1、直線型1、（2014年門頭溝二模）24. 在ABC中，AB=AC，分別以AB和AC為斜邊，向ABC的外側作等腰直角三角形，M是BC邊中點中點，連接MD和ME（1）如圖24-1所示，若AB=AC，則MD和ME的數量關系是 （2）如圖24-2所示，若ABAC其他條件不變，則MD和ME具有怎樣的數量和位置關系？請給出證明過程；（3） 在任意ABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，向ABC的內側作等腰直角三角形，M是BC的中點，連接MD和ME，請在圖24-3中補全圖形，并直接判斷MED的形狀 圖24-1圖24-3圖24-2（1）MD=ME 1分（2）如圖，作DFAB，EGAC，垂足分別為F、G因為DF、E

2、G分別是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形 ACE斜邊上的高，所以F、G分別是AB、AC的中點 又M是BC的中點，所以MF、MG是ABC的中位線，MF/AC，MG/ABBFMBAC，MGCBACBFMMGC所以DFMMGE2分DF、EG分別是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜邊上的中線，MFEG，DFNG 3分DFMMGEDMME 4分FMD=GEMDME=FMD+FMG+GME=GEM+MGC+GMEEGACEGC=900GEM+MGC+GME+EGC=1800DME=900 5分（3）作圖正確得一分 6分MDE是等腰直角三角形 7分2、（2014年豐臺二模）24.如圖1，在中，A=30

3、°，點E，F分別是線段BC，AC的中點，連結EF（1）線段與的位置關系是_， _（2）如圖2，當繞點順時針旋轉時（），連結AF，BE，（1）中的結論是否仍然成立.如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由圖3圖2（3）如圖3，當繞點順時針旋轉時（），延長交于點，如果，求旋轉角的度數圖1（1）互相垂直；2分（2）答：（1）中結論仍然成立.3分 證明：點E，F分別是線段BC，AC的中點， EC=，FC= 4分 延長BE交AC于點O，交AF于點M BOC=AOM，1=2 BCO=AMO=90° BEAF5分（3）ACB=90°，BC=2，A=30° AB=4，B

4、=60° 過點D作DHBC于H DB= ， 又 CH=BH6分 HCD=45° DCA=45° 7分3、（2014年平谷二模）24.（1）如圖1，在四邊形ABCD中，B=C=90°，E為BC上一點，且CE=AB，BE=CD，連結AE、DE、AD，則ADE的形狀是_.(2)如圖2，在，D、E分別為AB、AC上的點，連結BE、CD，兩線交于點P當BD=AC，CE=AD時，在圖中補全圖形，猜想的度數并給予證明當時， 的度數_1）等腰直角三角形 -1分 （2） 45°. -2分 證明：過B點作FBAB,且FB=AD. ,BD=AC，FBDDAC.FDB

5、=DCA，ED=DCDCA+CDA=90，FDB +CDA=90，CDF=90，FCD=CFD =45AD=CE，BF=CE，.BFEC.四邊形BECF是平行四邊形BEFC.-6分（3）60-7分4、(2014年順義二模) 24在ABC 中， AB = AC ，ÐA =30°，將線段 BC 繞點 B 逆時針旋轉 60°得到線段 BD ，再將線段BD平移到EF，使點E在AB上，點F在AC上（1）如圖 1，直接寫出 ÐABD和ÐCFE 的度數；（2）在圖1中證明： AE =CF；（3）如圖2，連接 CE ，判斷CEF 的形狀并加以證明（1）

6、8;ABD= 15 °，ÐCFE= 45 ° 2分（2）證明：連結CD、DF線段 BC 繞點 B 逆時針旋轉 60°得到線段 BD，BD = BC ，ÐCBD =60°BCD是等邊三角形CD = BD 線段BD平移到EF，EFBD ，EF = BD 四邊形BDFE是平行四邊形，EF = CD 3分AB = AC ，ÐA =30°，ÐABC =ÐACB=75°ÐABD =ÐABC -ÐCBD=15°=ÐACDÐDFE =

