1、§123幾何概型1幾何概型如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型2幾何概型中，事件A的概率的計算公式P(A)3要切實理解并掌握幾何概型試驗的兩個基本特點(1)無限性：在一次試驗中，可能出現的結果有無限多個；(2)等可能性：每個結果的發生具有等可能性4隨機模擬方法(1)使用計算機或者其他方式進行的模擬試驗，以便通過這個試驗求出隨機事件的概率的近似值的方法就是模擬方法(2)用計算機或計算器模擬試驗的方法為隨機模擬方法或蒙特卡羅方法這個方法的基本步驟是用計算器或計算機產生某個范圍內的隨機數，并賦予每個隨機數一定的

2、意義；統計代表某意義的隨機數的個數M和總的隨機數個數N；計算頻率fn(A)作為所求概率的近似值1判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)在一個正方形區域內任取一點的概率是零()(2)幾何概型中，每一個基本事件就是從某個特定的幾何區域內隨機地取一點，該區域中的每一點被取到的機會相等()(3)在幾何概型定義中的區域可以是線段、平面圖形、立體圖形()(4)隨機模擬方法是以事件發生的頻率估計概率()2一個路口的紅綠燈，紅燈的時間為30秒，黃燈的時間為5秒，綠燈的時間為40秒，則某人到達路口時看見的是紅燈的概率是()A B C D答案B解析以時間的長短進行度量，故P3點A為周長等

3、于3的圓周上的一個定點，若在該圓周上隨機取一點B，則劣弧的長度小于1的概率為_答案解析如圖可設1，則由幾何概型可知其整體事件是其周長3，則 其概率是4在區間1,2上隨機取一個數x，則x0，1的概率為_答案解析如圖，這是一個長度型的幾何概型題，所求概率P5已知直線yxb，b2,3，則直線在y軸上的截距大于1的概率是_答案解析區域D為區間2,3，d為區間(1,3，而兩個區間的長度分別為5,2故所求概率P題型一與長度、角度有關的幾何概型例1(1)在區間1,1上隨機取一個數x，求cos x的值介于0到之間的概率(2) 如圖所示，在ABC中，B60°，C45°，高AD，在BAC內作射

4、線AM交BC于點M，求BM<1的概率思維啟迪尋找所考查對象活動的范圍解(1)由函數ycos x的圖象知，當1<x<或<x<1時，0<cos x<由概率的幾何概型知：cos x的值介于0到之間的概率為(2)因為B60°，C45°，所以BAC75°，在RtABD中，AD，B60°，所以BD1，BAD30°記事件N為“在BAC內作射線AM交BC于點M，使BM<1”，則可得BAM<BAD時事件N發生由幾何概型的概率公式，得P(N)思維升華解答幾何概型問題的關鍵在于弄清題中的考查對象和對象的活動范圍當

5、考查對象為點，點的活動范圍在線段上時，用線段長度比計算；當考查對象為線時，一般用角度比計算事實上，當半徑一定時，由于弧長之比等于其所對應的圓心角的度數之比，所以角度之比實際上是所對的弧長(曲線長)之比(1)若在例1(2)中“在BAC內作射線AM交BC于點M”改為“在線段BC上找一點M”則結果為_(2)在半徑為1的圓內一條直徑上任取一點，過這個點作垂直于直徑的弦，則弦長超過圓內接等邊三角形邊長的概率是_答案(1)(2)解析(1)由B60°，C45°，AD得，BD1，DCAD，則BM<1的概率為P(2) 記事件A為“弦長超過圓內接等邊三角形的邊長”，如圖，不妨在過等邊三角

