1、第 7 講函數(shù)的圖象一、知識(shí)梳理1利用描點(diǎn)法作函數(shù)圖象其基本步驟是列表、描點(diǎn)、連線首先：確定函數(shù)的定義域；化簡(jiǎn)函數(shù)解析式；討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性等)其次：列表(尤其注意特殊點(diǎn)、零點(diǎn)、最大值點(diǎn)、最小值點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等)，描點(diǎn)，連線2利用圖象變換法作函數(shù)的圖象(1)平移變換(2)對(duì)稱變換yf(x) 關(guān)于 x 軸對(duì)稱yf(x)yf(x) 關(guān)于 y 軸對(duì)稱yf(x)yf(x) 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱yf(x)yax(a0 且 a1)關(guān)于 yx 對(duì)稱ylogax(x0)(3)翻折變換yf(x)保留 x 軸及上方圖象將 x 軸下方圖象翻折上去y|f(x)|；yf(x)保留 y 軸及右邊圖

2、象，并作其關(guān)于 y 軸對(duì)稱的圖象yf(|x|)(4)伸縮變換yf(x)a1，橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的1a倍，縱坐標(biāo)不變0a1，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的1a倍，縱坐標(biāo)不變yf(ax)yf(x)a1，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的 a 倍，橫坐標(biāo)不變0a1，縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的 a 倍，橫坐標(biāo)不變yaf(x)常用結(jié)論1函數(shù)圖象平移變換的八字方針(1)“左加右減”，要注意加減指的是自變量(2)“上加下減”，要注意加減指的是函數(shù)值2函數(shù)圖象對(duì)稱的三個(gè)重要結(jié)論(1)函數(shù) yf(x)與 yf(2ax)的圖象關(guān)于直線 xa 對(duì)稱(2)函數(shù) yf(x)與 y2bf(2ax)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)中心對(duì)稱(3)若函數(shù) yf(x)的定義域

3、內(nèi)任意自變量 x 滿足：f(ax)f(ax)，則函數(shù) yf(x)的圖象關(guān)于直線 xa 對(duì)稱二、教材衍化1函數(shù) f(x)x1x的圖象關(guān)于()ay 軸對(duì)稱bx 軸對(duì)稱c原點(diǎn)對(duì)稱d直線 yx 對(duì)稱解析：解析：選 c函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?，0)(0，)且 f(x)f(x)，即函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，故選 c2已知圖中的圖象是函數(shù) yf(x)的圖象，則圖中的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)可能是()ayf(|x|)by|f(x)|cyf(|x|)dyf(|x|)解析：選 c因?yàn)轭}圖中的圖象是在題圖的基礎(chǔ)上，去掉函數(shù) yf(x)的圖象在 y軸右側(cè)的部分，然后將 y 軸左側(cè)圖象翻折到 y 軸右側(cè)得來(lái)的，所以題圖中的圖象對(duì)應(yīng)

4、的函數(shù)可能是 yf(|x|)故選 c一、思考辨析判斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)將函數(shù) yf(x)的圖象先向左平移 1 個(gè)單位， 再向下平移 1 個(gè)單位得到函數(shù) yf(x1)1 的圖象()(2)當(dāng) x(0，)時(shí)，函數(shù) y|f(x)|與 yf(|x|)的圖象相同()(3)函數(shù) yf(x)與 yf(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱()(4)若函數(shù) yf(x)滿足 f(1x)f(1x)，則函數(shù) f(x)的圖象關(guān)于直線 x1 對(duì)稱()答案：(1)(2)(3)(4)二、易錯(cuò)糾偏常見(jiàn)誤區(qū)|(1)函數(shù)圖象的平移、伸縮法則記混出錯(cuò)；(2)不注意函數(shù)的定義域出錯(cuò)1將函數(shù) yf(x)的圖象向右平移 1 個(gè)單位長(zhǎng)

