1、澧縣職業中專建筑教研組一、課 題 粱的正應力及其強度條件二、課 型： 課 堂 講 解 三、授課日期_星期_節次_ _四、 知 識 點：1.平面幾何圖形的重心和形心概念；一般物體、均質物體和均質薄板的重心坐標的計算。 2.靜矩的概念和計算。（包括簡單圖形和組合平面圖形）。 3.慣性矩、慣性積、慣性半徑的概念，平行移軸公式。 4.形心主慣性軸和主慣性矩的概念。梁純彎曲時的正應力分布規律及正應力計算公式；梁的正應力強度條件及強度計算；矩形截面與工字形截面梁剪應力的計算公式、常用截面梁的最大剪應力公式；梁的剪切強度條件；梁的合理截面形狀、提高梁抗彎強度的措施。5、梁變形的概念；撓曲線近似微分方程；抗彎

2、剛度；疊加法求梁的變形；梁的剛度條件；提高梁剛度的措施。 6、一點處的應力狀態、單元體、平面應力狀態、主應力、主平面，最大切應力；梁的主應力跡線；強度理論簡介。 掌握正應力分布規律及橫截面上任一點的正應力計算公式；理解正應力強度條件，熟練對梁進行正應力強度計算；了解剪應力的分布規律及剪應力強度條件；掌握梁的變形及剛度條件。 7、 掌握用疊加法求梁的變形、理解梁的撓度與轉角的概念；了解梁的撓曲線近似微分方程、了解剛度條件及剛度計算；了解提高梁抗彎剛度的措施。了解梁的主應力跡線；了解強度理論。 五、 教學要求：1.理解重心和形心的概念，掌握坐標計算。 2.能夠熟練運用公式計算簡單圖形和組合圖形的靜

3、矩、慣性矩。 3.識記簡單圖形對形心軸的慣性矩。 4.靈活運用平行移軸公式。 5、掌握正應力分布規律及橫截面上任一點的正應力計算公式；理解正應力強度條件，熟練對梁進行正應力強度計算；了解剪應力的分布規律及剪應力強度條件；掌握梁的變形及剛度條件。 6、 掌握用疊加法求梁的變形、理解梁的撓度與轉角的概念；了解梁的撓曲線近似微分方程、了解剛度條件及剛度計算；了解提高梁抗彎剛度的措施。 7、 理解應力狀態、單元體的概念；掌握平面應力狀態分析的解析法；掌握主應力、主平面、最大剪應力的概念及其計算；了解梁的主應力跡線；了解強度理論。六、教學過程課題1 重心和形心 1.1 重心的概念地球上的任何物

4、體都受到地球引力的作用，這個力稱為物體的重力。可將物體看作是由許多微小部分組成，每一微小部分都受到地球引力的作用，這些引力匯交于地球中心。但是，由于一般物體的尺寸遠比地球的半徑小得多，因此，這些引力近似地看成是空間平行力系。這些平行力系的合力就是物體的重力1.2 一般物體重心的坐標公式1一般物體重心的坐標公式如圖61所示，為確定物體重心的位置，將它分割成n個微小塊，各微小塊重力分別為G1、G2、···Gn，其作點的坐標分別為(x1、y1、z1)、(x2、y2、z2)(xn、yn、zn)，各微小塊所受重力的合力W即為整個物體所受的重力G=Gi，其作用點的坐標為C(x

5、c、yc、zc)。對y軸應用合力矩定理，有：圖6-1 將物體連同坐標轉900而使坐標面oxz成為水平面，再對z軸應用合力矩定理，可得：因此，一般物體的重心坐標的公式為：（6-1）2均質物體重心的坐標公式 對均質物體用表示單位體積的重力，體積為V，則物體的重力G=V，微小體積為Vi，微小體積重力Gi=Vi·，代入式(41)得均質物體的重心坐標公式為：（6-2） 由上式可知，均質物體的重心與重力無關。所以，均質物體的重心就是其幾何中心，稱為形心。對均質物體來說重心和形心是重合的。3均質薄板的重心(形心)坐標公式對于均質等厚的薄平板，如圖6-2所示取對稱面為坐標面oyz，用表示其厚度，A表

