1、-1-章末整合知識網絡系統構建題型突破深化提升例例1任取一個三位正整數N,則對數log2N是一個正整數的概率是()答案:C解析:三位正整數有100999,共900個,而滿足log2N為正整數的N有27,28,29,共3個,故所求事件的概率為題型突破深化提升例例2如果有兩組牌,它們的牌面數字分別為1,2,3,那么從每組牌中摸出一張牌,兩張牌的牌面數字和等于4的概率是多少呢?兩張牌的牌面數字和為幾時概率最大?分析解古典概型問題的關鍵在于選擇正確的基本事件,并能正確地數出基本事件的個數,數事件的個數可以通過列表、樹狀圖、坐標系等使問題變得形象直觀.題型突破深化提升題型突破深化提升反思感悟反思感悟 古

2、典概型的解題方法主要有以下兩種:(1)采取適當的方法,按照一定的順序,把試驗的所有結果一一列舉出來,正確理解基本事件與事件A的關系.應用公式P(A)= 計算概率.(2)若所求概率的事件比較復雜,可把它分解成若干個互斥的事件,利用概率的加法公式求解;或求其對立事件,利用對立事件的概率求解.題型突破深化提升變式訓練變式訓練1(2019全國高考)生物實驗室有5只兔子,其中只有3只測量過某項指標.若從這5只兔子中隨機取出3只,則恰有2只測量過該指標的概率為()答案:B解析:設測量過該指標的3只兔子為a,b,c,剩余2只為A,B,則從這5只兔子中任取3只的所有取法有a,b,c,a,b,A,a,b,B,a

3、,c,A,a,c,B,a,A,B,b,c,A,b,c,B,c,A,B,b,A,B共10種,其中恰有2只測量過該指標的取法有a,b,A,a,b,B,a,c,A,a,c,B,b,c,A,b,c,B共6種,所以恰有2只測量過該指標的概率為 ,故選B.題型突破深化提升變式訓練變式訓練2(2019天津高考)2019年,我國施行個人所得稅專項附加扣除辦法,涉及子女教育、繼續教育、大病醫療、住房貸款利息或者住房租金、贍養老人等六項專項附加扣除.某單位老、中、青員工分別有72,108,120人,現采用分層抽樣的方法,從該單位上述員工中抽取25人調查專項附加扣除的享受情況.(1)應從老、中、青員工中分別抽取多少

4、人?(2)抽取的25人中,享受至少兩項專項附加扣除的員工有6人,分別記為A,B,C,D,E,F.享受情況如下表,其中“”表示享受,“”表示不享受.現從這6人中隨機抽取2人接受采訪.題型突破深化提升試用所給字母列舉出所有可能的抽取結果;設M為事件“抽取的2人享受的專項附加扣除至少有一項相同”,求事件M發生的概率.題型突破深化提升解:(1)由已知,老、中、青員工人數之比為6910,由于采用分層抽樣的方法從中抽取25位員工,因此應從老、中、青員工中分別抽取6人,9人,10人.(2)從已知的6人中隨機抽取2人的所有可能結果為A,B,A,C,A,D,A,E,A,F,B,C,B,D,B,E,B,F,C,D

5、,C,E,C,F,D,E,D,F,E,F,共15種.由表格知,符合題意的所有可能結果為A,B,A,D,A,E,A,F,B,D,B,E,B,F,C,E,C,F,D,F,E,F,共11種.所以,事件M發生的概率P(M)= .題型突破深化提升例例3某縣城有甲、乙兩種報紙供居民訂閱,記事件A=“只訂甲報”,事件B=“至少訂一種報”,事件C=“至多訂一種報”,事件D=“不訂甲報”,事件E=“一種報也不訂”,判斷下列每對事件是不是互斥事件,如果是,再判斷它們是不是對立事件.(1)A與C;(2)B與E;(3)B與D;(4)B與C;(5)C與E.分析利用互斥事件、對立事件的定義并結合具體情況,要先弄清楚樣本空

6、間中所有的樣本點.題型突破深化提升解:(1)由于事件C“至多訂一種報”中有可能只訂甲報,即事件A與事件C有可能同時發生,故A與C不互斥.(2)事件B“至少訂一種報”與事件E“一種報也不訂”是不可能同時發生的,故B與E是互斥事件;由于事件B與事件E在一次試驗中有且僅有一個發生,故B與E還是對立事件.(3)事件B“至少訂一種報”中有可能只訂乙報,即有可能不訂甲報,即事件B發生時,事件D也可能發生,故B與D不互斥.(4)事件B“至少訂一種報”中包括“只訂甲報”“只訂乙報”“訂甲、乙兩種報”,事件C“至多訂一種報”中包括“什么也不訂”“只訂甲報”“只訂乙報”.由于這兩個事件可能同時發生,故B與C不互斥

