1、1灰色預(yù)測法灰色預(yù)測法王玉雷王玉雷河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院2 在預(yù)測分析中，最基本的預(yù)測模型為線性回歸方程，針對一些規(guī)律性較強(qiáng)的數(shù)據(jù)，該模型能作出精確的預(yù)測，但在實(shí)際中，我們得到的常是一些離散的，規(guī)律性不強(qiáng)的數(shù)據(jù)，為解決此類問題，線性的方法就不適用了，此時，就需要采用灰色預(yù)測的方法。31 灰色預(yù)測理論2 GM(1,1)模型 3 GM(1,1)殘差模型及GM (n, h)模型 灰色預(yù)測法灰色預(yù)測法回總目錄41. 灰灰 色色 預(yù)預(yù) 測測 理理 論論 一、灰色預(yù)測的概念 （1）灰色系統(tǒng)、白色系統(tǒng)和黑色系統(tǒng) 白色系統(tǒng)是指一個系統(tǒng)的內(nèi)部特征是完全 已知的，即系統(tǒng)的信息是完全明確的。回總目錄回

2、本章目錄5 黑色系統(tǒng)是指一個系統(tǒng)的內(nèi)部信息對外界 來說是一無所知的，只能通過它與外界的 聯(lián)系來加以觀測研究。 灰色系統(tǒng)內(nèi)的一部分信息是已知的，另一 部分信息是未知 的，系統(tǒng)內(nèi)各因素間有不 確定的關(guān)系。回總目錄回本章目錄6 灰色預(yù)測是對既含有已知信息又含有不確定信息的系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)則，就是對在一定范圍內(nèi)變化的、與時間有關(guān)的灰色過程進(jìn)行預(yù)測。 （2）灰色預(yù)測法回總目錄回本章目錄 灰色預(yù)測通過鑒別系統(tǒng)因素之間發(fā)展趨勢的相異程度，即進(jìn)行關(guān)聯(lián)分析，并對 原始數(shù)據(jù)進(jìn)行生成處理來尋找系統(tǒng)變動的規(guī)律，生成有較強(qiáng)規(guī)律性的數(shù)據(jù)序列，然后建立相應(yīng)的微分方程模型，從而預(yù)測事物未來發(fā)展趨勢的狀況。7（3）灰色系統(tǒng)的應(yīng)用范疇

3、 灰色系統(tǒng)的應(yīng)用范疇大致分為以下幾方面： （1）灰色關(guān)聯(lián)分析。 （2）灰色預(yù)測：人口預(yù)測；初霜預(yù)測；災(zāi)變預(yù)測.等等。 （3）灰色決策。 （4）灰色預(yù)測控制。8 （4）灰色預(yù)測的四種常見類型 灰色時間序列預(yù)測 即用觀察到的反映預(yù)測對象特征的時間序列來構(gòu)造灰色預(yù)測模型，預(yù)測未來某一時刻的特征量，或達(dá)到某一特征量的時間。 畸變預(yù)測 即通過灰色模型預(yù)測異常值出現(xiàn)的時刻，預(yù)測異常值 什么時候出現(xiàn)在特定時區(qū)內(nèi)。 回總目錄回本章目錄9 系統(tǒng)預(yù)測 通過對系統(tǒng)行為特征指標(biāo)建立一組相互關(guān)聯(lián)的灰色預(yù)測模型，預(yù)測系統(tǒng)中眾多變量間的相互協(xié)調(diào)關(guān)系的變化。 拓?fù)漕A(yù)測 將原始數(shù)據(jù)做曲線，在曲線上按定值尋找該定值發(fā)生的所有時點(diǎn)

4、，并以該定值為框架構(gòu)成時點(diǎn)數(shù)列，然后建立模型預(yù)測該定值所發(fā)生的時點(diǎn)。回總目錄回本章目錄10 二、生成列 設(shè)已知數(shù)據(jù)變量組成序列X(0)，則我們可得到數(shù)據(jù)序列 為了弱化原始時間序列的隨機(jī)性，在建立灰色預(yù)測模型之前，需先對原始時間序列進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理后的時間序列即稱為生成列。回總目錄回本章目錄 nXXXXX00000,.3,2,111累加累加是將原始序列通過累加得到生成列。 灰色系統(tǒng)常用的數(shù)據(jù)處理方式有累加和累減兩種。 （1）數(shù)據(jù)處理方式回總目錄回本章目錄12 累加的規(guī)則: 將原始序列的第一個數(shù)據(jù)作為生成列的第一個數(shù)據(jù)，將原始序列的第二個數(shù)據(jù)加到原始序列的第一個數(shù)據(jù)上，其和作為生成列的第

