1、2.22.2從位移的合成到向量的加法從位移的合成到向量的加法2.2.1 2.2.1 向量的加法向量的加法【知識提煉】【知識提煉】1.1.向量的加法向量的加法(1)(1)定義定義: :求兩個向量求兩個向量_._.和的運算和的運算(2)(2)運算法那么運算法那么a+b AC AC 2.2.向量加法的運算律向量加法的運算律(1)(1)交換律交換律:a+b=_.:a+b=_.(2)(2)結(jié)合律結(jié)合律:(a+b)+c=a+(_).:(a+b)+c=a+(_).特別地特別地: :對于零向量與任一向量對于零向量與任一向量a a的和有的和有0+a=_=_.0+a=_=_.b+ab+ca+0a【即時小測】【即時

2、小測】1.1.思索以下問題思索以下問題: :(1)(1)兩個向量的和向量方向如何確定兩個向量的和向量方向如何確定? ?提示提示: :根據(jù)向量加法的三角形法那么根據(jù)向量加法的三角形法那么, ,即即“首尾相接首尾相接, ,起點指向終點起點指向終點. .(2)(2)力的合成與向量的加法有著怎樣的關(guān)系力的合成與向量的加法有著怎樣的關(guān)系? ?提示提示: :力的合成也可以看成是向量加法的一個物理模型力的合成也可以看成是向量加法的一個物理模型. .2. 2. 等于等于( () )A.0 B.0 C.2 D.-2A.0 B.0 C.2 D.-2ABBCCDDEEFFA AD AD 【解析】選【解析】選B.B.

3、如圖如圖, ,由向量加法的運算法那么可知由向量加法的運算法那么可知 ABBCCDDEEFFA. 03.3.在四邊形在四邊形ABCDABCD中中, , 那么那么( () )A.ABCDA.ABCD一定是矩形一定是矩形 B.ABCD B.ABCD一定是菱形一定是菱形C.ABCDC.ABCD一定是正方形一定是正方形 D.ABCD D.ABCD一定是平行四邊形一定是平行四邊形【解析】選【解析】選D.D.由由 知知A,B,C,DA,B,C,D構(gòu)成的四邊形一定是平行四構(gòu)成的四邊形一定是平行四邊形邊形. .AC ABAD ，AC ABAD 4.4.化簡化簡 =_. =_.【解析】原式【解析】原式= = 答案

4、答案: : ABMBBOBCOM ABBOOMMBBC AOOBBC ABBC AC. AC 5.5.在正方形在正方形ABCDABCD中中, ,邊長為邊長為1, 1, 那么那么|a+b|=_.|a+b|=_.【解析】【解析】a+b= a+b= 所以所以|a+b|=| |= .|a+b|=| |= .答案答案: :ABBC ， ，abABBC AC ，AC 22【知識探求】【知識探求】知識點知識點1 1 向量的加法法那么向量的加法法那么察看圖形察看圖形, ,回答以下問題回答以下問題: :問題問題1:1:三角形法那么和平行四邊形法那么的運用條件有何不同三角形法那么和平行四邊形法那么的運用條件有何不

5、同? ?問題問題2:2:兩個向量共線時怎樣求和兩個向量共線時怎樣求和? ?問題問題3:3:多個向量相加時多個向量相加時, ,運用哪個法那么求解運用哪個法那么求解? ?【總結(jié)提升】【總結(jié)提升】對向量加法的三角形法那么和平行四邊形法那么的了解對向量加法的三角形法那么和平行四邊形法那么的了解(1)(1)兩個法那么的運用條件不同兩個法那么的運用條件不同三角形法那么適用于恣意兩個非零向量求和三角形法那么適用于恣意兩個非零向量求和, ,平行四邊形法那么只適平行四邊形法那么只適用于兩個不共線的向量求和用于兩個不共線的向量求和. .當(dāng)兩個向量不共線時當(dāng)兩個向量不共線時, ,兩個法那么是一致的兩個法那么是一致的