7、.(5)由(4)的分析知,事件E“一種報也不訂”只是事件C的一種可能,事件C與事件E有可能同時發生,故C與E不互斥.題型突破深化提升例例4黃種人群中各種血型的人所占的比例如下:已知同種血型的人可以輸血,O型血可以輸給任一種血型的人,其他不同血型的人不能互相輸血,小明是B型血,若小明因病需要輸血,問:(1)任找一個人,其血可以輸給小明的概率是多少?(2)任找一個人,其血不能輸給小明的概率是多少?分析(1)可以輸給小明的血是B型或O型,注意解題時要說明事件的互斥;(2)不能輸給小明的血型是A型和AB型,此問題中還可以用對立事件的概率來間接求解.題型突破深化提升解:(1)對任一人,其血型為A,B,A

8、B,O型血的事件分別記為A,B,C,D,它們是互斥的,由已知,有P(A)=0.28,P(B)=0.29,P(C)=0.08,P(D)=0.35.因為B,O型血可以輸給B型血的人,故“可以輸給B型血的人”為事件BD,根據互斥事件的加法公式有任找一個人其血可以輸給小明的概率:P(BD)=P(B)+P(D)=0.29+0.35=0.64.(2)由于A,AB型血不能輸給B型血的人,故“不能輸給B型血的人”為事件AC,且P(AC)=P(A)+P(C)=0.28+0.08=0.36.任找一個人其血不能輸給小明的概率為0.36.題型突破深化提升反思感悟反思感悟 1.互斥事件與對立事件的聯系與區別(1)不可能

9、同時發生的兩個事件稱為互斥事件.(2)對立事件則要同時滿足兩個條件:一是不可能同時發生;二是必有一個發生.(3)在一次試驗中,兩個互斥事件有可能都不發生,也可能只有一個發生,而兩個對立事件則必有一個發生且不可能同時發生.(4)對立事件一定是互斥事件,而互斥事件不一定是對立事件.2.互斥事件與對立事件的概率計算(1)若事件A1,A2,An彼此互斥,則P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An).3.求復雜事件的概率通常有兩種方法(1)將所求事件轉化成彼此互斥的事件的和.(2)先求其對立事件的概率,然后再應用公式P(A)=1-P( )求解.題型突破深化提升變式訓練變式訓練3從四雙不同的鞋

10、中任意摸出4只,事件“4只全部成對”的對立事件是()A.至多有兩只不成對B.恰有兩只不成對C.4只全部不成對D.至少有兩只不成對答案:D解析:從四雙不同的鞋中任意摸出4只,可能的結果為“恰有2只成對”,“4只全部成對”,“4只都不成對”,事件“4只全部成對”的對立事件是“恰有2只成對”與“4只都不成對”的并事件“至少有兩只不成對”,故選D.題型突破深化提升變式訓練變式訓練4現有8名數理化成績優秀者,其中A1,A2,A3數學成績優秀,B1,B2,B3物理成績優秀,C1,C2化學成績優秀,從中選出數學、物理、化學成績優秀者各1名,組成一個小組代表學校參加競賽.(1)求C1被選中的概率.(2)求A1

11、和B1不全被選中的概率.題型突破深化提升解:(1)從8人中選出數學、物理、化學成績優秀者各1名,其一切可能的結果組成的樣本空間=(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B3,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3,B3,C2).由18個基本事件組成.由于每一個基本事件被抽取的機會均等.因此這些基本事件的

12、發生是等可能的.用M表示“C1恰被選中”這一事件,則M=(A1,B1,C1),(A1,B2,C1),(A1,B3,C1),(A2,B1,C1),(A2,B2,C1),(A2,B3,C1),(A3,B1,C1),(A3,B2,C1),(A3,B3,C1).事件M由9個基本事件組成,因而題型突破深化提升題型突破深化提升例例5如圖,已知電路中4個開關閉合的概率都是 ,且是相互獨立的,則燈亮的概率為()答案:C 題型突破深化提升題型突破深化提升反思感悟反思感悟 求相互獨立事件同時發生的概率的主要方法(1)利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解.(2)正面計算較繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或難以

