1、中考專題拋物線與面積專題 拋物線與三角形、四邊形面積問題涉及代數(shù)、幾何知識(shí)，有一定難度。此類問題均是結(jié)合各個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行綜合考查，本文通過舉例來(lái)談這類題的解法。 一、頂點(diǎn)在拋物線y=ax2+bx+c的三角形面積的一般情況有：（1）、以拋物線與x軸的兩交點(diǎn)和拋物線的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形，其底邊的長(zhǎng)是拋物線與x軸兩交點(diǎn)間的距離，高的長(zhǎng)是拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值。其面積為：S=|x1-x2|·|=··|（2）、以拋物線與x軸、y軸的三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形。其底邊的長(zhǎng)是拋物線與x軸兩交點(diǎn)間的距離，高的長(zhǎng)是拋物線與y軸上的截距(原點(diǎn)與y軸交點(diǎn)構(gòu)成的線段長(zhǎng))的絕對(duì)值。其面積為：

2、S=·|x1-x2|·|c|··|c| （3）、三角形三個(gè)頂點(diǎn)在拋物線其他位置時(shí)，應(yīng)根據(jù)圖形的具體特征，靈活運(yùn)用幾何和代數(shù)的有關(guān)知識(shí)。注意：首先把握好圖形的性質(zhì)，根據(jù)特性進(jìn)行公式運(yùn)用。（4）、拋物線內(nèi)四邊形面積問題往往涉及到平行四邊形和菱形及其長(zhǎng)方形等特殊形狀的運(yùn)用，需要根據(jù)題目的具體要求進(jìn)行分析解答。注意：在利用菱形的面積公式有多種：兩對(duì)角線之積的一半；邊長(zhǎng)與高的積等。二、典型例題賞析1求內(nèi)接于拋物線的三角形面積。例1（2015遼寧阜新）（第18題，12分）如圖，拋物線y=x2+bx+c交x軸于點(diǎn)A（3，0）和點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C（0，3）（1）求拋物線

3、的函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)P在拋物線上，且SAOP=4SBOC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖b，設(shè)點(diǎn)Q是線段AC上的一動(dòng)點(diǎn)，作DQx軸，交拋物線于點(diǎn)D，求線段DQ長(zhǎng)度的最大值考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題分析：（1）把點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式，列出關(guān)于系數(shù)的方程組，通過解方程組求得系數(shù)的值；（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x22x+3），根據(jù)SAOP=4SBOC列出關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，進(jìn)而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=x+3，再設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x+3），則D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2+2x3），然后用含x的代數(shù)式表示QD，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出線段QD長(zhǎng)度的最大值解

4、答：解：（1）把A（3，0），C（0，3）代入y=x2+bx+c，得，解得故該拋物線的解析式為：y=x22x+3（2）由（1）知，該拋物線的解析式為y=x22x+3，則易得B（1，0）SAOP=4SBOC，×3×|x22x+3|=4××1×3整理，得（x+1）2=0或x2+2x7=0，解得x=1或x=1±則符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（1，4）或（1+，4）或（1，4）；（3）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+t，將A（3，0），C（0，3）代入，得，解得即直線AC的解析式為y=x+3設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x+3），（3x0），則D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，

5、x22x+3），QD=（x22x+3）（x+3）=x23x=（x+）2+，當(dāng)x=時(shí)，QD有最大值點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角形面積、線段長(zhǎng)度問題此題難度適中，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用方程思想與數(shù)形結(jié)合思想【變式練習(xí)】（2015齊齊哈爾,第23題7分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的邊長(zhǎng)為4，頂點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正半軸，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，連接AC、BD、CD（1）求此拋物線的解析式（2）求此拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)和四邊形ABCD的面積考點(diǎn)： 待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征專題