6、示微體積的面積，將微體積Vi=·Ai及V=·A代人式(6-2)，得重心(形心)坐標公式為: Aiyi Aizi yc= zc=(4-3) A A 圖6-24平面圖形的形心計算形心就是物體的幾何中心。因此，當平面圖形具有對稱軸或對稱中心時，則形心一定在對稱軸或對稱中心上。如圖6-3所示。若平面圖形是一個組合平面圖形，則可先將其分割為若干個簡單圖形,然后可按式（6-3)求得其形心的坐標，這時公式中的Ai為所分割的簡單圖形的面積，而zi,yi為其相應的形心坐標，這種方法稱為分割法。另外，有些組合圖形,可以看成是從某個簡單圖形中挖去一個或幾個簡單圖形而成，如果將挖去的面積用負面積表

7、示，則仍可應用分割法求其形心坐標，這種方法又稱為負面積法。 圖6-3 【6-1】試求圖6-4所示T形截面的形心坐標。圖6-4 【解】 將平面圖形分割為兩個矩形，如圖4-4所示，每個矩形的面積及形心坐標為：由式(6-3)可求得T形截面的形心坐標為：【例6-2】試求圖65所示陰影部分平面圖形的形心坐標?！窘狻繉⑵矫鎴D形分割為兩個圓，如圖6-5所示，每個圓的面積及形心坐標為  圖6-5由式(6-3)可求得陰影部分平面圖形的形心坐標為： 課題2 靜 矩 2.1 2.1 定義  任意平面圖形上所有微面積dA，與其坐標y(或z)乘積的總和，稱為該平面圖形對z軸(或y軸)的靜矩

8、，用Sz(或Sy)表示，即：(6-4)由上式可知，靜矩為代數量，它可為正，可為負，也可為零。 2.2 2.2 簡單圖形的靜矩 簡單圖形的面積A與其形心坐標yc(或zc)的乘積，稱為簡單圖形對z軸或y軸的靜矩，即： Sz=A·yc Sy=A·zc (6-5) 當坐標軸通過截面圖形的形心時，其靜矩為零;反之，截面圖形對某軸的靜矩為零，則該軸一定通過截面圖形的形心。 2.3 組合平面圖形靜矩的計算Sz=Ai·yciSy=AI·zci (6-6)  式中 Ai-各簡單圖形的面積； yci 、zci-各簡單圖形的形心坐標。  

9、; 課題3 慣性矩、慣性積、慣性半徑 3.1 慣性矩、慣性積、慣性半徑的定義  3.1.1 慣性矩 圖66所示，任意平面圖形上所有微面積dA與其坐標y(或z)平方乘積的總和，稱為該平面圖形對z軸(或y軸)的慣性矩，用Iz(或Iy)表示，即：圖6-6（6-7）  3.1.2 慣性積任意平面圖形上所有微面積dA與其坐標z、y乘積的總和，稱為該平面圖形對z、y兩軸的慣性積，用Ixy表示，即：(6-8) 慣性積可為正，可為負，也可為零。常用單位為m4或mm4?？梢宰C明，在兩正交坐標軸中，只要z、y軸之一為平面圖形的對稱軸，則平面圖形對z、y軸的慣性積就一定等于零

10、。 3.1.3 慣性半徑 在工程中為了計算方便，將圖形的慣性矩表示為圖形面積A與某一長度平方的乘積，即：(6-9)式中ix、iy-平面圖形對z、y軸的慣性半徑，常用單位為m或mm。 4簡單圖形的慣性矩及慣性半徑 (1)簡單圖形對形心軸的慣性錆(由式6-7積分可得)   【例63】試計算圖67所示由兩根N020槽鋼組成的截面對形心軸z、y的慣性矩。 圖6-7【解】組合截面有兩根對稱軸，形心C就在這兩對稱軸的交點。由型鋼表查得每根槽心C1或C2到腹板邊緣的距離為195 mm， 整個截面對形心軸的慣性矩應等于兩根槽鋼對形心軸的慣性軸之和，故得：課題4 梁彎曲時的應力及強