13、入手時,可從其對立事件入手計算.題型突破深化提升變式訓練變式訓練5(2019全國,理15)甲、乙兩隊進行籃球決賽,采取七場四勝制(當一隊贏得四場勝利時,該隊獲勝,決賽結束).根據前期比賽成績,甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”.設甲隊主場取勝的概率為0.6,客場取勝的概率為0.5,且各場比賽結果相互獨立,則甲隊以41獲勝的概率是.答案:0.18解析:前五場中有一場客場輸時,甲隊以41獲勝的概率是0.630.50.52=0.108;前五場中有一場主場輸時,甲隊以41獲勝的概率是0.40.620.520.6=0.072.綜上所述,甲隊以41獲勝的概率是0.108+0.072=0.18.題型突

14、破深化提升變式訓練變式訓練6(2019全國,理18)11分制乒乓球比賽,每贏一球得1分.當某局打成1010平后,每球交換發球權,先多得2分的一方獲勝,該局比賽結束.甲、乙兩位同學進行單打比賽,假設甲發球時甲得分的概率為0.5,乙發球時甲得分的概率為0.4,各球的結果相互獨立.在某局雙方1010平后,甲先發球,兩人又打了X個球該局比賽結束.(1)求P(X=2);(2)求事件“X=4且甲獲勝”的概率.(1)證明:X=2就是1010平后,兩人又打了兩個球該局比賽結束,則這兩個球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.50.4+(1-0.5)(1-0.4)=0.5.(2)解:X=4且甲獲勝,

15、就是1010平后,兩人又打了4個球該局比賽結束,且這4個球的得分情況為:前兩球是甲、乙各得1分,后兩球均為甲得分.因此所求概率為0.5(1-0.4)+(1-0.5)0.40.50.4=0.1.題型突破深化提升例例7中華文明,源遠流長;中華漢字,寓意深廣.為了傳承中華民族優秀傳統文化,我市某中學舉行“漢字聽寫”比賽,賽后整理參賽學生的成績,將學生的成績分為A,B,C,D四個等級,并將結果繪制成如圖所示的條形統計圖和扇形統計圖,但均不完整.題型突破深化提升請你根據統計圖解答下列問題:(1)參加比賽的學生共有名;(2)在扇形統計圖中,m的值為,表示D等級的扇形的圓心角為度;(3)組委會決定從本次比賽

16、獲得A等級的學生中,選出2名去參加全市中學生“漢字聽寫”大賽.已知A等級學生中男生有1名,請用列表法或畫樹狀圖法求出所選2名學生恰好是一名男生和一名女生的概率.分析(1)根據等級為A的人數除以所占的百分比求出總人數;(2)求出等級B的人數,補全條形統計圖即可;根據D級的人數求得D等級扇形圓心角的度數,根據C等級的人數求出m的值;(3)列表得出所有等可能的情況數,找出一男一女的情況數,即可得出所求的概率.題型突破深化提升解:(1)315%=20(人);(3)列表如下所有可能的結果共有6種情況,其中恰好是一名男生和一名女生的情況有4種,所以題型突破深化提升反思感悟反思感悟 1.概率和統計的交匯題在

17、統計方面一般考查簡單隨機抽樣和一些統計的圖示,在概率方面一般是歸結為古典概型的知識.2.求解古典概型的交匯問題,關鍵是把相關的知識轉化為事件,然后利用古典概型的有關知識解決,一般步驟為:(1)將題目條件中的相關知識轉化為事件;(2)判斷事件是否為古典概型;(3)選用合適的方法確定基本事件個數;(4)代入古典概型的概率公式求解.題型突破深化提升變式訓練變式訓練7(2017北京,文17)某大學藝術專業400名學生參加某次測評,根據男女學生人數比例,使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生,記錄他們的分數,將數據分成7組:20,30),30,40),80,90,并整理得到如下頻率分布直方圖:題型突破深化提升(1)從總體的400名學生中隨機抽取一人,估計其分數小于70的概率;(2)已知樣本中分數小于40的學生有5人,試估計總體中分數在區間40,50)內的人數;(3)已知樣本中有一半男生的分數不小于70,且樣本中分數不小于70的男女生人數相等.試估計總體中男生和女生人數的比例.解:(1)根據頻率分布直方圖可知,樣本中分數不小于70的頻率為(0.02+0.04)10=0.6,所以樣本中分數小于70的頻率為1-0.6=0.4.所以從總體的400名學生中隨機抽取一人,其分數小于70的概率