1、7(補充) 空間(kngjin)解析幾何簡介1. 空間(kngjin)直角坐標系通常(tngchng)規定x軸，y軸，z軸的正向要遵循右手法則.x橫軸y縱軸z豎軸 坐標原點o上頁下頁首頁第1頁/共132頁第一頁，共133頁。xyozxoy面yoz面zox面空間(kngjin)直角坐標系共有八個卦限.7(補充(bchng) 空間解析幾何簡介上頁下頁首頁第2頁/共132頁第二頁，共133頁。空間(kngjin)的點有序數組),(zyx特殊(tsh)點的表示:)0 , 0 , 0(O),(zyxM xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR坐標軸上的點,P,Q,R坐標面上

2、的點,A,B,C7(補充) 空間(kngjin)解析幾何簡介上頁下頁首頁第3頁/共132頁第三頁，共133頁。空間兩點的距離(jl)公式211212|,|,|.xxyyzz長方體的對角線長的平方(pngfng)等于三條棱長的平方(pngfng)和，則：22212121212|()()() .M Mxxyyzz所以(suy)點12MM和間的距離為222212212121|()()() .M Mxxyyzz由圖可知，該長方體的各棱長分別為：7(補充) 空間解析幾何簡介上頁下頁首頁第4頁/共132頁第四頁，共133頁。2. 空間曲面(qmin)與方程如果曲面S上任意一點(y din)的坐標都滿足方程

3、F(x,y,z)=0,7(補充) 空間解析幾何(ji x jh)簡介定義不在曲面S上的點的坐標都不滿足F(x,y,z)=0,則稱方程F(x,y,z)=0為曲面S的方程,而曲面S稱為方程F(x,y,z)=0的圖形.上頁下頁首頁第5頁/共132頁第五頁，共133頁。7(補充) 空間(kngjin)解析幾何簡介上頁下頁首頁例1 求與兩定點M(-1,0,2),N(3,1,1)距離(jl)相等的點的軌跡方程.解 設動點坐標(zubio)為P( x, y, z), .PMPN22222211321zyxzyx430.xyz空間平面的方程為： 0AxByCzD其中A、B、C、D都是常數，且A、B、C不全為0

4、. 第6頁/共132頁第六頁，共133頁。7(補充(bchng) 空間解析幾何簡介上頁下頁首頁例2 作z = d （d為常數(chngsh)）的圖形.解 0DCzByAx0,0,1.ABCxyzod第7頁/共132頁第七頁，共133頁。例3 求球心(qixn)在點,半徑(bnjng)為R的球面方程.0000(,)Mxyz222000()()(),xxyyzzR2222000()()().xxyyzzR2222.xyzR解 設P(x,y,z)是球面上任意一點(y din)， 則根據兩點間的距離公式，得整理，得特別地，當球心在原點O(0,0,0)時，球面方程為7(補充) 空間解析幾何簡介上頁下頁首

5、頁第8頁/共132頁第八頁，共133頁。7(補充) 空間解析幾何(ji x jh)簡介上頁下頁首頁例4 222.xyR作的圖形oxzy222xyR解 第9頁/共132頁第九頁，共133頁。7(補充(bchng) 空間解析幾何簡介上頁下頁首頁例522zxy作的圖形.xyzo22zxy解 22 0 xy22 , .zxyxoy在面的上方且與之僅有一個交點第10頁/共132頁第十頁，共133頁。7(補充(bchng) 空間解析幾何簡介上頁下頁首頁如果方程 是三元二次方程，則它的圖形是曲面，稱為二次曲面. ( , , )0F x y z （1）對稱軸為z軸，底面半徑(bnjng)為R的圓柱的方程為22

6、2.xyR對稱軸為y軸，底面半徑(bnjng)為R的圓柱的方程為222.xzR對稱軸為x軸，底面半徑為R的圓柱的方程為222.yzR第11頁/共132頁第十一頁，共133頁。7(補充) 空間(kngjin)解析幾何簡介上頁下頁首頁（2）球心(qixn)在原點，半徑為R的上半球面的方程為2222(0).xyzRz（3）圓錐(yunzhu)曲面222xyzoxzy第12頁/共132頁第十二頁，共133頁。7(補充) 空間(kngjin)解析幾何簡介上頁下頁首頁（4）橢球面2222221 (0,0,0)xyzabcabcozyx第13頁/共132頁第十三頁，共133頁。7(補充) 空間解析幾何(ji

7、 x jh)簡介(5) 拋物面 22(22xyz ppq、q同號）zxyoxyzo0, 0 qp0, 0 qp上頁下頁首頁第14頁/共132頁第十四頁，共133頁。特殊(tsh)地：當 時，方程變為qp zpypx 2222旋轉旋轉(xunzhun)拋拋物面物面)0( p（由 面上的拋物線 繞它的軸旋轉而成的）xozpzx22 11222zzpzyx與平面 的交線為圓.1zz )0(1 z當 變動時，這種圓的中心中心都在 軸上.1zz7(補充(bchng) 空間解析幾何簡介上頁下頁首頁第15頁/共132頁第十五頁，共133頁。zqypx 2222（ 與 同號）pq（6）雙曲拋物面（馬鞍）雙曲拋

