1、傅里葉變換的本質傅里葉變換的公式為可以把傅里葉變換也成另外一種形式：可以看出，傅里葉變換的本質是內積，三角函數是完備的正交函數集，不同頻率的三角函數的之間的內積為0，只有頻率相等的三角函數做內積時，才不為0。下面從公式解釋下傅里葉變換的意義因為傅里葉變換的本質是內積，所以f(t)和求內積的時候，只有f(t)中頻率為的分量才會有內積的結果，其余分量的內積為0。可以理解為f(t)在上的投影，積分值是時間從負無窮到正無窮的積分，就是把信號每個時間在的分量疊加起來，可以理解為f(t)在上的投影的疊加，疊加的結果就是頻率為的分量，也就形成了頻譜。傅里葉逆變換的公式為下面從公式分析下傅里葉逆變換的意義傅里

2、葉逆變換就是傅里葉變換的逆過程，在和求內積的時候，只有t時刻的分量內積才會有結果，其余時間分量內積結果為0，同樣積分值是頻率從負無窮到正無窮的積分，就是把信號在每個頻率在t時刻上的分量疊加起來，疊加的結果就是f(t)在t時刻的值，這就回到了我們觀察信號最初的時域。離散付立葉變換的理解FFT是離散傅立葉變換的快速算法，可以將一個信號變換到頻域。有些信號在時域上是很難看出什么特征的，但是如果變換到頻域之后，就很容易看出特征了。這就是很多信號分析采用FFT變換的原因。另外，FFT可以將一個信號的頻譜提取出來，這在頻譜分析方面也是經常用的。 雖然很多人都知道FFT是什么，可以用來做什么，怎么

3、去做，但是卻不知道FFT之后的結果是什意思、如何決定要使用多少點來做FFT。 現在就根據實際經驗來說說FFT結果的具體物理意義。一個模擬信號，經過ADC采樣之后，就變成了數字信號。采樣定理告訴我們，采樣頻率要大于信號頻率的兩倍，這些我就不在此啰嗦了。 采樣得到的數字信號，就可以做FFT變換了。N個采樣點，經過FFT之后，就可以得到N個點的FFT結果。為了方便進行FFT運算，通常N取2的整數次方。 假設采樣頻率為Fs，信號頻率F，采樣點數為N。那么FFT之后結果就是一個為N點的復數。每一個點就對應著一個頻率點。這個點的模值，就是該頻率值下的幅度特性。具體跟原始信號的

4、幅度有什么關系呢？假設原始信號的峰值為A，那么FFT的結果的每個點（除了第一個點直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。而第一個點就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每個點的相位呢，就是在該頻率下的信號的相位。第一個點表示直流分量（即0Hz），而最后一個點N的再下一個點（實際上這個點是不存在的，這里是假設的第N+1個點，也可以看做是將第一個點分做兩半分，另一半移到最后）則表示采樣頻率Fs，這中間被N-1個點平均分成N等份，每個點的頻率依次增加。例如某點n所表示的頻率為：Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到頻率為為Fs/N，如果采樣頻率Fs為1024Hz，采樣點

5、數為1024點，則可以分辨到1Hz。1024Hz的采樣率采樣1024點，剛好是1秒，也就是說，采樣1秒時間的信號并做FFT，則結果可以分析到1Hz，如果采樣2秒時間的信號并做FFT，則結果可以分析到0.5Hz。如果要提高頻率分辨力，則必須增加采樣點數，也即采樣時間。頻率分辨率和采樣時間是倒數關系。 這一部分的描述很不清晰這部分的分析很關鍵,有利于理解excel假設FFT之后某點n用復數a+bi表示，那么這個復數的模就是An=根號a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根據以上的結果，就可以計算出n點（n1，且n<=N/2）對應的信號的表達式為：An/(N/2)*co

