1、中考專題拋物線與面積專題 拋物線與三角形、四邊形面積問題涉及代數、幾何知識，有一定難度。此類問題均是結合各個知識點進行綜合考查，本文通過舉例來談這類題的解法。 一、頂點在拋物線y=ax2+bx+c的三角形面積的一般情況有：（1）、以拋物線與x軸的兩交點和拋物線的頂點為頂點的三角形，其底邊的長是拋物線與x軸兩交點間的距離，高的長是拋物線頂點的縱坐標的絕對值。其面積為：S=|x1-x2|·|=··|（2）、以拋物線與x軸、y軸的三個交點為頂點的三角形。其底邊的長是拋物線與x軸兩交點間的距離，高的長是拋物線與y軸上的截距(原點與y軸交點構成的線段長)的絕對值。其面積為：

2、S=·|x1-x2|·|c|··|c| （3）、三角形三個頂點在拋物線其他位置時，應根據圖形的具體特征，靈活運用幾何和代數的有關知識。注意：首先把握好圖形的性質，根據特性進行公式運用。（4）、拋物線內四邊形面積問題往往涉及到平行四邊形和菱形及其長方形等特殊形狀的運用，需要根據題目的具體要求進行分析解答。注意：在利用菱形的面積公式有多種：兩對角線之積的一半；邊長與高的積等。二、典型例題賞析1求內接于拋物線的三角形面積。例1（2015遼寧阜新）（第18題，12分）如圖，拋物線y=x2+bx+c交x軸于點A（3，0）和點B，交y軸于點C（0，3）（1）求拋物線

3、的函數表達式；（2）若點P在拋物線上，且SAOP=4SBOC，求點P的坐標；（3）如圖b，設點Q是線段AC上的一動點，作DQx軸，交拋物線于點D，求線段DQ長度的最大值考點：二次函數綜合題分析：（1）把點A、C的坐標分別代入函數解析式，列出關于系數的方程組，通過解方程組求得系數的值；（2）設P點坐標為（x，x22x+3），根據SAOP=4SBOC列出關于x的方程，解方程求出x的值，進而得到點P的坐標；（3）先運用待定系數法求出直線AC的解析式為y=x+3，再設Q點坐標為（x，x+3），則D點坐標為（x，x2+2x3），然后用含x的代數式表示QD，根據二次函數的性質即可求出線段QD長度的最大值解

4、答：解：（1）把A（3，0），C（0，3）代入y=x2+bx+c，得，解得故該拋物線的解析式為：y=x22x+3（2）由（1）知，該拋物線的解析式為y=x22x+3，則易得B（1，0）SAOP=4SBOC，×3×|x22x+3|=4××1×3整理，得（x+1）2=0或x2+2x7=0，解得x=1或x=1±則符合條件的點P的坐標為：（1，4）或（1+，4）或（1，4）；（3）設直線AC的解析式為y=kx+t，將A（3，0），C（0，3）代入，得，解得即直線AC的解析式為y=x+3設Q點坐標為（x，x+3），（3x0），則D點坐標為（x，

5、x22x+3），QD=（x22x+3）（x+3）=x23x=（x+）2+，當x=時，QD有最大值點評：此題考查了待定系數法求二次函數、一次函數的解析式，二次函數的性質以及三角形面積、線段長度問題此題難度適中，解題的關鍵是運用方程思想與數形結合思想【變式練習】（2015齊齊哈爾,第23題7分）如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC的邊長為4，頂點A、C分別在x軸、y軸的正半軸，拋物線y=x2+bx+c經過B、C兩點，點D為拋物線的頂點，連接AC、BD、CD（1）求此拋物線的解析式（2）求此拋物線頂點D的坐標和四邊形ABCD的面積考點： 待定系數法求二次函數解析式；二次函數圖象上點的坐標特征專題

6、： 計算題分析： （1）根據題意確定出B與C的坐標，代入拋物線解析式求出b與c的值，即可確定出解析式；（2）把拋物線解析式化為頂點形式，找出頂點坐標，四邊形ABDC面積=三角形ABC面積+三角形BCD面積，求出即可解答： 解：（1）由已知得：C（0，4），B（4，4），把B與C坐標代入y=x2+bx+c得：，解得：b=2，c=4，則解析式為y=x2+2x+4；（2）y=x2+2x+4=（x2）2+6，拋物線頂點坐標為（2，6），則S四邊形ABDC=SABC+SBCD=×4×4+×4×2=8+4=12點評： 此題考查了待定系數法求二次函數解析式，以及二次函

