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文檔簡介
1、第九屆“新秀杯”校園數(shù)學(xué)建模競賽摘要醫(yī)院有一位醫(yī)生值班,經(jīng)長期觀察,每小時平均有4個病人,醫(yī)生每小時可診斷5人,病人的到來服從Poisson流,診斷時間服從負(fù)指數(shù)分布。根據(jù)題目所給信息,可以很明顯看出本題是單服務(wù)臺的排隊模型,因此需要用到排隊理論來求解這些問題。本題需要用到排隊理論中最簡單的M/M/1/模型,通過對病人到來及診斷時間的統(tǒng)計研究,得出這些數(shù)量指標(biāo)的統(tǒng)計規(guī)律。針對問題一,通過分析任意時刻t內(nèi)到達(dá)的病人數(shù)為n的概率,使用數(shù)學(xué)期望的方法,可以得出平均病人數(shù)及等待的平均病人數(shù)。由題目給出條件病人的到來服從參數(shù)為的泊松分布,診斷時間服從參數(shù)為負(fù)指數(shù)分布,可以得出病人的平均看病所需時間及病人
2、平均排隊等待時間。以及分析該醫(yī)院的服務(wù)強(qiáng)度,可以粗略的分析該科室的工作狀況。針對問題二,在問題一的條件基礎(chǔ)下,要求99%的病人有座位。可以先假設(shè)出座位個數(shù),由于每個時刻病人到來的個數(shù)是隨機(jī)且獨(dú)立,不可能同時到達(dá)兩批病人,考慮到來病人的個數(shù)與座位之間的關(guān)系,考慮病人數(shù)不同時,有座位的概率不同。所以用獨(dú)立事件概率的加法可以得出概率需要大于等于0.99,從而反推出所需座位數(shù)。針對問題三,分析問題可得,需要求出單位平均損失可以通過題目每小時病人到來數(shù)可以得出平均每天醫(yī)院到來數(shù)。根據(jù)問題一結(jié)論,可以得出平均看病所花時間,從而求出每天的平均損失。針對問題四,只需要利用問題一,問題二,問題三的結(jié)論并改變醫(yī)生
3、每小時診斷時間,嵌套進(jìn)來就能求解。關(guān)鍵字:排隊理論 M/M/1/模型 數(shù)學(xué)期望 Poisson流 負(fù)指數(shù)分布一、問題提出某單位醫(yī)院的一個科室有一位醫(yī)生值班,經(jīng)長期觀察,每小時平均有4個病人,醫(yī)生每小時可診斷5人,病人的到來服從Poisson流,診斷時間服從負(fù)指數(shù)分布。(1) 試分析該科室的工作狀況:(2) 如要求99%以上的病人有座,該科室至少設(shè)多少座位?(3) 如果該單位每天24小時上班,病人因看病1小時而耽誤工作單位要損失30元,這樣單位平均損失多少元?(4) 如果該科室提高看病速度,每小時平均可診斷6人,單位每天可減少損失多少?可減少多少座位?二、模型的準(zhǔn)備根據(jù)題目所給信息,可以很明顯看
4、出本題是單服務(wù)臺的排隊模型,日常生活中存在大量有形和無形的排隊或擁擠現(xiàn)象,如旅客購票排隊,市內(nèi)電話占線等現(xiàn)象。該模型顯著特點是:服務(wù)設(shè)施是一個或者多個,需要被服務(wù)的人是無限制的,因此被服務(wù)者需要等待一段時間,因此會出現(xiàn)排隊現(xiàn)象,被服務(wù)者的到來是完全隨機(jī)的。因此排隊論又稱為隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論, 它是通過對服務(wù)對象到來及服務(wù)時間的統(tǒng)計研究,得出這些數(shù)量指標(biāo)(等待時間、排隊長度、忙期長短等)的統(tǒng)計規(guī)律,然后根據(jù)這些規(guī)律來改進(jìn)服務(wù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或重新組織被服務(wù)對象,使得服務(wù)系統(tǒng)既能滿足服務(wù)對象的需要,又能使機(jī)構(gòu)的費(fèi)用最經(jīng)濟(jì)或某些指標(biāo)最優(yōu)。排隊系統(tǒng)又稱服務(wù)系統(tǒng)。服務(wù)系統(tǒng)由服務(wù)機(jī)構(gòu)和服務(wù)對象構(gòu)成。排隊系統(tǒng)包括三