5、二個數(shù)據(jù)，將原始序列的第三個數(shù)據(jù)加到生成列的第二個數(shù)據(jù)上，其和作為生成列的第三個數(shù)據(jù)，按此規(guī)則進(jìn)行下去，便可得到生成列。回總目錄回本章目錄13記原始時間序列為： nXXXXX00000,.3,2,1生成列為： nXXXXX11111,.3,2,1上標(biāo)1表示一次累加，同理，可作m次累加： kimmiXkX11回總目錄回本章目錄14 對非負(fù)數(shù)據(jù)，累加次數(shù)越多則隨機(jī)性弱化 越多，累加次數(shù)足夠大后，可認(rèn)為時間序 列已由隨機(jī)序列變?yōu)榉请S機(jī)序列。 一般隨機(jī)序列的多次累加序列，大多可用 指數(shù)曲線逼近。回總目錄回本章目錄15累減 將原始序列前后兩個數(shù)據(jù)相減得到累減生成列 累減是累加的逆運(yùn)算，累減可將累加生成

6、列 還原為非生成列，在建模中獲得增量信息。一次累減的公式為： 1001kXkXkX回總目錄回本章目錄16三、關(guān)聯(lián)度 關(guān)聯(lián)度分析是分析系統(tǒng)中各因素關(guān)聯(lián)程度的方法，在計(jì)算關(guān)聯(lián)度之前需先計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)。（1）關(guān)聯(lián)系數(shù)設(shè) nXXXkX0000,.,2,1 nXXXkX0000,.,2,1則關(guān)聯(lián)系數(shù)定義為： 00000000minminmaxmax( )maxmaxXkXkXkXkkXkXkXkXk回總目錄回本章目錄17式中： kXkX00 kXkX00minmin kXkX00maxmax為第k個點(diǎn) 稱為分辨率，01, 對單位不一，初值不同的序列，在計(jì)算相關(guān)系數(shù)前應(yīng)首先進(jìn)行初始化，即將該序列所有數(shù)據(jù)分別

7、除以第一個數(shù)據(jù)。 0X 0X的絕對誤差； 和為兩級最小差； 為兩級最大差； 回總目錄回本章目錄若 越小，關(guān)聯(lián)系數(shù)間差異越大，區(qū)分能力越強(qiáng)。一般取=0.5；18（2）關(guān)聯(lián)度 kX0 kX0 11nkrkn和的關(guān)聯(lián)度為：回總目錄回本章目錄19一個計(jì)算關(guān)聯(lián)度的例子 工業(yè)、農(nóng)業(yè)、運(yùn)輸業(yè)、商業(yè)各部門的行為數(shù)據(jù)如下： 9 .41 , 3 .42 , 4 .43 , 8 .451X)9 .44 , 9 .43 , 6 .41 , 1 .39(2X5 . 3 , 5 . 3 , 3 . 3 , 4 . 33X7 . 4 , 4 . 5 , 8 . 6 , 7 . 64X工業(yè)農(nóng)業(yè)運(yùn)輸業(yè)商業(yè)參考序列分別為 21,

8、XX，被比較序列為 43, XX試求關(guān)聯(lián)度。 回總目錄回本章目錄20解答：以1X為參考序列求關(guān)聯(lián)度。 第一步：初始化，即將該序列所有數(shù)據(jù)分別 除以第一個數(shù)據(jù)。得到：9138. 0 ,9235. 0 ,9475. 0 , 11X1483. 1 ,1227. 1 ,063. 1 , 12X31, 0.97, 1.0294, 1.0294X 7 . 0 ,805. 0 ,0149. 1 , 14X回總目錄回本章目錄21第二步：求序列差2335. 0 ,1992. 0 ,1155. 0 , 021146. 0 ,1059. 0 ,0225. 0 , 032148. 0 ,1185. 0 ,0674.

9、0 , 04第三步：求兩極差 2335. 0maxmaxkMi 0minminkmi回總目錄回本章目錄X2-X1X3-X1X4-X122第四步：計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù) 取=0.5，有： 4 , 3 , 2 ,11675. 011675. 01ikkii 從而： 1112 503. 0212 3695. 0312 3333. 0412 1113 8384. 0213 5244. 0313 504. 0413 1114 634. 0214 4963. 0314 352. 0414回總目錄回本章目錄23第五步：求關(guān)聯(lián)度 551. 041411212kk 717. 041411313kk 621. 041411