5、度得到函數(shù)_的圖象解析：yf(x)的圖象向右平移 1 個(gè)單位長(zhǎng)度，是將 f(x)中的 x 變成 x1.答案：yf(x1)2.已知函數(shù) f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù) g(x)log2f(x)的定義域是_解析：當(dāng) f(x)0 時(shí)，函數(shù) g(x)log2f(x)有意義，由函數(shù) f(x)的圖象知滿足 f(x)0 時(shí)，x(2，8答案：(2，8考點(diǎn)一作函數(shù)的圖象(基礎(chǔ)型)復(fù)習(xí)指導(dǎo)|在實(shí)際情境中，會(huì)用圖象法表示函數(shù)，并會(huì)對(duì)函數(shù)圖象作變換核心素養(yǎng)：直觀想象分別作出下列函數(shù)的圖象(1)y|lg x|；(2)y2x2；(3)yx22|x|1.【解】(1)ylg x，x1，lg x，0 x1.圖象如圖所示(2)將

6、 y2x的圖象向左平移 2 個(gè)單位，圖象如圖所示(3)yx22x1，x0，x22x1，x0.圖象如圖所示函數(shù)圖象的畫(huà)法提醒(1)畫(huà)函數(shù)的圖象一定要注意定義域(2)利用圖象變換法時(shí)要注意變換順序，對(duì)不能直接找到熟悉的基本函數(shù)的要先變形，并應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響分別作出下列函數(shù)的圖象(1)y|x2|(x1)；(2)y12|x|.解：(1)當(dāng) x2，即 x20 時(shí)，y(x2)(x1)x2x2x12294；當(dāng) x2，即 x20 時(shí)，y(x2)(x1)x2x2x12294.所以 yx12294，x2，x12294，x0 部分關(guān)于 y 軸的對(duì)稱部分，即得 y12|x|的圖象

7、，如圖中實(shí)線部分考點(diǎn)二函數(shù)圖象的辨識(shí)(基礎(chǔ)型)復(fù)習(xí)指導(dǎo)|解決此類問(wèn)題常利用函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性等)以及函數(shù)圖象的一些特殊點(diǎn)來(lái)辨析函數(shù)圖象與解析式的對(duì)應(yīng)關(guān)系(1)(一題多解)(2019高考全國(guó)卷)函數(shù) f(x)sin xxcos xx2在，的圖象大致為()(2)已知函數(shù) f(x)的圖象如圖所示，則 f(x)的解析式可以是()af(x)ln|x|xbf(x)exxcf(x)1x21df(x)x1x【解析】(1)法一：顯然 f(x)f(x)，所以 f(x)為奇函數(shù)，排除 a；f2 12224221，觀察題圖可知 d 正確故選 d法二：顯然 f(x)f(x)，所以 f(x)為奇函數(shù)，排除

8、 a；易知當(dāng) x0時(shí)，f(x)0，排除c；f()210，排除 b，故選 d(2)由函數(shù)圖象可知，函數(shù) f(x)為奇函數(shù)，應(yīng)排除 b，c若函數(shù)為 f(x)x1x，則 x時(shí)，f(x)，排除 d，故選 a【答案】(1)d(2)a(1)抓住函數(shù)的性質(zhì)，定性分析：從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象上下位置；從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；從周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)；從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性(2)抓住函數(shù)的特征，定量計(jì)算：利用函數(shù)的特征點(diǎn)、特殊值的計(jì)算，分析解決問(wèn)題1(2020湖北省部分重點(diǎn)中學(xué) 4 月聯(lián)考)已知函數(shù) f(x)x2，x0，1x，x0，g(x)f(x)，

9、則函數(shù) g(x)的圖象大致是()解析：選 d先畫(huà)出函數(shù) f(x)x2，x0，1x，x0 在(1，3)上的解集為()a(1，3)b(1，1)c(1，0)(1，3)d(1，0)(0，1)【解析】作出函數(shù) f(x)的圖象如圖所示當(dāng) x(1，0)時(shí)，由 xf(x)0 得 x(1，0)；當(dāng) x(0，1)時(shí)，由 xf(x)0 得 x；當(dāng) x(1，3)時(shí)，由 xf(x)0 得 x(1，3)所以 x(1，0)(1，3)【答案】c利用函數(shù)的圖象研究不等式的思路當(dāng)不等式問(wèn)題不能用代數(shù)法求解但其與函數(shù)有關(guān)時(shí)， 常將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的上下關(guān)系問(wèn)題或函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系問(wèn)題，從而利用數(shù)形結(jié)合法求解角度三