6、. .如下圖如下圖: (: (平行四邊形法那么平行四邊形法那么),),又由于又由于 ( (三角形法那么三角形法那么). ). (2)(2)在運用三角形法那么時在運用三角形法那么時, ,應(yīng)留意應(yīng)留意“首尾相接首尾相接; ;在運用平行四邊形在運用平行四邊形法那么時相加向量共起點法那么時相加向量共起點. .ACABAD BCADAC AB BC ，所以(3)(3)多個向量相加的運算法那么推行多個向量相加的運算法那么推行兩個向量相加有三角形法那么兩個向量相加有三角形法那么, ,多個向量相加怎樣辦呢多個向量相加怎樣辦呢? ?我們知道我們知道: :兩兩個向量相加的三角形法那么的物理模型是位移的合成個向量相

7、加的三角形法那么的物理模型是位移的合成. .類似地類似地, ,多個向多個向量的相加量的相加, ,也可以用位移合成也可以用位移合成, ,即向量求和的三角形法那么可推行到多即向量求和的三角形法那么可推行到多個向量求和的多邊形法那么個向量求和的多邊形法那么:n:n個向量經(jīng)過平移個向量經(jīng)過平移, ,依次使前一個向量的依次使前一個向量的終點與后一個向量的起點重合終點與后一個向量的起點重合, ,組成一個向量折線組成一個向量折線, ,這這n n個向量的和等個向量的和等于折線起點到終點的向量于折線起點到終點的向量, ,即即: : 特別地特別地: : 011223n 2n 1n 1n0nA AA AA AAAA

8、AA A . 011223n0A AA AA AA A. 0知識點知識點2 2 向量加法的運算律向量加法的運算律察看圖形察看圖形, ,回答以下問題回答以下問題: :問題問題1:1:向量加法的交換律中向量向量加法的交換律中向量b b可以是零向量嗎可以是零向量嗎? ?問題問題2:2:恣意兩個向量相加都可以用平行四邊形法那么嗎恣意兩個向量相加都可以用平行四邊形法那么嗎? ?問題問題3:3:向量加法的交換律和結(jié)合律對多個向量還成立嗎向量加法的交換律和結(jié)合律對多個向量還成立嗎? ?【總結(jié)提升】【總結(jié)提升】1.1.向量加法的交換律向量加法的交換律在圖中的平行四邊形在圖中的平行四邊形ABCDABCD中中,

9、, 故故a+b=b+a.a+b=b+a.即向量加法滿足交換律即向量加法滿足交換律. .當(dāng)向量當(dāng)向量a,ba,b至少有一個為零向量時至少有一個為零向量時, ,交換律顯然成立交換律顯然成立, ,當(dāng)當(dāng)a,ba,b為非零向為非零向量且共線時量且共線時, ,ABDCADBCACABBC ，則abACADDC, ，abba(1)(1)當(dāng)當(dāng)a,ba,b同向時同向時, ,向量向量a+ba+b與與a a同向同向, ,且且|a+b|=|a|+|b|;|a+b|=|a|+|b|;向量向量b+ab+a與與b b同同向向, ,且且|b+a|=|b|+|a|,|b+a|=|b|+|a|,故故a+b=b+a.a+b=b+a

10、.(2)(2)當(dāng)當(dāng)a,ba,b反向時反向時, ,無妨設(shè)無妨設(shè)|a|b|,a+b|a|b|,a+b與與a a同向同向, ,且且|a+b|=|a|-|b|;b+a|a+b|=|a|-|b|;b+a與與a a同向同向, ,且且|b+a|=|a|-|b|,|b+a|=|a|-|b|,故故a+b=b+a.a+b=b+a.2.2.向量加法的結(jié)合律向量加法的結(jié)合律在圖中在圖中, , 所以所以 從而從而(a+b)+c=a+(b+c).(a+b)+c=a+(b+c).即向量加即向量加法滿足結(jié)合律法滿足結(jié)合律. .ACABBCBDBCCD ，abbcADACCD ,ADABBD, abcabc3.3.向量加法運算