6、： 計(jì)算題分析： （1）根據(jù)題意確定出B與C的坐標(biāo)，代入拋物線解析式求出b與c的值，即可確定出解析式；（2）把拋物線解析式化為頂點(diǎn)形式，找出頂點(diǎn)坐標(biāo)，四邊形ABDC面積=三角形ABC面積+三角形BCD面積，求出即可解答： 解：（1）由已知得：C（0，4），B（4，4），把B與C坐標(biāo)代入y=x2+bx+c得：，解得：b=2，c=4，則解析式為y=x2+2x+4；（2）y=x2+2x+4=（x2）2+6，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，6），則S四邊形ABDC=SABC+SBCD=×4×4+×4×2=8+4=12點(diǎn)評(píng)： 此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，以及二次函

7、數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵2求拋物線的解析式例2（2015葫蘆島）（第26題）如圖，直線y=x+3與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過B、C兩點(diǎn)（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，點(diǎn)E是直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)BEC面積最大時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)和BEC面積的最大值？（3）在（2）的結(jié)論下，過點(diǎn)E作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)M，連接AM，點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以P、Q、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題分析：（1）首先根據(jù)直線y=

8、x+3與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，3），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（4，0）；然后根據(jù)拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，求出ac的值是多少，即可求出拋物線的解析式（2）首先過點(diǎn)E作y軸的平行線EF交直線BC于點(diǎn)M，EF交x軸于點(diǎn)F，然后設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是（x， x2+x+3），則點(diǎn)M的坐標(biāo)是（x， x+3），求出EM的值是多少；最后根據(jù)三角形的面積的求法，求出SABC，進(jìn)而判斷出當(dāng)BEC面積最大時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)和BEC面積的最大值各是多少即可（3）在拋物線上存在點(diǎn)P，使得以P、Q、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形然后分三種情況討論，根據(jù)平行四邊形的特征，求出使得以P、Q、A、M為頂

9、點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)P的坐標(biāo)是多少即可解答：解：（1）直線y=x+3與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，3），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（4，0），拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，解得y=x2+x+3（2）如圖1，過點(diǎn)E作y軸的平行線EF交直線BC于點(diǎn)M，EF交x軸于點(diǎn)F，點(diǎn)E是直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是（x， x2+x+3），則點(diǎn)M的坐標(biāo)是（x， x+3），EM=x2+x+3（x+3）=x2+x，SABC=SBEM+SMEC=×（x2+x）×4=x2+3x=（x2）2+3，當(dāng)x=2時(shí)，即點(diǎn)E的坐標(biāo)是（2，3）時(shí)，BEC的面積最大，最大面積是

10、3（3）在拋物線上存在點(diǎn)P，使得以P、Q、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形如圖2，由（2），可得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是2，點(diǎn)M在直線y=x+3上，點(diǎn)M的坐標(biāo)是（2，），又點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，0），AM=，AM所在的直線的斜率是：；y=x2+x+3的對(duì)稱軸是x=1，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（1，m），點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x， x2+x+3），則解得或，x0，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（3，）如圖3，由（2），可得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是2，點(diǎn)M在直線y=x+3上，點(diǎn)M的坐標(biāo)是（2，），又點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，0），AM=，AM所在的直線的斜率是：；y=x2+x+3的對(duì)稱軸是x=1，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（1，m），點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x， x2+x+3），則解得

11、或，x0，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（5，）如圖4，由（2），可得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是2，點(diǎn)M在直線y=x+3上，點(diǎn)M的坐標(biāo)是（2，），又點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，0），AM=，y=x2+x+3的對(duì)稱軸是x=1，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（1，m），點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x， x2+x+3），則解得，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，）綜上，可得在拋物線上存在點(diǎn)P，使得以P、Q、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（3，）、（5，）、（1，）點(diǎn)評(píng)：（1）此題主要考查了二次函數(shù)綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查了從已知函數(shù)圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應(yīng)的問題的能力（2）此題還考查了函數(shù)解