10、414kk 計(jì)算結(jié)果表明，運(yùn)輸業(yè)和工業(yè)的關(guān)聯(lián)程度大于農(nóng)業(yè)、商業(yè)和工業(yè)的關(guān)聯(lián)程度。 為參考序列時，計(jì)算類似，這里略去。2X回總目錄回本章目錄242 GM(1,1)模型模型一、GM（1，1）模型的建立 nXXXX0000,.,2,1 nXXXX1111,.,2,1 11ddaXtX設(shè)時間序列有n個觀察值，通過累加生成新序列 則GM（1，1）模型相應(yīng)的微分方程(白化方程)為： 其中：稱為發(fā)展灰數(shù)；稱為內(nèi)生控制灰數(shù)。回總目錄回本章目錄25構(gòu)造矩陣B與向量Y1),1()(21 . .1),2()3(211),1 ()2(21)1()1()1()1()1()1(nXnXXXXXBY=(X(0)(2),X(

11、0)(3),，X(0)(n)26aYBBBTT1 aeaXkXak1101nk.,2 , 1 , 0設(shè)為待估參數(shù)向量，利用最小二乘法可得： 求解微分方程，即可得預(yù)測模型(時間相應(yīng)式)： ，則微分方程回總目錄回本章目錄可表示為BY 27 對其做累減還原，即可得到原始數(shù)列 的灰色預(yù)測模型為:(0)(1)(1)( )( )(1)XkXkXk28 由灰色預(yù)測方法原理, - a 主要控制系統(tǒng)發(fā)展態(tài)勢的 大小,即反映預(yù)測的發(fā)展態(tài)勢,被稱為發(fā)展系數(shù); 的大小反映了數(shù)據(jù)變化的關(guān)系,被稱為灰色作用量,其中:當(dāng)- a 0.3 時, GM(1 ,1) 模型可用于中長期預(yù)測;當(dāng)0.3 - a 0.5 時, GM(1

12、,1) 模型可用于短期預(yù)測,中長期預(yù)測慎用;當(dāng)0.5 - a 1 時,不宜采用GM(1 ,1) 模型,可考慮其他預(yù)測方法。29灰色預(yù)測檢驗(yàn)一般有殘差檢驗(yàn)、關(guān)聯(lián)度檢二、模型檢驗(yàn)（1）殘差檢驗(yàn)按預(yù)測模型計(jì)算 ,1iX并將 iX1累減生成 ,0iX然后計(jì)算原始序列 iX0與 iX0的絕對誤差序列及相對誤差序列。 iXiXi000 %10000iXiini,.,2 , 1ni,.,2 , 1驗(yàn)和后驗(yàn)差檢驗(yàn)。回總目錄回本章目錄30 在建立模型后,還必須對模型進(jìn)行精度檢驗(yàn),其檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)見表1。 表表1 精度檢驗(yàn)等級參照表精度檢驗(yàn)等級參照表31 iX0 iX0（2）關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)根據(jù)前面所述關(guān)聯(lián)度的計(jì)算方法算出與

13、原始序列的關(guān)聯(lián)系數(shù)，然后計(jì)算出關(guān)聯(lián)度，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)=0.5時，關(guān)聯(lián)度大于0.6便滿意了。回總目錄回本章目錄32（3）后驗(yàn)差檢驗(yàn)a.計(jì)算原始序列標(biāo)準(zhǔn)差: 2001XiXSn回總目錄回本章目錄b. 計(jì)算絕對誤差序列的標(biāo)準(zhǔn)差： 12002niSc. 計(jì)算后驗(yàn)差比值：12SSC 33d. 計(jì)算小誤差概率： 001 0.6745PPiS 00iei令:106745.0SS ，則：0SePPi P0.950.800.700.70 C0.350.500.650.65 好 合格 勉強(qiáng)合格 不合格回總目錄回本章目錄34例例 某礦某年某礦某年3-7月份的輕傷事故情況如表所示月份的輕傷事故情況如表所示試建立試建立G

14、M(1,1)模型的白化方程及時間響應(yīng)式模型的白化方程及時間響應(yīng)式, 并對并對M(1,1)模型進(jìn)行檢驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行檢驗(yàn),預(yù)測該礦預(yù)測該礦8月份輕傷人數(shù)月份輕傷人數(shù).351)153119(211)11986(211)8655(211)5526(21B 1038.270532.0)(1YBBBaTT所以所以705.509,1038.27,0532.0aa原始數(shù)據(jù)列：原始數(shù)據(jù)列：34,33,31,29,26)(0iX累加生成數(shù)列：累加生成數(shù)列：153,119,86,55,26)(1iX34,33,31,29)5(),4(),3(),2(0000 xxxxY求解過程求解過程36從而得到預(yù)測公式從而得到預(yù)測公