8、物面（馬鞍(m n)面）面）xyzo7(補充) 空間(kngjin)解析幾何簡介上頁下頁首頁第16頁/共132頁第十六頁，共133頁。第七章 多元函數微積分7.1 多元函數7.2 偏導數(do sh)7.3 全微分7.4 復合函數的偏導數(do sh)7.5 偏導數(do sh)的幾何應用7.6 多元函數的極值7.7 二重積分7.8 二重積分的應用下頁第17頁/共132頁第十七頁，共133頁。7.1 多元(du yun)函數1. 多元(du yun)函數的概念2. 二元函數(hnsh)的極限3. 二元函數的連續性首頁上頁下頁第18頁/共132頁第十八頁，共133頁。7.1 多元(du yun)

9、函數1. 多元函數(hnsh)的概念 圓錐的體積(tj)和它的底半徑R，高H之間具有關系 例1HRV231對于R、H在一定范圍內取一對確定的值，V都有惟一確定的值與之對應.例2設R是電阻R1,R2并聯后的總電阻，由電學知道，它們之間具有關系2121RRRRR對于R1,R2在一定范圍內取一對確定的值，R都有惟一確定的值與之對應. 首頁上頁下頁第19頁/共132頁第十九頁，共133頁。定義(dngy)1設在某一變化(binhu)過程中有三個變量x，y，z，如果對于變量x，y在其變化范圍內所取的每一對(y du)數值， 變量z按照某一法則f，都有惟一確定的數值與之對應，則稱z為x，y的二元函數，記作

10、z=f (x，y).自變量x，y的取值范圍叫做函數的定義域，通常記為D. 二元及二元以上的函數統稱為多元函數.7.1 多元函數因變量自變量首頁上頁下頁第20頁/共132頁第二十頁，共133頁。7.1 多元(du yun)函數 所謂平面區域，是指整個x , y 平面或x , y平面上由幾條曲線所圍成的部分. 圍成平面區域的曲線稱為區域的邊界，包括邊界在內的區域稱為閉區域，不包含邊界在內的區域稱為開區域. 如果一個區域可以包含在一個以原點為圓心(yunxn)、半徑適當大的圓內，則稱該區域為有界區域，否則稱為無界區域. 對于(duy)自變量x, y 的一組值，對應著xoy面上的一點P（x , y）因

11、此，二元函數也可以看作是平面上點的函數，即Z = f（P）. 首頁上頁下頁第21頁/共132頁第二十一頁，共133頁。例3求下列函數(hnsh)的定義域并畫出圖形： 22(2) 1.zxy. 解（1）由對數函數的定義可知(k zh)，該函數的定義域是： ( , )0Dx y xy7.1 多元(du yun)函數(1) ln().zxy首頁上頁下頁第22頁/共132頁第二十二頁，共133頁。（2）要使Z有意義(yy)，必須2210 xy即 221.xy所以(suy)，所求函數的定義域是22( , )1 .Dx y xy7.1 多元(du yun)函數首頁上頁下頁第23頁/共132頁第二十三頁，共

12、133頁。7.1 多元(du yun)函數二元函數(hnsh)z = f (x , y )的圖形 Dyxyxfzzyx),(),(),(首頁上頁下頁第24頁/共132頁第二十四頁，共133頁。例4作二元函數(hnsh)221yxz的圖形(txng). 解由 221yxz兩邊(lingbin)平方，得 2221.zxy 整理，得2221.xyz1),(22yxyxD7.1 多元函數首頁上頁下頁第25頁/共132頁第二十五頁，共133頁。2. 二元函數(hnsh)的極限定義(dngy)2設函數(hnsh)z =f(x , y)在點 ),(000yxP的某個領域內有定義 (點P0可以除外),如果當點

13、P(x, y)沿任意路經趨于點 ),(000yxPf（x, y）趨向于一個確定的常數A，則稱A是函數 ),(yxf當P（x, y）趨于 ),(000yxP時的極限，記作 0000lim( , )( , )(,).xxyyf x yAf x yA xxyy或上述二元函數的極限又叫做二重極限. 7.1 多元函數20200)()(),(),(yyxxyxPU鄰域: 首頁上頁下頁第26頁/共132頁第二十六頁，共133頁。例5求極限(jxin) 20sin()lim.xyxyy解yxyyx)sin(lim0220sin()limxyxxyxy2200sin()limlimxxyyxyxxy2. 例6求

14、極限(jxin) 222200lim.22xyxyxy22lim222200yxyxyx解2222222200()( 22)lim( 2)( 2)xyxyxyxy2200lim( 22)2 2.xyxy7.1 多元(du yun)函數首頁上頁下頁第27頁/共132頁第二十七頁，共133頁。例7討論(toln)極限 2200limyxxyyx是否(sh fu)存在？ 解因為(yn wi)當P（x , y ）沿直線y = 0趨于點（0，0）時，有 2200limyxxyyx 22000lim0 xyxx0 而當點P（x , y）沿直線y = x 趨于點（0，0）時，有 220limyxxyxyx