12、析式的求法，以及二次函數(shù)的最值的求法，要熟練掌握（3）此題還考查了三角形的面積的求法，要熟練掌握【變式練習(xí)】（2015年四川省達(dá)州市中考，25,12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，AOC的平分線交AB于點(diǎn)D，E為BC的中點(diǎn)，已知A（0，4）、C（5，0），二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象拋物線經(jīng)過A，C兩點(diǎn)（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）F、G分別為x軸，y軸上的動(dòng)點(diǎn)，順次連接D、E、F、G構(gòu)成四邊形DEFG，求四邊形DEFG周長(zhǎng)的最小值；（3）拋物線上是否在點(diǎn)P，使ODP的面積為12？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn)

13、：二次函數(shù)綜合題分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；（2）分別作A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E，作B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F，連接EF交x軸于D，交y軸于C，連接AD、BC，則此時(shí)AD+DC+BC的值最小，根據(jù)A、B的坐標(biāo)求出AB，求出E、F的坐標(biāo)，求出EF的長(zhǎng)，即可求出答案；（3）根據(jù)三角形的面積，首先求得點(diǎn)P到OD的距離，然后過點(diǎn)O作OFOD，使OF等于點(diǎn)P到OD的距離，過點(diǎn)F作FGOD，求得FG的解析式，然后再求直線FG與拋物線交點(diǎn)的坐標(biāo)即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)解答：（1）將A（0，4）、C（5，0）代入二次函數(shù)y=x2+bx+c，得，解得故二次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=x2x+4；（2）如圖：延長(zhǎng)EC至E，使

14、EC=EC，延長(zhǎng)DA至D，使DA=DA，連接DE，交x軸于F點(diǎn)，交y軸于G點(diǎn)，GD=GDEF=EF，（DG+GF+EF+ED）最小=DE+DE，由E點(diǎn)坐標(biāo)為（5，2），D（4，4），得D（4，4），E（5，2）由勾股定理，得DE=，DE=，（DG+GF+EF+ED）最小=DE+DE=+；（3）如下圖：OD=SODP的面積=12，點(diǎn)P到OD的距離=3過點(diǎn)O作OFOD，取OF=3，過點(diǎn)F作直線FGOD，交拋物線與點(diǎn)P1，P2，在EtOGF中，OG=6，直線GF的解析式為y=x6將y=x6代入y=得：x6=，解得：，將x1、x2的值代入y=x6得：y1=，y2=點(diǎn)P1（，），P2（，）如下圖所示：過

15、點(diǎn)O作OFOD，取OF=3，過點(diǎn)F作直線FG交拋物線與P3，P4，在RtPFO中，OG=6直線FG的解析式為y=x+6，將y=x+6代入y=得：x+6=解得：，y1=x1+6=，y2=x2+6=p3（，），p4（，）綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（，）或（，）或（，）或（，）點(diǎn)評(píng)：本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，求得點(diǎn)P到OD的距離是解題的關(guān)鍵，解得此類問題通常可以將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程或方程組的問題3求拋物線解析式中字母系數(shù)的值。 例3（2015梧州,第26題12分）如圖，拋物線y=ax2+bx+2與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點(diǎn)，其中B（4，0）、C（2，0），連接AB、AC，在第一象限內(nèi)的拋物線上

16、有一動(dòng)點(diǎn)D，過D作DEx軸，垂足為E，交AB于點(diǎn)F（1）求此拋物線的解析式；（2）在DE上作點(diǎn)G，使G點(diǎn)與D點(diǎn)關(guān)于F點(diǎn)對(duì)稱，以G為圓心，GD為半徑作圓，當(dāng)G與其中一條坐標(biāo)軸相切時(shí)，求G點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（3）過D點(diǎn)作直線DHAC交AB于H，當(dāng)DHF的面積最大時(shí)，在拋物線和直線AB上分別取M、N兩點(diǎn)，并使D、H、M、N四點(diǎn)組成平行四邊形，請(qǐng)你直接寫出符合要求的M、N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)考點(diǎn)： 二次函數(shù)綜合題所有分析： （1）根據(jù)B，C兩點(diǎn)在拋物線y=ax2+bx+2上，代入拋物線得到方程組，求出a，b的值，即可解答；（2）先求出直線AB的解析式為y=x+2，設(shè)F點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x+2），則D點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，）