6、s(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。對于n=1點的信號，是直流分量，幅度即為A1/N。由于FFT結果的對稱性，通常我們只使用前半部分的結果，即小于采樣頻率一半的結果。 下面以一個實際的信號來做說明。假設我們有一個信號，它含有2V的直流分量，頻率為50Hz、相位為-30度、幅度為3V的交流信號，以及一個頻率為75Hz、相位為90度、幅度為1.5V的交流信號。用數學表達式就是如下：S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)。式中cos參數為弧度，所以-30度和90度

7、要分別換算成弧度。我們以256Hz的采樣率對這個信號進行采樣，總共采樣256點。按照我們上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我們可以知道，每兩個點之間的間距就是1Hz，第n個點的頻率就是n-1。我們的信號有3個頻率：0Hz、50Hz、75Hz，應該分別在第1個點、第51個點、第76個點上出現峰值，其它各點應該接近0。實際情況如何呢？我們來看看FFT的結果的模值如圖所示。從圖中我們可以看到，在第1點、第51點、和第76點附近有比較大的值。我們分別將這三個點附近的數據拿上來細看： 1點： 512+0i 2點： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i 3

8、點： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i 50點：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i 51點：332.55 - 192i 52點：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i 75點：-2.2199E-13 -1.0076E-12i 76點：3.4315E-12 + 192i 77點：-3.0263E-14 +7.5609E-13i 很明顯，1點、51點、76點的值都比較大，它附近的點值都很小，可以認為是0，即在那些頻率點上的信號幅度為0。接著，我們來計算各點的幅度值。分別計算這三個點的

9、模值，結果如下： 1點： 512 51點：384 76點：192 按照公式，可以計算出直流分量為：512/N=512/256=2；50Hz信號的幅度為：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信號的幅度為192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可見，從頻譜分析出來的幅度是正確的。 然后再來計算相位信息。直流信號沒有相位可言，不用管它。先計算50Hz信號的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,結果是弧度，換算為角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再計算75Hz信號的相位，

10、atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度，換算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可見，相位也是對的。根據FFT結果以及上面的分析計算，我們就可以寫出信號的表達式了，它就是我們開始提供的信號。利用Excel進行FFT和Fourier分析的基本步驟杭州市2000人口分布密度 根據2000年人口普查的街道數據經環帶(rings)平均計算得到的結果，數據由馮健博士處理。下面的變換實質是一種空間自相關的分析過程。第一步，錄入數據在Excel中錄入數據不贅述（見表1）。 表1 原始數據序列 表2 補充后的數據序列 第二步，補充數據由于Fourier變換（FT）一般

11、是借助快速Fourier變換（Fast Fourier Transformation, FFT）算法，而這種算法的技術過程涉及到對稱處理，故數據序列的長度必須是2N（N=1,2,3,，）。如果數據序列長度不是2N，就必須對數據進行補充或者裁減。現在數據長度是26，介于24=16到25=32之間，而26到32更近一些，如果裁減數據，就會損失許多信息。因此，采用補充數據的方式。補充的方法非常簡單，在數據序列后面加0，直到序列長度為32=25為止（表2）。當然，延續到64=26也可以，總之必須是2的整數倍。不過，補充的“虛擬數據”越多，變換結果的誤差也就越大。第三步，Fourier變換的選項設置沿著

12、工具（Tools）數據分析（Data Analysis）的路徑打開數據分析復選框（圖1）。圖1 數據分析（Data Analysis）的路徑在數據分析選項框中選擇傅立葉分析（Fourier Analysis）（圖2）。圖2 數據分析（Data Analysis）在Fourier分析對話框中進行如下設置：在輸入區域中輸入數據序列的單元格范圍“$B$1:$B$33”；選中“標志位于第一行（L）”；將輸出區域設為“$C$2”或者“$C$2:$C$33”（圖3a）。a b圖3 傅立葉分析（Fourier Analysis）注意：如果“輸入區域”設為“$B$2:$B$33”，則不選“標志位于第一行（L）