11、律的推行向量加法運算律的推行向量加法的交換律和結(jié)合律對多個向量依然成立向量加法的交換律和結(jié)合律對多個向量依然成立, ,恰當(dāng)?shù)剡\用運算律恰當(dāng)?shù)剡\用運算律可以實現(xiàn)簡化運算的目的可以實現(xiàn)簡化運算的目的. .在進(jìn)展多個向量的加法運算時在進(jìn)展多個向量的加法運算時, ,可以按照任可以按照任意的次序和恣意的組合進(jìn)展意的次序和恣意的組合進(jìn)展. .如如(a+b)+(c+d)=(a+d)+(b+c).(a+b)+(c+d)=(a+d)+(b+c).【題型探求】【題型探求】類型一類型一 向量求和向量求和【典例】【典例】1.如下圖如下圖,四邊形四邊形ABCD是平行四邊形是平行四邊形,E,F,G,H分別是所在邊分別是所

12、在邊的中點的中點,點點O是對角線的交點是對角線的交點,那么以下各式正確的選項是那么以下各式正確的選項是() A.和和B.和和C.和和D.和和AEAH OCAHOF CGFBBEFC HDOHOGBE DO. ；2.2.如圖如圖, ,知梯形知梯形ABCD,ADBC,ABCD,ADBC,那么那么 =_. =_.OAABCDBC 【解題探求】【解題探求】1.1.解答此題可用向量的哪些知識解答此題可用向量的哪些知識? ?提示提示: :顯然可用向量的加法的平行四邊形法那么及相等向量判別顯然可用向量的加法的平行四邊形法那么及相等向量判別. .2.2.運用向量加法的結(jié)合律應(yīng)如何結(jié)合較好運用向量加法的結(jié)合律應(yīng)

13、如何結(jié)合較好? ?提示提示: :一個向量的終點是另一個向量的起點時一個向量的終點是另一個向量的起點時, ,兩個向量兩兩結(jié)合較好兩個向量兩兩結(jié)合較好. .【解析】【解析】1.1.選選A.A.由向量加法的平行四邊形法那么知由向量加法的平行四邊形法那么知 所以正確所以正確. .由于由于 又由于又由于 所以不正確所以不正確. .由于由于 又由于又由于 AEAH AO.AO OC 又因為，OF HOAHOF AHHO AO. ，所以FB CFCGFB CGCF COAOCO ，所以，而，F(xiàn)C BFBEFC BEBF BO. ，所以HD OGHDOH OGOH OD ，所以，而而 所以正確所以正確. .由

14、于由于 所以不正確所以不正確. .2. 2. 答案答案: :BO OD ，BE OHOGBE OGOH ODODDO ，所以，而，OAABCDBCOAAB BCCDOBBDOD. （）OD 【方法技巧】向量加法運算律的運用原那么及留意點【方法技巧】向量加法運算律的運用原那么及留意點(1)(1)運用原那么運用原那么: :利用代數(shù)方法經(jīng)過向量加法的交換律利用代數(shù)方法經(jīng)過向量加法的交換律, ,使各向量使各向量“首首尾相接尾相接, ,經(jīng)過向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序經(jīng)過向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序. .(2)(2)留意點留意點三角形法那么強調(diào)三角形法那么強調(diào)“首尾相接首尾相接, ,平行四邊

15、形法那么強調(diào)平行四邊形法那么強調(diào)“起點一起點一樣樣; ;向量的和仍是向量向量的和仍是向量; ;向量加法的三角形法那么和平行四邊形法那么本質(zhì)上是向量加法的向量加法的三角形法那么和平行四邊形法那么本質(zhì)上是向量加法的幾何意義幾何意義. .【變式訓(xùn)練】【變式訓(xùn)練】 =_. =_.【解析】方法一【解析】方法一: : 方法二方法二: : 答案答案: :ABMBBOOM ABMBBOOMABBOOMMBAOOB AB. ABMBBOOM ABMBBOOM ABMOOM ABAB. 0AB 類型二類型二 利用向量的加法法那么作圖利用向量的加法法那么作圖【典例】如圖【典例】如圖, ,知知a,b,a,b,分別用向