17、，根據(jù)G點(diǎn)與D點(diǎn)關(guān)于F點(diǎn)對(duì)稱，所以G點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，），若以G為圓心，GD為半徑作圓，使得G與其中一條坐標(biāo)軸相切，分兩種情況解答：若G與x軸相切則必須由DG=GE；若G與y軸相切則必須由DG=OE；（3）M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2±2，N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為±2解答： 解：（1）B，C兩點(diǎn)在拋物線y=ax2+bx+2上，解得：所求的拋物線為：y=（2）拋物線y=，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，解得：直線AB的解析式為y=x+2，設(shè)F點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x+2），則D點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，），G點(diǎn)與D點(diǎn)關(guān)于F點(diǎn)對(duì)稱，G點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，），若以G為圓心，GD為半徑作圓，使得G

18、與其中一條坐標(biāo)軸相切，若G與x軸相切則必須由DG=GE，即+2，解得：x=，x=4（舍去）；若G與y軸相切則必須由DG=OE，即解得：x=2，x=0（舍去）綜上，以G為圓心，GD為半徑作圓，當(dāng)G與其中一條坐標(biāo)軸相切時(shí)，G點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2或（3）M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2±2，N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為±2點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及二次函數(shù)的解析式，難度較大，注意分類討論思想的應(yīng)用【變式練習(xí)】(2015年四川省廣元市中考，24,12分)如圖，已知拋物線y=（x+2）（xm）（m0）與x軸相交于點(diǎn)A、B，與y軸相交于點(diǎn)C，且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)（1）若拋物線過點(diǎn)G（

19、2，2），求實(shí)數(shù)m的值；（2）在（1）的條件下，解答下列問題：求出ABC的面積；在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)H，使AH+CH最小，并求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；（3）在第四現(xiàn)象內(nèi)，拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)A、B、M為頂點(diǎn)的三角形與ACB相似？若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題專題：綜合題分析：（1）把C坐標(biāo)代入拋物線解析式求出m的值即可；（2）對(duì)于拋物線解析式，令y=0求出x的值，確定出A與B坐標(biāo)；令x=0，求出y的值，確定出C坐標(biāo)，求出三角形ABC面積即可；如圖1，連接BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)H，由對(duì)稱軸的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)可得：此時(shí)AH+CH=BH+CH=BC最小，利用待定

20、系數(shù)法求出直線BC解析式，與拋物線對(duì)稱軸聯(lián)立求出H坐標(biāo)即可；（3）在第四現(xiàn)象內(nèi)，拋物線上存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)A、B、M為頂點(diǎn)的三角形與ACB相似，分兩種情況考慮：（i）當(dāng)ACBABM時(shí)；（ii）當(dāng)ACBMBA時(shí)，利用相似三角形的判定與性質(zhì)，確定出m的值即可解答：（1）拋物線過G（2，2），把G坐標(biāo)代入拋物線解析式得：2=（2+2）（2m），解得：m=4；（2）令y=0，得到（x+2）（xm）=0，解得：x1=2，x2=m，m0，A（2，0），B（m，0），把m=4代入得：B（4，0），AB=6，令x=9，得到y(tǒng)=2，即C（0，2），OC=2，則SABC=×6×2=6；A（2，