15、220limxxxxxyx 1.2所以，極限 2200limyxxyyx不存在. 7.1 多元函數首頁上頁下頁第28頁/共132頁第二十八頁，共133頁。3. 二元函數(hnsh)的連續性定義(dngy)3設函數(hnsh)f（x ,y）在 ),(000yxP的某個鄰域內有定義，如果極限 ),(lim00yxfyyxx存在，且 ),(),(lim0000yxfyxfyyxx則稱二元函數f（x ,y）在點 ),(000yxP處連續. 如果函數f（x ,y）在區域D內 的每一點都連續，則稱f（x ,y）在區域D內連續. 7.1 多元函數 二元初等函數在其定義區域（指包含在定義域內的區域）內是連續的

16、. 首頁上頁下頁第29頁/共132頁第二十九頁，共133頁。例8求下列(xili)極限 解（1） 222123lim.xyxyxy（2） 00lim.1 1xyxyxy （1） 222213limyxyxyx2223 1 21.125 （2） 0000limlim(1 1)2.1 1xxyyxyxyxy 7.1 多元(du yun)函數函數f（x ,y）不連續(linx)的點稱為函數的間斷點. 0, 0, 0,),(222222yxyxyxxyyxf(0,0) 首頁上頁下頁第30頁/共132頁第三十頁，共133頁。1. 偏導數(do sh)的概念7.2 偏導數(do sh)2. 高階偏導數(d

17、o sh)3. 偏導數的經濟意義首頁上頁下頁第31頁/共132頁第三十一頁，共133頁。1. 偏導數(do sh)的概念定義(dngy) 設函數(hnsh)Z=f（x，y）在點(x0, y0)的某鄰域內有定義， 當自變量y保持定值y0 ，而自變量x在 0 x處有增量x時， 相應的函數有增量 如果極限 xyxfyxxfx),(),(lim00000存在，則稱此極限值為函數Z=f（x，y）在點 處 對x的偏導數，記作 0000,x xx xy yy yzfxx0000,(,).xx xxy yZfxy或0000(,)(,).f xx yf xy00(,)xy7.2 偏導數首頁上頁下頁第32頁/共1

18、32頁第三十二頁，共133頁。即0000000(,)(,)(,)lim.xxf xx yf xyfxyx 類似地,如果(rgu)極限 yyxfyyxfy),(),(lim00000存在(cnzi),那么稱此極限值為函數(hnsh)Z=f（x，y）在點 處對y的偏導數，記作 0000,x xx xy yy yzfyy0000,(,).x xyy yZyfxy或即0000000(,)(,)(,)lim.yyf xyyf xyfxyy 00,xy7.2 偏導數首頁上頁下頁第33頁/共132頁第三十三頁，共133頁。7.2 偏導數(do sh)如果函數Z= f（x，y）在區域(qy)D內每一點(x，y

19、)處對x的 偏導數(do sh)都存在，這個偏導數(do sh)仍是x，y的函數， 則稱這個函數為Z= f（x，y）對自變量x的偏導函數，記作 ,( , ).xZfZxfx yxx或即),(yxfxxyxfyxxfx),(),(lim0類似地，z = f（x ,y）對自變量y的偏導函數記作,( ,).yZfZyfx yyy或( , )yfx y 0( ,)( , )lim.yf x yyf x yy 即首頁上頁下頁第34頁/共132頁第三十四頁，共133頁。例1求 在(1,2)的偏導數(do sh). 解222( , )(3)23,xxfx yxxyxy2 (1,2)2 1 3 214.xf

20、22( , )(3)6,yyfx yxxyxy (1,2)6 1 212.yf 7.2 偏導數(do sh)22( , )3f x yxxy首頁上頁下頁第35頁/共132頁第三十五頁，共133頁。例2設 求 ,yzx,.zzxy解1,yzyxxln .yzxxy例3 求三元(sn yun)函數 u=2xy+3yz+5zx 的偏導數. 解25 .uyzx23 .uxzy53 .uxyz7.2 偏導數(do sh)首頁上頁下頁第36頁/共132頁第三十六頁，共133頁。在點M 處的切線關于(guny)x軸和y軸的斜率. 根據(gnj)一元函數導數的幾何意義知，偏導數 和 在幾何上，分別(fnbi)

21、表示曲線7.2 偏導數00,xfxy00,yfxy000,xyz0),(yyyxfz0( , ),zf x yxx和首頁上頁下頁第37頁/共132頁第三十七頁，共133頁。2. 高階偏導數(do sh)設函數z=f（x，y）在區域(qy)D內具有偏導數( , ),xzfx yx( , ),yzfx yy則它們仍然是x，y的函數(hnsh). 如果這兩個偏導函數(hnsh)對x和對y的偏導數也存在， 則稱它們的偏導數是f（x，y）的二階偏導數. 7.2 偏導數（1）兩次都對x求偏導數，即 ，記作)(xzx 2222,( , );xxxxzfzfx yxx首頁上頁下頁第38頁/共132頁第三十八頁

22、，共133頁。7.2 偏導數(do sh)（2）第一次對x，第二次對y求偏導數(do sh)，即 ，記作)(xzy 22,( , );xyxyzfzfx yx yx y （3）第一次對x，第二次對y求偏導數(do sh)，即 ，記作()zxy22,( , );yxyxzfzfx yy xy x （4）兩次都對y求偏導數，即 ，記作()zyy2222,( , );yyyyzfzfx yyy二階及二階以上的偏導數統稱為高階偏導數. 二階混合偏導數 二階混合偏導數 首頁上頁下頁第39頁/共132頁第三十九頁，共133頁。例4設 求 22,zx 2,zy x 2,zx y 22,zy33.zx解334

