理放回貨架，這樣既可進一步優化排隊系統，也是降低成本的一種途徑。4模型的應用本文通過都市一大型超市的調查數據，利用上述排隊模型理論，對收銀臺開放數目進行優化，所得結果比該商場原開放方式更能滿足購物者的要求，同時還節約了成本。在滿足購物者需求的情況下，對其開放的收費臺數進行優化，實施動態管理，將有效提高工作效率，為企業

23、節約成本。在實際運營中，由于工作日、又休日及節假日客流量會有較大差異，各企業可根據歷史數據對其進行個別分析，使之更具針對性，為實際決策提供依據。因此本文的研究成果對于大型商場、醫院等具有收費系統的服務企業具有普遍借鑒意義。參考文獻1 鄭歡，古福文，大型超市顧客交費排隊系統優化分析，管理學報，2005，2（2）：171-173。3-4-3風險投資模型1問題的提出某投資人考慮一個兩年投資計劃。第一年他有3種決策可以選擇：用所有資金購買股票，或用一半資金購買股票，或用所有資金購買債券。如果第一年他選擇用一半資金購買股票，第二年他又有兩種決策可以選擇：用剩余的一半資金購買股票或者不買，假設投資人所購買

24、的股票均為A公司的股票，那么，投資人應當如何作出決策，使得收益達到最大？2模型的構建經過分析，投資人發現不同的投資方案所得到的收益與A公司經營狀況的好壞有密切關系，并獲得以下信息，A公司經營狀況好壞的概率如下：第一年“好”的概率為0.6，“壞”的概率為0.4，在第一年“好”的情況下，第二年“好”的概率為0.7，“壞”的概率為0.3；在第一年“壞”的情況下，第二年“好”的概率為0.4，“壞”的概率為0.6。具體信息如表3-4-4所示。表3-4-4 不同決策方案及A公司不同經營狀況下的收益決策方案A公司的經營狀況收益（千元）第一年第二年第一年用全部資金購買股票好好800好壞-500壞好600壞壞-

25、700僅第一年用一半資金購買股票好好300好壞0壞好100壞壞-100兩年各用一半資金購買股票好好600好壞-600好好500好壞-400買債券50這樣，風險投資問題可歸結為一個多階段決策問題。為了比較直觀地反映決策者選擇不同方案，在各種不同情況下的可能收益，可以采用決策樹來表示。在決策樹中，決策點通常用方框表示，用于表示對不同的決策方案作出選擇。由決策點出發分別引出若干條直線，表示可供選擇的決策方案。直線的另一端是機會點，通常用圓圈表示，在圓圈下面記錄選擇這種決策方案所得到的期望收益，從機會點出發，再分別引出若干條直線，表示可能出現的不同情況。在這些直線上，標出出現這些情況的概率。而在直線的

26、另一端，標出出現這些情況時的收益，或者也可以是另一個決策點，表示下一階段可供選擇的決策方案。上述風險投資問題的決策樹由圖3-7給出。圖3-7 風險投資問題的決策樹3模型的求解和應用畫出決策樹后，就可以著手計算不同決策的期望收益。具體計計算從右向左進行，對于第一個方案第二階段的機會點，其期望收益為800×0.7+(-500)×0.3=410，將這個值寫在機會點的下面。同樣地，第一個方案第二階段的機會點，其期望收益為600×0.4+(-700)×0.6=-180，將這個值寫在機會點的下面。這樣，機會點的期望收益值為410×0.6+(-180)

27、15;0.4=-174，這就是第一個方案最終的期望收益。將這個值寫在機會點的下同。同理可以計算出其他機會點的期望收益。再來看決策點的選擇。對于決策點，有兩種選擇和的期望收益為240。的期望收益為210，因此決策點應，期望收益為240。將240寫在的下面，表示這個決策所得到的期望收益。類似地，對于決策點，應選擇，期望收益為-20。而對于決策點，有三種選擇，和，其期望收益分別為174，136，50，故應選擇第一種方案，期望收益值為174。實踐與思考1在閱讀某類外文著作時，如何合理地使用大小兩種字典，以加快閱讀進工？試從定量化的角度分析以下3種方式。方式A：總使用大字典查找生字。方式B：先使用小字典

