1、要點導學各個擊破隨機事件的概率 (2014·泰州中學模擬)在集合中任取一個元素,所取元素恰好滿足方程cosx=的概率是.答案解析因為集合中共有10個元素,而當n=2和n=10時,cosx=,故滿足條件cosx=的基本事件個數為2,故所取元素恰好滿足方程cosx=的概率P=.常見的古典概型問題現有6道題,其中4道甲類題,2道乙類題,張同學從中任取2道題解答.(1) 求所取的2道題都是甲類題的概率;(2) 求所取的2道題不是同一類題的概率.解答(1) 將4道甲類題依次編號為1,2,3,4;2道乙類題依次編號為5,6,任取2道題,基本事件為:1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,

2、2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,6,共15個,而且這些基本事件的出現是等可能的.設“所選兩道題都是甲類題”為事件A,則A包含的基本事件有1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4,共6個,所以P(A)=.(2) 設“所選兩道題不是同一類題”為事件B,則B包含的基本事件有1,5,1,6,2,5,2,6,3,5,3,6,4,5,4,6,共8個,所以P(B)=.某地區(qū)有21所小學、14所中學、7所大學,現采取分層抽樣的方法從這些學校中抽取6所學校對學生進行視力調查.(1) 求應從小學、中學、大學中分別抽取的學校數目;(2) 若從抽取的6所學校中隨機抽取2所學校

3、做進一步數據分析,求抽取的2所學校均為小學的概率.解答(1) 從小學、中學、大學中分別抽取的學校數目為3,2,1.(2) 在抽取到得6所學校中,3所小學分別記為A1,A2,A3,2所中學分別記為A4,A5,大學記為A6,則抽取2所學校的所有可能結果為A1,A2,A1,A3,A1,A4,A1,A5,A1,A6,A2,A3,A2,A4,A2,A5,A2,A6,A3,A4,A3,A5,A3,A6,A4,A5,A4,A6,A5,A6,共15種.設“從6所學校中抽取的2所學校均為小學”為事件A,則A的所有可能結果為A1,A2,A1,A3,A2,A3,共3種.所以P(A)=. 某小組共有A,B,C,D,E

4、五位同學,他們的身高(單位:m)及體重指標(單位:kg/m2)如下表所示:ABCDE身高1.691.731.751.791.82體重指標19.225.118.523.320.9(1) 從該小組身高低于1.80 m的同學中任選2人,求選到的2人身高都在1.78 m以下的概率;(2) 從該小組同學中任選2人,求選到的2人的身高都在1.70 m以上且體重指標都在18.5,23.9)(單位:kg/m2)中的概率.解答(1) 從身高低于1.80 m的同學中任選2人,其一切可能的結果組成的基本事件為(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共6個.由于每個人被選到的機會均等,

5、因此這些基本事件的出現是等可能的.選到的2人身高都在1.78 m以下的事件有(A,B),(A,C),(B,C),共3個.因此選到的2人身高都在1.78 m以下的概率P=.(2) 從該小組同學中任選2人,其一切可能的結果組成的基本事件有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共10個.由于每個人被選到的機會均等,因此這些基本事件的出現是等可能的.選到的2人身高都在1.70 m以上且體重指標都在18.5,23.9)中的事件有(C,D),(C,E),(D,E),共3個.故選到的2人的身高都在1.70 m以上且體重指標都在

6、18.5,23.9)中的概率P=.【題組強化·重點突破】1. (2014·安慶模擬)在平面直角坐標系中,從A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,2),E(2,2)五個點中任取三個,這三點能構成三角形的概率是.答案解析從5個點中取3個點,列舉得ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共有10個基本事件,而其中ACE,BCD兩種情況三點共線,其余8個均符合題意,故能構成三角形的概率為=.2. 拋擲兩枚骰子,若正面朝上的點數為b,c,則方程x2+bx+c=0有兩個實根的概率是.答案解析共有36個基本事件,當方程有解時=b2-4c

7、0,所以b24c,滿足條件的記為(b2,4c),有:(4,4),(9,4),(9,8),(16,4),(16,8),(16,12),(16,16),(25,4),(25,8),(25,12),(25,16),(25,20),(25,24),(36,4),(36,8),(36,12),(36,16),(36,20),(36,24),19種情況,所以P=.3. 有六張紙牌,上面分別寫有1,2,3,4,5,6六個數字,甲、乙兩人玩一種游戲:甲先取一張牌,記下點數,放回后乙再取一張牌,記下點數.如果兩個點數的和為偶數就算甲勝,否則算乙勝.求甲勝且點數和為6的事件發(fā)生的概率.解答設“甲勝且點數的和為6”