5、個組成部分:輸入過程:考察的是顧客到達(dá)服務(wù)系統(tǒng)的規(guī)律。它可以用一定時間內(nèi)顧客到達(dá)數(shù)或前后兩個顧客相繼到達(dá)的間隔時間來描述,一般分為確定型和隨機(jī)型兩種。本題是病人隨機(jī)到達(dá)且服從泊松分布。排隊規(guī)則:分為等待制、損失制和混合制三種。當(dāng)顧客到達(dá)時,所有服務(wù)機(jī)構(gòu)都被占用,則顧客排隊等候,即為等待制。在等待制中,為顧客進(jìn)行服務(wù)的次序可以是先到先服務(wù),或后到先服務(wù),或是隨機(jī)服務(wù)和有優(yōu)先權(quán)服務(wù)。如果顧客來到后看到服務(wù)機(jī)構(gòu)沒有空閑立即離去,則為損失制。有些系統(tǒng)因留給顧客排隊等待的空間有限,因此超過所能容納人數(shù)的顧客必須離開系統(tǒng),這種排隊規(guī)則就是混合制。本題中不考慮優(yōu)先制,而是先到先服務(wù),且隊伍可以無限長,不考慮
6、容量問題。服務(wù)機(jī)構(gòu):可以是一個或多個服務(wù)臺。多個服務(wù)臺可以是平行排列的,也可以是串連排列的。服務(wù)時間一般也分成確定型和隨機(jī)型兩種。而隨機(jī)型服務(wù)時間v 則服從一定的隨機(jī)分布。本題的服務(wù)臺(醫(yī)生)是有限且唯一的,診斷時間是隨機(jī)的,且服從負(fù)指數(shù)分布。 排隊論主要研究排隊系統(tǒng)運(yùn)行的效率,估計服務(wù)質(zhì)量。因此,研究排隊問題,首先要確定判斷系統(tǒng)運(yùn)行優(yōu)劣的基本量化指標(biāo),并求出這些指標(biāo)的概率分布和數(shù)學(xué)特征。要研究的系統(tǒng)運(yùn)行指標(biāo)主要有:1、排隊模型的表示X/Y/Z/A/B/CX顧客相繼到達(dá)的間隔時間的分布;Y服務(wù)時間的分布;M負(fù)指數(shù)分布、D確定型、Ek k階愛爾蘭分布;Z服務(wù)臺個數(shù);A系統(tǒng)容量限制(默認(rèn)為);B顧
7、客源數(shù)目(默認(rèn)為);C服務(wù)規(guī)則 (默認(rèn)為先到先服務(wù)FCFS)。2、排隊系統(tǒng)的衡量指標(biāo)隊長Ls系統(tǒng)中的顧客總數(shù);排隊長Lq隊列中的顧客數(shù);逗留時間Ws顧客在系統(tǒng)中的停留時間;等待時間Wq顧客在隊列中的等待時間;忙期服務(wù)機(jī)構(gòu)兩次空閑的時間間隔;服務(wù)強(qiáng)度;穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)運(yùn)行充分長時間后,初始狀態(tài)的影響基本消失,系統(tǒng)狀態(tài)不再隨時間變化。3、到達(dá)間隔時間與服務(wù)時間的分布泊松分布;負(fù)指數(shù)分布;愛爾蘭分布; Poisson分布,是一種統(tǒng)計與概率學(xué)里常見到的離散概率分布,由法國數(shù)學(xué)家西莫恩·德尼·泊松在1838年時發(fā)表。泊松分布的參數(shù)是單位時間(或單位面積)內(nèi)隨機(jī)事件的平均發(fā)生率。泊松分布適合于
8、描述單位時間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)。泊松分布的期望和方差均為。 負(fù)指數(shù)分布又稱指數(shù)分布。泊松事件流的等待時間(相繼兩次出現(xiàn)之間的間隔)服從指數(shù)分布。指數(shù)函數(shù)的一個重要特征是無記憶性。這表示如果一個隨機(jī)變量呈指數(shù)分布,當(dāng)s,t>0時有P(T>t+s|T>t)=P(T>s)。即,如果T是某一元件的壽命,已知元件使用了t小時,它總共使用至少s+t小時的條件概率,與從開始使用時算起它使用至少s小時的概率相等。如果指數(shù)分布的參數(shù)為,則指數(shù)分布的期望為1/。 根據(jù)以上資料,解決本題的科室的工作狀態(tài)問題,只需要運(yùn)用排隊論中最簡單的單服務(wù)臺,即M/M/1/模型即可。下面通過對該問題進(jìn)行排
9、隊論模型嵌套進(jìn)行求解。三、模型假設(shè)1. 首先確定醫(yī)生的接待能力、病人的客源為無限大,且排除醫(yī)生,病人的心理因素及插隊等意外情況的發(fā)生。2. 排隊只排一排,根據(jù)先到先得的原則,且每次醫(yī)生只看一個病人,且每個病人肯定能得出診斷。3. 假設(shè)每段時間到來的病人數(shù)基本穩(wěn)定,不會出現(xiàn)劇增和很長一段時間無人看病的問題。四、符號說明符號意義n任意時刻t內(nèi)到達(dá)的病人數(shù)(個)Ls平均病人數(shù)(個)Lq等待的平均病人數(shù)(個)Ws病人的平均看病(包括等待時間)時間(h)Wq病人平均排隊等待時間(h)單位時間內(nèi)到達(dá)病人的平均數(shù)(個/h)單位時間內(nèi)能診斷完的病人的平均數(shù)(個/h)m座位數(shù)(個)T看病耽誤的時間(h)Q損失的
