第一章Hilbert空間§1.1矢量空間

1定義;2正交性和模;3基矢;4子空間

§1.2線性算符

1定義;2厄米、幺正、投影算符;3厄米算符完備組§1.3表象理論

1矢量和算符的矩陣表示;2表象變換;3連續(xù)本征值情況;4坐標(biāo)表象;5動量表象§1.4矢量空間的直和與直積

1直和空間;2直積空間2§1.3表象理論§1.3.1矢量和算符的矩陣表示§1.3.2表象變換§1.3.3連續(xù)本征值情況§1.3.4坐標(biāo)表象§1.3.5動量表象3§1.3.1矢量和算符的矩陣表示

(這里我們首先考慮離散本征值的情況)選定空間一厄米算符完備組K的共同本征矢量{i,i=1,2,…n}(n有限或無限)作為基矢,即

K

i=ki

i則這個表象就用算符完備組K命名,稱為K表象.4矢量的表示

利用iii=1任意矢量

，可以按基矢展開

=iii=iii,i=i

式中,i為一復(fù)數(shù)，而ii稱為矢量在基矢i上的投影.一個給定的矢量,由其全部分量{i}完全確定，因而這組分量就可看作是其在K表象中的表示進(jìn)而，兩個矢量的內(nèi)積為

5算符的表示給定算符A

和關(guān)系式=A有jijAiiiAjii,

其中Aji=jAi,上式成為

jiAji

i.

可知算符A由一組數(shù)(Aji)表示.6把左矢、右矢和算符寫成矩陣形式右矢左矢算符注:前面在Hilbert空間中所述的矢量、算符之間的各種加法、乘法和數(shù)乘運算等,現(xiàn)在都可以很方便的用矩陣乘法來代替.7另外,我們知道是一個算符;甚至這個關(guān)系也能寫成矩陣形式：8§1.3.2表象變換正如在經(jīng)典力學(xué)中可以選取不同的參照系，在量子力學(xué)中可以選取不同的參照基矢，即不同的表象.已知一個表象中矢量和算符的矩陣表示，如何求它們在另一表象中表示?9今有K表象{i},L表象{},兩組基之間的關(guān)系是：

=iii=i

Uii,i=i=U-1i,

其中，Ui=i，U-1i=i.

而且UiU-1j=ij,i

UiUi=.10一、矢量的表象變換矢量:

K表象:i=i；L表象:=.由=iii，知=iU-1ii

或?qū)懗删仃囆问剑悍粗甶=Ui

上述即為矢量的表象變換.11二、算符的表象變換設(shè)算符A在K表象、L表象中分別表示為{Aij}和{A}:Aij=iAj,A=A.于是，A=ijiiAjj即A=ijU-1i

AijUj.反之，Aij

=UiAU-1j.12§1.3.3連續(xù)本征值情況

當(dāng)表象基矢是連續(xù)分布的,此時仿照離散情況可作適當(dāng)?shù)耐茝V；設(shè)取K表象：Kk=kk,這里k

值連續(xù)分布于某區(qū)間.相應(yīng)的完全性關(guān)系：13矢量的表示矢量(k)

為矢量在基矢k上的分量,它是k的連續(xù)的復(fù)函數(shù).內(nèi)積可以表示為:14算符的表示給定算符A，和關(guān)系式=A

有k

kAkdkk,

即(k)

A(k,k)(k)dk.

也即算符A在K表象中是變量k和k的雙變量函數(shù)A(k,k).15形式上,可以把(k),A(k,k)理解為下標(biāo)連續(xù)改變的矩陣:16§1.3.4坐標(biāo)表象1基矢以體系的Descartes直角坐標(biāo)本征態(tài)為基矢的表象稱為坐標(biāo)表象,或Schrodinger表象.選取全體Descartes直角坐標(biāo)為厄米算符完備組,可以證明,其本征值有連續(xù)譜,于是正交歸一化關(guān)系和完備性公式分別為:172態(tài)矢量|和坐標(biāo)算符函數(shù)的表示其中,是在|q上的本征值.進(jìn)而,183動量算符的表示利用原理3,即Heisenberg對易關(guān)系有我們知道(x)具有性質(zhì):19將與對比則知,若取如下形式可使上述等式恒成立.其中fr(q)是q的任意實函數(shù).20對于任意的fr(q),總可以進(jìn)行如下的幺正變換:(q)是任意實函數(shù).于是上式成為:進(jìn)而21因而,只要選擇(q)使得就有即(通過適當(dāng)選擇基矢的相因子)譬如:22于是,對于任一依賴于坐標(biāo)和動量的算符有小結(jié)在坐標(biāo)表象中，坐標(biāo)算符和動量算符對態(tài)矢量的作用,對應(yīng)于以下算符對波函數(shù)的作用:234動量本征態(tài)24§1.3.5動量表象1基矢以體系的動量本征態(tài)為基矢的表象稱為動量表象.選取全體動量為厄米算符完備組,可以證明,其本征值有連續(xù)譜,于是正交歸一化關(guān)系和完備性公式分別為:252態(tài)矢量|和動量算符函數(shù)的表示其中,是在|p上的本征值.263坐標(biāo)算符的表示類似的,利用Heisenberg對易關(guān)系,可以得到坐標(biāo)算符及其函數(shù)的表示:274坐標(biāo)本征態(tài)285兩種表象之間波函數(shù)的變換29§1.4矢量空間的直和與直積30,矢量空間R1,矢量空間R2,,R=R1R2§1.4.1直和空間31(i)直和空間中的三種運算加法

()+()=(+)(+);

在直和空間中的零矢量是O=O(1)O(2).數(shù)乘

a()=(a)(a);內(nèi)積

(

)()=+;32(ii)算符的直和直和空間中的算符A

L,作用為

(A

L)()=A

L加法

(A

L)+(B

M)=(A+B)(L+M)乘法

(A

L)(B

M)=AB

LM33(iii)直和空間的維數(shù)R1中基矢{i},i=1,2,…n1;

R2中基矢{m},m=1,2,…n2;