11、度計算 由于梁橫截面上有剪力Q和彎矩M兩種內力存在，所以它們在梁的橫截面會引起相應的剪應力和正應力，5.1 梁橫截面上正應力1、正應力分布規律（1）平面假設 各橫向線代表橫截面，變形前后都是直線，表明截面變形后仍保持平面，且仍垂直于彎曲后的梁軸線。（2）單向受力假設 將梁看成由無數纖維組成，各纖維只受到軸向拉伸或壓縮，不存在相互擠壓。從上部各層纖維縮短到下部各層纖維伸長的連續變化中，必有一層纖維既不縮短也不伸長，這層纖維稱為中性層。中性層與橫截面的交線稱中性軸，中性軸通過橫截面形心，且與豎向對稱軸垂直，并將橫截面分為受壓和受拉兩個區域。由此可知，梁彎曲變形時，各截面繞中性軸轉動，使梁

12、內縱向纖維伸長和縮短，中性層上各縱向纖維的長度不變。通過進一步的分析可知，各層縱向纖維的線應變沿截面高度應為線性變化規律，從而由虎克定律可推出，梁彎曲時橫截面上的正應力沿截面高度呈線性分布規律變化。 2、正應力計算公式  如下圖所示，根據理論推導(推導從略)，梁彎曲時橫截面土任一點正應力的計算公式為：式中M橫截面上的彎矩； y所計算應力點到中性軸的距離； Iz截面對中性軸的慣性矩。由式(9-4)說明，梁彎曲時橫截面上任一點的正應力口與彎矩M和該點到中性軸距離y成正比，與截面對中性軸的慣性矩Iz成反比，正應力沿截面高度呈線性分布；中性軸上(y=o)各點處的正應力為零

13、；在上、下邊緣處(y=ymax；)正應力的絕對值最大。用上式計算正應力時，M和y均用絕對值代入。當截面上有正彎矩時，中性軸以下部分為拉應力，以上部分為壓應力；當截面有負彎矩時，則相反。  5.2 梁橫截面上的剪應力 1剪應力分布規律假設 對于高度h大于寬度b的矩形截面梁，其橫截面上的剪力Q沿y軸方向，如下圖所示，現假設剪應力的分布規律如下： (1)橫截面上各點處的剪應力都與剪力Q方向一致； (2)橫截面上距中性軸等距離各點處剪應力大小相等，即沿截面寬度為均勻分布。 2、矩形截面梁的剪應力計算公式 根據以上假設，可以推導出矩形截面梁橫截面上任意一點處剪應力的計算公式為： 式中V橫截面上

14、的剪力； IZ整個截面對中性軸的慣性矩； b需求剪應力處的橫截面寬度； SZ橫截面上需求剪應力點處的水平線以上(或以下)部分的面積A。對中性軸的靜矩。 I用上式計算時，V與SZ均用絕對值代人即可。 現求上圖所示矩形截面上任意一點的剪應力，該點至中性軸的距離為y，該點水平線以上橫截面面積A對中性軸的靜矩為： 上式表明剪應力沿截面高度按二次拋物線規律分布。在上、下邊緣處，剪應力為零；在中性軸上(y=0)，剪應力最大，其值為： 由此可見，矩形截面梁橫截面上的最大剪應力是平均剪應力的15倍，發生在中性軸上。 3工字形截面梁的剪應力 工字形截面梁由腹板和翼緣組成腹板是一個狹長的矩形，所以它的剪應力可按矩