6、形BCD的頂點B的直徑BE上任取一點F作垂直于直徑的弦，當弦為CD時，就是等邊三角形的邊長(此時F為OE中點)，弦長大于CD的充要條件是圓心O到弦的距離小于OF，由幾何概型公式得：P(A)題型二與面積、體積有關的幾何概型例2(1)(2012·北京)設不等式組表示的平面區域為D，在區域D內隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離大于2的概率是()A B C D(2)有一個底面圓的半徑為1、高為2的圓柱，點O為這個圓柱底面圓的圓心，在這個圓柱內隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為_思維啟迪平面區域內的幾何概型，一般用面積求概率，空間區域內的幾何概型，一般用體積求概率答案(1)D(2

7、)解析(1)根據題意作出滿足條件的幾何圖形求解如圖所示，正方形OABC及其內部為不等式組表示的區域D，且區域D的面積為4，而陰影部分表示的是區域D內到坐標原點的距離大于2的區域易知該陰影部分的面積為4因此滿足條件的概率是，所以選D(2)先求點P到點O的距離小于或等于1的概率，圓柱的體積V圓柱×12×22，以O為球心，1為半徑且在圓柱內部的半球的體積V半球××13則點P到點O的距離小于或等于1的概率為，故點P到點O的距離大于1的概率為1思維升華求解幾何概型的概率問題，一定要正確確定試驗的全部結果構成的區域，從而正確選擇合理的測度，進而利用概率公式求解(1)

8、在區間，內隨機取出兩個數分別記為a，b，則函數f(x)x22axb22有零點的概率為()A1 B1C1 D1(2)在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中心，在正方體ABCDA1B1C1D1 內隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為_答案(1)B(2)1解析(1)由函數f(x)x22axb22有零點，可得(2a)24(b22)0，整理得a2b22，如圖所示，(a，b)可看成坐標平面上的點，試驗的全部結果構成的區域為(a，b)|a，b，其面積S(2)242事件A表示函數f(x)有零點，所構成的區域為M(a，b)|a2b22，即圖中陰影部分，其面積為SM423，

9、故P(A)1，所以選B(2)V正238，V半球××13，P1題型三生活中的幾何概型問題例3甲、乙兩船駛向一個不能同時停泊兩艘船的碼頭，它們在一晝夜內到達該碼頭的時刻是等可能的如果甲船停泊時間為1 h，乙船停泊時間為2 h，求它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出的概率思維啟迪當基本事件受兩個連續變量控制時，一般是把兩個連續變量分別作為一個點的橫坐標和縱坐標，這樣基本事件就構成了平面上的一個區域，即可借助平面區域解決解這是一個幾何概型問題設甲、乙兩艘船到達碼頭的時刻分別為x與y，A為“兩船都不需要等待碼頭空出”，則0x24,0y24，要使兩船都不需要等待碼頭空出，當且僅當甲比乙

10、早到達1 h以上或乙比甲早到達2 h以上，即yx1或xy2故所求事件構成集合A(x，y)|yx1或xy2，x0,24，y0,24A為圖中陰影部分，全部結果構成集合為邊長是24的正方形及其內部所求概率為P(A)思維升華生活中的幾何概型度量區域的構造方法：(1)審題：通過閱讀題目，提煉相關信息(2)建模：利用相關信息的特征，建立概率模型(3)解模：求解建立的數學模型(4)結論：將解出的數學模型的解轉化為題目要求的結論張先生訂了一份報紙，送報人在早上6：307：30之間把報紙送到他家，張先生離開家去上班的時間在早上7：008：00之間，則張先生在離開家之前能得到報紙的概率是_答案解析以橫坐標x表示報

11、紙送到時間，以縱坐標y表示張先生離家時間，建立平面直角坐標系，因為隨機試驗落在方形區域內任何一點是等可能的，所以符合幾何概型的條件根據題意只要點落到陰影部分，就表示張先生在離開家前能得到報紙，即所求事件A發生，所以P(A)混淆長度型與面積型幾何概型致誤典例：(12分)在長度為1的線段上任取兩點，將線段分成三段，試求這三條線段能構成三角形的概率易錯分析不能正確理解題意，無法找出準確的幾何度量來計算概率規范解答解設x、y表示三段長度中的任意兩個因為是長度，所以應有0<x<1,0<y<1,0<xy<1，即(x，y)對應著坐標系中以(0,1)、(1,0)和(0,0)