則直和空間的任意矢量=iiimmm故若取直和空間的基矢為:{iO(2),O(1)

m},i=1,2,…n1，m=1,2,…n2;

則任意矢量都可以寫成上述n1+n2個基矢的疊加,故直和空間維數(shù)

n=n1+n2.34(iv)直和空間中的矩陣表示取n1=2，n2=3,

基矢分別為{i},i=1,2;{m},m=1,2,3;如前所述,和的矩陣為:其中,i

=i,m=m.于是:35算符A

L的矩陣形式為在R1和R2空間中,算符A和L的矩陣形式為在直和空間中:36§1.4.2直積空間,矢量空間R1,矢量空間R2,,R=R1R2注:直積符號常省去不寫:=37(i)直積空間中的三種運算加法

+是一個新的矢量,

一般不能表為雙矢量的形式.(加法的單位元是O=O(1)O(2))數(shù)乘

a=(a)=(a);內(nèi)積

()()=;

直積的分配律(+)=+.38(ii)算符的直積算符A

L

定義為

(A

L)()=AL.算符運算有下列關(guān)系:(A+B)L=AL+BL;(AL)(BM)=ABLM.注:有時在直積空間中也說算符A或算符L,這時并不是指R1或R2中的算符,A是A

I(2)的簡寫,L是I(1)L的簡寫.若在直積空間中寫A+L,其意謂A+L=A

I(2)+I(1)L39(iii)直積空間的維數(shù)R1,

R2中基矢:{i,i=1,2,…n1};{m,m=1,2,…n2}.=imim(im)=i,m()imEim若在直積空間中取基矢{im,i=1,2,…n1,m=1,2,…n2}則可以疊加出所有的矢量，這些矢量用下標(biāo)i和m編號：

Eim=im=imEim共有個n1n2,即直積空間的維數(shù):n=n1n2.40(iv)直積空間中的矩陣表示取n1=2,n2=3,則的矩陣形式為41

直積算符A

L的矩陣形式是

(A

L)ij,mn=im

(A

L)jn=AijLmn.42譬如43§1.2基本原理原理1:

描寫微觀系統(tǒng)狀態(tài)的數(shù)學(xué)量是Hilbert空間中的矢量.相差一個復(fù)數(shù)因子的兩個矢量，描寫同一狀態(tài).Dirac:“量子力學(xué)…要求力學(xué)系統(tǒng)的態(tài)與力學(xué)變量,用一種相當(dāng)奇怪的方式互相聯(lián)系起來，這種方式從經(jīng)典觀點看來是不可理解的…”44原理2:(1)描寫微觀系統(tǒng)物理量的是Hilbert空間中的厄米算符；(2)物理量所能取的值，是相應(yīng)算符的本征值；(3)物理量A在狀態(tài)中取各值ai

的概率，與態(tài)矢量按A的歸一化本征矢量{ai}的展開式中ai的系數(shù)的復(fù)平方成正比.即與下式中ci

的復(fù)平方成正比:=iciai,ci=ai,其中，Aai=aiai,aiaj=ij

.45波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋波函數(shù)態(tài)矢量|在某一方向|q的投影q|，稱為態(tài)在該方向的波函數(shù),記為:

(q)=q|.如:(r)=r|,(p)=p|.在量子態(tài)|上測得|q的概率W(q)正比于波函數(shù)的模的平方,W(q)|(q)|2.46期望值既然在一個狀態(tài)中，物理量A取各值有確定的概率，那么就可求出A在這一狀態(tài)中的平均值，以表示之.平均值有時也稱為期望值.其中應(yīng)用了47原理3:

微觀系統(tǒng)中每個粒子的直角坐標(biāo)下的位置算符qi(i=1,2,3)，與相應(yīng)的正則動量算符pi有下列對易關(guān)系:(式中=h/2

為Planck常量)而不同粒子間的所有算符均相互對易.其實，同一粒子的不同自由度之間的算符也相互對易.48原理3實際上給出了通常所述的量子條件；存在非對易的物理量對應(yīng)的算符是量子力學(xué)最重要的特征，在上述對易關(guān)系中首次出現(xiàn)了Planck常量.運用原理3的基本量子條件，以及[u,v]=-[v,u];[u,c]=0;(c是數(shù))[u1+u2,v]=[u1,v]+[u2,v];[u,v1+v2]=[u,v1]+[u,v2];[u1u2,v]=[u1,v]u2+u1[u2,v];[u,v1v2]=[u,v1]v2+v1[u,v2];即可計算出基本算符函數(shù)之間的各對易關(guān)系式.49原理4:

微觀系統(tǒng)的狀態(tài)(t)隨時間變化的規(guī)律是Schrodinger

方程式中H=H(q,p,t)是系統(tǒng)的哈密頓算符.上式稱為含時Schrodinger

方程.50原理4規(guī)定了在給定外界環(huán)境的情況下，微觀系統(tǒng)的運動規(guī)律.當(dāng)哈密頓量不明顯含有時間時，哈密頓算符即是系統(tǒng)的能量算符，這時Schrodinger

方程可以將時間因子分離出來.令:(t)=f(t),由Schrodinger

方程，得進(jìn)而式中E

是分離變量常數(shù).51若H具有離散的本征值Ei,用i表示相應(yīng)的本征矢量,則

Hi=Ei

i,i=1,2,…(定態(tài)Schrodinger方程)這時，f(t)可解出為于是，Schrodinger

方程的一個特解為這樣的狀態(tài)稱為定態(tài).52含時Schrodinger

方程的解一般可以寫成所有定態(tài)解的疊加:其中，ci

是疊加系數(shù).53原理5:

描寫全同粒子系統(tǒng)的態(tài)矢量,對于任意一對粒子的對調(diào),是對稱的(對調(diào)前后完全相同)或反對稱的(對調(diào)前后差一個負(fù)號).服從前者的粒子稱為玻色子,服從后者的粒子稱為費米子.原理5指出,對于全同粒子系統(tǒng),在其Schrodinger

方程的全部數(shù)學(xué)解中,只有滿足對稱性或反對稱性的解,才能描寫系統(tǒng)的狀態(tài).54§1.3態(tài)疊加原理狀態(tài)疊加原理實際上已經(jīng)由上述5條原理所涵蓋,但鑒于疊加原理的重要性,本節(jié)再作一些說明.一、何為態(tài)的疊加?定義:

已知物理系統(tǒng)的兩個態(tài)|和|,如果存在系統(tǒng)的這樣一個態(tài)|,使得在它上面的測量,有一定的概率測得|的結(jié)果,有一定的概率測得|的結(jié)果,除此之外沒有其它可能的結(jié)果,則稱|為|和|的疊加,記為:|=|+|.55二、原理的表述若態(tài)|和|是系統(tǒng)的可能態(tài)，則它們的疊加態(tài)

|=c1|+c2|也是系統(tǒng)的可能態(tài)，而且，在不受外界干擾的情況下，它們的這種疊加關(guān)系保持不變.56三、推論推論1.一個態(tài)與自身疊加，仍是原來的態(tài).c1|+c2|=(c1+c2)|換言之,復(fù)數(shù)c與量子態(tài)|的數(shù)乘仍為同一量子態(tài).57推論2.若{ln(n=1,2,…)}是觀測量L的所有可能測得值的集合,|ln是測得值為ln

的態(tài),則系統(tǒng)的任一可測L的態(tài)|都可以寫成:故而,系統(tǒng)所有可能態(tài)的集合,對于上面定義的數(shù)乘和加法運算,構(gòu)成一個線性空間.在這個意義上,將量子態(tài)|稱為態(tài)矢量是名符其實的.58四、實驗綜合的結(jié)果電子雙縫實驗在雙縫后的干涉區(qū)域,既可測到來自縫1的態(tài)|1,又可測到來自縫2的態(tài)|2.而電子在此區(qū)域的態(tài)|是|1和|2的疊加:

|=|1+|2.Stern-Gerlach實驗用自旋投影取某一方向的銀原子束射入不均勻磁場,設(shè)射入前的自旋態(tài)為|S,其自旋與磁場方向成一角度.出射束一般分為自旋向上和自旋向下兩束,所以自旋態(tài)是這兩個態(tài)的疊加,可以寫成:|S=|+|.59§1.4不確定關(guān)系在第1節(jié)中,已指出了單個物理觀測量的算符,在數(shù)學(xué)上必須滿足的條件是:線性、厄米性、在態(tài)矢量空間內(nèi)作用以及本征態(tài)組有完備性.在這一節(jié)中,我們將要討論兩個觀測量的算符之間應(yīng)滿足的條件.60定理對于任意兩個物理觀測量算符和,在任一態(tài)|上同時測量它們,所得結(jié)果的均方差滿足如下不等式:其中,

61證明:對于任意一個歸一化態(tài)矢量|,令考慮到:有利用關(guān)系式(Schwarz不等式)即可得到定理中的結(jié)果.

得證.62Heisenberg不確定關(guān)系根據(jù)原理3以及上述定理,即可得到所謂的Heisenberg不確定關(guān)系:其中,是觀測量l的標(biāo)準(zhǔn)偏差.Heisenberg不確定關(guān)系表明:系統(tǒng)的正則坐標(biāo)與其正則共軛動量不可能同時測準(zhǔn),在原則上存在一個測量精度的下限.

在一定的意義下,它可以說是整個量子力學(xué)的物理基礎(chǔ).63例:設(shè)某時刻t,系統(tǒng)處于態(tài)則:繼而,可以計算得到:實際上,對于上述波函數(shù),等號成立.因而這種Gauss型波包又稱極小波包.64§2.5路徑積分已知在位置表象中其中稱為傳播子(propagator)(R.P.Feynman,1948)根據(jù)這里對于小時間間隔如果H顯含t,則取其在時間間隔的中點值.又知所以在動量表象中式中的積分為一標(biāo)準(zhǔn)Gaussian

積分故而進(jìn)而，取N這里式中的求和可以看作積分的Riemann和其中積分沿著路徑x=x()進(jìn)行,被積函數(shù)正是經(jīng)典力學(xué)中的LagrangianFunction.而沿著路徑積分正是經(jīng)典作用量故而在角動量的經(jīng)典定義中代入算符和，則得到角動量算符(1)(2)§3.1軌道角動量及其表示73即(3)§3.1軌道角動量及其表示74首先考慮到各個積的因子都是對易的厄米算符，也是厄米的.這可用如下方法證明：為了考察厄米算符的積在什么條件下也是厄米的，我們將其寫成(4)§3.1軌道角動量及其表示75由§3.1軌道角動量及其表示76因為所以總是厄米的；又只當(dāng)它是零時部分才是厄米的。由于角動量算符各個因子相互對易，故知其為厄米的。§3.1軌道角動量及其表示77另外，直接計算可知角動量分量的對易關(guān)系或簡略地記為或角動量的平方是它與角動量的所有分量都對易，即(5)(5a)(6)(7)§3.1軌道角動量及其表示78球坐標(biāo)中的角動量算符由變換及下列式子故而，譬如79§3.1軌道角動量及其表示得到以及其中，表示Laplace算符僅對角變量作用部分。(8)(9)80考慮到相互對易，我們可以得到它們的共同本征矢這里關(guān)于的值尚未作出任何假設(shè).首先，由

的算符表示，易知有進(jìn)而將其代入的表示式中，則得的共同本征函數(shù)(10)(11)81從而，我們看到在(10)中和的耦合得到了分離.首先，由(11)容易得解的部分為：其次，方程(12)等價于締合Legendre

方程，我們將用表示其解,所以所謂的Legendre

方程是指：(12)(13)§3.1軌道角動量及其表示82方程(14)的解為Legendre

多項式Pn(x).締合Legrendre方程：方程(15)的解是締合Legendre

多項式(14)(15)§3.1軌道角動量及其表示83實際上，在角動量共同本征方程含部分即(12)中,若令x=

cos我們即可將其化為相應(yīng)的締合Legrendre方程.如前所述，到目前為止，我們還未對的取值做任何假設(shè)；若單純從和的微分方程(11)和(12)來考察，則對于參數(shù)和的任何取值，這兩個方程都有解。§3.1軌道角動量及其表示84因此，對于本征值的限制就只能來自于邊界條件了：若我們要求解對于旋轉(zhuǎn)單值—就是說假設(shè)Y()=Y()—則m就必須是一個整數(shù)了；另外,注意到方程(12)存在兩個奇點和，按照有關(guān)Legendre方程的標(biāo)準(zhǔn)理論，如果要求解在奇點非奇異(nonsingular)，則參數(shù)在這些假設(shè)下所生成的解就是眾所周知的球諧函數(shù)(sphericalharmonics):§3.1軌道角動量及其表示85這里，即為締合Legendre

