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1、中考專題拋物線與面積專題 拋物線與三角形、四邊形面積問題涉及代數(shù)、幾何知識(shí),有一定難度。此類問題均是結(jié)合各個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行綜合考查,本文通過舉例來(lái)談這類題的解法。 一、頂點(diǎn)在拋物線y=ax2+bx+c的三角形面積的一般情況有:(1)、以拋物線與x軸的兩交點(diǎn)和拋物線的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形,其底邊的長(zhǎng)是拋物線與x軸兩交點(diǎn)間的距離,高的長(zhǎng)是拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值。其面積為:S=|x1-x2|·|=··|(2)、以拋物線與x軸、y軸的三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形。其底邊的長(zhǎng)是拋物線與x軸兩交點(diǎn)間的距離,高的長(zhǎng)是拋物線與y軸上的截距(原點(diǎn)與y軸交點(diǎn)構(gòu)成的線段長(zhǎng))的絕對(duì)值。其面積為:
2、S=·|x1-x2|·|c|··|c| (3)、三角形三個(gè)頂點(diǎn)在拋物線其他位置時(shí),應(yīng)根據(jù)圖形的具體特征,靈活運(yùn)用幾何和代數(shù)的有關(guān)知識(shí)。注意:首先把握好圖形的性質(zhì),根據(jù)特性進(jìn)行公式運(yùn)用。(4)、拋物線內(nèi)四邊形面積問題往往涉及到平行四邊形和菱形及其長(zhǎng)方形等特殊形狀的運(yùn)用,需要根據(jù)題目的具體要求進(jìn)行分析解答。注意:在利用菱形的面積公式有多種:兩對(duì)角線之積的一半;邊長(zhǎng)與高的積等。二、典型例題賞析1求內(nèi)接于拋物線的三角形面積。例1(2015遼寧阜新)(第18題,12分)如圖,拋物線y=x2+bx+c交x軸于點(diǎn)A(3,0)和點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)C(0,3)(1)求拋物線
3、的函數(shù)表達(dá)式;(2)若點(diǎn)P在拋物線上,且SAOP=4SBOC,求點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)如圖b,設(shè)點(diǎn)Q是線段AC上的一動(dòng)點(diǎn),作DQx軸,交拋物線于點(diǎn)D,求線段DQ長(zhǎng)度的最大值考點(diǎn):二次函數(shù)綜合題分析:(1)把點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式,列出關(guān)于系數(shù)的方程組,通過解方程組求得系數(shù)的值;(2)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,x22x+3),根據(jù)SAOP=4SBOC列出關(guān)于x的方程,解方程求出x的值,進(jìn)而得到點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=x+3,再設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x,x+3),則D點(diǎn)坐標(biāo)為(x,x2+2x3),然后用含x的代數(shù)式表示QD,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出線段QD長(zhǎng)度的最大值解
4、答:解:(1)把A(3,0),C(0,3)代入y=x2+bx+c,得,解得故該拋物線的解析式為:y=x22x+3(2)由(1)知,該拋物線的解析式為y=x22x+3,則易得B(1,0)SAOP=4SBOC,×3×|x22x+3|=4××1×3整理,得(x+1)2=0或x2+2x7=0,解得x=1或x=1±則符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為:(1,4)或(1+,4)或(1,4);(3)設(shè)直線AC的解析式為y=kx+t,將A(3,0),C(0,3)代入,得,解得即直線AC的解析式為y=x+3設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x,x+3),(3x0),則D點(diǎn)坐標(biāo)為(x,
5、x22x+3),QD=(x22x+3)(x+3)=x23x=(x+)2+,當(dāng)x=時(shí),QD有最大值點(diǎn)評(píng):此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式,二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角形面積、線段長(zhǎng)度問題此題難度適中,解題的關(guān)鍵是運(yùn)用方程思想與數(shù)形結(jié)合思想【變式練習(xí)】(2015齊齊哈爾,第23題7分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,正方形OABC的邊長(zhǎng)為4,頂點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正半軸,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過B、C兩點(diǎn),點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn),連接AC、BD、CD(1)求此拋物線的解析式(2)求此拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)和四邊形ABCD的面積考點(diǎn): 待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式;二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征專題