23、8,zxxyx2232128,zxyx2224;zxyx y 322412,zyx yy22221224,zyx yy2224;zxyy x 3324 .zxx7.2 偏導數(do sh)44234,zxyx y首頁上頁下頁第40頁/共132頁第四十頁，共133頁。定理(dngl)如果(rgu)函數z=f（x，y）的兩個二階混合偏導數 xyz2及 yxz2在區域(qy)D內連續，則在該區域(qy)內這兩個二階混合偏導數必相等. 定理說明，只要兩個混合偏導數連續，則它們與求導次序無關. 類似地，對于二階以上的高階混合偏導數，在混合偏導數連續的條件下，也與求導次序無關. 7.2 偏導數首頁上頁下頁

24、第41頁/共132頁第四十一頁，共133頁。例5設 )2cos( xyz 求 3322,.zzx yy x 解2 sin(2),zyxyx 22sin(2)4cos(2),zxyxyxyx y ).2sin(8)2cos(8)2sin(8)2cos(4)2cos(42223xyyxxyxxyyxxyxxyxyxz).2sin(8)2cos(8)2sin(8)2cos(4)2cos(423xyxyxyyxyxyxyyxyyxyz7.2 偏導數(do sh)首頁上頁下頁第42頁/共132頁第四十二頁，共133頁。例6驗證(ynzhng)函數 22lnyxz滿足(mnz)方程： 22220.zzxy

25、證22221lnln(),2zxyxy22222,2()zxxxxyxy22,zyyxy22222222222222222()2,()()()zxyxxyxxyxxyxyxy 222222222222()2.2()()zxyyyxyyxyxy因此(ync) 22220.zzxy7.2 偏導數拉普拉斯方程 第43頁/共132頁第四十三頁，共133頁。3. 偏導數的經濟(jngj)意義 當價格P2不變而P1發生變化時，需求量Q1和Q2將隨P1變化而變化，需求量Q1和Q2對價格的彈性(tnxng)分別為111111,PQQP122121,PQQP11稱為甲商品需求量Q1對自身價格P1的直接價格偏彈性

26、(tnxng)，21稱為甲商品需求量Q2對自身價格P1的交叉價格偏彈性(tnxng). 類似地，可定義并解釋211212,PQQP222222.PQQP7.2 偏導數首頁上頁下頁第44頁/共132頁第四十四頁，共133頁。例7已知某商品(shngpn)需求量Q1是該商品(shngpn)價格P1與另一相關商品(shngpn)價格P2 的函數，且 Q1=120-2P1+15P2，求當 10,1521PP時，需求的直接價格偏彈性(tnxng)11及交叉價格偏彈性(tnxng)12. 解當 10,1521PP時， 24010151521201Q又 11122,15,QQPP 1111110.125,P

27、QQP 2112120.625.PQQP7.2 偏導數首頁上頁下頁第45頁/共132頁第四十五頁，共133頁。7.3 全微分(wi fn)1. 全微分(wi fn)的概念2. 全微分(wi fn)在近似計算中的應用首頁上頁下頁第46頁/共132頁第四十六頁，共133頁。7.3 全微分(wi fn)1. 全微分(wi fn)的概念f（x+x）f（x）f （x）x. (, )( , )( , ),xf xx yf x yfx yx( ,)( ,)( ,).yfx yyfx yfx yy 對x的偏增量(zn lin)對x的偏微分對y的偏增量對y的偏微分首頁上頁下頁第47頁/共132頁第四十七頁，共1

28、33頁。 設函數z=f（x，y）在點（x，y）的某個領域內有義，點（x+x，y+y）在該鄰域內，如果(rgu)函數z=f（x，y）在點（x，y）的全增量定義(dngy)z=f（x+x，y+y） f（x，y）可以(ky)表示為 z=Ax+By+ )(o其中A、B是x，y的函數，與x，y無關， 22()() .xy )(o是一個比 高階的無窮小，則稱A x+B y是二元函數Z= f（x,y）在點（x , y）處的全微分，記作dz，即 7.3 全微分dz=Ax+By. 這時，也稱二元函數Z= f（x,y）在點（x，y）處可微. 首頁上頁下頁第48頁/共132頁第四十八頁，共133頁。 如果函數(hn

29、sh)z=f（x，y）在點（x，y）處可微分，則它在點（x，y）處連續. 定理(dngl)17.3 全微分(wi fn)證 ),(),(yxfyyxxfz( ).A xB y 0)(limlim0000oyBxAzyxyx),(),(lim00yxfyyxxfyx首頁上頁下頁第49頁/共132頁第四十九頁，共133頁。定理(dngl)2（可微的必要條件(b yo tio jin)）如果函數z=f（x，y）在點（x，y）可微， 則它在點（x，y）處的兩個(lin )偏導數 yzxz,必存在，且 ,zAx.zBy7.3 全微分證 ),(),(yxfyyxxfz( ).A xB y 0y (, )(