多項式。球諧函數(shù)組成一正交基：(16)(17)§3.1軌道角動量及其表示86值得指出的是，單值性、非奇異性的假設(shè)在經(jīng)典場論(比如電磁場)中可直接驗證，因為場是可觀察量；但在量子理論中，態(tài)函數(shù)

沒有這樣的直接物理意義，因此這樣的經(jīng)典邊界條件不能像經(jīng)典場論中般驗證.單值性要求–A在旋轉(zhuǎn)2時應(yīng)不變；非奇異性要求–||2因該可積.§3.1軌道角動量及其表示87§3.2角動量及其表示下面的討論將不僅限于軌道角動量：仿照軌道角動量的對易性質(zhì)，一般地，假設(shè)：這些算符是厄米的：(18)88角動量算符的本征值譜僅從上述方程即可確定.下面我們就來詳細(xì)的介紹這一確定過程：首先，引進(jìn)如下幾個算符(19)§3.2角動量及其表示89它們與算符J

之間存在如下對易關(guān)系(利用(18)式)與軌道角動量相似，設(shè)有(21a)(22)這里用表示J2和Jz的共同本征矢量.(20)(21b)(21c)§3.2角動量及其表示90下面確定無量綱量和m，即本征值譜.首先，由又同理知m2.因此，對于固定的值而言，m必定存在極大和極小值。(23)§3.2角動量及其表示91其次，利用(21a)、(21b)得因此，，也是的本征值分別為和的本征矢。然而，如前所述，對于固定的值，m存在極大和極小值，若我們用j,k

表示其極大、極小值，則必有(24a)(24b)(25a)(25b)§3.2角動量及其表示92以J-乘以(25a),故同理，以J+乘以(25b),可見k

=-j.和j,k之關(guān)系(26)(27)93因此存在一個相應(yīng)于的本征矢量集合，其中各本征值間有整數(shù)間隔.繼而，極大j、極小-j之差既然為整數(shù)，故而必定有

j=integer/2.§3.2角動量及其表示94對于確定的j,有2j+1個m值：(28)§3.2角動量及其表示95接下來，我們將采用一個更常用的符號j代替，其中，相應(yīng)的，本征矢量也以j,m表示.下面具體計算§3.2角動量及其表示96由上知道故而利用得(29)(30)§3.2角動量及其表示97考慮到在基本本征方程中，相因子不定.方便的做法是選擇C的相因子為正實數(shù),并確定|j,m和|j,m+1的相對相因子.得到(31)§3.2角動量及其表示98同樣的，可以得到現(xiàn)在可以用共同本征矢|j,m來構(gòu)成J各分量的矩陣元；首先，很明顯(32)(33)§3.2角動量及其表示99其次，易證對于jj,J分量的矩陣元必為0.因為故而(34)§3.2角動量及其表示100為了求得Jx,Jy的矩陣元，方便的方法是利用并直接利用(31),(32),譬如矩陣可直接得到為：§3.2角動量及其表示101(35)102由于所以J-對應(yīng)的矩陣即為(35)之轉(zhuǎn)置矩陣。進(jìn)而，Jx,Jy的矩陣已容易得到了!§3.2角動量及其表示103第3章角動量§3.3作為旋轉(zhuǎn)變換之生成元的角動量3.3.1

態(tài)和算符的變換生成元現(xiàn)代物理學(xué)相信自然在一定的時-空對稱操作下不變；它們包括：平移、旋轉(zhuǎn)和相對作均勻運動的參考系之間的變換.相應(yīng)于每一這樣的時-空變換，必定有態(tài)和算符的變換：AA和.105上述這些變換必須滿足如下關(guān)系：(1)如果Anann，那么An=ann.(2)如果=ncnn，其中{n}是A的本征矢，則變換后的態(tài)矢=ncnn

，其中{n}是A的本征矢.兩個態(tài)矢之間必須滿足關(guān)系|cn|2=|cn|2；即|n||2=|n||2.3.3.1態(tài)和算符的變換生成元106數(shù)學(xué)上可以證明(Wigner

定理)，對應(yīng)于上述操作的算符一定是幺正算符(連續(xù)對稱變換)、或反幺正算符(離散對稱變換).對于旋轉(zhuǎn)、平移和相對于慣性系的對稱變換而言，由于他們都是連續(xù)變換，故而均由幺正算符描述.3.3.1態(tài)和算符的變換生成元107用U表示描述上述對稱操作的幺正算符，于是利用得3.3.1態(tài)和算符的變換生成元108現(xiàn)在考慮一族依賴于單個連續(xù)參量s的幺正算符U(s),并令U(0)=I

為單位算符以及U(s1+s2)=U(s1)U(s2).(36)考慮s非常小的情況，即無窮小幺正變換，此時有幺正條件要求等于I

(不依賴于s).因此3.3.1態(tài)和算符的變換生成元109其中，厄米算符K稱作該族幺正算符的生成元，因為它確定了U(s).生成元K

不僅確定無窮小U(s),而且能夠確定任意有限大小的U(s)，這可從對s2微分看出，利用(37)得(37)3.3.1態(tài)和算符的變換生成元110考慮到初始條件U(0)=I,積分上式(38)3.3.1態(tài)和算符的變換生成元1113.3.2