15、形截面的剪應力可按矩形截面的剪應力公式計算，即：式中d腹板的寬度； S橫截面上所求剪應力處的水平線以下(或以上)至邊緣部分面積A”對中性軸的靜矩。 由上式可求得剪應力沿腹板高度按拋物線規律變化，如上圖所示。最大剪應力發生在中性軸上，其值為： 5.3 梁的強度條件 1梁的正應力強度條件 (1)最大正應力 在強度計算時必須算出梁的最大正應力。產生最大正應力的截面稱為危險截面。對于等直梁，最大彎矩所在的截面就是危險截面。危險截面上的最大應力點稱為危險點，它發生在距中性軸最遠的上、下邊緣處。 對于中性軸為截面對稱軸的梁，其最大正應力的值為： 式中Wz抗彎截面系數(或模量)，它是一個與截面形狀和尺寸有關

16、的幾何量，其常用單位為m3或mm3。對高為h、寬為b的矩形截面，其抗彎截面系數為： 對直徑為D的圓形截面，其抗彎截面系數為：  對工字鋼、槽鋼、角鋼等型鋼截面的抗彎截面系數眠可從附錄型鋼表中查得。 (2)正應力強度條件 為了保證梁具有足夠的強度，必須使梁危險截面上的最大正應力不超過材料的許用應力，即： 上式為梁的正應力強度條件。 根據強度條件可解決工程中有關強度方面的三類問題。 1)強度校核在已知梁的橫截面形狀和尺寸、材料及所受荷載的情況下，可校核梁是否滿足正應力強度條件。  2)設計截面當已知梁的荷載和所用的材料時，可根據強度條件，先計算出所需的最小抗彎截面系數： 然后根

17、據梁的截面形狀，再由w。值確定截面的具體尺寸或型鋼號。 3)確定許用荷載已知梁的材料、橫截面形狀和尺寸，根據強度條件先算出梁所能承受的最大彎矩，即： 然后由M之；與荷載的關系，算出梁所能承受的最大荷載。 2梁的剪應力強度條件 為保證梁的剪應力強度，梁的最大剪應力不應超過材料的許用剪應力即：上式稱為梁的剪應力強度條件。 在梁的強度計算中，必須同時滿足正應力和剪應力兩個強度條件。通常先按正應力強度條件設計出截面尺寸，然后按剪應力強度條件進行校核。對于細長梁，按正應力強度條件設計的梁一般都能滿足剪應力強度要求，就不必作剪應力校核。但在以下幾種情況下，需校核梁的剪應力：最大彎矩很小而最大剪力很大的梁；

18、焊接或鉚接的組合截面梁(如工字型截面梁)；木梁，因為木材在順紋方向的剪切強度較低，所以木梁有可能沿中性層發生剪切破壞。 【例題】一外伸工字型鋼梁，工字鋼的型號為N022a，梁上荷載如下圖所示。已知L=6m F=30kN，q=6kNm，=170MPa，=100Mpa,檢查此梁是否安全。  【解】(1)繪剪力圖、彎矩圖如上圖所示 (1) (2)  (3)  由型鋼表查得有關數據  d=0.75cm    ：3)校核正應力強度及剪應力強度 所以，梁是安全的。 3梁的合理截面 設計梁時，一方面要保證梁具有足夠的強

19、度，使梁在荷載作用下能安全的工作；同時應使設計的梁能充分發揮材料的潛力，以節省材料，這就需要選擇合理的截面形狀和尺寸。 梁的強度一般是由橫截面上的最大正應力控制的。當彎矩一定時，橫截面上的最大正應力max。與抗彎截面系數wz成反比，Wz愈大就愈有利。而Wz的大小是與截面的面積及形狀有關，合理的截面形狀是在截面面積A相同的條件下，有較大的抗彎截面系數wz，也就是說比值wzA大的截面形狀合理。由于在一般截面中，Wz與其高度的平方成正比，所以盡可能地使橫截面面積分布在距中性軸較遠的地方，這樣在截面面積一定的情況下可以得到盡可能大的抗彎截面系數而使最大正應力max減少，或者在抗彎截面系數wz一定的情況