12、為頂點的三角形內的點，如圖所示4分要形成三角形，由構成三角形的條件知所以x<，y<，且xy>，故圖中陰影部分符合構成三角形的條件8分因為陰影部分的三角形的面積占大三角形面積的，故這三條線段能構成三角形的概率為12分溫馨提醒解決幾何概型問題時，還有以下兩點容易造成失分，在備考時要高度關注：(1)不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導致錯誤；(2)利用幾何概型的概率公式時，忽視驗證事件是否等可能性導致錯誤方法與技巧1區分古典概型和幾何概型最重要的是看基本事件的個數是有限個還是無限多個2轉化思想的應用對一個具體問題，可以將其幾何化，如建立坐標系將試驗結果和點對應，然后利用幾何概型

13、概率公式(1)一般地，一個連續變量可建立與長度有關的幾何概型，只需把這個變量放在坐標軸上即可；(2)若一個隨機事件需要用兩個變量來描述，則可用這兩個變量的有序實數對來表示它的基本事件，然后利用平面直角坐標系就能順利地建立與面積有關的幾何概型；(3)若一個隨機事件需要用三個連續變量來描述，則可用這三個變量組成的有序數組來表示基本事件，利用空間直角坐標系建立與體積有關的幾何概型失誤與防范1準確把握幾何概型的“測度”是解題關鍵；2幾何概型中，線段的端點、圖形的邊框是否包含在事件之內不影響所求結果2015航班 概率與統計-幾何概型1“抖空竹”是中國的傳統雜技，表演者在兩根直徑約812毫米的桿上系一根長

14、度為1 m的繩子，并在繩子上放一空竹，則空竹與兩端距離都大于0.2 m的概率為()A B C D2在長為12 cm的線段AB上任取一點C，現作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積大于20 cm2的概率為()A B C D4已知ABC中，ABC60°，AB2，BC6，在BC上任取一點D，則使ABD為鈍角三角形的概率為()A B C D5如圖， 在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以OA，OB為直徑作兩個半圓在扇形OAB內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是()A1 BC D6 已知點A在坐標原點，點B在直線y1上，點C(3,4)，若AB，則ABC的面積大于5的概率是

15、()A BC D7在長為10 cm的線段AB上任取一點G，以AG為半徑作圓，則圓的面積介于36 cm2到64 cm2的概率是_8在區間2,4上隨機地取一個數x，若x滿足|x|m的概率為，則m_9在面積為S的ABC內部任取一點P，PBC的面積大于的概率為_10平面內有一組平行線，且相鄰平行線間的距離為3 cm，把一枚半徑為1 cm的硬幣任意投擲在這個平面內，則硬幣不與任何一條平行線相碰的概率是_11身處廣州的姐姐和身處沈陽的弟弟在春節前約定分別乘A、B兩列火車在鄭州火車站會面，并約定先到者等待時間不超過10分鐘當天A、B兩列火車正點到站的時間是上午9點，每列火車到站的時間誤差為±15分

16、鐘，不考慮其他因素，那么姐弟倆在鄭州火車站會面的概率為_12小波通過做游戲的方式來確定周末活動，他隨機地往單位圓內投擲一點，若此點到圓心的距離大于，則周末去看電影；若此點到圓心的距離小于，則去打籃球；否則，在家看書則小波周末不在家看書的概率為_§123幾何概型一、選擇題1“抖空竹”是中國的傳統雜技，表演者在兩根直徑約812毫米的桿上系一根長度為1 m的繩子，并在繩子上放一空竹，則空竹與兩端距離都大于02 m的概率為()A B C D答案B解析與兩端都大于02 m即空竹的運行范圍為(10202)m06 m，記“空竹與兩端距離都大于02 m”為事件A，則所求概率滿足幾何概型，即P(A)2