21、0），B（4，0），拋物線解析式為y=（x+2）（x4）的對(duì)稱軸為x=1，如圖1，連接BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)H，由對(duì)稱軸的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)可得：此時(shí)AH+CH=BH+CH=BC最小，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，把B與C坐標(biāo)代入得：，解得：，直線BC解析式為y=x+2，令x=1，得到y(tǒng)=，即H（1，）；（3）在第四現(xiàn)象內(nèi)，拋物線上存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)A、B、M為頂點(diǎn)的三角形與ACB相似，分兩種情況考慮：（i）當(dāng)ACBABM時(shí)，則有=，即AB2=ACAM，A（2，0），C（0，2），即OA=OC=2，CAB=45°，BAM=45°，如圖2，過M作MNx軸，交x軸于點(diǎn)N

22、，則AN=MN，OA+ON=2+ON=MN，設(shè)M（x，x2）（x0），把M坐標(biāo)代入拋物線解析式得：x2=（x+2）（xm），x0，x+20，m0，x=2m，即M（2m，2m2），AM=2（m+1），AB2=ACAM，AC=2，AB=m+2，（m+2）2=22（m+1），解得：m=2±2，m0，m=2+2；（ii）當(dāng)ACBMBA時(shí)，則=，即AB2=CBMA，CBA=BAM，ANM=BOC=90°，ANMBOC，=，OB=m，設(shè)ON=x，=，即MN=（x+2），令M（x，（x+2）（x0），把M坐標(biāo)代入拋物線解析式得：（x+2）=（x+2）（xm），x0，x+20，m0，x=m

23、+2，即M（m+2，（m+4），AB2=CBMA，CB=，AN=m+4，MN=（m+4），（m+2）2=，整理得：=0，顯然不成立，綜上，在第四象限內(nèi)，當(dāng)m=2+2時(shí)，拋物線上存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)A、B、M為頂點(diǎn)的三角形與ACB相似點(diǎn)評(píng)：此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及兩點(diǎn)之間線段最短，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵【拓展運(yùn)用】1（2015北海,第26題14分）如圖1所示，已知拋物線y=x2+4x+5的頂點(diǎn)為D，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，E為對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，連接CE，將線段CE繞點(diǎn)E按

24、逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C恰好落在y軸上（1）直接寫出D點(diǎn)和E點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)F為直線CE與已知拋物線的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)H是拋物線上C與F之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若過點(diǎn)H作直線HG與y軸平行，且與直線CE交于點(diǎn)G，設(shè)點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為m（0m4），那么當(dāng)m為何值時(shí)，SHGF：SBGF=5：6？（3）圖2所示的拋物線是由y=x2+4x+5向右平移1個(gè)單位后得到的，點(diǎn)T（5，y）在拋物線上，點(diǎn)P是拋物線上O與T之間的任意一點(diǎn)，在線段OT上是否存在一點(diǎn)Q，使PQT是等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由2. （2015廣東茂名25,8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A與x

25、軸相交于C（2，0），D（8，0）兩點(diǎn)，與y軸相切于點(diǎn)B（0，4）（1）求經(jīng)過B，C，D三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為E，證明：直線CE與A相切；（3）在x軸下方的拋物線上，是否存在一點(diǎn)F，使BDF面積最大，最大值是多少？并求出點(diǎn)F的坐標(biāo)參考答案：1（2015北海,第26題14分）如圖1所示，已知拋物線y=x2+4x+5的頂點(diǎn)為D，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，E為對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，連接CE，將線段CE繞點(diǎn)E按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C恰好落在y軸上（1）直接寫出D點(diǎn)和E點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)F為直線CE與已知拋物線的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)H是拋物線上C與F之間

26、的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若過點(diǎn)H作直線HG與y軸平行，且與直線CE交于點(diǎn)G，設(shè)點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為m（0m4），那么當(dāng)m為何值時(shí)，SHGF：SBGF=5：6？（3）圖2所示的拋物線是由y=x2+4x+5向右平移1個(gè)單位后得到的，點(diǎn)T（5，y）在拋物線上，點(diǎn)P是拋物線上O與T之間的任意一點(diǎn)，在線段OT上是否存在一點(diǎn)Q，使PQT是等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn)： 二次函數(shù)綜合題分析： （1）首先根據(jù)拋物線y=x2+4x+5的頂點(diǎn)為D，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)是多少即可；然后設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是（2，m），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，n），根據(jù)CEC是等腰直角三角形，求出E點(diǎn)的坐標(biāo)是多少即可（2）令拋物線y=