28、查找生字，如查不到，則在大字典中查找。方式C：先對所要查找的生遼是否在小字典中作出判斷，如判斷為“不是”，則采用方式A，如判斷為“是的”，則采用方式B。為作出此種分析，你當然需要對查找生字的速度、判斷本身的正確程度作出定量化的假設。4-3-5飛機起飛的排隊模型1問題的提出機場通常都采用“先到先服務”的原則來分配飛機跑道，即當飛機準備好離開登機口時，駕駛員電告地面控制中心，加入等候跑道的隊伍?？刂浦行母鶕姼娴南群蟠涡虬才鸥黠w機的起飛時間。如何利用數據庫系統，綜合考慮骯空公司和乘客的利益，合理安排飛機的起飛次序，這就是我們要考慮的問題。2模型的構建假設共有架飛機要求起飛，對所有這些飛機進行編號，

29、記為控制中心可以從在線數據庫中快速得到每架飛機的如下信息：（1）預定離開登機口的時間；（2）實際離開登機口的時間；（3）機上乘客人數；（4）預定在下一站轉機的人數和轉機的時間；（5）到達下一站的預定時間。我們先做一些必要的簡化假設。（1）設機場上所有要起飛的飛機都使用同一條跑道，并且任何一架飛機在起飛時都完全占有整條跑道，每架飛機占用跑道的時間是相同的。這樣，我們可以把整個時間分割成離散的等長的小時間段，記為，在每個時間段中可容納一架飛機完成起飛操作。（2）第架飛機在第個時間段起飛時，所需費用僅與該飛機和時間位置有關，而與前面的飛機無關。（3）高是第架飛機能夠按時到達目的的地所必須起飛的最晚時

30、限，如果飛機在時限以后才起飛，則只能以最大安全速度飛完全全程，且所有需要轉機的乘客都無法趕上下班飛機。假設給每位乘客的賠償費是相同的，記為。為了描述飛機與起飛時間段的關系，引入決策變量，表示第架飛機是否被指定在第個時間段起飛：記為第架飛機在第個時間段起飛時所需要的一切費用，從而構物費用矩陣C：因此，對某一種飛機安排，其總費用為我們的目標就是求，使得總費用z達到最小。顯然每架飛機都將占用某一個時間段，因此而每個時間段也恰好能容納一架飛機起飛，即于是問題化為如下的01規劃模型：求，滿足 （4.3.28）3費用矩陣C的生成上述01規劃模型中的費用系數通常與飛機的型號、運行費用、運輸區劃客情況及乘客的

31、滿意程度有關。為簡化計算，我們不考慮基本運行費用，而只考慮由于飛機延遲起飛而引起的額外費用。這一費用包括由于晚點而不再以最經濟的速度而是以較快或最快速度飛行帶來的燃料損失（稱為燃料附加費），因耽誤乘客轉機而產生的賠償費（稱為乘客誤機費），以及乘客因飛機誤點而產生的不愉快情緒轉化為航空公司的間接損失（稱為乘客的不滿意度）。（1）燃料附加費由于晚點，飛機必須以盡可能快的速度飛行，故燃料的消耗隨晚點的時間長短而變化。然而即使晚點，一旦超過了最大時限，飛機也只能以最大的安全速度飛行，此時燃料的消耗是恒定的。因此可設第架飛機的燃料附加費為其中為飛機的晚點時間，為第架飛機每晚點單位時間由加速引起的增加油耗

32、的價格。（2）乘客誤機費記為第架飛機上需轉機的人數，當飛機晚點超過時限時，這些乘客都將趕不上下班飛機。由假設（3），航空公司給每位乘客賠償費用，故乘客誤機費為其中為Heaviside函數 （4.3.29）（3）乘客的不滿意度顯然，飛機晚點時間越長，乘客越不滿意。如果僅晚點一兩分鐘，顧客也許不會太不滿意；而如果晚點時間延長，乘客不滿意程度將會呈非線性地增長，這里我們用指數函數來描述乘客對飛機晚點的不滿意度 （4.3.30）其中表示第架飛機上的乘客數，表示乘客等待時不滿意程度上升快慢的因子，表示將不滿意度轉化為相應費用的比例系數。如果飛機晚點超過最大時限，需轉機的乘客將耽誤下班飛機，這部分乘客會變

