1、抽樣誤差和 t 分布 荀鵬程Sampling error and t distribution 抽樣誤差的概念 由抽樣引起的樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)間的差異由抽樣引起的樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)間的差異 兩種表現(xiàn)形式兩種表現(xiàn)形式 樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)間的差異樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)間的差異樣本統(tǒng)計量間的差異樣本統(tǒng)計量間的差異 抽樣研究抽樣研究 個體變異個體變異抽樣誤差產(chǎn)生的條件 均數(shù)的抽樣誤差及標準誤 表現(xiàn)一：樣本均數(shù)與總體均數(shù)之差值表現(xiàn)一：樣本均數(shù)與總體均數(shù)之差值表現(xiàn)二：多個樣本均數(shù)間的離散度表現(xiàn)二：多個樣本均數(shù)間的離散度中心極限定理(central limit theorem) 從均數(shù)為、標準差為的總體

2、中獨立隨機抽樣，當樣本含量n增加時，樣本均數(shù)的分布將趨于正態(tài)分布，此分布的均數(shù)為，標準差為 。 XnX標準誤(standard error，SE)，樣本統(tǒng)計量的標準差稱為標準誤，用來衡量抽樣誤差的大小。樣本均數(shù)的標準差稱為標準誤。此標準誤與個體變異 成正比，與樣本含量n的平方根成反比。實際工作中，實際工作中， 往往是未知的，一般可用樣本標準差往往是未知的，一般可用樣本標準差s s代替代替 ：因為標準差因為標準差s s隨樣本含量的增加而趨于穩(wěn)定，故增加隨樣本含量的增加而趨于穩(wěn)定，故增加樣本含量可以降低抽樣誤差。樣本含量可以降低抽樣誤差。 nssX中心極限定理表明，即使從非正態(tài)總體中隨機抽樣，中心

3、極限定理表明，即使從非正態(tài)總體中隨機抽樣，只要樣本含量足夠大，樣本均數(shù)的分布也趨于正態(tài)分只要樣本含量足夠大，樣本均數(shù)的分布也趨于正態(tài)分布布 ，見圖，見圖3.1 。圖圖3.13.1描述了來自不同總體的樣本均數(shù)之抽樣誤差和描述了來自不同總體的樣本均數(shù)之抽樣誤差和抽樣分布規(guī)律。事實上，任何一個樣本統(tǒng)計量均有其抽樣分布規(guī)律。事實上，任何一個樣本統(tǒng)計量均有其分布。統(tǒng)計量的抽樣分布規(guī)律是進行統(tǒng)計推斷的理論分布。統(tǒng)計量的抽樣分布規(guī)律是進行統(tǒng)計推斷的理論基礎?；A。 標準差與標準誤的聯(lián)系和區(qū)別 聯(lián)系聯(lián)系都是變異指標。S反映個體觀察值的變異；反映統(tǒng)計量的變異。當n不變時，標準差，標準誤 nssX區(qū)別區(qū)別 s X

4、s 意義意義 描述原始數(shù)據(jù)的離散程度，描述原始數(shù)據(jù)的離散程度， 衡量均數(shù)對原始數(shù)據(jù)的代表性衡量均數(shù)對原始數(shù)據(jù)的代表性 反映抽樣誤差的大小，反映抽樣誤差的大小， 衡量樣本均數(shù)估計總體均數(shù)的可靠性衡量樣本均數(shù)估計總體均數(shù)的可靠性 計算計算 直接法、加權法直接法、加權法 nssX 與均數(shù)的關系與均數(shù)的關系 s 越小，越小，X對樣本數(shù)據(jù)的代表性好對樣本數(shù)據(jù)的代表性好 Xs越小，越小，X估計估計 的可靠性大的可靠性大 與與 n 的關系的關系 n ，s n ，Xs 0 應用應用 表示觀察值波動的大小表示觀察值波動的大小 表示抽樣誤差的大小表示抽樣誤差的大小 用于計算變異系數(shù)用于計算變異系數(shù) 用于均數(shù)的假設

5、檢驗用于均數(shù)的假設檢驗 計算標準誤計算標準誤 結合樣本均數(shù)和正態(tài)分布的規(guī)律，估計參考值范圍結合樣本均數(shù)和正態(tài)分布的規(guī)律，估計參考值范圍 結合樣本均數(shù)和正態(tài)分布的規(guī)律，估計參數(shù)的可信區(qū)間結合樣本均數(shù)和正態(tài)分布的規(guī)律，估計參數(shù)的可信區(qū)間 t分布設從正態(tài)分布N(,2)中隨機抽取含量為n的樣本，樣本均數(shù)和標準差分別為 和s，設： 則t值服從自由度為n-1的t分布(t-distribution)。Gosset于1908年在生物統(tǒng)計雜志上發(fā)表該論文時用的是筆名“Student”，故t分布又稱Student t分布。 XnsXsXtX f(t) =（標準正態(tài)曲線） =5 =10.10.2-4-3-2-101

6、2340.3圖3.2 自由度分別為1、5、時的t分布 t分布的特征 t分布為一簇單峰分布曲線分布為一簇單峰分布曲線t分布以分布以0為中心，左右對稱為中心，左右對稱t分布與自由度分布與自由度 有關，自由度越小，有關，自由度越小，t分布的峰越低，分布的峰越低，而兩側尾部翹得越高，；自由度逐漸增大時，而兩側尾部翹得越高，；自由度逐漸增大時，t分布分布逐漸逼近標準正態(tài)分布；當自由度為無窮大時，逐漸逼近標準正態(tài)分布；當自由度為無窮大時，t分分布就是標準正態(tài)分布。布就是標準正態(tài)分布。 每一自由度下的t分布曲線都有其自身分布規(guī)律t分布表明，從正態(tài)分布總體中隨機抽取的樣本，由樣本計算的t值接近0的可能性較大，遠離0的可能性較小。t0.05,102.228，表明，從正態(tài)分布總體中抽取樣本含量為n=11的樣本，則由該樣本計算的t