7、8;ABD=15°，ÐAEF =ÐABD=15°ÐAEF =Ð ACD=15° 4分ÐCFE =ÐA+ÐAEF=30°+15°=45°，ÐCFD =ÐCFE-ÐDFE=45°-15°=30°ÐA=ÐCFD=30° 5分AEFFCD（AAS）AE =CF 6分（3）解：CEF是等腰直角三角形證明：過點E作EGCF于G，ÐCFE=45°，ÐFEG=45

8、°EG =FGÐA =30°，ÐAGE=90°，AE =CF，G為CF的中點EG為CF的垂直平分線EF =ECÐCEF =2ÐFEG=90°CEF是等腰直角三角形 8分5、（2014年石景山二模）24將繞點順時針旋轉得到，的延長線與相交于點，連接（1）如圖1，若=，請直接寫出與的數量 關系；（2）如圖2，若=，猜想線段與的數量關 系，并證明你的猜想；（3）如圖3，若，（為常數），請直接寫出的值 （用含、的式子表示）圖1圖1圖1 圖2 圖3解： 24. 解：（1）; 1分 （2）解：猜想：. 證明：在上截取，連接（如

9、圖）. 由旋轉得， .，. .是等邊三角形.又.5分（3） 7分6、（2014年海淀二模）24在中，為平面內一動點，其中a， b為常數，且 . 將沿射線方向平移，得到，點A、B、D的對應點分別為點F、C、E.連接.（1）如圖1，若在內部，請在圖1中畫出；（2）在（1）的條件下，若，求的長（用含的式子表示）；（3）若，當線段的長度最大時，則的大小為_；當線段的長度最小時，則的大小為_（用含的式子表示）.圖1 備用圖（1）2分 （2）連接BF.將沿射線方向平移，得到，ADEF, AD=EF；ABFC, AB=FC.ABC=90°，四邊形ABCF為矩形.AC=BF. 3分,. 4分，. .

10、 5分（3）； . 7分7、（2014年西城二模）24在ABC，BAC為銳角，AB>AC， AD平分BAC交BC于點D（1）如圖1，若ABC是等腰直角三角形，直接寫出線段AC，CD，AB之間的數量關系；（2）BC的垂直平分線交AD延長線于點E，交BC于點F如圖2，若ABE=60°，判斷AC，CE，AB之間有怎樣的數量關系并加以證明；如圖3，若，求BAC的度數解：（1）AB=AC+CD； 1分 （2）AB=AC+CE； 2分證明：在線段AB上截取AH=AC，連接EHAD平分BAC 又AE=AE，ACEAHE CE=HE 3分EF垂直平分BC，CE=BE4分又ABE=60°

11、;，EHB是等邊三角形BH=HEAB=AH+HB=AC+CE5分在線段AB上截取AH=AC，連接EH，作EMAB于點M易證ACEAHE，CE=HE EHB是等腰三角形HM=BMAC+AB=AH+AB=AM-HM+AM+MB=2AM，在RtAEM中，EAB=30°CAB=2EAB=60°7分8、（2014年通州二模）23已知：ABD和CBD關于直線BD對稱（點A的對稱點是點C），點E、F分別是線段BC和線段BD上的點，且點F在線段EC的垂直平分線上，連接AF、AE，AE交BD于點G（1）如圖l，求證：EAFABD；（2）如圖2，當ABAD時，M是線段AG上一點，連接BM、ED

12、、MF，MF的延長線交ED于點N，MBFBAF，AFAD，請你判斷線段FM和FN之間的數量關系，并證明你的判斷是正確的圖1圖2證明：（1）如圖1，連接FE、FC點F在線段EC的垂直平分線上FE=FCFEC=FCEABD和CBD關于直線BD對稱（點A的對稱點是點C）AB=CB，ABD=CBD在ABF與CBF中 ABCB ABDCBD BFBFABFCBF（SAS）BAF=FCE，FA=FCFE=FA，FEC=BAFEAF=AEFFEC +BEF=180°BAF+BEF=180°BAF+BEF+AFE+ABE=360°AFE+ABE=AFE+ABD+CBD =180&

13、#176;又AFE+EAF+AEF=180°EAF+AEF=ABD+CBDABDCBD, EAF=AEFEAF=ABD.(3分)（2）FM=FN 證明： 由(1)可知EAF=ABD 又AFB=GFA AFGBFA AGF=BAF 又MBF=BAFMBF=AGF 又AGF=MBG+BMG MBG=BMG BG=MGAB=AD ADB=ABD=EAF又FGA=AGDAGFDGAAF=AD設GF=2a AG=3aGD=aFD=aCBD=ABD ABD=ADBCBD=ADBBE/AD設EG=2kBG=MG=3k 過點F作FQ/ED交AE于QGQ=EG=， MQ=3k+=FQ/EDFM=FN.