15、式(時間響應(yīng)式時間響應(yīng)式)為：為：aeaXkXak)1()1()1()1(75.509705.5350532.0ke為了得到原始數(shù)列的預(yù)測值，需要將生成數(shù)列的預(yù)測值為了得到原始數(shù)列的預(yù)測值，需要將生成數(shù)列的預(yù)測值作累減還原為原始值，作累減還原為原始值，(0 )(1)(1)()()(1)XkXkXk從而得到白化方程：從而得到白化方程：(1)(1)0.053227.1038dXXdt37生成數(shù)列的預(yù)測值, 原始數(shù)列的還原值分別如下表所示(1)()Xk(1)()Xk帶入預(yù)測公式算(0)( )Xk38生成數(shù)列的預(yù)測值, 原始數(shù)列的還原值分別如下表所示(1)()Xk(1)()Xk55.27-26(0)(

16、 )Xk39生成數(shù)列的預(yù)測值, 原始數(shù)列的還原值分別如下表所示(1)()Xk(1)()Xk(0)( )Xk40原始數(shù)列的還原值與誤差檢驗(yàn)(0 )()Xk(0 )()k(0 )()Xk41原始數(shù)列的還原值與誤差檢驗(yàn)(0 )()Xk(0 )()k(0 )()Xk42數(shù)據(jù)方差和殘差方差分別為后驗(yàn)差比值為后驗(yàn)差比值為210.090.10918.24SCS22221221(2630.6)(2930.6)(3130.6)5 (3330.6)(3430.6) 8.24S2222221( 0.270.0075)(0.130.0075)(0.440.0075)4 ( 0.330.0075) 0.09S 43小誤

17、差頻率容易驗(yàn)證容易驗(yàn)證( 0 )( 0 )1( 0 )|()|0.6745 |()0.0075 |1.9362PPkSPk (0)(0)(0)(0)(1)0,(2)0.27,(3)0.13,(4)0.44, (5)0.33 都滿足上面的式子都滿足上面的式子, 因此因此P =1.443 基于灰色預(yù)測的等維灰數(shù)遞補(bǔ)模型基于灰色預(yù)測的等維灰數(shù)遞補(bǔ)模型 從灰色預(yù)測模型公式中可以看出，它是一個指數(shù)增長的模型，在進(jìn)行預(yù)測時，最近一年的預(yù)測結(jié)果應(yīng)該是很精確的，但對后續(xù)幾年的預(yù)測誤差會逐漸增大，為了提高預(yù)測模型的廣泛適用性，我們做出了如下的改進(jìn)：對原灰色模型等維灰數(shù)遞補(bǔ)，即構(gòu)造等維灰數(shù)遞補(bǔ)模型。45 GM(1

18、,1)模型中具有預(yù)測意義的數(shù)據(jù)僅僅是數(shù)據(jù)X(n)以后的前幾個數(shù)據(jù)，隨著時間的推移，老的數(shù)據(jù)越來越不適應(yīng)新的情況，所以，要在原數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上每次增加一個新信息時，就去掉一個老信息。這種新數(shù)據(jù)補(bǔ)充、老數(shù)據(jù)去除的數(shù)據(jù)列，由于其維數(shù)不變，因而叫等維信息數(shù)據(jù)列，相應(yīng)的模型叫等維灰數(shù)遞補(bǔ)模型，或叫新陳代謝模型。46設(shè)原始數(shù)列為:置入新信息X(0)(n+1),去掉老信息X(0)(1),可構(gòu)成新數(shù)列:利用這一新數(shù)列建立的GM(1,1)模型,即為等維信息GM(1,1)模型。 nXXXXX00000,.3,2,1 1,.4,3,200000nXXXXX47 由于在實(shí)際中，信息處于不斷的變化之中,具有很大的隨機(jī)性,雖

19、然歷史信息對預(yù)測時刻的具體值有一定的相關(guān)性和影響,但與預(yù)測時刻更接近的信息對于該時刻的預(yù)測結(jié)果更有價值。鑒于這種情況,可先用已知數(shù)列建立的GM(1,1)模型預(yù)測一個值, 然后補(bǔ)充一個新信息數(shù)據(jù)到已知數(shù)列中, 同時去掉最老的一個數(shù)據(jù), 使序列等維, 接著再建立GM(1,1)模型,這樣逐個滾動預(yù)測,依次遞補(bǔ),直到完成預(yù)測目標(biāo)為止，這樣我們再對具體問題進(jìn)行預(yù)測,就可以得到更為精確的結(jié)果。48對長江水質(zhì)污染的灰色預(yù)測對長江水質(zhì)污染的灰色預(yù)測1 問題的提出問題的提出在CUMCM2005A題中給出長江在過去10年中廢水排放總量（見表1）和六類不同水質(zhì)所占的百分比，據(jù)此對今后10年的長江水質(zhì)污染的發(fā)展趨勢做出預(yù)測。49 傳