30、 , ).f xx yf x yA x 00(, )( , )(|)limlim(),xxf xx yf x yoxAAxx ,0 xx 同除以并令.zAxdzzzxyxy d.zzzdxdyxy首頁上頁下頁第50頁/共132頁第五十頁，共133頁。（可微的充分條件(chn fn tio jin)） 如果函數 ),(yxfz 在點 ),(yx處的兩個(lin )偏導數 yzxz和都連續(linx)，則函數在該點可微. 例1求函數 的全微分. 解2,zxyx2,zxy所以 dz=2xydx+x2dy. 定理 37.3 全微分( , , ).uuuuf x y zdudxdydzxyz2zx y首

31、頁上頁下頁第51頁/共132頁第五十一頁，共133頁。例2求函數 的全微分(wi fn). 解2 2sec (),zxyxyx22sec (),zxxyy222 2sec ()sec ().dzxyxy dxxxy dy7.3 全微分(wi fn)2tan()zx yxy首頁上頁下頁第52頁/共132頁第五十二頁，共133頁。例3 求函數 在點(2,1)處的全微分(wi fn). 解 ,xyzyex,xyzxey221,xyzex2212,xyzey2221 2.xydze dxe dy7.3 全微分(wi fn)xyze首頁上頁下頁第53頁/共132頁第五十三頁，共133頁。2. 全微分(w

32、i fn)在近似計算中的應用7.3 全微分(wi fn)( , )( , ),xydzfx yxfx yy ( , )( , ),xyzdzfx yxfx yy ( , )( , ),xyzfx yxfx yy (,)( , )( , )( , ),xyf xx yyf x yfx yxfx yy 首頁上頁下頁第54頁/共132頁第五十四頁，共133頁。例4當正圓錐體變形時，它的底面半徑由30cm增大到30.1cm，高由60cm減少到59.5cm，求正圓錐體體積(tj)變化的近似值. 解hrV231hrrrhhhVrrVdV23132hrrrhV23132將r=30，r=0.1，h=60，h=

33、0.5代入上式，得 2321 30 60 0.1 30( 0.5)30()33Vcm 7.3 全微分(wi fn)首頁上頁下頁第55頁/共132頁第五十五頁，共133頁。例5 計算(j sun)（0.99）2.02的近似值 .解設 f (x, y)=xy,取 1,x x=0.01,y=2,y=0.02,則 f（1，2）=1, 112(1,2)2,yxxyfyx12(1,2)ln0,yyxyfxx7.3 全微分(wi fn)2.02 0.991 20.010 0.010.98. 首頁上頁下頁第56頁/共132頁第五十六頁，共133頁。7.4 復合函數(hnsh)的偏導數1. 復合(fh)函數的偏

34、導數2. 隱函數(hnsh)的偏導數首頁上頁下頁第57頁/共132頁第五十七頁，共133頁。7.4 復合(fh)函數的偏導數1. 復合函數(hnsh)的偏導數設函數(hnsh) ),(vufz 是變量u、v的函數,而 ),(),(yxvvyxuu又是x,y的函數，則 ),(),(yxvyxufz 是x,y的復合函數. 中間變量zuvxy函數結構圖 首頁上頁下頁第58頁/共132頁第五十八頁，共133頁。7.4 復合(fh)函數的偏導數定理(dngl)如果函數z=f(u，v)關于u，v有連續(linx)的一階偏導數， 又函數u=u(x，y),v=v(x，y)在點(x，y)有偏導數,則復合函數 z

35、=f(u(x，y)，v(x，y) 在點(x，y)的偏導數存在，且zzuzvxuxvxzzuzvyuyvy鏈式法則 首頁上頁下頁第59頁/共132頁第五十九頁，共133頁。例1,zx.zy解vevzveuzuusin,cos1,2,2 ,2 ,uuvvxyxyxy zzuzvxuxvxzzuzvyuyvy設z=eucosv，而u=x+2y，v=x2-y2，求 7.4 復合函數(hnsh)的偏導數cossin2uuevevx222222cos2sin,xyxyexyxexy2cossin2uuevevy2222222cos2sin.xyxyexyyexy首頁上頁下頁第60頁/共132頁第六十頁，共

36、133頁。7.4 復合(fh)函數的偏導數 二元復合(fh)函數求導的鏈式法則對三元及三元以上的復合(fh)函數也是成立的. ( , , ),zf u v w( , ),ux y),(),(yxwyxvzuvwxy,zzuzvzwxuxv xwx .zzuzvzwyuyv ywy 首頁上頁下頁第61頁/共132頁第六十一頁，共133頁。下面(xi mian)看鏈式法則的兩種特殊情況. （1） ( , , ),zf u v y( , ),( , ).ux y vx y.zzuzvzyuyv yy （2） ( , , ),zf u v w)(),(),(xwxvxudxdwwzdxdvvzdxdu

37、uzdxdz全導數(do sh) 7.4 復合(fh)函數的偏導數zuvyxy,zzuzvxuxv x zuvwx首頁上頁下頁第62頁/共132頁第六十二頁，共133頁。例2.dzdx設z=ln(3u+2v)，u=x2，v=cosx，求 7.4 復合函數(hnsh)的偏導數解dzzduzdvdxudxvdx322( sin )3232xxuvuv262sin.32cosxxxx首頁上頁下頁第63頁/共132頁第六十三頁，共133頁。例3設函數z=f(u，v)對u，v具有連續(linx)偏導數，求z=f(xy，x2+y2)的偏導數(do sh) 及 .zy解22,uxy vxy,;2 ,2 .u