20、下，減少截面面積以節省材料和減輕自重。所以，工字形、槽形截面比矩形截面合理，矩形截面立放比平放合理，正方形截面比圓形截面合理。 梁的截面形狀的合理性，也可從正應力分布的角度來說明。梁彎曲時，正應力沿截面高度呈直線分布，在中性軸附近正應力很小，這部分材料沒有充分發揮作用。如果將中性軸附近的材料盡可能減少，而把大部分材料布置在距中性軸較遠的位置處，則材料就能充分發揮作用，截面形狀就顯得合理。所以，工程上常采用工字形、圓環形、箱形等截面面形式。工程中常用的空心板、薄腹梁等就是根據這個道理設計的。 此外，對于用鑄鐵等脆性材料制成的梁，由于材料的抗壓強度比抗拉強度大得多，所以，宜采用T形等對中性軸不對稱

21、的截面，并將其翼緣部分置于受拉側。為了充分發揮材料的潛力，應使最大拉應力和最大壓應力同時達到材料相應的許用應力。課題5 梁的變形  為了保證梁在荷載作用下的正常工作，除滿足強度要求外，同時還需滿足剛度要求。剛度要求就是控制梁在荷載作用下產生的變形在一定限度內，否則會影響結構的正常使用。例如，樓面梁變形過大時，會使下面的抹灰層開裂、脫落吊車梁的變形過大時，將影響吊車的正常運行等等。 6.1 撓度和轉角 梁在荷載作用下產生彎曲變形后，其軸線為一條光滑的平面曲線，此曲線稱為梁的撓曲線或梁的彈性曲線。如下圖的懸臂梁所示。AB表示梁變形前的軸線，AB/表示梁變形后的撓曲線。  (1)

22、  撓度 梁任一橫截面形心在垂直于梁軸線方向的豎向位移CC/稱為撓度，用y表示，單位為mm，并規定向下為正。 (2)  轉角 梁任一橫截面相對于原來位置所轉動的角度，稱為該截面的轉角，用表示，單位為rad(弧度)，并規定順時針轉為正。 6.2 用疊加法求梁的變形 由于梁的變形與荷載成線性關系。所以，可以用疊加法計算梁的變形。即先分別計算每一種荷載單獨作用時所引起梁的撓度或轉角，然后再將它們代數相加，就得到梁在幾種荷載共同作用下的撓度或轉角。這種方法稱為疊加法。 梁在簡單荷載作用下的撓度和轉角可從表82中查得。 6.3 梁的剛度條件 f/l=ymax/lf/l例題：

23、 一簡支梁由NO.28工字鋼制成，跨中承受一集中荷載，如下圖所示，已知F=20KN, L=9m, E=210Gpa,=170Mpa, f/L=1/500.試校核梁的強度和剛度。   6.4 提高梁剛度的措施 要提高梁的剛度，需從以下幾方面考慮。 6.4.1 提高梁的抗彎剛度EI 梁的變形與EI成反比，增大梁的EI將使梁的變形減小。由于同類材料的E值不變，因而只能設法增大梁橫截面的慣性矩I。在面積不變的情況下，采用合理的截面形狀，例如采用工字形、箱形及圓環形等截面，可提高慣性矩I，從而也就提高了EI 6.4.2 減小梁的跨度 梁的變形與梁的跨長L的n次冪成正比。設法減小梁的跨度，將會有效地減小梁的變形。例如將簡支梁的支座向中間適當移動變成外伸梁，或在梁的中間增加支座，都是減小梁的變形的有效措施。6.4.3 改善荷載的分布情況 在結構允許的條件下，合理地調整荷載的作用位置及分布情況，以降低最大彎矩,從而減小梁的變形。例如將集中力分散作用，或改為分布荷載都可起到降低彎矩，減小變形。  課題6 梁的應力狀態