6、: 計(jì)算題分析: (1)根據(jù)題意確定出B與C的坐標(biāo),代入拋物線解析式求出b與c的值,即可確定出解析式;(2)把拋物線解析式化為頂點(diǎn)形式,找出頂點(diǎn)坐標(biāo),四邊形ABDC面積=三角形ABC面積+三角形BCD面積,求出即可解答: 解:(1)由已知得:C(0,4),B(4,4),把B與C坐標(biāo)代入y=x2+bx+c得:,解得:b=2,c=4,則解析式為y=x2+2x+4;(2)y=x2+2x+4=(x2)2+6,拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,6),則S四邊形ABDC=SABC+SBCD=×4×4+×4×2=8+4=12點(diǎn)評(píng): 此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,以及二次函
7、數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵2求拋物線的解析式例2(2015葫蘆島)(第26題)如圖,直線y=x+3與x軸交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)B,拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過B、C兩點(diǎn)(1)求拋物線的解析式;(2)如圖,點(diǎn)E是直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)BEC面積最大時(shí),請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)和BEC面積的最大值?(3)在(2)的結(jié)論下,過點(diǎn)E作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)M,連接AM,點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn),在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得以P、Q、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?如果存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn):二次函數(shù)綜合題分析:(1)首先根據(jù)直線y=
8、x+3與x軸交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)B,求出點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0,3),點(diǎn)C的坐標(biāo)是(4,0);然后根據(jù)拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過B、C兩點(diǎn),求出ac的值是多少,即可求出拋物線的解析式(2)首先過點(diǎn)E作y軸的平行線EF交直線BC于點(diǎn)M,EF交x軸于點(diǎn)F,然后設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是(x, x2+x+3),則點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x, x+3),求出EM的值是多少;最后根據(jù)三角形的面積的求法,求出SABC,進(jìn)而判斷出當(dāng)BEC面積最大時(shí),點(diǎn)E的坐標(biāo)和BEC面積的最大值各是多少即可(3)在拋物線上存在點(diǎn)P,使得以P、Q、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形然后分三種情況討論,根據(jù)平行四邊形的特征,求出使得以P、Q、A、M為頂
9、點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)P的坐標(biāo)是多少即可解答:解:(1)直線y=x+3與x軸交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0,3),點(diǎn)C的坐標(biāo)是(4,0),拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過B、C兩點(diǎn),解得y=x2+x+3(2)如圖1,過點(diǎn)E作y軸的平行線EF交直線BC于點(diǎn)M,EF交x軸于點(diǎn)F,點(diǎn)E是直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是(x, x2+x+3),則點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x, x+3),EM=x2+x+3(x+3)=x2+x,SABC=SBEM+SMEC=×(x2+x)×4=x2+3x=(x2)2+3,當(dāng)x=2時(shí),即點(diǎn)E的坐標(biāo)是(2,3)時(shí),BEC的面積最大,最大面積是
10、3(3)在拋物線上存在點(diǎn)P,使得以P、Q、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形如圖2,由(2),可得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是2,點(diǎn)M在直線y=x+3上,點(diǎn)M的坐標(biāo)是(2,),又點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2,0),AM=,AM所在的直線的斜率是:;y=x2+x+3的對(duì)稱軸是x=1,設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(1,m),點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x, x2+x+3),則解得或,x0,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(3,)如圖3,由(2),可得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是2,點(diǎn)M在直線y=x+3上,點(diǎn)M的坐標(biāo)是(2,),又點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2,0),AM=,AM所在的直線的斜率是:;y=x2+x+3的對(duì)稱軸是x=1,設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(1,m),點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x, x2+x+3),則解得