7、數圖象上點的坐標特征，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵2求拋物線的解析式例2（2015葫蘆島）（第26題）如圖，直線y=x+3與x軸交于點C，與y軸交于點B，拋物線y=ax2+x+c經過B、C兩點（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，點E是直線BC上方拋物線上的一動點，當BEC面積最大時，請求出點E的坐標和BEC面積的最大值？（3）在（2）的結論下，過點E作y軸的平行線交直線BC于點M，連接AM，點Q是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由考點：二次函數綜合題分析：（1）首先根據直線y=

8、x+3與x軸交于點C，與y軸交于點B，求出點B的坐標是（0，3），點C的坐標是（4，0）；然后根據拋物線y=ax2+x+c經過B、C兩點，求出ac的值是多少，即可求出拋物線的解析式（2）首先過點E作y軸的平行線EF交直線BC于點M，EF交x軸于點F，然后設點E的坐標是（x， x2+x+3），則點M的坐標是（x， x+3），求出EM的值是多少；最后根據三角形的面積的求法，求出SABC，進而判斷出當BEC面積最大時，點E的坐標和BEC面積的最大值各是多少即可（3）在拋物線上存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形然后分三種情況討論，根據平行四邊形的特征，求出使得以P、Q、A、M為頂

9、點的四邊形是平行四邊形的點P的坐標是多少即可解答：解：（1）直線y=x+3與x軸交于點C，與y軸交于點B，點B的坐標是（0，3），點C的坐標是（4，0），拋物線y=ax2+x+c經過B、C兩點，解得y=x2+x+3（2）如圖1，過點E作y軸的平行線EF交直線BC于點M，EF交x軸于點F，點E是直線BC上方拋物線上的一動點，設點E的坐標是（x， x2+x+3），則點M的坐標是（x， x+3），EM=x2+x+3（x+3）=x2+x，SABC=SBEM+SMEC=×（x2+x）×4=x2+3x=（x2）2+3，當x=2時，即點E的坐標是（2，3）時，BEC的面積最大，最大面積是

10、3（3）在拋物線上存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形如圖2，由（2），可得點M的橫坐標是2，點M在直線y=x+3上，點M的坐標是（2，），又點A的坐標是（2，0），AM=，AM所在的直線的斜率是：；y=x2+x+3的對稱軸是x=1，設點Q的坐標是（1，m），點P的坐標是（x， x2+x+3），則解得或，x0，點P的坐標是（3，）如圖3，由（2），可得點M的橫坐標是2，點M在直線y=x+3上，點M的坐標是（2，），又點A的坐標是（2，0），AM=，AM所在的直線的斜率是：；y=x2+x+3的對稱軸是x=1，設點Q的坐標是（1，m），點P的坐標是（x， x2+x+3），則解得

11、或，x0，點P的坐標是（5，）如圖4，由（2），可得點M的橫坐標是2，點M在直線y=x+3上，點M的坐標是（2，），又點A的坐標是（2，0），AM=，y=x2+x+3的對稱軸是x=1，設點Q的坐標是（1，m），點P的坐標是（x， x2+x+3），則解得，點P的坐標是（1，）綜上，可得在拋物線上存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形，點P的坐標是（3，）、（5，）、（1，）點評：（1）此題主要考查了二次函數綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應用，考查了數形結合思想的應用，考查了從已知函數圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應的問題的能力（2）此題還考查了函數解

12、析式的求法，以及二次函數的最值的求法，要熟練掌握（3）此題還考查了三角形的面積的求法，要熟練掌握【變式練習】（2015年四川省達州市中考，25,12分）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，AOC的平分線交AB于點D，E為BC的中點，已知A（0，4）、C（5，0），二次函數y=x2+bx+c的圖象拋物線經過A，C兩點（1）求該二次函數的表達式；（2）F、G分別為x軸，y軸上的動點，順次連接D、E、F、G構成四邊形DEFG，求四邊形DEFG周長的最小值；（3）拋物線上是否在點P，使ODP的面積為12？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由考點

13、：二次函數綜合題分析：（1）根據待定系數法，可得函數解析式；（2）分別作A關于x軸的對稱點E，作B關于y軸的對稱點F，連接EF交x軸于D，交y軸于C，連接AD、BC，則此時AD+DC+BC的值最小，根據A、B的坐標求出AB，求出E、F的坐標，求出EF的長，即可求出答案；（3）根據三角形的面積，首先求得點P到OD的距離，然后過點O作OFOD，使OF等于點P到OD的距離，過點F作FGOD，求得FG的解析式，然后再求直線FG與拋物線交點的坐標即可得到點P的坐標解答：（1）將A（0，4）、C（5，0）代入二次函數y=x2+bx+c，得，解得故二次函數的表達式y=x2x+4；（2）如圖：延長EC至E，使