Galilei

群的生成元如上所述，時-空對稱變換包括旋轉(zhuǎn)、平移和相對于慣性系的對稱變換.一般而言，后者由Lorentz

變換描述，但是如果只限于低速運動情形，則其可由Galilei

變換代替.所有這些變換的集合即稱之為Galilei

群3.3.2Galilei

群的生成元112變換效果為：其中，R:一次旋轉(zhuǎn)(33矩陣)，a:一次平移，v:運動坐標(biāo)變換速度，s:時間平移。下面令表示一次這樣的變換.另外，令，即若則(39)3.3.2Galilei

群的生成元113因此，相應(yīng)于空-時變換，有幺正算符U()使得而由；表示相同的態(tài)，故而其中，為相因子。(40)3.3.2Galilei

群的生成元114當(dāng)將態(tài)矢表示為空-時坐標(biāo)的函數(shù)時，在函數(shù)空間和坐標(biāo)空間之間存在一個重要的逆關(guān)系：(41)這里，被變換到一新的函數(shù)如圖所示3.3.2Galilei

群的生成元115由記則根據(jù)定義最終3.3.2Galilei

群的生成元116如前所述，任一單參數(shù)幺正算符群都能表示為一個厄米生成元的指數(shù)形式.上述Galilei

群則包含有10個參數(shù)：3個旋轉(zhuǎn)角、3個空間平移、3個速度分量和1個時間平移.因而相應(yīng)的幺正算符可以表達(dá)為其中，s

表示定義相應(yīng)變換的10個參數(shù).(42)3.3.2Galilei

群的生成元117可以證明，分別相應(yīng)于旋轉(zhuǎn)、空間平移和時間平移的幺正算符如下：其中，J,P

和H即為角動量，動量和能量算符.3.3.2Galilei

群的生成元118§3.4角動量算符的明確形式如上所述，相應(yīng)于繞一軸旋轉(zhuǎn)角的幺正算符可以表示為其中，表示沿轉(zhuǎn)軸的單位矢量。(43)1191、單分量態(tài)函數(shù)情況令為一在坐標(biāo)表象中的單分量態(tài)函數(shù)，則經(jīng)一旋轉(zhuǎn)變換后為其中，R是(43)形式的算符，R-1是33的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)矩陣的逆矩陣。譬如對于直角坐標(biāo)的三個軸：(44)120對于繞z軸旋轉(zhuǎn)角，(44)式成為若是一無窮小角度，則可將上式展開并保留到一階項：121將此式與(43)式的一階展開比較得到此式當(dāng)然與我們直接由L

=r

p

求得的結(jié)果相一致。1222、多分量態(tài)函數(shù)情況多分量態(tài)函數(shù)的旋轉(zhuǎn)變換，在最一般的情況下可以表達(dá)為除了坐標(biāo)變換R-1x，還有一矩陣D

作用于內(nèi)稟自由度；即其形成態(tài)函數(shù)各分量的線性組合。(45)123因此，(43)式幺正算符的普遍形式為它的兩個因子相互對易，因為第一個作用于坐標(biāo)x,

而第二個作用于列矢量的分量.幺正矩陣D可以寫作(46)(47)124其中，S=(Sx,Sy,Sz)為厄米矩陣.將(47)代入(46)并與(43)比較，我們看到角動量算符的形式為

J=L+S(48)這里L(fēng)

=r

p

，[L,S]=0(=x,y,z).算符L

和S

分別稱為角動量的軌道部分和自旋部分.125如同泡利原理，自旋也以完全沒有經(jīng)典物理類似的現(xiàn)象首先出現(xiàn)在量子力學(xué)中.鑒于有些實驗現(xiàn)象無法用經(jīng)典物理解釋：1925年古德史密特(Goudsmit)和烏倫貝克(Uhlenbeck)作出假設(shè)：

每個電子有?/2的內(nèi)在角動量(自旋),故有相當(dāng)于一個波爾磁子的磁矩B|e|?/2mc.§3.5自旋126斯特恩-蓋拉赫實驗：一束處于基態(tài)的氫原子在非均勻磁場中分裂成兩束：原子處于基態(tài)，即其電子處于1s態(tài)，故無軌道角動量，因而氫原子不應(yīng)有磁矩；但是卻觀察到原子束分裂成二束，這種分裂源于力此分裂啟發(fā)了電子有內(nèi)在磁矩之假設(shè)；由于原子束分裂成強(qiáng)度相等的二束，意味著全部電子具有絕對值相等的磁矩，且有二種可能取向，即平行于或反平行于磁場。斯特恩-蓋拉赫實驗127原子光譜多重分裂原子光譜多重分裂實驗進(jìn)一步證明了電子自旋的存在.雖然2p能級是三重簡并(m=0,1),能被外場消除，然而在沒有外場時，也能觀察到雙分裂譜線。這種分裂可以假設(shè)電子存在自旋而得到解釋.128實際上，在所有原子中，都能觀察到由自旋引起的譜線分裂，稱之為多重結(jié)構(gòu).按照經(jīng)典物理，由軌道運動引起的磁矩為其中是電流密度，L是軌道角動量定義波爾磁子以后將會知道，軌道角動量的z分量按下式量子化129由上式知，對每個l，有2l+1種可能的磁矩取向[即(2l+1)個ml值].對于自旋，只有二種不同取向，因此類似的，自旋平行于場的分量只能是半個Planck

常數(shù)由于故而可見，電子自旋，內(nèi)在角動量為130自旋的數(shù)學(xué)描述自旋是一種角動量，故其數(shù)學(xué)描述類似于軌道角動量的有關(guān)公式；實驗結(jié)果表明存在自旋矢量S={Sx,Sy,Sz},它應(yīng)該對應(yīng)于角動量算符，而角動量算符的重要特征是它的對易關(guān)系，仿此，自旋算符應(yīng)有