16、量加法的三角形法那么和平行四邊形分別用向量加法的三角形法那么和平行四邊形法那么作出法那么作出a+b.a+b.【解題探求】如何作不共線的兩個向量的和【解題探求】如何作不共線的兩個向量的和? ?提示提示: :在平面內(nèi)任取一點在平面內(nèi)任取一點A,A,作作 =a, =a,然后利用三角形法那么或平行四邊然后利用三角形法那么或平行四邊形法那么形法那么, ,作作 進(jìn)而可得進(jìn)而可得. .AB BCAO 或，bb【解析】如下圖【解析】如下圖,a+b= ,a+b= AC. 【延伸探求】【延伸探求】1.(1.(變換條件變換條件) )假設(shè)兩個向量變?yōu)槿缦聢D假設(shè)兩個向量變?yōu)槿缦聢D, ,作出作出a+b.a+b.【解析】方

17、法一【解析】方法一: :在平面內(nèi)恣意取一點在平面內(nèi)恣意取一點O,O,作作如圖如圖. .方法二方法二: :在平面內(nèi)恣意取一點在平面內(nèi)恣意取一點O,O,以以O(shè)A,OBOA,OB為鄰邊作為鄰邊作 OACB,OACB,且且銜接銜接OC,那么那么 =a+b.如圖如圖. .OA,AB,OB 則，ababOA,OB ，abOC 2.(2.(變換條件變換條件) )假設(shè)本例再添加一個向量假設(shè)本例再添加一個向量c,c,如圖如圖, ,利用三角形法那么作利用三角形法那么作出出a+b+c.a+b+c.【解析】如圖【解析】如圖, ,在平面內(nèi)任取一點在平面內(nèi)任取一點O,O,作作 OA,AB, abBC,OC. 則cabc【

18、方法技巧】利用向量加法的兩種法那么作圖的方法【方法技巧】利用向量加法的兩種法那么作圖的方法【補償訓(xùn)練】假設(shè)正方形【補償訓(xùn)練】假設(shè)正方形ABCDABCD的邊長為的邊長為1, 1, 試作出向量試作出向量a+b+c.a+b+c.AB,AD,AC. abc【解析】根據(jù)平行四邊形法那么可知【解析】根據(jù)平行四邊形法那么可知, , 根據(jù)三角形法那么根據(jù)三角形法那么, ,延伸延伸AC,AC,在在ACAC的延伸線上作的延伸線上作 如圖如圖. .ABADAC. abCEAC, 則abcACACACCEAE. 【延伸探求】【延伸探求】1.(1.(改動問法改動問法) )此題條件不變此題條件不變, ,求求|a+b+c|

19、.|a+b+c|.【解析】由于【解析】由于 22AC112AE2 AC2 2. ，所以 abc2.(2.(變換條件變換條件) )如圖如圖,O,O為為ABCABC內(nèi)一點內(nèi)一點, , 求作求作b+c+a.b+c+a.AOOBOC. ， ， abc【解析】方法一【解析】方法一: :如圖如圖, ,以以 為鄰邊作為鄰邊作 OBDC,OBDC,銜接銜接那么那么 OD AD ， ，OD OBOCAD AOOD. ， bcbcaOBOC ，方法二方法二: :如圖如圖, ,作作銜接銜接AD,AD,那么那么 CD OB ，bAC AOOCAD ACCD. ， acacbbca類型三類型三 向量加法的運用向量加法的

20、運用【典例】如圖【典例】如圖,O,O是四邊形是四邊形ABCDABCD對角線的交點對角線的交點, ,使得使得求證求證: :四邊形四邊形ABCDABCD是平行四邊形是平行四邊形. .AOOBDOOC, 【解題探求】證明平行四邊形的方法有哪些【解題探求】證明平行四邊形的方法有哪些? ?本例可從什么角度入手本例可從什么角度入手? ?提示提示: :可證一組對邊平行且相等可證一組對邊平行且相等, ,也可證對角線相互平分也可證對角線相互平分, ,本例可證本例可證 進(jìn)而可得進(jìn)而可得AB DC.AB DC.ABDC 【解析】由于【解析】由于 所以所以所以所以AB DC,AB DC,所以四邊形所以四邊形ABCDA