10、求參數(shù)的取值范圍已知函數(shù) f(x)x21，x1，log2x，x1，若關(guān)于 x 的方程 f(x)k 有三個(gè)不同的實(shí)根， 則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是_【解析】畫(huà)出函數(shù) yf(x)與 yk 的圖象，如圖所示由圖可知，當(dāng) 0k1 時(shí)，yk 和 yf(x)的圖象有 3 個(gè)交點(diǎn)，即方程 f(x)k 有三個(gè)不同的實(shí)根【答案】(0，1)當(dāng)參數(shù)的不等關(guān)系不易找出時(shí)，可將函數(shù)(或方程)等價(jià)轉(zhuǎn)化為方便作圖的兩個(gè)函數(shù)，再根據(jù)題設(shè)條件和圖象確定參數(shù)的取值范圍1已知函數(shù) f(x)x|x|2x，則下列結(jié)論正確的是()af(x)是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是(0，)bf(x)是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是(，1)cf(x)是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是(1

11、，1)df(x)是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是(，0)解析：選 c將函數(shù) f(x)x|x|2x 去掉絕對(duì)值得 f(x)x22x，x0，x22x，x0，畫(huà)出函數(shù) f(x)的大致圖象，如圖，觀察圖象可知，函數(shù) f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù) f(x)為奇函數(shù)，且在(1，1)上單調(diào)遞減2已知函數(shù) f(x)|x2|1，g(x)kx.若方程 f(x)g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù) k的取值范圍是()a0，12b12，1c(1，2)d(2，)解析：選 b先作出函數(shù) f(x)|x2|1 的圖象，如圖所示，當(dāng)直線 g(x)kx 與直線 ab平行時(shí)斜率為 1，當(dāng)直線 g(x)kx 過(guò) a 點(diǎn)時(shí)斜率為12，故 f(

12、x)g(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)根時(shí)，k 的范圍為12，1.3函數(shù) f(x)是定義域?yàn)?，0)(0，)的奇函數(shù)，在(0，)上單調(diào)遞增，f(3)0，若 xf(x)f(x)0，則 x 的取值范圍為_(kāi)解析：函數(shù) f(x)的圖象大致如圖所示因?yàn)?f(x)為奇函數(shù)，且 xf(x)f(x)0，所以 2xf(x)0.由圖可知，不等式的解集為(3，0)(0，3)答案：(3，0)(0，3)基礎(chǔ)題組練1(2020山西呂梁 4 月模擬)函數(shù) f(x)|x|sin x 的圖象大致是()解析：選 a函數(shù) f(x)|x|sin x 為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可排除 b，c；又 f()|sin 0，故排除 d故選 a2甲、乙

13、二人同時(shí)從 a 地趕往 b 地，甲先騎自行車到兩地的中點(diǎn)再改為跑步，乙先跑步到中點(diǎn)再改為騎自行車，最后兩人同時(shí)到達(dá) b 地已知甲騎車比乙騎車的速度快，且兩人騎車速度均大于跑步速度 現(xiàn)將兩人離開(kāi) a 地的距離 s 與所用時(shí)間 t 的函數(shù)關(guān)系用圖象表示，則下列給出的四個(gè)函數(shù)圖象中，甲、乙的圖象應(yīng)該是()a甲是圖，乙是圖b甲是圖，乙是圖c甲是圖，乙是圖d甲是圖，乙是圖解析：選 b由題知速度 vst反映在圖象上為某段圖象所在直線的斜率由題知甲騎自行車速度最大，跑步速度最小，甲與圖符合，乙與圖符合3.(2020江西七校第一次聯(lián)考)設(shè) f(x)是定義在 r 上的周期為 3 的周期函數(shù)，如圖表示該函數(shù)在區(qū)間