8、為事件A,甲的點數為x,乙的點數為y,則(x,y)表示一個基本事件,兩人取牌結果包括(1,1),(1,2),(1,5),(1,6),(2,1),(6,6),共36個基本事件.A包含的基本事件有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5個,所以P(A)=,所以甲勝且點數之和為6的概率為.統計與概率的綜合(2014·淄博模擬)某校從高一年級學生中隨機抽取50名學生,將他們的期中考試數學成績(滿分100分,成績均為不低于40分的整數)分成六段:40,50),50,60),90,100,得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1) 若該校高一年級共有學生1000人,試估計成績不

9、低于60分的人數;(2) 為了幫助學生提高數學成績,學校決定在隨機抽取的50名學生中成立“二幫一”小組,即從成績90,100中選兩位同學,共同幫助40,50)中的某一位同學.已知甲同學的成績?yōu)?2分,乙同學的成績?yōu)?5分,求甲、乙恰好被安排在同一小組的概率.(例4)解答(1) 根據頻率分布直方圖,成績不低于60分的頻率為1-10×(0.004+0.010)=0.86.由于該校高一年級共有學生1000人,利用樣本估計總體的思想,可估計該校高一年級數學成績不低于60分的人數為1000×0.86=860.(2) 成績在40,50)分數段內的人數為50×0.04=2,成績

10、在90,100分數段內的人數為50×0.1=5,由40,50)內有2人,記為甲,A,90,100)內有5人,記為乙,B,C,D,E,則“二幫一”小組有以下20種分組方法,分別為:甲乙B,甲乙C,甲乙D,甲乙E,甲BC,甲BD,甲BE,甲CD,甲CE,甲DE,A乙B,A乙C,A乙D,A乙E,ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE.其中甲、乙兩同學被分在同一小組有4種方法,分別為:甲乙B,甲乙C,甲乙D,甲乙E.所以甲、乙兩同學恰好被安排在同一小組的概率P=.(2014·威海模擬)某普通高中共有教師360人,分為三個批次參加研修培訓,在三個批次中男、女教師人數如下表所示

11、:第一批次第二批次第三批次女教師86xy男教師9466z已知在全體教師中隨機抽取1名,抽到第二、三批次中女教師的概率分別是0.15,0.1.(1) 求x,y,z的值;(2) 為了調查研修效果,現從三個批次中按160的比例抽取教師進行問卷調查,三個批次被選取的人數分別是多少?(3) 若從(2)中選取的教師中隨機選出兩名教師進行訪談,求參加訪談的兩名教師“分別來自兩個批次”的概率.解答(1) x=360×0.15=54,y=360×0.1=36,z=360-86-54-36-94-66=24.(2) 由(1)知,三個批次的人數分別是180,120,60,所以被選取的人數分別為3

12、,2,1.(3) 第一批次選取的三個教師設為A1,A2,A3,第二批次的教師為B1,B2,第三批次的教師設為C,則從這6名教師中隨機選出兩名教師的所有可能的基本事件為A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A1C,A2A3,A2B1,A2B2,A2C,A3B1,A3B2,A3C,B1B2,B1C,B2C,共15個,“來自兩個批次”的事件包括A1B1,A1B2,A1C,A2B1,A2B2,A2C,A3B1,A3B2,A3C,B1C,B2C,共11個,所以“來自兩個批次”的概率P=.1. 從1,2,3,4,5中任意取出2個不同的數,其和為5的概率是.答案0.2解析任取2個數有10種取法,和為5的取

13、法有2種,故所求概率為=0.2.2. 已知kZ,=(k,1),=(2,4),若|4,則ABC是直角三角形的概率為.答案解析|4,k2+116,k215,k=-3,-2,-1,0,1,2,3.=(2-k,3).若·=-k2+2k+3=0,則k=-1,k=3;若·=0,則k=8(舍去);若·=0,則k=-2.故P=.3. 先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子(它們的六個面分別標有點數1,2,3,4,5,6),骰子朝上的面的點數分別為x,y,則y=2x的概率為.答案解析先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子共有36種結果,骰子朝上的面的點數分別為x,y,滿足y=2x的有3種,故所求概率為=.4. 我們把形如“1234”和“3241”形式的數稱為“鋸齒數”(即大小間隔的數),由1,2,3,4四個數組成一個沒有重復數字的四位數,則該四位數恰好是“鋸齒數”的概率為.答案解析通過畫樹形圖可知由1,2,3,4四個數構成的沒有重復數字的四位數共有24個,四位數為“鋸齒數”的有1324,1423,2143,2314,2413,3142,3241