11、或,x0,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(5,)如圖4,由(2),可得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是2,點(diǎn)M在直線y=x+3上,點(diǎn)M的坐標(biāo)是(2,),又點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2,0),AM=,y=x2+x+3的對(duì)稱軸是x=1,設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(1,m),點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x, x2+x+3),則解得,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(1,)綜上,可得在拋物線上存在點(diǎn)P,使得以P、Q、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(3,)、(5,)、(1,)點(diǎn)評(píng):(1)此題主要考查了二次函數(shù)綜合題,考查了分析推理能力,考查了分類討論思想的應(yīng)用,考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,考查了從已知函數(shù)圖象中獲取信息,并能利用獲取的信息解答相應(yīng)的問題的能力(2)此題還考查了函數(shù)解
12、析式的求法,以及二次函數(shù)的最值的求法,要熟練掌握(3)此題還考查了三角形的面積的求法,要熟練掌握【變式練習(xí)】(2015年四川省達(dá)州市中考,25,12分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上,OC在x軸的正半軸上,AOC的平分線交AB于點(diǎn)D,E為BC的中點(diǎn),已知A(0,4)、C(5,0),二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象拋物線經(jīng)過A,C兩點(diǎn)(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式;(2)F、G分別為x軸,y軸上的動(dòng)點(diǎn),順次連接D、E、F、G構(gòu)成四邊形DEFG,求四邊形DEFG周長(zhǎng)的最小值;(3)拋物線上是否在點(diǎn)P,使ODP的面積為12?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn)
13、:二次函數(shù)綜合題分析:(1)根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式;(2)分別作A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E,作B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F,連接EF交x軸于D,交y軸于C,連接AD、BC,則此時(shí)AD+DC+BC的值最小,根據(jù)A、B的坐標(biāo)求出AB,求出E、F的坐標(biāo),求出EF的長(zhǎng),即可求出答案;(3)根據(jù)三角形的面積,首先求得點(diǎn)P到OD的距離,然后過點(diǎn)O作OFOD,使OF等于點(diǎn)P到OD的距離,過點(diǎn)F作FGOD,求得FG的解析式,然后再求直線FG與拋物線交點(diǎn)的坐標(biāo)即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)解答:(1)將A(0,4)、C(5,0)代入二次函數(shù)y=x2+bx+c,得,解得故二次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=x2x+4;(2)如圖:延長(zhǎng)EC至E,使
14、EC=EC,延長(zhǎng)DA至D,使DA=DA,連接DE,交x軸于F點(diǎn),交y軸于G點(diǎn),GD=GDEF=EF,(DG+GF+EF+ED)最小=DE+DE,由E點(diǎn)坐標(biāo)為(5,2),D(4,4),得D(4,4),E(5,2)由勾股定理,得DE=,DE=,(DG+GF+EF+ED)最小=DE+DE=+;(3)如下圖:OD=SODP的面積=12,點(diǎn)P到OD的距離=3過點(diǎn)O作OFOD,取OF=3,過點(diǎn)F作直線FGOD,交拋物線與點(diǎn)P1,P2,在EtOGF中,OG=6,直線GF的解析式為y=x6將y=x6代入y=得:x6=,解得:,將x1、x2的值代入y=x6得:y1=,y2=點(diǎn)P1(,),P2(,)如下圖所示:過
15、點(diǎn)O作OFOD,取OF=3,過點(diǎn)F作直線FG交拋物線與P3,P4,在RtPFO中,OG=6直線FG的解析式為y=x+6,將y=x+6代入y=得:x+6=解得:,y1=x1+6=,y2=x2+6=p3(,),p4(,)綜上所述:點(diǎn)P的坐標(biāo)為:(,)或(,)或(,)或(,)點(diǎn)評(píng):本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,求得點(diǎn)P到OD的距離是解題的關(guān)鍵,解得此類問題通常可以將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程或方程組的問題3求拋物線解析式中字母系數(shù)的值。 例3(2015梧州,第26題12分)如圖,拋物線y=ax2+bx+2與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點(diǎn),其中B(4,0)、C(2,0),連接AB、AC,在第一象限內(nèi)的拋物線上