10、錢(元)服務(wù)強(qiáng)度五、模型建立與解決:問題1模型建立與解決問題1模型建立:已知病人的到來服從Poisson流,即服從參數(shù)為的泊松分布,其中表示單位時間內(nèi)到達(dá)病人的平均數(shù)。醫(yī)生診斷時間服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布,其中表示單位時間內(nèi)能診斷完的病人的平均數(shù)。1) 設(shè)任意時刻t內(nèi)到達(dá)的病人數(shù)為n的概率為Pn(t),病人的到來服從泊松分布,因此單位時間內(nèi)病人的到達(dá)數(shù)服從XP(),則時間間隔t為內(nèi)病人到來的數(shù)目為GP(t)。則t內(nèi)1個病人到達(dá)的概率為P(G=1)=t*e-t=t+ot,反之沒有病人到達(dá)的概率為P(G=0)=1-t*e-t=1-t+ot2) 由于醫(yī)生的診斷時間YE(),故病人被診斷時,1個病人被診
11、斷完的概率為PYt =1 -e-t=t + o(t),沒有被診斷完的概率為1-t + o(t)。3) 在t+t時刻考慮n個病人到來的概率Pn(t+t),t足夠小的情況下,有以下4種情況: t時刻系統(tǒng)中有n個病人到來,沒有病人到來且沒有病人診斷完畢,其概率為: 1-t+o(t) 1-t+o(t)= (1-t-t)+o(t); t時刻系統(tǒng)中有n+1個病人到來,沒有病人到來且有1個病人診斷完畢,其概率為: 1-t+o(t)t+o(t)=t+o(t); t時刻系統(tǒng)中有n-1個病人到來,有1個病人到來且沒有病人診斷完畢,其概率為:t+o(t)1-t+o(t)
12、= t+o(t); 其他狀態(tài)的概率為o(t)。 由于四種情況相互獨(dú)立且不可能同時發(fā)生,所以得到系統(tǒng)中有n個病人到來的概率Pn(t+t)滿足:Pn(t+t)= Pn(t)(1-t-t)+Pn+1(t)t+Pn-1(t)t+ o(t)移項整理,兩邊同除以t,得:Pn(t+t)+ Pn(t)t=Pn-1(t)+Pn+1(t)-(+)Pn(t)+ott令t0,得:dPn(t)dt=Pn-1(t)+Pn+1(t)-(+)Pn(t) n=1,2當(dāng) n=0 時,因為:P0(t+t)= P0(t)(1-t)+ P1(t)(1-t)t+ o(t)所以有:dPn(t)dt= -P0
13、(t)+P1(t)對于穩(wěn)態(tài)情形,與t無關(guān),其導(dǎo)數(shù)為零。因此,得到:Pn-1+Pn+1-+Pn=0,n>1-P0+P1=0問題1模型求解:Pn-1+Pn+1-+Pn=0,n>1-P0+P1=0這是關(guān)于 Pn 的差分方程,也反映出了系統(tǒng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移關(guān)系,即每一狀態(tài)都是平衡的,求解得: P1=(/) P0,遞推可得Pn=(/)n P0(n1)由概率的性質(zhì)知n=0Pn=1,將上式代入/<1 時可得到P0=1-/,Pn=(1-/)(/)n因為病人到達(dá)規(guī)律服從參數(shù)為的泊松分布,診斷時間服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布,其期望值就分別為,1/。所以表示單位時間內(nèi)平均到達(dá)的病人數(shù),表示單位時間內(nèi)能診斷完
14、的病人數(shù)。如果令=/,這時就表示相同時間內(nèi)病人到達(dá)的平均數(shù)與能被診斷的平均數(shù)之比,它是刻畫診斷效率和醫(yī)院利用程度的重要標(biāo)志,稱為服務(wù)強(qiáng)度。上面在<1的條件下得到了穩(wěn)定狀態(tài)下的概率Pn,n=0,1,2,其實,如果>1,可以證明排隊長度將是無限增加的,即使=1的情況下,P0(t)也是隨時間而變化的,系統(tǒng)達(dá)不到穩(wěn)定狀態(tài). 因此,這里只討論<1 時情況,從上面的推導(dǎo)知:Pn=(1-) n n=1,2則服務(wù)系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo)為:(1) 隊長(平均病人數(shù)):由于系統(tǒng)的狀態(tài)為n 時即系統(tǒng)中有n個病人,由期望的定義得:Ls=n=0nPn=n=1n(1-)n=1-=/(-)(2) 排隊長:(等待的