27、x2+4x+5的y=0得：x24x5=0可求得A、B的坐標(biāo)，然后再根據(jù)SHGF：SBGF=5：6，得到：，然后再證明HGMABN，從而可證得，所以HG=5，設(shè)點(diǎn)H（m，m2+4m+5），G（m，m+1），最后根據(jù)HG=5，列出關(guān)于m的方程求解即可；（3）分別根據(jù)P、Q、T為直角畫出圖形，然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)和一次函數(shù)的圖象的性質(zhì)求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可解答： 解：（1）拋物線y=x2+4x+5=（x2）2+9D點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，9）；E為對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)是：=2，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是（2，m），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，n），將線段CE繞點(diǎn)E按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C恰好

28、落在y軸上，CEC是等腰直角三角形，解得或（舍去），點(diǎn)E的坐標(biāo)是（2，3），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，1）綜上，可得D點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，9），點(diǎn)E的坐標(biāo)是（2，3）（2）如圖1所示：令拋物線y=x2+4x+5的y=0得：x24x5=0，解得：x1=1，x2=5，所以點(diǎn)A（1，0），B（5，0）設(shè)直線CE的解析式是y=kx+b，將E（2，3），C（0，1），代入得，解得：，直線CE的解析式為y=x+1，將y=x+1與y=x2+4x+5，聯(lián)立得：，解得：，點(diǎn)F得坐標(biāo)為（4，5），點(diǎn)A（1，0）在直線CE上直線CE的解析式為y=x+1，F(xiàn)AB=45°過點(diǎn)B、H分別作BNAF、HMAF，垂足分別為N、

29、MHMN=90°，ADN=90°又NAD=HNM=45°HGMABN，SHGF：SBGF=5：6，即，HG=5設(shè)點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)H的縱坐標(biāo)為m2+4m+5，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（m，m+1），m2+4m+5（m+1）=5解得：m1=，m2=（3）由平移的規(guī)律可知：平移后拋物線的解析式為y=（x1）2+4（x1）+5=x2+6x將x=5代入y=x2+6x得：y=5，點(diǎn)T的坐標(biāo)為（5，5）設(shè)直線OT的解析式為y=kx，將x=5，y=5代入得；k=1，直線OT的解析式為y=x，如圖2所示：當(dāng)PTx軸時(shí)，PTQ為等腰直角三角形，將y=5代入拋物線y=x2+6x得：x26x

30、+5=0，解得：x1=1，x2=5點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，5）將x=1代入y=x得：y=1，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，1）如圖3所示：由可知：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，5）PTQ為等腰直角三角形，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為3，將x=3代入y=x得；y=3，點(diǎn)Q得坐標(biāo)為（3，3）如圖4所示：設(shè)直線PT解析式為y=kx+b，直線PTQT，k=1將k=1，x=5，y=5代入y=kx+b得：b=10，直線PT的解析式為y=x+10將y=x+10與y=x2+6x聯(lián)立得：x1=2，x2=5點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2將x=2代入y=x得，y=2，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，2）綜上所述：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，1）或（3，3）或（2，2）點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，明確HGF和BGF的面積比等于HG和AB的邊長(zhǎng)比是解題的關(guān)鍵，同時(shí)解答本題主要應(yīng)用了分類討論的思想需要同學(xué)們分別根據(jù)P、Q、T為直角進(jìn)行分類計(jì)算2. （2015廣東茂名25,8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A與x軸相交于C（2，0），D（8，0）兩點(diǎn)，與y軸相切于點(diǎn)B（0，4）（1）求經(jīng)過B，C，D三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為E，證明：直線CE與A相