SiSj–SjSi=i?ijkSk,(i,j=x,y,z)(1)131自旋只有兩種取向，從而也只有二個本征值，所以自旋矩陣必定是22階的，為了表示自旋算符，通常使用泡利矩陣i.定義對易關(guān)系成為(2)下面以z軸作為‘量子化方向’，數(shù)學(xué)上意味著自旋函數(shù)由矩陣z的本征函數(shù)給出:132矩陣z在自身表象中對角，矩陣x和y在自身表象中有類似的關(guān)系式，由于單位矩陣在不同表象中不變，故而下列算式在不同表象中都成立(3)133為了求得在z表象中的x和y,用y分別左乘和右乘(2)式中的第二式并將二者相加，得即對于其他分量，有類似的等式.(4)134即泡利矩陣反對稱或?qū)懗衫?3)、(6),最終可求得在z表象中的這三個矩陣連同單位陣一起是四個互為線性獨立的矩陣，這四個矩陣可以作為一組基用于描述其他僅有二種狀態(tài)的物理量.(5)(6)(7)135總自旋是另外，易證(8)(9)136首先，既然已知J

和L

分別滿足由J=L+S，故以前有關(guān)本征值問題的討論因而同樣適用于S：其中，而(49)(50)137Sx,Sy,Sz

為作用于由(50)的2s+1維本征矢的算符。下面討論最常見的幾種情況：(i),s=1/2這種情況我們以前曾經(jīng)作過討論，現(xiàn)在再回顧一下其中的主要結(jié)論：138首先其中稱作Pauli矩陣，它們?yōu)?39Pauli矩陣滿足和或140相應(yīng)于方向的自旋分量為其中直接計算可知上面的矩陣之本征值為+1和-1,141而相應(yīng)的本征矢量(未歸一化)為歸一化后為在態(tài)矢中，只有分量間的相對幅度、相對相位才是有物理意義的，而模或共同的相位是無關(guān)緊要的.考察上面第１個本征矢，我們看到通過調(diào)節(jié)和，就可得到任意的相對幅度（相位），反之，任意２-分量矢量的相對幅度和相位也能唯一確定和，因此，對于s=?的系統(tǒng)，任一純態(tài)矢都可以被認(rèn)為是對應(yīng)于某一方向的本征值為的自旋分量的本征矢。142自旋1/2空間中的態(tài)算符對于一個可由4個分量，即22矩陣描述的態(tài)算符,總可以表示為1，x，y和z的線性組合因子1/2的引入使得.參數(shù)a必須為實數(shù)以保證的厄米性質(zhì).下面考察這些參數(shù)的意義：(51)143由知通常稱a為態(tài)的極化矢量(polarizationvector).144(ii),s=1利用上已述及的矩陣145可以求得s=1的自旋矩陣為而自旋方向的自旋分量矩陣為(52)146相應(yīng)的本征值和本征矢為147注意：與s=?的情況不同，在s=1的情況下，并非任一矢量一定是對應(yīng)于自旋在某一方向的分量的本征矢。這是因為現(xiàn)在須4個實參數(shù)才能確定相對幅度和相位，然而，上述本征矢僅包含和兩參數(shù).另外，一般而言，一個態(tài)算符(33矩陣)將依賴于8個參數(shù)(注意).極化矢量僅提供了3個參數(shù)，因而極化矢量不再能夠唯一確定態(tài).148(iii),s=3/2首先，對應(yīng)于這種情況的自旋矩陣也容易仿照上一情況根據(jù)前面的表格得到(不再寫出),即為一44矩陣.當(dāng)然仍然滿足149§3.6角動量耦合(相加)現(xiàn)在考慮2-分量系統(tǒng)，兩個角動量J(1)和J(2)合成一總角動量J的情況：J=J(1)

+J(2)這里J(1)和J(2)既可是分屬于兩個粒子的角動量，也可是同一粒子的軌道和自旋角動量.當(dāng)然，(53)式更嚴(yán)格的寫法為J=J(1)

1+1J(2)(53)150首先，復(fù)合系統(tǒng)的基矢為它們是4個對易算符的本征值為的共同本征矢.(54)151而我們關(guān)心的是對應(yīng)于總角動量算符J2和Jz的共同本征矢|J,M,對應(yīng)本征值分別為:顯然，-JM

J

.若分系統(tǒng)之間無耦合，則復(fù)合系統(tǒng)的態(tài)矢即為子系統(tǒng)態(tài)矢乘積組成的純態(tài)，而如存在耦合，則復(fù)合系統(tǒng)的態(tài)矢將由(54)的線性組合構(gòu)成.152容易證明J(1)·

J(1),J(2)·

J(2),J2

和Jz

相互對易，因此，他們擁有共同的完備本征矢集合,我們將這些本征矢表示為|j1,j2,J,M，且有下面我們將把注意力限制于j1和j2為常數(shù)的維數(shù)為(2j1+1)(2j2+1)的矢量空間，這是因為(54)形式的積矢量的集合{|j1,j2,m1,m2}和總角動量的本征矢集合{|J,M}都是J(1)·

J(1),J(2)·

J(2)的本征矢,因而，在這兩個集合中j1和j2皆為常數(shù).

(55)153在(55)中，稱為Clebsch-Gordan

(CG)系數(shù).在我們明確計算CG系數(shù)之前，先考慮量子數(shù)J,M與j1,j2,m1和m2之間的關(guān)系:(56)154首先由(為了方便暫時假定)其中和知(57)155從而當(dāng)時，CG系數(shù)等于0.這意味著(55)中的雙重求和化為一單重和角動量守恒由關(guān)系式M=m1+m2表達(dá).(58)156另外還需計算由定義的量子數(shù)J的可能取值.根據(jù)M=m1+m2，M

的最大值是此值(58)中出現(xiàn)一次，即僅當(dāng)時.這表明稱之為Jmax

的本征值J必等于(59)(60)157次大的M值是，它出現(xiàn)兩次，即由于M

按整數(shù)步長取的所有值，(61)兩個態(tài)的兩個可能的、線性無關(guān)的組合中的一個必須屬于；至于另一個，由于不存在

J>Jmax=j1+j2

的態(tài)，故而它必定屬于態(tài)(61)(62)(63)158易知,具有M=j1+j2-1

的相應(yīng)于(63)形式的態(tài)只能有一個.繼續(xù)這樣的討論，我們將看到對于J，所有對應(yīng)于的值正好出現(xiàn)一次，稱之為三角規(guī)則.(64)159上述三角規(guī)則告訴我們兩個角動量j1,j2僅能組合形成這樣一個合成的總角動量J,這與矢量加法一致(如圖所示).160進(jìn)而，可以計算耦合態(tài)的數(shù)目如預(yù)期的等于態(tài)的數(shù)目.(65)161Clebsch-Gordan