14、(2，1上的圖象，則 f(2 018)f(2 019)()a2b1c1d0解析：選 c因?yàn)楹瘮?shù) f(x)是定義在 r 上的周期為 3 的周期函數(shù)，所以 f(2 018)f(2 0186733)f(1)，f(2 019)f(2 0196733)f(0)，由題圖知 f(1)1，f(0)0，所以f(2 018)f(2 019)f(1)f(0)1.4已知函數(shù) yf(|x|)的圖象如圖所示，則函數(shù) yf(x)的圖象不可能是()解析：選 c函數(shù) yf(|x|)f（x） ，x0，f（x） ，x0，當(dāng) x0 時(shí)，yf(|x|)f(x)，所以函數(shù)yf(|x|)的圖象在 y 軸左邊的部分，就是函數(shù) yf(x)的圖

15、象，故可得函數(shù) yf(x)的圖象不可能是 c5.若函數(shù) f(x)(ax2bx)ex的圖象如圖所示，則實(shí)數(shù) a，b 的值可能為()aa1，b2ba1，b2ca1，b2da1，b2解析：選 b令 f(x)0，則(ax2bx)ex0，解得 x0 或 xba，由圖象可知，ba1，又當(dāng) xba時(shí)，f(x)0，故 a0，結(jié)合選項(xiàng)知 a1，b2 滿足題意，故選 b6.如圖，函數(shù) f(x)的圖象是曲線 oab，其中點(diǎn) o，a，b 的坐標(biāo)分別為(0，0)，(1，2)，(3，1)，則 f1f（3） 的值等于_解析：由圖象知 f(3)1，所以1f（3）1.所以 f1f（3） f(1)2.答案：27對(duì) a，br，記

16、maxa，ba，ab，b，ab，函數(shù) f(x)max|x1|，|x2|(xr)的最小值是_解析：函數(shù) f(x)max|x1|，|x2|(xr)的圖象如圖所示，由圖象可得，其最小值為32.答案：328設(shè)函數(shù) f(x)|xa|，g(x)x1，對(duì)于任意的 xr，不等式 f(x)g(x)恒成立，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是_解析： 如圖， 作出函數(shù) f(x)|xa|與 g(x)x1 的圖象， 觀察圖象可知： 當(dāng)且僅當(dāng)a1，即 a1 時(shí)，不等式 f(x)g(x)恒成立，因此 a 的取值范圍是1，)答案：1，)9作出下列函數(shù)的圖象(1)yx2x1；(2)y|log2(x1)|.解：(1)因?yàn)?yx2x113x

17、1，先作出 y3x的圖象，將其圖象向右平移 1 個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移 1 個(gè)單位長(zhǎng)度，即得 yx2x1的圖象，如圖所示(2)利用函數(shù) ylog2x 的圖象進(jìn)行平移和翻折變換，圖象如圖實(shí)線所示10已知函數(shù) f(x)x|mx|(xr)，且 f(4)0.(1)求實(shí)數(shù) m 的值；(2)作出函數(shù) f(x)的圖象；(3)若方程 f(x)a 只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求 a 的取值范圍解：(1)因?yàn)?f(4)0，所以 4|m4|0，即 m4.(2)f(x)x|x4|x（x4）（x2）24，x4，x（x4）（x2）24，x4 或 a0 時(shí)，f(x)的圖象與直線 ya 只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程f(x)a 只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即

18、 a 的取值范圍是(，0)(4，)綜合題組練1(2020山西四校聯(lián)考)已知函數(shù) f(x)|x21|，若 0ab 且 f(a)f(b)，則 b 的取值范圍是()a(0，)b(1，)c(1， 2)d(1，2)解析：選 c作出函數(shù) f(x)|x21|在區(qū)間(0，)上的圖象如圖所示，作出直線 y1，交 f(x)的圖象于點(diǎn) b，由 x211 可得 xb 2，結(jié)合函數(shù)圖象可得 b 的取值范圍是(1， 2)2(應(yīng)用型)已知函數(shù) f(x)x22x1，x0，x22x1，x0，則對(duì)任意 x1，x2r，若 0|x1|x2|，下列不等式成立的是()af(x1)f(x2)0cf(x1)f(x2)0df(x1)f(x2)0解析：選 d函數(shù) f(x)的圖象如圖所示：且 f(x)f(x)，從而函數(shù) f(x)是偶函數(shù)，且在0，)上是增函數(shù)又 0|x1|f(x1)