14、EC=EC，延長DA至D，使DA=DA，連接DE，交x軸于F點，交y軸于G點，GD=GDEF=EF，（DG+GF+EF+ED）最小=DE+DE，由E點坐標為（5，2），D（4，4），得D（4，4），E（5，2）由勾股定理，得DE=，DE=，（DG+GF+EF+ED）最小=DE+DE=+；（3）如下圖：OD=SODP的面積=12，點P到OD的距離=3過點O作OFOD，取OF=3，過點F作直線FGOD，交拋物線與點P1，P2，在EtOGF中，OG=6，直線GF的解析式為y=x6將y=x6代入y=得：x6=，解得：，將x1、x2的值代入y=x6得：y1=，y2=點P1（，），P2（，）如下圖所示：過

15、點O作OFOD，取OF=3，過點F作直線FG交拋物線與P3，P4，在RtPFO中，OG=6直線FG的解析式為y=x+6，將y=x+6代入y=得：x+6=解得：，y1=x1+6=，y2=x2+6=p3（，），p4（，）綜上所述：點P的坐標為：（，）或（，）或（，）或（，）點評：本題主要考查的是二次函數的綜合應用，求得點P到OD的距離是解題的關鍵，解得此類問題通常可以將函數問題轉化為方程或方程組的問題3求拋物線解析式中字母系數的值。 例3（2015梧州,第26題12分）如圖，拋物線y=ax2+bx+2與坐標軸交于A、B、C三點，其中B（4，0）、C（2，0），連接AB、AC，在第一象限內的拋物線上

16、有一動點D，過D作DEx軸，垂足為E，交AB于點F（1）求此拋物線的解析式；（2）在DE上作點G，使G點與D點關于F點對稱，以G為圓心，GD為半徑作圓，當G與其中一條坐標軸相切時，求G點的橫坐標；（3）過D點作直線DHAC交AB于H，當DHF的面積最大時，在拋物線和直線AB上分別取M、N兩點，并使D、H、M、N四點組成平行四邊形，請你直接寫出符合要求的M、N兩點的橫坐標考點： 二次函數綜合題所有分析： （1）根據B，C兩點在拋物線y=ax2+bx+2上，代入拋物線得到方程組，求出a，b的值，即可解答；（2）先求出直線AB的解析式為y=x+2，設F點的坐標為（x，x+2），則D點的坐標為（x，）

17、，根據G點與D點關于F點對稱，所以G點的坐標為（x，），若以G為圓心，GD為半徑作圓，使得G與其中一條坐標軸相切，分兩種情況解答：若G與x軸相切則必須由DG=GE；若G與y軸相切則必須由DG=OE；（3）M點的橫坐標為2±2，N點的橫坐標為±2解答： 解：（1）B，C兩點在拋物線y=ax2+bx+2上，解得：所求的拋物線為：y=（2）拋物線y=，則點A的坐標為（0，2），設直線AB的解析式為y=kx+b，解得：直線AB的解析式為y=x+2，設F點的坐標為（x，x+2），則D點的坐標為（x，），G點與D點關于F點對稱，G點的坐標為（x，），若以G為圓心，GD為半徑作圓，使得G

18、與其中一條坐標軸相切，若G與x軸相切則必須由DG=GE，即+2，解得：x=，x=4（舍去）；若G與y軸相切則必須由DG=OE，即解得：x=2，x=0（舍去）綜上，以G為圓心，GD為半徑作圓，當G與其中一條坐標軸相切時，G點的橫坐標為2或（3）M點的橫坐標為2±2，N點的橫坐標為±2點評： 本題考查的是二次函數綜合題，涉及到用待定系數法求一次函數及二次函數的解析式，難度較大，注意分類討論思想的應用【變式練習】(2015年四川省廣元市中考，24,12分)如圖，已知拋物線y=（x+2）（xm）（m0）與x軸相交于點A、B，與y軸相交于點C，且點A在點B的左側（1）若拋物線過點G（