系數(shù)的計算如上(56)所述，的展開系數(shù)稱為CG系數(shù).由于各|j1,j2,J,M的相對相因子未確定，所以CG系數(shù)的相還未被定義;通常這樣選擇|j1,j2,J,M的相因子以使得CG系數(shù)為實數(shù).(66)162另外，考慮到(66)是由一組正交基到另外一組正交基的變換，故而163雖然十分復(fù)雜，但對CG系數(shù)導(dǎo)出明晰的關(guān)系式仍然是可能的.下面我們先來看一個最簡單的特殊情況：即

j1=?,j2=?.當(dāng)J,M

取它們最大可能值J=M=1,此時(66)式中的求和僅包含1項，即上式左、右均為模為1的矢量，故而(67)164現(xiàn)將算符作用于(67)并考慮到有(68)165進(jìn)而將算符J-

作用于(68)式，得因而對于這一特殊情況，我們有下表所示結(jié)果(69)166在表中前3列即為(67)、(68)和(69)的結(jié)果；第4列(單重態(tài)|0,0)是這樣得到的，即要求|0,0與三重態(tài)均正交并滿足前述相的約定(CG系數(shù)為實數(shù)).以上考慮的是特殊情況，下面我們研究普遍情況.167遞推關(guān)系類似于上例，若將J-

作用于(66)式，可得(70)168將(70)與下式比較：得到(71)169對于上升算符有相似的結(jié)果如下：(71)、(72)為計算CG系數(shù)的遞推關(guān)系式,它允許我們對相同的總角動量J

，導(dǎo)出具有相同的j1和j2,但不同的M

的CG系數(shù)；它有著許多實際的應(yīng)用，其中之一是將其應(yīng)用于的情況,如自旋-軌道耦合.(72)170在(71)中，若令m2=?則其右端的第二項將為0，從而以置換，得(73)171對于的情況，重復(fù)應(yīng)用(73)直至M達(dá)到其最大值：172上式中最后一CG系數(shù)所以所有其他CG系數(shù)皆可得到了,如下表左上一項所示：173相似的，左下一項可由遞推關(guān)系(72)由導(dǎo)出.但是更方便的是由的歸一化，因此表中左一列兩項的平方和必定等于1而得到.表中右一列中各項可經(jīng)由要求矢量歸一化并與正交而確定.174作業(yè)考慮一由兩個自旋?的粒子組成的系統(tǒng)，試計算算符(1)(2)的本征值和本征矢.使用m1m2作為基矢量,這里m1,m2分別為z(1),z(2)的本征矢.175§3.6角動量耦合(相加)現(xiàn)在考慮2-分量系統(tǒng)，兩個角動量J(1)和J(2)合成一總角動量J的情況：J=J(1)

+J(2)這里J(1)和J(2)既可是分屬于兩個粒子的角動量，也可是同一粒子的軌道和自旋角動量.當(dāng)然，(53)式更嚴(yán)格的寫法為J=J(1)

1+1J(2)(53)176首先，復(fù)合系統(tǒng)的基矢為它們是4個對易算符的本征值為的共同本征矢.(54)177而我們關(guān)心的是對應(yīng)于總角動量算符J2和Jz的共同本征矢|J,M,對應(yīng)本征值分別為:顯然，-JM

J

.若分系統(tǒng)之間無耦合，則復(fù)合系統(tǒng)的態(tài)矢即為子系統(tǒng)態(tài)矢乘積組成的純態(tài)，而如存在耦合，則復(fù)合系統(tǒng)的態(tài)矢將由(54)的線性組合構(gòu)成.178容易證明J(1)·

J(1),J(2)·

J(2),J2

和Jz

相互對易，因此，他們擁有共同的完備本征矢集合,我們將這些本征矢表示為|j1,j2,J,M，且有下面我們將把注意力限制于j1和j2為常數(shù)的維數(shù)為(2j1+1)(2j2+1)的矢量空間，這是因為(54)形式的積矢量的集合{|j1,j2,m1,m2}和總角動量的本征矢集合{|J,M}都是J(1)·

J(1),J(2)·

J(2)的本征矢,因而，在這兩個集合中j1和j2皆為常數(shù).

(55)179在(55)中，稱為Clebsch-Gordan

(CG)系數(shù).在我們明確計算CG系數(shù)之前，先考慮量子數(shù)J,M與j1,j2,m1和m2之間的關(guān)系:(56)180首先由(為了方便暫時假定)其中和知(57)181從而當(dāng)時，CG系數(shù)等于0.這意味著(55)中的雙重求和化為一單重和角動量守恒由關(guān)系式M=m1+m2表達(dá).(58)182另外還需計算由定義的量子數(shù)J的可能取值.根據(jù)M=m1+m2，M

的最大值是此值(58)中出現(xiàn)一次，即僅當(dāng)時.這表明稱之為Jmax

的本征值J必等于(59)(60)183次大的M值是，它出現(xiàn)兩次，即由于M

按整數(shù)步長取的所有值，(61)兩個態(tài)的兩個可能的、線性無關(guān)的組合中的一個必須屬于；至于另一個，由于不存在

J>Jmax=j1+j2

的態(tài)，故而它必定屬于態(tài)(61)(62)(63)184易知,具有M=j1+j2-1

的相應(yīng)于(63)形式的態(tài)只能有一個.繼續(xù)這樣的討論，我們將看到對于J，所有對應(yīng)于的值正好出現(xiàn)一次，稱之為三角規(guī)則.(64)185上述三角規(guī)則告訴我們兩個角動量j1,j2僅能組合形成這樣一個合成的總角動量J,這與矢量加法一致(如圖所示).186進(jìn)而，可以計算耦合態(tài)的數(shù)目如預(yù)期的等于態(tài)的數(shù)目.(65)187Clebsch-Gordan