16、有一動(dòng)點(diǎn)D,過D作DEx軸,垂足為E,交AB于點(diǎn)F(1)求此拋物線的解析式;(2)在DE上作點(diǎn)G,使G點(diǎn)與D點(diǎn)關(guān)于F點(diǎn)對(duì)稱,以G為圓心,GD為半徑作圓,當(dāng)G與其中一條坐標(biāo)軸相切時(shí),求G點(diǎn)的橫坐標(biāo);(3)過D點(diǎn)作直線DHAC交AB于H,當(dāng)DHF的面積最大時(shí),在拋物線和直線AB上分別取M、N兩點(diǎn),并使D、H、M、N四點(diǎn)組成平行四邊形,請(qǐng)你直接寫出符合要求的M、N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)考點(diǎn): 二次函數(shù)綜合題所有分析: (1)根據(jù)B,C兩點(diǎn)在拋物線y=ax2+bx+2上,代入拋物線得到方程組,求出a,b的值,即可解答;(2)先求出直線AB的解析式為y=x+2,設(shè)F點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,x+2),則D點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,)
17、,根據(jù)G點(diǎn)與D點(diǎn)關(guān)于F點(diǎn)對(duì)稱,所以G點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,),若以G為圓心,GD為半徑作圓,使得G與其中一條坐標(biāo)軸相切,分兩種情況解答:若G與x軸相切則必須由DG=GE;若G與y軸相切則必須由DG=OE;(3)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2±2,N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為±2解答: 解:(1)B,C兩點(diǎn)在拋物線y=ax2+bx+2上,解得:所求的拋物線為:y=(2)拋物線y=,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,2),設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,解得:直線AB的解析式為y=x+2,設(shè)F點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,x+2),則D點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,),G點(diǎn)與D點(diǎn)關(guān)于F點(diǎn)對(duì)稱,G點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,),若以G為圓心,GD為半徑作圓,使得G
18、與其中一條坐標(biāo)軸相切,若G與x軸相切則必須由DG=GE,即+2,解得:x=,x=4(舍去);若G與y軸相切則必須由DG=OE,即解得:x=2,x=0(舍去)綜上,以G為圓心,GD為半徑作圓,當(dāng)G與其中一條坐標(biāo)軸相切時(shí),G點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2或(3)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2±2,N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為±2點(diǎn)評(píng): 本題考查的是二次函數(shù)綜合題,涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及二次函數(shù)的解析式,難度較大,注意分類討論思想的應(yīng)用【變式練習(xí)】(2015年四川省廣元市中考,24,12分)如圖,已知拋物線y=(x+2)(xm)(m0)與x軸相交于點(diǎn)A、B,與y軸相交于點(diǎn)C,且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)(1)若拋物線過點(diǎn)G(
19、2,2),求實(shí)數(shù)m的值;(2)在(1)的條件下,解答下列問題:求出ABC的面積;在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)H,使AH+CH最小,并求出點(diǎn)H的坐標(biāo);(3)在第四現(xiàn)象內(nèi),拋物線上是否存在點(diǎn)M,使得以點(diǎn)A、B、M為頂點(diǎn)的三角形與ACB相似?若存在,求m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn):二次函數(shù)綜合題專題:綜合題分析:(1)把C坐標(biāo)代入拋物線解析式求出m的值即可;(2)對(duì)于拋物線解析式,令y=0求出x的值,確定出A與B坐標(biāo);令x=0,求出y的值,確定出C坐標(biāo),求出三角形ABC面積即可;如圖1,連接BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)H,由對(duì)稱軸的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)可得:此時(shí)AH+CH=BH+CH=BC最小,利用待定
20、系數(shù)法求出直線BC解析式,與拋物線對(duì)稱軸聯(lián)立求出H坐標(biāo)即可;(3)在第四現(xiàn)象內(nèi),拋物線上存在點(diǎn)M,使得以點(diǎn)A、B、M為頂點(diǎn)的三角形與ACB相似,分兩種情況考慮:(i)當(dāng)ACBABM時(shí);(ii)當(dāng)ACBMBA時(shí),利用相似三角形的判定與性質(zhì),確定出m的值即可解答:(1)拋物線過G(2,2),把G坐標(biāo)代入拋物線解析式得:2=(2+2)(2m),解得:m=4;(2)令y=0,得到(x+2)(xm)=0,解得:x1=2,x2=m,m0,A(2,0),B(m,0),把m=4代入得:B(4,0),AB=6,令x=9,得到y(tǒng)=2,即C(0,2),OC=2,則SABC=×6×2=6;A(2,