19、2，2），求實數m的值；（2）在（1）的條件下，解答下列問題：求出ABC的面積；在拋物線的對稱軸上找一點H，使AH+CH最小，并求出點H的坐標；（3）在第四現象內，拋物線上是否存在點M，使得以點A、B、M為頂點的三角形與ACB相似？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由考點：二次函數綜合題專題：綜合題分析：（1）把C坐標代入拋物線解析式求出m的值即可；（2）對于拋物線解析式，令y=0求出x的值，確定出A與B坐標；令x=0，求出y的值，確定出C坐標，求出三角形ABC面積即可；如圖1，連接BC交對稱軸于點H，由對稱軸的性質和兩點之間線段最短的性質可得：此時AH+CH=BH+CH=BC最小，利用待定

20、系數法求出直線BC解析式，與拋物線對稱軸聯立求出H坐標即可；（3）在第四現象內，拋物線上存在點M，使得以點A、B、M為頂點的三角形與ACB相似，分兩種情況考慮：（i）當ACBABM時；（ii）當ACBMBA時，利用相似三角形的判定與性質，確定出m的值即可解答：（1）拋物線過G（2，2），把G坐標代入拋物線解析式得：2=（2+2）（2m），解得：m=4；（2）令y=0，得到（x+2）（xm）=0，解得：x1=2，x2=m，m0，A（2，0），B（m，0），把m=4代入得：B（4，0），AB=6，令x=9，得到y=2，即C（0，2），OC=2，則SABC=×6×2=6；A（2，

21、0），B（4，0），拋物線解析式為y=（x+2）（x4）的對稱軸為x=1，如圖1，連接BC交對稱軸于點H，由對稱軸的性質和兩點之間線段最短的性質可得：此時AH+CH=BH+CH=BC最小，設直線BC的解析式為y=kx+b，把B與C坐標代入得：，解得：，直線BC解析式為y=x+2，令x=1，得到y=，即H（1，）；（3）在第四現象內，拋物線上存在點M，使得以點A、B、M為頂點的三角形與ACB相似，分兩種情況考慮：（i）當ACBABM時，則有=，即AB2=ACAM，A（2，0），C（0，2），即OA=OC=2，CAB=45°，BAM=45°，如圖2，過M作MNx軸，交x軸于點N

22、，則AN=MN，OA+ON=2+ON=MN，設M（x，x2）（x0），把M坐標代入拋物線解析式得：x2=（x+2）（xm），x0，x+20，m0，x=2m，即M（2m，2m2），AM=2（m+1），AB2=ACAM，AC=2，AB=m+2，（m+2）2=22（m+1），解得：m=2±2，m0，m=2+2；（ii）當ACBMBA時，則=，即AB2=CBMA，CBA=BAM，ANM=BOC=90°，ANMBOC，=，OB=m，設ON=x，=，即MN=（x+2），令M（x，（x+2）（x0），把M坐標代入拋物線解析式得：（x+2）=（x+2）（xm），x0，x+20，m0，x=m

23、+2，即M（m+2，（m+4），AB2=CBMA，CB=，AN=m+4，MN=（m+4），（m+2）2=，整理得：=0，顯然不成立，綜上，在第四象限內，當m=2+2時，拋物線上存在點M，使得以點A、B、M為頂點的三角形與ACB相似點評：此題屬于二次函數綜合題，涉及的知識有：待定系數法確定函數解析式，坐標與圖形性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，以及兩點之間線段最短，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵【拓展運用】1（2015北海,第26題14分）如圖1所示，已知拋物線y=x2+4x+5的頂點為D，與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，E為對稱軸上的一點，連接CE，將線段CE繞點E按

24、逆時針方向旋轉90°后，點C的對應點C恰好落在y軸上（1）直接寫出D點和E點的坐標；（2）點F為直線CE與已知拋物線的一個交點，點H是拋物線上C與F之間的一個動點，若過點H作直線HG與y軸平行，且與直線CE交于點G，設點H的橫坐標為m（0m4），那么當m為何值時，SHGF：SBGF=5：6？（3）圖2所示的拋物線是由y=x2+4x+5向右平移1個單位后得到的，點T（5，y）在拋物線上，點P是拋物線上O與T之間的任意一點，在線段OT上是否存在一點Q，使PQT是等腰直角三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由2. （2015廣東茂名25,8分）如圖，在平面直角坐標系中，A與x

25、軸相交于C（2，0），D（8，0）兩點，與y軸相切于點B（0，4）（1）求經過B，C，D三點的拋物線的函數表達式；（2）設拋物線的頂點為E，證明：直線CE與A相切；（3）在x軸下方的拋物線上，是否存在一點F，使BDF面積最大，最大值是多少？并求出點F的坐標參考答案：1（2015北海,第26題14分）如圖1所示，已知拋物線y=x2+4x+5的頂點為D，與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，E為對稱軸上的一點，連接CE，將線段CE繞點E按逆時針方向旋轉90°后，點C的對應點C恰好落在y軸上（1）直接寫出D點和E點的坐標；（2）點F為直線CE與已知拋物線的一個交點，點H是拋物線上C與F之間

