1、專題三高考中的數列問題1.數列 an 的前 n 項和記為Sn， a1 1，an 1 2Sn1(n 1)(1)求 an 的通項公式；(2)等差數列 bn 的各項為正，其前n 項和為 Tn，且 T3 15，又 a1 b1， a2 b2， a3 b3成等比數列，求 Tn.解析 (1)由 an 1 2Sn1，可得an 2Sn 1 1(n 2)，兩式相減得an1 an 2an，則 an13an(n 2)又 a2 2S1 1 3，a2 3a1.故 an 是首項為 1，公比為 3 等比數列，an 3n1.(2)設 bn 的公差為 d，由 T3 15， b1 b2 b3 15，可得 b2 5，故可設 b1 5

2、 d， b3 5 d，又 a1 1， a2 3，a3 9，由題意可得 (5 d1)(5 d 9) (5 3)2，解得 d12， d2 10.等差數列 bn 的各項為正， d>0，n n 1d 2，b1 3，Tn3n× 2 n2 2n.22 (2015 濰·坊模擬 )在等比數列 an 中，已知a1 3，公比 q 1，等差數列 bn 滿足 b1a1， b4 a2， b13 a3.(1)求數列 an 與 bn 的通項公式；n(2)記 cn ( 1) bn an，求數列 cn 的前 n 項和 Sn.由已知得： a2 3q，a3 3q2，b1 3， b4 3 3d， b13 3

3、12d，3q 3 3d，q 1 d，? q 3 或 q 1(舍去 )，3q2 3 12dq2 14d所以此時 d 2，所以 an3n，bn 2n 1.n (1)nn an (1) nn，(2)由題意得： cb(2n 1) 3Sn c1 c2 cn ( 3 5)( 7 9) ( 1)n1 (2n1) (1)n(2n1) 3 32 3n，3n133n 13當 n 為偶數時， Sn n 222 n2，當 n 為奇數時， Sn (n 1) (2n 1)3n 133n1n7，22223n132 n 2，n為偶數，所以 Sn3n172 n 2，n為奇數 .3 (文 )(2014 福·建高考 )在

4、等比數列 an 中， a2 3，a5 81.(1)求 an；(2)設 bn log 3an，求數列 bn 的前 n 項和 Sn.解析 (1)設 an 的公比為q，依題意得a1q 3，a1 1，14 81，解得q 3.a q因此， an3n 1.(2)因為 bn log3an n 1，n b1 bnn2 n.所以數列 bn 的前 n 項和 Sn22(理 )(2014 浙·江高考 ) 已知數列 an 和 bn 滿足 a1a2 a3an(2)bn(n N * )若 an 為等比數列，且 a12， b3 6 b2 .(1)求 an 與 bn；(2)設 cn 1 1(n N* )記數列 cn

5、的前 n 項和為 Sn.anbn求 Sn；求正整數k，使得對任意nN * 均有 Sk Sn.解析 (1)設 an 的公比為q.a1a2 an (2)bna1·a1q·a1q2 a1qn1 (2)bn又a1 2， an1·q1 23 n 1 ( 2)bn即 2n·qn n 1 2bn，(2qn 1)n 2bn22223b31 2b2(2q) 2 2 ， (2q2) 22解得： 3b2 b3 6又b3 b2 6，b2 6，b3 12，q 2.an 2n； bn n(n1) 1111111(2)Cn an bn2n n n 12n n 1 nn11111111

6、11122 221n)( )S(23243n 1123n11 1 2n1111111 ·12n1n2n 1n 1n121 2Sn11 )nn 12 (nN( )令 Sn 1 Sn11112n1 nn2n 12 n11n 1 n2 2n 11n1n 1 n 22 n 1 n22 由于指數函數2n1 比 (n 1)(n 2)變化快令Sn1 Sn>0 得 n<4S1， S2， S3， S4 遞增，而S4， S5， S6 Sn 遞減S4 最大，當 k 4 時， Sk Sn.4(2015 ·州模擬廣 )某學校餐廳為了保證每天供應1000 名學生用餐， 每星期一都提供有A，

7、B 兩種菜可供學生選擇(每個學生都將從二種中選一種)，經調查， 凡是在本周星期一選 A菜的，下周星期一會有20%改選 B，而選 B 菜的，下周星期一則有30% 改選 A用 an，bn分別表示在第 n 個星期一選 A， B 菜的人數 ( a1， b1 表示本周星期一選A， B 菜人數 )，若 a1200.(1)試以 an 表示 an 1.1)n 1(2)證明： an 的通項公式是 an (400) ·( 600.2(3)試問從第幾個星期一開始，選A 的人數超過選B 的人數？解析 (1)由題可知，因為在本周星期一選A 菜的，下周星期一會有 20%改選 B，而選B 菜的，下周星期一則有30

8、%改選 A，所以 an1ann，·(1 0.2) 0.3 b·1又 an bn 1000，所以整理得：an 1 2an 300.1(2)因為 a1 200，且 an1 2an 300，所以 an1 6001(an 600)，2即 an600 可以看成是首項為400，公比為12的等比數列，1 n 1所以 an( 400) ·( 600.2)(3)由 an bn 1000，an>bn，得 an>500，1 n 1又 an ( 400) ·() 600，2所以 (12)n1<14，即 n>3.答：從第 4 個星期一開始，選A 的人數超過

9、選B 的人數 .1.在公差為 d(d 0)的等差數列 an 和公比為 q 的等比數列 bn 中， a2 b1 3，a5 b2，a14 b3.(1)求數列 an 和 bn 的通項公式；(2)令 cn an·bn，求數列 cn 的前 n 項和 Tn.解析 2 b1 3， a5 b2， a14 b3，(1)因為 a3 3d 3q，所以23 12d 3q ，d 2，d0，舍去 )，所以 an 2n 1， bn 3n.解之得(q 3q1n ann (2n 1)nn 1× 3 3× 323n·35× 3 (2n 1)× 3，(2)因為 c

10、3;b.所以 T所以 3Tn 1× 32 3×33 (2n3) ×3n (2n 1)× 3n1 ，所以 2Tn 3 2× 322× 33 2× 3n (2n 1)×3n 1，233nn 1所以 2Tn 3 2(3 3)(2n 1)× 3n19 13 (2n 1)× 3n1，32×13所以 Tn3 (n 1)× 3n1.2設數列 an 滿足 a1 2，a2 a4 8，且對任意n N 函數 f(x) (an an1 an2)xan 1cosx an 2sinx 滿足 f (2) 0.(1)求數列 an 的通項公式；1(2)若 bn 2(an)，求數列 bn 的前 n 項和 Sn.解析 (1)由題設可得，f (x) an an 1 an2 an1·sinxan2cosx 對任意 nN .f (2) an an 1 an 2 an1 0，即 an1anan2 an1，故 an 為等差數列由 a1 2，a2 a4 8，解得 an 的公差 d 1，所以 an2 1·(n 1) n 1.(2)由 bn 2(an 1) 2(n 1 1)2an2n11 2n 2n2 知，11 nn n 121 2 21可