38、uvvyxxyxyxyuvzzuz vyfu,v2xfu,v ,xuxv x uvzzuzvxfu,v2yfu,v .yuyv y 7.4 復合函數(hnsh)的偏導數首頁上頁下頁第64頁/共132頁第六十四頁，共133頁。例4設 x y z=xyf,y x,求 ,zx.zy解xyyxxyfxxz,xyyxfxxyxyyxyf,221,1,xyxyyxfyxyyxfxyxyyxyfxyyxfxyxyyxxfxyyxyf,2217.4 復合(fh)函數的偏導數首頁上頁下頁第65頁/共132頁第六十五頁，共133頁。xyyxfyxyxyyxxfxyyxxyfyyz,xxyyxfyxxyyxfxyx

39、yyxxf1,221xyyxyfxyyxfyxxyyxxf,2127.4 復合函數(hnsh)的偏導數,x yxfy xy對求偏導,x yyfy xx對求偏導首頁上頁下頁第66頁/共132頁第六十六頁，共133頁。2. 隱函數(hnsh)的偏導數7.4 復合(fh)函數的偏導數0),(yxF( )f x0)(,(xfxFFxyx0dxdyyFxF,yFxFdxdy.xyFdydxF 或0yF首頁上頁下頁第67頁/共132頁第六十七頁，共133頁。例5求由方程(fngchng) 016542322yxxyx所確定(qudng)的隱函數 )(xfy 的導數(do sh) .dydx解 設 22(

40、, )324516,F x yxxyxy2624,45.xyFxyFxy2624.45dyxydxxy 于是 7.4 復合函數的偏導數首頁上頁下頁第68頁/共132頁第六十八頁，共133頁。7.4 復合函數(hnsh)的偏導數0),(zyxF( , )z x y0),(,(yxzyxFzxyzxy( , )( , )0,xzzFx y zFx y zx( , , )( , , )0.yzzF x y zF x y zy( , , ),( , , )xxzzF x y zFzxF x y zF ( , , ).( , , )yyzzF x y zFzyF x y zF 0首頁上頁下頁第69頁/共

41、132頁第六十九頁，共133頁。例6設 x3+y3+z3=3xyz. 求 ,zx.zy解設 F(x,y,z)= x3+y3+z3-3xyz, 則 2xF =3x -3yz,2yF =3y -3xz,2zF =3z -3xy.于是(ysh)22xyzzxzxy, 22yxzzyzxy . 7.4 復合函數(hnsh)的偏導數首頁上頁下頁第70頁/共132頁第七十頁，共133頁。例7求 ,zx.zy解設 7.4 復合函數(hnsh)的偏導數 .xyzxyze設( , , )= .xyzF x y zxyze = 1,xyzxFyze1,1xyzxyzzyzexxye = 1.xyzzFxye= 1

42、,xyzyFxze1.1xyzxyzzxzeyxye 首頁上頁下頁第71頁/共132頁第七十一頁，共133頁。7.5 偏導數的幾何應用(yngyng)1. 空間(kngjin)曲線的切線及法平面2. 曲面的切平面(pngmin)與法線首頁上頁下頁第72頁/共132頁第七十二頁，共133頁。7.5 偏導數的幾何應用(yngyng)1. 空間(kngjin)曲線的切線及法平面 空間(kngjin)曲線在一點處的割線的極限位置定義為曲線在該點處的切線. 在空間，過切點且與切線垂直的法線所構成的平面，稱為空間曲線的法平面. 首頁上頁下頁第73頁/共132頁第七十三頁，共133頁。7.5 偏導數的幾何應

43、用(yngyng): ( ),( ),( ).xtytzt00000(,), Mxyzt0000(,), M xx yy zztt),(0zyxMM0000: xxyyzzM Mxyz000 xxyyzzxyzttt0,0MMt 首頁上頁下頁第74頁/共132頁第七十四頁，共133頁。曲線(qxin) 在點 ),(0000zyxM處的切線(qixin)方程為 )()()(000000tzztyytxx)(),(),(000ttts切向量(xingling) 在點 ),(0000zyxM處的法平面方程為 000000( )()( )()( )()0.txxtyytzz7.5 偏導數的幾何應用首頁

44、上頁下頁第75頁/共132頁第七十五頁，共133頁。例1求曲線(qxin) tztytx2,2在點 )2 , 1 , 1 (M處的切線(qixin)方程和法平面方程(fngchng). 解因為點 )2 , 1 , 1 (M對應的參數值為 1t，所以 11,tdxdt所求切線方程為 112.122xyz法平面方程為(1)2(1)2(2)0.xyz即2270.xyz7.5 偏導數的幾何應用11 22, ttdytdt1 2.tdzdt首頁上頁下頁第76頁/共132頁第七十六頁，共133頁。例2求曲線(qxin) 在點 (2,4,3)M處的切線(qixin)方程和法平面方程(fngchng). 7.