13、”（圖3b）。表3 FFT的結果第四步，輸出FFT結果選項設置完畢以后，確定（OK），立即得到FFT結果（表3）。顯然，表3給出的都是復數（complex numbers）。假定一個數據序列表為f(t)，則理論上Fourier變換的結果為=Ff(t), ()表3中給出的正是相應于F()的復數，這里為角頻率。第五步，計算功率譜Excel好像不能自動計算功率譜，這需要我們利用有關函數進行計算。計算公式為式中A為復數的實部（real number），B為虛部（imaginary number），T為假設的周期長度，實則補充后的數據序列長度。對于本例，T=32。注意復數的平方乃是一個復數與其共軛（co

14、njugate）復數的乘積，若F()=a+bj，則|F()|2=(a+bj)*(a-bj)=a2+b2。這樣，根據表3中的FFT結果，我們有其余依次類推。顯然，這樣計算非常繁瑣。一個簡單的辦法是調用Excel的模數（modulus）計算函數ImAbs，方法是在函數類別中找“其他”，在其他類中找“工程”類，在工程類中容易找到ImAbs函數（圖4）。確定以后，彈出一個選項框，選中第一個FFT結果，確定，得到218701.857（圖5）。我們知道，復數的模數計算公式為圖4 模數計算函數對于第一個FFT結果，由于虛部為0，模數就是其自身，即但對于后面真正的復數，就不一樣了。抓住第一個模數所在的單元格的

15、右下角往下一拉，或者用鼠標雙擊該單元格的右下角，立即得到全部模數。圖5 計算模數最后，用模數的2次方除以數據長度32立即得到全部功率譜密度結果（表4）。表4 功率譜密度下表是利用Mathcad2000計算的功率譜密度（表5）。利用Mathcad進行FFT，過程要簡單得多，只要調用FFT命令，可以直接給出各種結果（包括圖表）。但Mathcad的計算不求精度，有一定誤差。將Mathcad的變換結果copy到Excel中進行比較，可以看到，如果不計誤差，二者是一致的（表4）。表5 借助Mathcad2000進行FFT的結果第六步，功率譜分析功率譜分析目前主要用于兩個方面，一是偵測系統變化的某種周期或

16、者節律，據此尋找因果關系（解釋）或者進行某種發展預測（應用）；二是尋找周期以外的某些規律，據此對系統的時空結構特征進行解釋。表6 以對稱點（f=0.5）為界，從完整的數據序列中截取一半上面基于杭州人口密度數據的FFT，實際上是一種空間自相關分析過程，屬于FT的第二類應用。這種過程不以尋找周期為目標，實際上也不存在任何周期。不論目標是什么，都必須借助頻譜圖（頻率功率譜密度圖）進行分析和解釋。下面第一步就是繪制頻譜圖。首先要計算頻率，線頻或角頻都可以，因為二者相差常數倍（2）。一個簡單的辦法是，用0到T=32的自然數列除以T=32（表6）。如果采用的頻率變化范圍01，則繪制的頻譜圖是對稱的（圖6）

17、。實際上，另一半是多余的，Mathcad2000自動生成的頻譜圖就沒有考慮另外一半兒（圖7）。因此，我們可以以對稱點f=0.5為界，截取前面一半的數據，在Excel上繪制頻譜圖（圖8）。圖6 對稱的頻譜圖（基于完整的數據序列）圖7 Mathcad2000生成的頻譜圖下圖是常用的頻譜圖形式，如果存在周期，則在尖峰突出的最大點可以找到。這個圖中是沒有顯示任何周期的，但并不意味著沒有重要信息。在理論上，如果人口密度分布服從負指數模型，則其頻率與功率譜之間應該滿足如下關系為了檢驗這種推斷，不妨用下式進行擬合這正是噪聲（-noise）表達式。圖8 利用Excel繪制的頻譜圖（常用形式）為了擬合冪指數模型，去掉0頻率點，結果得到, R2=0.9494多種模型比較的結果，發現冪指數模型的擬合效果最好（圖9）。將圖9轉換成對數刻度，擬合效果就尤其明確（圖10）。顯然，=1.79832。圖9 頻譜圖的模型擬合結果（