14、(6分)9、（2014年東城二模）24如圖，等腰RtABC中，ACB=90°，AC=BC=4，P是AC邊上一動點，由A向C運動（與A、C不重合），Q是CB延長線上一點，與點P同時以相同的速度由B向CB延長線方向運動（Q不與B重合），過P作PEAB于E，連接PQ交AB于D（1）當BQD=30°時，求AP的長；（2）當運動過程中線段ED的長是否發生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果變化請說明理由；（3）在整個運動過程中，設AP為x，BD為y，求y關于x的函數關系式，并求出當BDQ為等腰三角形時BD的值解：（1） ACB=90°，AC=BC=4，設AP為x，PC=4

15、-x，CQ=4+x.BQD=30°，.解得. 2分（2）當點P，Q運動時，線段DE的長度不會改變理由如下：作QFAB，交直線AB的延長線于點F， 又PEAB于E，DFQ=AEP=90°，點P，Q做勻速運動且速度相同，AP=BQ.ABC是等腰直角三角形，可證 PE=QF=AE=BF.PDE=QDF，PDEQDF.DE=DF.DE=AB.又AC=BC=4，.當點P，Q運動時，線段DE的長度不會改變5分（3）AP=x， ，即 （0x4）當BDQ為等腰三角形時，x=y 7分即BD的值為10、（2014年朝陽二模）24. 已知ABC=90°，D是直線AB上的點，AD=BC（

16、1）如圖1，過點A作AFAB，并截取AF=BD，連接DC、DF、CF，判斷CDF的形狀并證明；（2）如圖2，E是直線BC上的一點，直線AE、CD相交于點P，且APD=45°，求證BD=CE圖2圖1解：（1）CDF是等腰直角三角形 1分證明：ABC=90°，AFAB， FAD=DBC AD=BC，AF=BD，FADDBC FD=DC 2分1=21+3=90°，2+3=90°即CDF=90° 3分CDF是等腰直角三角形（2）過點A作AFAB，并截取AF=BD，連接DF、CF4分ABC=90°，AFAB， FAD=DBC AD=BC，AF=

17、BD，FADDBC FD=DC ，1=21+3=90°，2+3=90°即CDF=90°CDF是等腰直角三角形5分FCD=APD=45°FCAEABC =90°，AFAB，AFCE四邊形AFCE是平行四邊形 6分AF=CE BD=CE7分11、（2014年密云二模）24已知等腰和等腰中，ACB=AED=90°，且AD=AC （1）發現：如(圖1)，當點E在AB上且點C和點D重合時，若點M、N分別是DB、EC的中點，則MN與EC的位置關系是 ，MN與EC的數量關系是 （2）探究：若把（1）小題中的AED繞點A旋轉一定角度，如(圖2)所示，

18、連接BD和EC,并連接DB、EC的中點M、N,則MN與EC的位置關系和數量關系仍然能成立嗎？若成立，以順時針旋轉45°得到的圖形（圖3）為例給予證明數量關系成立，若不成立，請說明理由;請以逆時針旋轉45°得到的圖形（圖4）為例給予證明位置關系成立，（1）.-1分 （2）連接EF并延長交BC于F， AED=ACB=90° DEBC DEM=AFM，EDM=MBF 又BM=MD EDMFBM BF=DE=AE,EM=FM -4分 延長ED到F，連接AF、MF，則AF為矩形ACFE對角線，所以比經過EC的中點N且AN=NF=EN=NC. 在RtBDF中，M是BD的中點，