21、0),B(4,0),拋物線解析式為y=(x+2)(x4)的對(duì)稱軸為x=1,如圖1,連接BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)H,由對(duì)稱軸的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)可得:此時(shí)AH+CH=BH+CH=BC最小,設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,把B與C坐標(biāo)代入得:,解得:,直線BC解析式為y=x+2,令x=1,得到y(tǒng)=,即H(1,);(3)在第四現(xiàn)象內(nèi),拋物線上存在點(diǎn)M,使得以點(diǎn)A、B、M為頂點(diǎn)的三角形與ACB相似,分兩種情況考慮:(i)當(dāng)ACBABM時(shí),則有=,即AB2=ACAM,A(2,0),C(0,2),即OA=OC=2,CAB=45°,BAM=45°,如圖2,過M作MNx軸,交x軸于點(diǎn)N
22、,則AN=MN,OA+ON=2+ON=MN,設(shè)M(x,x2)(x0),把M坐標(biāo)代入拋物線解析式得:x2=(x+2)(xm),x0,x+20,m0,x=2m,即M(2m,2m2),AM=2(m+1),AB2=ACAM,AC=2,AB=m+2,(m+2)2=22(m+1),解得:m=2±2,m0,m=2+2;(ii)當(dāng)ACBMBA時(shí),則=,即AB2=CBMA,CBA=BAM,ANM=BOC=90°,ANMBOC,=,OB=m,設(shè)ON=x,=,即MN=(x+2),令M(x,(x+2)(x0),把M坐標(biāo)代入拋物線解析式得:(x+2)=(x+2)(xm),x0,x+20,m0,x=m
23、+2,即M(m+2,(m+4),AB2=CBMA,CB=,AN=m+4,MN=(m+4),(m+2)2=,整理得:=0,顯然不成立,綜上,在第四象限內(nèi),當(dāng)m=2+2時(shí),拋物線上存在點(diǎn)M,使得以點(diǎn)A、B、M為頂點(diǎn)的三角形與ACB相似點(diǎn)評(píng):此題屬于二次函數(shù)綜合題,涉及的知識(shí)有:待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式,坐標(biāo)與圖形性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,以及兩點(diǎn)之間線段最短,熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵【拓展運(yùn)用】1(2015北海,第26題14分)如圖1所示,已知拋物線y=x2+4x+5的頂點(diǎn)為D,與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),E為對(duì)稱軸上的一點(diǎn),連接CE,將線段CE繞點(diǎn)E按
24、逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C恰好落在y軸上(1)直接寫出D點(diǎn)和E點(diǎn)的坐標(biāo);(2)點(diǎn)F為直線CE與已知拋物線的一個(gè)交點(diǎn),點(diǎn)H是拋物線上C與F之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若過點(diǎn)H作直線HG與y軸平行,且與直線CE交于點(diǎn)G,設(shè)點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為m(0m4),那么當(dāng)m為何值時(shí),SHGF:SBGF=5:6?(3)圖2所示的拋物線是由y=x2+4x+5向右平移1個(gè)單位后得到的,點(diǎn)T(5,y)在拋物線上,點(diǎn)P是拋物線上O與T之間的任意一點(diǎn),在線段OT上是否存在一點(diǎn)Q,使PQT是等腰直角三角形?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由2. (2015廣東茂名25,8分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,A與x
25、軸相交于C(2,0),D(8,0)兩點(diǎn),與y軸相切于點(diǎn)B(0,4)(1)求經(jīng)過B,C,D三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(2)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為E,證明:直線CE與A相切;(3)在x軸下方的拋物線上,是否存在一點(diǎn)F,使BDF面積最大,最大值是多少?并求出點(diǎn)F的坐標(biāo)參考答案:1(2015北海,第26題14分)如圖1所示,已知拋物線y=x2+4x+5的頂點(diǎn)為D,與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),E為對(duì)稱軸上的一點(diǎn),連接CE,將線段CE繞點(diǎn)E按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C恰好落在y軸上(1)直接寫出D點(diǎn)和E點(diǎn)的坐標(biāo);(2)點(diǎn)F為直線CE與已知拋物線的一個(gè)交點(diǎn),點(diǎn)H是拋物線上C與F之間
26、的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若過點(diǎn)H作直線HG與y軸平行,且與直線CE交于點(diǎn)G,設(shè)點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為m(0m4),那么當(dāng)m為何值時(shí),SHGF:SBGF=5:6?(3)圖2所示的拋物線是由y=x2+4x+5向右平移1個(gè)單位后得到的,點(diǎn)T(5,y)在拋物線上,點(diǎn)P是拋物線上O與T之間的任意一點(diǎn),在線段OT上是否存在一點(diǎn)Q,使PQT是等腰直角三角形?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn): 二次函數(shù)綜合題分析: (1)首先根據(jù)拋物線y=x2+4x+5的頂點(diǎn)為D,求出點(diǎn)D的坐標(biāo)是多少即可;然后設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是(2,m),點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,n),根據(jù)CEC是等腰直角三角形,求出E點(diǎn)的坐標(biāo)是多少即可(2)令拋物線y=