26、的一個動點，若過點H作直線HG與y軸平行，且與直線CE交于點G，設點H的橫坐標為m（0m4），那么當m為何值時，SHGF：SBGF=5：6？（3）圖2所示的拋物線是由y=x2+4x+5向右平移1個單位后得到的，點T（5，y）在拋物線上，點P是拋物線上O與T之間的任意一點，在線段OT上是否存在一點Q，使PQT是等腰直角三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由考點： 二次函數綜合題分析： （1）首先根據拋物線y=x2+4x+5的頂點為D，求出點D的坐標是多少即可；然后設點E的坐標是（2，m），點C的坐標是（0，n），根據CEC是等腰直角三角形，求出E點的坐標是多少即可（2）令拋物線y=

27、x2+4x+5的y=0得：x24x5=0可求得A、B的坐標，然后再根據SHGF：SBGF=5：6，得到：，然后再證明HGMABN，從而可證得，所以HG=5，設點H（m，m2+4m+5），G（m，m+1），最后根據HG=5，列出關于m的方程求解即可；（3）分別根據P、Q、T為直角畫出圖形，然后利用等腰直角三角形的性質和一次函數的圖象的性質求得點Q的坐標即可解答： 解：（1）拋物線y=x2+4x+5=（x2）2+9D點的坐標是（2，9）；E為對稱軸上的一點，點E的橫坐標是：=2，設點E的坐標是（2，m），點C的坐標是（0，n），將線段CE繞點E按逆時針方向旋轉90°后，點C的對應點C恰好

28、落在y軸上，CEC是等腰直角三角形，解得或（舍去），點E的坐標是（2，3），點C的坐標是（0，1）綜上，可得D點的坐標是（2，9），點E的坐標是（2，3）（2）如圖1所示：令拋物線y=x2+4x+5的y=0得：x24x5=0，解得：x1=1，x2=5，所以點A（1，0），B（5，0）設直線CE的解析式是y=kx+b，將E（2，3），C（0，1），代入得，解得：，直線CE的解析式為y=x+1，將y=x+1與y=x2+4x+5，聯立得：，解得：，點F得坐標為（4，5），點A（1，0）在直線CE上直線CE的解析式為y=x+1，FAB=45°過點B、H分別作BNAF、HMAF，垂足分別為N、

29、MHMN=90°，ADN=90°又NAD=HNM=45°HGMABN，SHGF：SBGF=5：6，即，HG=5設點H的橫坐標為m，則點H的縱坐標為m2+4m+5，則點G的坐標為（m，m+1），m2+4m+5（m+1）=5解得：m1=，m2=（3）由平移的規律可知：平移后拋物線的解析式為y=（x1）2+4（x1）+5=x2+6x將x=5代入y=x2+6x得：y=5，點T的坐標為（5，5）設直線OT的解析式為y=kx，將x=5，y=5代入得；k=1，直線OT的解析式為y=x，如圖2所示：當PTx軸時，PTQ為等腰直角三角形，將y=5代入拋物線y=x2+6x得：x26x

30、+5=0，解得：x1=1，x2=5點P的坐標為（1，5）將x=1代入y=x得：y=1，點Q的坐標為（1，1）如圖3所示：由可知：點P的坐標為（1，5）PTQ為等腰直角三角形，點Q的橫坐標為3，將x=3代入y=x得；y=3，點Q得坐標為（3，3）如圖4所示：設直線PT解析式為y=kx+b，直線PTQT，k=1將k=1，x=5，y=5代入y=kx+b得：b=10，直線PT的解析式為y=x+10將y=x+10與y=x2+6x聯立得：x1=2，x2=5點P的橫坐標為2將x=2代入y=x得，y=2，點Q的坐標為（2，2）綜上所述：點Q的坐標為（1，1）或（3，3）或（2，2）點評： 本題主要考查的是二次函數的綜合應用，明確HGF和BGF的面積比等于HG和AB的邊長比是解題的關鍵，同時解答本題主要應用了分類討論的思想需要同學們分別根據P、Q、T為直角進行分類計算2. （2015廣東茂名25,8分）如圖，在平面直角坐標系中，A與x軸相交于C（2，0），D（8，0）兩點，與y軸相切于點B（0，4）（1）求經過B，C，D三點的拋物線的函數表達式；（2）設拋物線的頂點為E，證明：直線CE與A相