19、B=45° FD=FB FMAB， MN=NA=NF=NC 點A、C、F、M都在以N為圓心的圓上 MNC=2DAC 由四邊形MACF中，MFC=135° FMA=ACB=90° DAC=45° MNC=90°即MNFC-7分12、(2014年房山二模) 24. 邊長為2的正方形的兩頂點、分別在正方形EFGH的兩邊、上(如圖1)，現將正方形繞點順時針旋轉，當點第一次落在上時停止旋轉，旋轉過程中，邊交于點，邊交于點.（1）求邊在旋轉過程中所掃過的面積；（2）旋轉過程中，當和平行時(如圖2)，求正方形旋轉的度數；（3）如圖3，設的周長為，在旋轉正方形

20、的過程中，值是否有變化？請證明你的結論.（1）點第一次落在上時停止旋轉，旋轉了.在旋轉過程中所掃過的面積為.2分（2），,.又，.又,.旋轉過程中，當和平行時，正方形旋轉的度數為 .5分(3)證明： 延長交軸于點，則，.又，. .6分. 又,. .7分.，.在旋轉正方形的過程中，值無變化.8分13、（2014年昌平二模）24【探究】如圖1，在ABC中， D是AB邊的中點，AEBC于點E，BFAC于點F，AE，BF相交于點M，連接DE，DF. 則DE，DF的數量關系為 .【拓展】如圖2，在 A B C中 ，C B = C A ，點 D是AB邊的 中點 ，點M在 A B C的內部 ，且 MBC =

21、MAC . 過點M作MEBC于點E，MFAC于點F，連接DE，DF. 求證：DE=DF；【推廣】如圖3，若將上面【拓展】中的條件“CB=CA”變為“CBCA”，其他條件不變，試探究DE與DF之間的數量關系，并證明你的結論.【探究】DE=DF. 1分【拓展】如圖2，連接CD. 在 A B C中 ，C B = C A ， CAB=CBA. MBC =MAC , MAB=MBA. 2分 AM=BM. 點 D是 邊 AB的 中點 ，點M在CD上. 3分CM平分FCE.FCD=ECD.MEBC于E，MFAC于F，MF=ME.又CM=CM,CMFCME.CF=CE. CD=CD，CFDCED.DE=DF.

22、 4分【推廣】 DE=DF.如圖3，作AM的中點G,BM的中點H. 點 D是 邊 AB的 中點 ， 同理可得： MEBC于E，H 是BM的中點， 在RtBEM中， DG=HE. 5分同理可得：DG/BM,DH/GM,四邊形DHMG是平行四邊形.DGM=DHM. MGF=2MAC, MHE=2MBC,又MBC =MAC ,MGF=MHE.DGM+MGF =DHM+MHE.DGF=DHE. 6分DHEFGD.DE=DF. 7分14、（2014年懷柔二模）24已知ABC是等邊三角形，E是AC邊上一點，F是BC邊延長線上一點，且CF=AE，連接BE、EF（1）如圖1，若E是AC邊的中點，猜想BE與EF

23、的數量關系為 .（2）如圖2，若E是線段AC上的任意一點，其它條件不變，上述線段BE、EF的數量關系是否發生變化，寫出你的猜想并加以證明（3）如圖3，若E是線段AC延長線上的任意一點，其它條件不變，上述線段BE、EF的數量關系是否發生變化，寫出你的猜想并加以證明圖1圖3圖2解 ：（1）猜想BE與EF的數量關系為:BE=EF. 1分（2）猜想BE=EF 證明：將線段BE繞點B順時針旋轉60°，得線段BE，連接EC、EE，2分EB E為等邊三角形，BE=E E, 又ABC為等邊三角形，AB=BC，ABC=ACB= 60°，1=2, ABECB E（SAS），3分AE=C E,

24、A=3=60°，又CF=AE，C E=CF，ACB=60°，3=60°，AC E=AC F=120°，EC=ECE C EECF（SAS），4分E E=EF BE=EF5分（3）猜想BE=EF證明：將線段BE繞點B順時針旋轉60°，得線段BE，連接EC、EE，EB E為等邊三角形，BE=E E, 又ABC為等邊三角形，AB=BC，ABC=ACB= 60°，ABE=CB E, ABECB E（SAS），AE=C E, A=B C E =60°，又CF=AE，C E=CF，ACB=60°，B C E=60°，EC E=EC F=60°，EC=ECE ECEFC（SAS），6分E E=EF又BE=E E, BE=EF7分15、（2014年大興二模）25. 已知：E是線段AC上一點，AE=A