17、(2012·遼寧)在長為12 cm的線段AB上任取一點C，現作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積大于20 cm2的概率為()A B C D答案C解析根據題意求出矩形面積為20 cm2時的各邊長，再求概率設ACx，則BC12x，所以x(12x)20，解得x2或x10故P3如圖所示，在邊長為1的正方形OABC中任取一點P，則點P恰好取自陰影部分的概率為()A BC D答案C解析S陰影(x)dx，又S正方形OABC1，由幾何概型知，P恰好取自陰影部分的概率為4已知ABC中，ABC60°，AB2，BC6，在BC上任取一點D，則使ABD為鈍角三角形的概率為()A

18、B C D答案C解析如圖，當BE1時，AEB為直角，則點D在線段BE(不包含B、E點)上時，ABD為鈍角三角形；當BF4時，BAF為直角，則點D在線段CF(不包含C、F點)上時，ABD為鈍角三角形所以ABD為鈍角三角形的概率為5(2012·湖北)如圖， 在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以OA，OB為直徑作兩個半圓在扇形OAB內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是()A1 BC D答案A解析設分別以OA，OB為直徑的兩個半圓交于點C，OA的中點為D，如圖，連接OC，DC不妨令OAOB2，則ODDADC1在以OA為直徑的半圓中，空白部分面積S1×1×1 1，所以整

19、體圖形中空白部分面積S22又因為S扇形OAB××22，所以陰影部分面積為S32所以P1二、填空題6在長為10 cm的線段AB上任取一點G，以AG為半徑作圓，則圓的面積介于36 cm2到64 cm2的概率是_答案解析如圖，以AG為半徑作圓，圓面積介于3664 cm2，則AG的長度應介于68 cm之間所求概率P(A)7(2013·湖北)在區間2,4上隨機地取一個數x，若x滿足|x|m的概率為，則m_答案3解析由|x|m，得mxm當m2時，由題意得，解得m25，矛盾，舍去當2<m<4時，由題意得，解得m3即m的值為38在區間1,5和2,4上分別各取一個數，記

20、為m和n，則方程1表示焦點在x軸上的橢圓的概率是_答案解析方程1表示焦點在x軸上的橢圓，m>n如圖，由題意知，在矩形ABCD內任取一點Q(m，n)，點Q落在陰影部分的概率即為所求的概率，易知直線mn恰好將矩形平分，所求的概率為P9小波通過做游戲的方式來確定周末活動，他隨機地往單位圓內投擲一點，若此點到圓心的距離大于，則周末去看電影；若此點到圓心的距離小于，則去打籃球；否則，在家看書則小波周末不在家看書的概率為_答案解析去看電影的概率P1，去打籃球的概率P2，不在家看書的概率為P三、解答題10已知向量a(2,1)，b(x，y)(1)若x，y分別表示將一枚質地均勻的正方體骰子(六個面的點數分

21、別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時第一次、第二次出現的點數，求滿足a·b1的概率；(2)若x，y在連續區間1,6上取值，求滿足a·b<0的概率解(1)將一枚質地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次，所包含的基本事件總數為6×636(個)；由a·b1有2xy1，所以滿足a·b1的基本事件為(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3個；故滿足a·b1的概率為(2)若x，y在連續區間1,6上取值，則全部基本事件的結果為(x，y)|1x6,1y6；滿足a·b<0的基本事件的結果為A(x，y)|1x6,1y6且2xy<0；畫出圖形如圖，矩形的面積為S矩形25，陰影部分的面積為S陰影25×2×421，故滿足a·b<0的概率為B組專項能力提升1在區間1,1上隨機取一個數x，則sin 的值介于與之間的概率為()A B C D答案D解析1x1，由sin ，得，即x1故所求事件的概率為2 如圖，矩形長為6，寬為4，在矩形內隨機地撒300顆黃豆，數得落在橢圓外的黃豆數為96，則