21、BCD是平行四邊形是平行四邊形. .AOOBABDOOCDC ，AOOBDOOC, ABDC 【延伸探求】【延伸探求】本例的條件不變本例的條件不變, ,在在BDBD的延伸線和反向延伸線上各取一點的延伸線和反向延伸線上各取一點F,E,F,E,使使BE=DF.BE=DF.求證求證: :四邊形四邊形AECFAECF是平行四邊形是平行四邊形. .【證明】【證明】 由于四邊形由于四邊形ABCDABCD是平行四邊形是平行四邊形, ,所以所以 由于由于BE=DF,BE=DF,且且 的方向一樣的方向一樣, ,所以所以 所以所以 即即AEAE與與FCFC平行且相等平行且相等, ,所以四邊形所以四邊形AECFAE

22、CF是平行四邊形是平行四邊形. .AEABBE,FCFDDC, ABDC, FDBE ，AEFC ，F(xiàn)DBE 與【方法技巧】運用向量加法處理平面幾何與物理學(xué)問題的根本步驟【方法技巧】運用向量加法處理平面幾何與物理學(xué)問題的根本步驟(1)(1)表示表示: :用向量表示相關(guān)的量用向量表示相關(guān)的量, ,將一切處理的問題轉(zhuǎn)化為向量的加法將一切處理的問題轉(zhuǎn)化為向量的加法問題問題. .(2)(2)運算運算: :運用向量加法的平行四邊形法那么或三角形法那么運用向量加法的平行四邊形法那么或三角形法那么, ,進(jìn)展相進(jìn)展相關(guān)運算關(guān)運算. .(3)(3)復(fù)原復(fù)原: :根據(jù)向量運算的結(jié)果根據(jù)向量運算的結(jié)果, ,結(jié)合向量

23、共線、相等概念回答原問題結(jié)合向量共線、相等概念回答原問題. .【變式訓(xùn)練】一架救援直升飛機從【變式訓(xùn)練】一架救援直升飛機從A A地沿北偏東地沿北偏東6060方向飛行了方向飛行了40km40km到達(dá)到達(dá)B B地地, ,再由再由B B地沿正北方向飛行地沿正北方向飛行40km40km到達(dá)到達(dá)C C地地, ,求此時直升飛機與求此時直升飛機與A A地地的相對位置的相對位置. .【解題指南】利用向量加法的三角形法那么【解題指南】利用向量加法的三角形法那么, ,知知是線段是線段ACAC的長度的長度. .AC ABBC AC ，【解析】如圖【解析】如圖, ,設(shè)設(shè)分別是直升飛機的兩次位移分別是直升飛機的兩次位移

24、, ,那么那么 表示兩次位移的合位移表示兩次位移的合位移, ,即即 在在RtRtABDABD中中, , 在在RtRtACDACD中中, , CAD=60CAD=60, ,即此時直升飛機位于即此時直升飛機位于A A地北偏東地北偏東3030方向方向, ,且間隔且間隔A A地地40 km40 km處處. .ABBC ，AC AC ABBC. DB20 km AD20 3 km. ，22ACADDC40 3 km ，3【補償訓(xùn)練】【補償訓(xùn)練】P P是是ABCABC內(nèi)的一點內(nèi)的一點, , 那么那么ABCABC的面的面積與積與ABPABP的面積之比為的面積之比為_._.1APABAC3 （），【解析】如圖【解析】如圖,D,D為為BCBC的中點的中點, ,那么那么所以所以P P為為ABCABC的重心的重心, ,故故C C到到ABAB間隔為間隔為P P到到ABAB間隔的間隔的3 3倍倍, ,即假設(shè)即假設(shè)