15、平均病人數(shù))Lq=n=1n-1Pn=n=1n-1n1-=2/(1-)=/(-)可以證明,病人在系統(tǒng)中看病時間服從參數(shù)為 -Z的負(fù)指數(shù)分布。因此,有(3) 系統(tǒng)中病人的平均看病時間: Ws=1/(-)(4) 系統(tǒng)中病人的平均等待時間:Wq=Ws-1/=/(-)題目中每小時平均有4個病人,醫(yī)生每小時可診斷5人,病人的到來服從Poisson流,診斷時間服從負(fù)指數(shù)分布。可以得到=4,=5,=45醫(yī)院平均病人數(shù):Ls=-=45-4=4 (人)醫(yī)院等待的平均病人數(shù):Lq=21-=4521-45=3.2 (人)病人的平均看病(包括等待時間)時間:Ws=1-=1h病人平均排隊等待時間:Wq=-=0.8h醫(yī)院當(dāng)
16、中沒有病人的概率為:1-=0.2病人到來不需要等待的概率即是醫(yī)院中沒有病人的概率問題一結(jié)論:由上結(jié)果可得,病人到來不需要等待的概率為0.2,醫(yī)院平均病人數(shù)為4人,醫(yī)院等待的平均病人數(shù)為3.2人,病人的平均看病(包括等待時間)時間為1h,病人平均排隊等待時間為0.8h。問題2模型建立與解決問題2模型建立:要求99%以上的病人有座,設(shè)現(xiàn)在醫(yī)院內(nèi)有m個座位,則可以設(shè)P=(醫(yī)院總?cè)藬?shù)<=m)>=0.99考慮單位時間平均人數(shù)為4人,則m>=4考慮病人數(shù)為0人時,人數(shù)<=m,都有座位,發(fā)生這種情況下的概率為P0考慮病人數(shù)為1人時,人數(shù)<=m,都有座位,發(fā)生這種情況下的概率為P
17、1考慮病人數(shù)為2人時,人數(shù)<=m,都有座位,發(fā)生這種情況下的概率為P2.考慮病人數(shù)為m人時,人數(shù)<=m,都有座位,發(fā)生這種情況下的概率為Pm由于在t時間內(nèi),這些情況相互獨(dú)立,不可能同時發(fā)生,則可以得出P=(醫(yī)院總?cè)藬?shù)<=m)= P0+P1+ P2 +Pm>=0.99,即n=0mPn=n=1m(1-)n0.99問題2模型求解:n=0mPn=n=1m(1-)n0.99即1-m+1>=0.99m+10.01 m>=ln0.01ln-1 m>=20問題二結(jié)論:由以上結(jié)果可得,座位至少要有20個,才能保證99 %的病人有座位問題三模型建立與解決:該單位24小時上
18、班,病人因看病1小時而耽誤工作單位要損失30元,需要求單位平均損失多少元設(shè)每天平均會有N個病人,因看病耽誤的時間為T,損失的錢為Q由題目所給條件可得平均每天會有N=24*4=96個病人由問題一結(jié)論可得在每個病人在看病耽誤時間為1個小時則每天平均會耽誤工作時間為T=96*1=96h每天單位平均損失Q=N*T*Ws=96*30=2880元問題三結(jié)論:每天單位平均損失2880元問題四模型建立與解決:問題四模型建立:如果該科室提高看病速度,每小時平均可診斷6人,需要求單位每天可減少損失多少,可減少多少座位由問題一模型可得醫(yī)院平均病人數(shù):Ls=-醫(yī)院等待的平均病人數(shù):Lq=21-病人的平均看病(包括等待
19、時間)時間:Ws=1-病人平均排隊等待時間:Wq=-每天單位平均損失為Q2=N*T2*WS2保證99%的病人有座位的最少座位數(shù)滿足n=0mPn=n=1m(1-)n0.99問題四模型求解:此時=4,2=6,2=46醫(yī)院平均病人數(shù):Ls2=2-=46-4=2 (人)醫(yī)院等待的平均病人數(shù):Lq2=221-2=4521-45=43 (人)病人的平均看病(包括等待時間)時間:Ws2=12-=0.5h病人平均排隊等待時間:Wq2=22-=13h每天單位平均損失為Q2=N*T2*WS2=96*0.5*30=1440元n=0m1Pn=n=1m1(1-)n0.99即1-m1+1>=0.99m+10.01 m1>=ln0.01ln-1 m1>=11m1最小為11個Q=Q-Q2=2880-1440=1440元m=m-m1=20-11=9個問題四結(jié)論:單位每天可減少損失1440元,可減少9個座位六、模型推
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