33、得焦躁不安并且非常憤怒，這部分乘客的不滿意度可表示為 （4.3.31）其中仍表示第架飛機上要轉機的乘客數，為由（4.3.29）式定義的Heaviside函數，b表示將不滿意度轉化為相應費用的比例系數。（4）總費用系數綜合以上三個部分的費用，最終得到費用系數其中為飛機的晚點時間，它與飛機及其起飛時間段有關。4模型的求解和應用0-1規劃模型（4.3.28）是一個指派模型，可以用匈牙利算法進行計算，也可使用數學軟件或專門的優化軟件包進行計算，如LINDO。作為一個例子，假設早晨6:00，有三架飛機同時要求起飛，設它們的型號相同，且相同的飛行距離，預定到達終點的時間均為7:20。三架飛機上的乘客數分別

34、為350100400，每架飛機上都有100名乘客要求轉機。設起飛時間段的長度為。為了簡化計算，不妨將參數和均取為1，由此得到費用矩陣于是最優解為即三架飛機按3,1,2的次序起飛，最低費用，這與常識相符，由于其他條伯設定都一樣，故最優的次序是讓乘客多的飛機先起飛。當第三架飛機剛起飛，第四架飛機要求緊急起飛。第四架飛機已經晚點18分鐘，它若想按時在7:06到達終點，就必須在1分鐘內起飛，其上有200名乘客，150人要求轉機，計算結果見表4-3-3。由表4-3-3可知，最優起飛順序為4,1,2，最低費用。這表明晚點時間很長的飛機應優先起飛，否則航空公司就需要支付高額的誤機費了。表4-3-3 各飛機的

35、數據信息及計算結果飛機乘客數轉機數晚點費用矩陣C最優解13501001min5.898911.896617.994901021001001min1.69733.42285.1771001421015018min70.2718374.8257379.458100實踐與思考1已知有6個人可以做6項工作，每個人做每項工作的效率如表4-3-4所示，如何安排每個人的工作，使得總的工作效率最大？表4-3-4 各人做每項工作的效率3510026432541422121233312132423254664-4-7碼頭卸貨效率分析的隨機模擬模型1問題的提出有一個只有一個舶位的小型卸貨專用碼頭，船舶運送某些特定的

36、貨物（如礦砂，原油等）在此碼頭卸貨。若相鄰兩艘船到達的時間間隔在15分鐘分到145分鐘之間變化，每艘船的卸貨時間由船的大小、類型所決定，在45分鐘到90分鐘的范圍內變化?，F在需對該碼頭的卸貨效率進行分析，即設法計算每艘船在港口停留的平均時間和最長時間；每艘船等待卸貨的時間；卸貨設備的閑置時間的百分比等。2模型的構建為簡單的計算，假設前一艘船卸貨結束后馬上離開碼頭，后一艘船立即可以開始卸貨。引進如下記號：第艘船的到達時間；第1艘船與第艘船到達之間的時間間隔；第艘船的卸貨時間；第艘船的離開時間；第艘船的等待時間；第艘船的在港口的停留時間；卸完第1艘船到開始卸第艘船之間的設備閑置時間；船只最長等待時

37、間；船只平均停留時間；船只最長停留時間；船只平均等待時間；設備閑置總時間；設備閑置百分比。為了分析碼頭的效率，我們考慮共有條船到達碼頭卸貨的情形，原則上講，越大越好。由于條船到達碼頭的時間和卸貨時間都是不確定的，因此，我們要用隨機模擬（又稱為蒙特卡羅（Monte Carlo）模擬）的方法來建立數學模型。首先，我人假設兩船到達之間的時間間隔是一個隨機變量，服從15分鐘到145分鐘之間的均勻分布；各船卸貨時間也是一個服從45分鐘到90分鐘間均勻分布的隨機變量。然后我們可以用發生均勻分布的隨機數的方法，分別產生個15，145和45，90之間的隨機數和模擬艘船兩兩之間到達的時間間隔和各艘船的卸貨時間。設初始時刻為0