系數(shù)的計算如上(56)所述，的展開系數(shù)稱為CG系數(shù).由于各|j1,j2,J,M的相對相因子未確定，所以CG系數(shù)的相還未被定義;通常這樣選擇|j1,j2,J,M的相因子以使得CG系數(shù)為實數(shù).(66)188另外，考慮到(66)是由一組正交基到另外一組正交基的變換，故而189雖然十分復(fù)雜，但對CG系數(shù)導(dǎo)出明晰的關(guān)系式仍然是可能的.下面我們先來看一個最簡單的特殊情況：即

j1=?,j2=?.當(dāng)J,M

取它們最大可能值J=M=1,此時(66)式中的求和僅包含1項，即上式左、右均為模為1的矢量，故而(67)190現(xiàn)將算符作用于(67)并考慮到有(68)191進(jìn)而將算符J-

作用于(68)式，得因而對于這一特殊情況，我們有下表所示結(jié)果(69)192在表中前3列即為(67)、(68)和(69)的結(jié)果；第4列(單重態(tài)|0,0)是這樣得到的，即要求|0,0與三重態(tài)均正交并滿足前述相的約定(CG系數(shù)為實數(shù)).以上考慮的是特殊情況，下面我們研究普遍情況.193遞推關(guān)系類似于上例，若將J-

作用于(66)式，可得(70)194將(70)與下式比較：得到(71)195對于上升算符有相似的結(jié)果如下：(71)、(72)為計算CG系數(shù)的遞推關(guān)系式,它允許我們對相同的總角動量J

，導(dǎo)出具有相同的j1和j2,但不同的M

的CG系數(shù)；它有著許多實際的應(yīng)用，其中之一是將其應(yīng)用于的情況,如自旋-軌道耦合.(72)196在(71)中，若令m2=?則其右端的第二項將為0，從而以置換，得(73)197對于的情況，重復(fù)應(yīng)用(73)直至M達(dá)到其最大值：198上式中最后一CG系數(shù)所以所有其他CG系數(shù)皆可得到了,如下表左上一項所示：199相似的，左下一項可由遞推關(guān)系(72)由導(dǎo)出.但是更方便的是由的歸一化，因此表中左一列兩項的平方和必定等于1而得到.表中右一列中各項可經(jīng)由要求矢量歸一化并與正交而確定.200作業(yè)考慮一由兩個自旋?的粒子組成的系統(tǒng)，試計算算符(1)(2)的本征值和本征矢.使用m1m2作為基矢量,這里m1,m2分別為z(1),z(2)的本征矢.201第4章對稱性理論‘對稱性’的含義是什么?第一、對稱的(symmetric)即意味著是勻稱和協(xié)調(diào)的;而對稱性(symmetry)則表示結(jié)合成整體的各部分之間所具有的那種和諧性。優(yōu)美(beauty)是與對稱性緊密相關(guān)的,就此而言,對稱性涉及的范圍決不只限于空間中的物體。當(dāng)用于聲學(xué)和音樂，而不是幾何對象時,它的同義詞‘和諧’更能表達(dá)其意義。第二、一個物體，或說一個空間構(gòu)形，在空間反射、平移及旋轉(zhuǎn)等操作下的不變性(這是近代使用對稱這詞所指的意思)。203204§4.1經(jīng)典物理中的對稱性在經(jīng)典物理中,對稱性的分析往往能夠簡化解的過程.諾瑟定理:若Euler-Lagrange方程在坐標(biāo)變換下不變,則存在一運動積分,即一守恒量.舉例如下:205a)空間均勻性

在空間所有位置r,空間具有相同的結(jié)構(gòu).這意味著給定的物理問題的解在平移下不變.為了明確起見，定義:空間均勻當(dāng)坐標(biāo)ri

以ri+a

替代時L保持不變孤立系統(tǒng)的空間均勻性動量守恒206于是,對任意的a,下式成立其中,(1)(1)x,y,z方向的單位矢量.207(拉格朗日方程)Px=常數(shù)(Px:總動量x分量)208b)時間均勻性時間均勻性意味著在孤立體系中,相對于時間的平移,自然定律的不變性,即它們在時刻t+t0與時刻t具有相同的形式。上述含義在數(shù)學(xué)上由拉格朗日函數(shù)不顯含時間表現(xiàn)出來,即(2)209(2)210(正則動量)H=常數(shù)(H:代表系統(tǒng)的總能量)211c)空間各向同性空間各向同性意味著沿所有方向,空間具有相同的結(jié)構(gòu).一個孤立體系當(dāng)整體在空間中任意轉(zhuǎn)動時,其力學(xué)性質(zhì)保持不變,在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為拉格朗日函數(shù)L

在轉(zhuǎn)動下的不變性.212考慮無窮小轉(zhuǎn)動:注:其實,通過轉(zhuǎn)動所有的矢量皆通過相同的方式改變,速度亦然.(3)213考慮到L

在轉(zhuǎn)動下的不變性,即(4)正則動量:Lagrange方程:(5)(6)214將(3),(5)和(6)代入(4),得角動量:(角動量守恒)215§4.2量子力學(xué)中的對稱性無論就對稱性的種類和程度而言,量子力學(xué)中的對稱性都高于經(jīng)典力學(xué):

一方面,經(jīng)典力學(xué)中存在的對稱性如:平移、旋轉(zhuǎn)和相對作均勻運動的參考系之間的變換等在量子力學(xué)中也都對應(yīng)存在;

另一方面,量子力學(xué)中存在一些經(jīng)典力學(xué)中所沒有的對稱性,如:全同性原理.216在位形空間中的變換rr可表示為:就波函數(shù)而言,變換以后的波函數(shù)在r的值應(yīng)等于變換之前的波函數(shù)在r

處之值,即或(7a)(7b)217在Hilbert空間,經(jīng)過位形空間的變換T:

AA;數(shù)學(xué)上,對于上述Hilbert空間的變換,可以證明如下的Wigner

定理:注:上述討論雖然僅對位置空間而言,但有關(guān)時間的變換也完全類似.218Wigner

定理對應(yīng)于滿足下述條件(1)和(2)之操作的算符一定是幺正算符、或反幺正算符:(1)如果Anann,那么An=ann.(2)如果=ncnn,則=ncnn,且|cn|2=|c