45、5 偏導數的幾何應用12,2xzxy解2,21.xx yxzx(2,4,3)2.Mx 對應的參數值為21,xdxdx2224,xxdyxdx22.xdzdx所求切線方程為 法平面方程為即243,142xyz(2)4(4)2(3)0,xyz42240.xyz首頁上頁下頁第77頁/共132頁第七十七頁，共133頁。2. 曲面的切平面(pngmin)與法線7.5 偏導數的幾何應用(yngyng): ( , , )0,SF x y z ),(0000zyxM: ( ),( ),( )xtytzt00000(,), Mxyzt0)(),(),(tttFFxyzt0)(),()(),()(),(tzyxF

46、tzyxFtzyxFzyx000000000000(,)( )(,)( ) (,)( )0 xyzF xyztF xyztF xyzt0tt 首頁上頁下頁第78頁/共132頁第七十八頁，共133頁。稱為(chn wi)曲面S在點 處的切平面. 7.5 偏導數的幾何應用(yngyng)0)(),()(),()(),(000000000000tzyxFtzyxFtzyxFzyx)(),(),(000ttts),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFzyxn0sn.ns),(0000zyxM切平面(pngmin)的法向量為n，切平面(pngmin)的方程為 過 ),(0000zyx

47、M點的所有切線都在同一平面上，這個平面0)(,()(,()(,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx過點 0M且垂直于切平面的直線稱為曲面在該點的法線. 法線方程為 0),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx首頁上頁下頁第79頁/共132頁第七十九頁，共133頁。例1求球面(qimin) 6222zyx在點 )2 , 1, 1 ( 處的切平面(pngmin)方程及法線(f xin)方程. 解設 6),(222zyxzyxF，則 所求切平面的方程為 0)2(4) 1(2) 1(2zyx即012422zyx法線方程為4221

48、21zyx112112xyz7.5 偏導數的幾何應用(1, 1,2)(1, 1,2)22,xFx(1, 1,2)(1, 1,2)22,yFy (1, 1,2)(1, 1,2)24,zFz首頁上頁下頁第80頁/共132頁第八十頁，共133頁。例2求旋轉(xunzhun)拋物面 在點 處的切平面(pngmin)方程(fngchng)及法線方程(fngchng). 解7.5 偏導數的幾何應用12222zyxz)9 , 2 , 1 (22 ( , , )221F x y zxyz設，(1,2,9)(1,2,9)48,yFy(1,2,9)(1,2,9)44,xFx(1,2,9)(1,2,9)11,zF

49、所求切平面的方程為 即法線方程為0)9()2(8) 1(4zyx01184zyx198241zyx首頁上頁下頁第81頁/共132頁第八十一頁，共133頁。7.6 多元函數(hnsh)的極值1. 極值(j zh)及其求法2. 最大值與最小值3. 條件極值,拉格朗日乘數(chn sh)法首頁上頁下頁第82頁/共132頁第八十二頁，共133頁。7.6 多元函數(hnsh)的極值1. 極值(j zh)及其求法定義(dngy)設函數數z=f (x，y)在點P0(x0，y0)的某一領域內有定義. 如果對該鄰域內任一異于P0的點P (x，y),都有 f (x，y)f (x0，y0) 則稱函數z=f (x，y

50、)在點P0(x0，y0)處有極大值 f (x0，y0)；如果都有 f (x，y)f(x0，y0) 則稱函數z= f (x,y)在點P0(x0，y0)處有極小值 f (x0，y0). 函數的極大值和極小值統稱為極值，使得函數取極值的點 稱為極值點. 000(,)P xy首頁上頁下頁第83頁/共132頁第八十三頁，共133頁。7.6 多元(du yun)函數的極值221),(yxyxfz在點(0,0)處函數(hnsh)取得極大值1. 2242),(yxyxfz在點(0,0)處取得(qd)極小值0 .首頁上頁下頁第84頁/共132頁第八十四頁，共133頁。定理(dngl)1(極值的必要條件(b yo

51、 tio jin) 設函數z=f (x, y)在點),(),(0000yxfyxfyx都存在(cnzi)，則必有 fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0. 滿足方程組 0),(, 0),(yxfyxfyx的點(x0, y0)，稱為函數z=f (x, y)的駐點. P0(x0, y0)7.6 多元函數的極值處的兩個偏導數 首頁上頁下頁第85頁/共132頁第八十五頁，共133頁。點(0,0)是函數(hnsh) 的駐點,不是函數(hnsh)的極值點. 7.6 多元函數(hnsh)的極值 只要函數z=f (x, y)的兩個偏導數存在(cnzi)，那么，它的極值點一定是駐點. 但是函數的駐點不一

52、定是極值點. 22yxz00(0,0)20,yxyfy00(0,0)20,xxyfx首頁上頁下頁第86頁/共132頁第八十六頁，共133頁。定理(dngl)2 (極值的充分條件(chn fn tio jin) 設函數z=f (x, y)在點 ),(000yxP的某一領域(ln y)內有二階連續偏導數,且 ),(000yxP即f x(x0，y0)=0，f y(x0，y0)=0. 記 是函數的駐點，f xx(x0，y0)=A，f xy(x0，y0)=B， f yy(x0，y0)=C，（1） 時，函數z=f (x, y)在點 ),(000yxP處有 極值,且當A0時,有極大值;當A0時,有極小值；

53、（2） 時,函數z=f (x, y)在點 ),(000yxP處沒有極值; （3） 時,函數z=f (x, y)在點 ),(000yxP處可能 有極值,也可能沒有極值. 7.6 多元函數的極值20BAC 20BAC 20BAC 首頁上頁下頁第87頁/共132頁第八十七頁，共133頁。7.6 多元函數(hnsh)的極值求具有二階連續(linx)偏導數的函數z=f (x, y)極值的一般方法： （1）求導數(do sh)： ( , ),( , ),( , ),( , ),( , );xyxxxyyyfx yfx yfx yfx yfx y（2）找駐點：, 0),(, 0),(yxfyxfyx（3）判