27、x2+4x+5的y=0得:x24x5=0可求得A、B的坐標(biāo),然后再根據(jù)SHGF:SBGF=5:6,得到:,然后再證明HGMABN,從而可證得,所以HG=5,設(shè)點(diǎn)H(m,m2+4m+5),G(m,m+1),最后根據(jù)HG=5,列出關(guān)于m的方程求解即可;(3)分別根據(jù)P、Q、T為直角畫出圖形,然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)和一次函數(shù)的圖象的性質(zhì)求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可解答: 解:(1)拋物線y=x2+4x+5=(x2)2+9D點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,9);E為對(duì)稱軸上的一點(diǎn),點(diǎn)E的橫坐標(biāo)是:=2,設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是(2,m),點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,n),將線段CE繞點(diǎn)E按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C恰好
28、落在y軸上,CEC是等腰直角三角形,解得或(舍去),點(diǎn)E的坐標(biāo)是(2,3),點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,1)綜上,可得D點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,9),點(diǎn)E的坐標(biāo)是(2,3)(2)如圖1所示:令拋物線y=x2+4x+5的y=0得:x24x5=0,解得:x1=1,x2=5,所以點(diǎn)A(1,0),B(5,0)設(shè)直線CE的解析式是y=kx+b,將E(2,3),C(0,1),代入得,解得:,直線CE的解析式為y=x+1,將y=x+1與y=x2+4x+5,聯(lián)立得:,解得:,點(diǎn)F得坐標(biāo)為(4,5),點(diǎn)A(1,0)在直線CE上直線CE的解析式為y=x+1,F(xiàn)AB=45°過點(diǎn)B、H分別作BNAF、HMAF,垂足分別為N、
29、MHMN=90°,ADN=90°又NAD=HNM=45°HGMABN,SHGF:SBGF=5:6,即,HG=5設(shè)點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為m,則點(diǎn)H的縱坐標(biāo)為m2+4m+5,則點(diǎn)G的坐標(biāo)為(m,m+1),m2+4m+5(m+1)=5解得:m1=,m2=(3)由平移的規(guī)律可知:平移后拋物線的解析式為y=(x1)2+4(x1)+5=x2+6x將x=5代入y=x2+6x得:y=5,點(diǎn)T的坐標(biāo)為(5,5)設(shè)直線OT的解析式為y=kx,將x=5,y=5代入得;k=1,直線OT的解析式為y=x,如圖2所示:當(dāng)PTx軸時(shí),PTQ為等腰直角三角形,將y=5代入拋物線y=x2+6x得:x26x
30、+5=0,解得:x1=1,x2=5點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,5)將x=1代入y=x得:y=1,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,1)如圖3所示:由可知:點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,5)PTQ為等腰直角三角形,點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為3,將x=3代入y=x得;y=3,點(diǎn)Q得坐標(biāo)為(3,3)如圖4所示:設(shè)直線PT解析式為y=kx+b,直線PTQT,k=1將k=1,x=5,y=5代入y=kx+b得:b=10,直線PT的解析式為y=x+10將y=x+10與y=x2+6x聯(lián)立得:x1=2,x2=5點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2將x=2代入y=x得,y=2,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,2)綜上所述:點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,1)或(3,3)或(2,2)點(diǎn)評(píng): 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,明確HGF和BGF的面積比等于HG和AB的邊長(zhǎng)比是解題的關(guān)鍵,同時(shí)解答本題主要應(yīng)用了分類討論的思想需要同學(xué)們分別根據(jù)P、Q、T為直角進(jìn)行分類計(jì)算2. (2015廣東茂名25,8分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,A與x軸相交于C(2,0),D(8,0)兩點(diǎn),與y軸相切于點(diǎn)B(0,4)(1)求經(jīng)過B,C,D三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(2)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為E,證明:直線CE與A相
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