54、極值：將駐點代入二階導數中,依次求出A,B,C,并計算出 ,判定駐點是否為極值點,如果是極值點,則代入原函數中,求出極值. 2BAC 首頁上頁下頁第88頁/共132頁第八十八頁，共133頁。例1求函數 的極值(j zh). 解x0,y0,x2,y2.因此，函數(hnsh)有兩個駐點(0,0)及(2,2). 在點(0,0)處代入原函數，算得極大值為f (0,0)=3 .7.6 多元函數(hnsh)的極值322( , )423f x yxxxyyyxxyxfx283),(2yxyxfy22),( , )68,xxfx yx( , )2,xyfx y ( , )2.yyfx y 00(0,0)8,x

55、xAf (0,0)2,xyBf(0,0)2,yyCf 012)2()8(222ACB首頁上頁下頁第89頁/共132頁第八十九頁，共133頁。在(2,2)處, 所以(suy),函數在點(2,2)處沒有極值. 7.6 多元函數(hnsh)的極值(2,2)4,xxAf(2,2)2,xyBf(2,2)2,yyCf 2224 ( 2)120,BAC 首頁上頁下頁第90頁/共132頁第九十頁，共133頁。2. 最大值與最小值例2 要做一個容積(rngj)為32 的無蓋長方體箱子,問長、寬、 高各為多少時,才能使所用材料最省？ 解設長方體箱子(xing zi)的長、寬、高分別為x (cm)，y (cm)，Z

56、 (cm)，表面積為A .由上述(shngsh)兩式消去z，得 7.6 多元函數的極值3cmyzxzxyA2232 xyzVxyxyxyyxyxxyA6464322322首頁上頁下頁第91頁/共132頁第九十一頁，共133頁。解之,得駐點(zh din)為(4,4). 由問題的實際意義知,面積(min j)A在區域 內一定(ydng)取得最小值, 此時,箱子的高為2. 7.6 多元函數的極值264xyAx264yxAy000, 0),(yxyxD首頁上頁下頁第92頁/共132頁第九十二頁，共133頁。例3 設某企業(qy)生產甲、乙兩種產品，其銷售單價分別為10元和13元，生產x萬件甲產品與y

57、萬件乙產品的總成本是 問當兩種產品(chnpn)的產量各為多少時利潤最大,最大利潤是多少? 解求得函數(hnsh)的駐點為(1,6). L(1,6)=44 (萬件). 7.6 多元函數的極值22( ,)2C x yxxyy2222( , )1013(2)10132.L x yxyxxyyxyxxyy. 0213),(, 0410),(yxyxLyxyxLyx最大利潤為 首頁上頁下頁第93頁/共132頁第九十三頁，共133頁。3. 條件極值,拉格朗日乘數(chn sh)法對函數的自變量附加約束條件的極值問題(wnt),稱為條件極值. 求函數z= f (x, y)在約束條件(x, y)=0下的極值

58、(j zh).（1）構造拉格朗日函數拉格朗日函數 7.6 多元函數的極值用拉格朗日乘數法求解的步驟如下:( ,)( ,)( ,)L x yfx yx y拉格朗日乘數 首頁上頁下頁第94頁/共132頁第九十四頁，共133頁。（2）求駐點(zh din)解之，即得原函數f (x, y)滿足(mnz)約束條件的駐點(x0, y0) 和乘數(chn sh)的值. 7.6 多元函數的極值（3）判極值一般可根據問題的實際意義，判定 是否為極值點. 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxLyxyxfyLyxyxfxLyyxx),(00yx首頁上頁下頁第95頁/共132頁第九十五頁，共133頁。7.

59、6 多元(du yun)函數的極值上述方法(fngf)還可推廣到多個自變量和多個約束條件的情形. = ( ,)ufx y求函數在約束條件例如(lr)( , , )0,( , , )0 x y zx y z下的極值.),(),(),(),(zyxzyxzyxfzyxL首頁上頁下頁第96頁/共132頁第九十六頁，共133頁。例4 求表面積為2a2(a0)而體積(tj)為最大的長方體的體積(tj). 解 設此長方體的長、寬、高分別(fnbi)為x, y, z,則問題化為在條件 下,求函數u=xyz的最大值. 7.6 多元(du yun)函數的極值2xy+yz+xz=a2( ,)().L x yxyz

60、xyyzxza. 0, 0)(, 0)(, 0)(2axzyzxyyxxyzxxzzyyz33xyza最大體積為 33.9a首頁上頁下頁第97頁/共132頁第九十七頁，共133頁。例5某工廠(gngchng)生產兩種商品的日產量分別為x和y(單位:件),總成本函數(hnsh)(單位:元) 如果(rgu)商品的限額為 ，試求最小成本. 解7.6 多元函數的極值22616),(yxyxyxC842 yx)842(616),(22yxyxyxyxL. 0842, 012, 0232yxyxyx25,34.xy22(25,34)16 2525 346 3416086().C 元最小成本首頁上頁下頁第9