1、結構穩定理論與設計結構穩定理論與設計東南大學土木工程學院東南大學土木工程學院舒贛平舒贛平 教授教授研究生課程研究生課程結構穩定理論與設計結構穩定理論與設計第第3 3章章 梁（受彎構件）的彎扭失穩梁（受彎構件）的彎扭失穩概概 述述 受彎構件在荷受彎構件在荷載作用下的工作大載作用下的工作大體經歷兩個階段：體經歷兩個階段：（1）僅平面彎曲僅平面彎曲變形；變形；（2）同時出現側同時出現側向變位和扭轉。向變位和扭轉。同壓桿一樣，受彎構件的整體穩定分析也有兩種方法：同壓桿一樣，受彎構件的整體穩定分析也有兩種方法：（1）按理想單向受彎構件研究平衡分枝（第按理想單向受彎構件研究平衡分枝（第1類穩定問題）類穩定

2、問題）；（2）考慮各種缺陷因素及材料非線形按雙向受彎構件研究其考慮各種缺陷因素及材料非線形按雙向受彎構件研究其極限承載力（第極限承載力（第2類穩定問題）類穩定問題）。 1.1.平衡分枝穩定時的荷載平衡分枝穩定時的荷載撓度曲線撓度曲線2.2.考慮幾何非線性和材料非線性時的荷載考慮幾何非線性和材料非線性時的荷載撓度曲線撓度曲線 當考慮初始缺陷（初彎曲、初扭轉、殘余應力等）及當考慮初始缺陷（初彎曲、初扭轉、殘余應力等）及材料非線形時，材料非線形時，不論構件的長短，均有類似的荷載不論構件的長短，均有類似的荷載撓度撓度曲線，一開始加載即產生彎扭變形并處于雙向彎曲的受力曲線，一開始加載即產生彎扭變形并處于

3、雙向彎曲的受力狀態。因此其整體穩定承載力須狀態。因此其整體穩定承載力須按彈塑性階段的雙向受彎按彈塑性階段的雙向受彎構件分析。構件分析。3.1 3.1 純彎構件的彈性彎扭屈曲純彎構件的彈性彎扭屈曲220d2Ayxy xyAyI極回轉半徑平方極回轉半徑平方2200/xyiIIAy3.1 3.1 純彎構件的彈性彎扭屈曲純彎構件的彈性彎扭屈曲xxMvEI xyMuEI uMMRGIEIxxyk 2)(（4） 由（由（2）式解出）式解出u并代入（并代入（4）得：）得： （5） 令：令： 得：得： （6）0)2 uMRMGIEIxxyk0)2(2 yxxykEIMRMGIEI021 kkEIRGIMkkx

4、y21EIEIMkyx222220drARxyAKPiR考慮參與應力影響參數考慮參與應力影響參數Wagner效應系數效應系數（6）式的通解為：）式的通解為： 式中式中 、 （7） （1）兩端簡支梁）兩端簡支梁 由邊界條件由邊界條件 和和 可得：可得： 0; 00; 00uuz)cos()sin()cosh()sinh(24231211zCzCzCzC2422111kkk2422112kkk042CC0422221CC 0; 00; 0uulz0)cos()sin()cosh()sinh(24231211lClClClC0)cos()sin()cosh()sinh(242223221221112

5、1lClClClC0)cos()sin()cos()sin(010)cosh()sinh()cosh()sinh(01022222222221211211121llllllll0)sin()sinh()(2122221ll0)sinh(1l0)sin(2l01nl 2lznCsin3lznEInlMCuyxsin2223222221lEIRGIIIlEIMkyyyycr若不考慮殘余應力，此式與工程設計原理梁的若不考慮殘余應力，此式與工程設計原理梁的整體穩定整體穩定臨界彎矩臨界彎矩相同！相同！（2）兩端固定梁）兩端固定梁 由邊界條件由邊界條件 和和 可得：可得：符合上式的變形函數是：符合上式的變

6、形函數是： 和和臨界彎矩：臨界彎矩： 0; 00; 00uuz0; 00; 0uulz)2cos1 (1lznCu)2cos1 (2lznC2222241)5 . 0(lEIRGIIIlEIMkyyyycr（3）懸臂桿件）懸臂桿件 固定端固定端 自由端自由端 邊界條件：邊界條件： 邊界條件：邊界條件： 符合上式的變形函數是：符合上式的變形函數是： 和和 臨界彎矩：臨界彎矩： （4）桿件具有其他約束條件）桿件具有其他約束條件 引進計算長度系數引進計算長度系數 y、 ，可得臨界彎矩的通式：，可得臨界彎矩的通式：0; 00; 00uuz 00ulz)2cos1 (1lznCu)2cos1 (2lzn

7、C2222241)2(lEIRGIIIlEIMkyyyycr2222221)(lEIRGIIIlEIMkyyyyycr規律？規律？（5）受等端彎矩作用的雙軸對稱截面桿件）受等端彎矩作用的雙軸對稱截面桿件 對對H形、箱形等雙軸對稱截面，因截面不對稱常數形、箱形等雙軸對稱截面，因截面不對稱常數 y=0，得臨界彎矩：得臨界彎矩：或或對兩端簡支桿對兩端簡支桿：222221)(lEIRGIIIlEIMkyyycrkyycrGIlEIEIlM22)(kycrGIlEIEIlM22221lGIEIGIEIlkky3.2 3.2 不相等端彎矩作用的彈性受彎構件不相等端彎矩作用的彈性受彎構件圖示圖示兩端簡支雙軸

8、對稱兩端簡支雙軸對稱截面受彎構件，任意截面處截面受彎構件，任意截面處的彎矩的彎矩Mx為：為：式中式中代入繞代入繞y軸的彎曲屈曲及繞軸的彎曲屈曲及繞z軸的扭轉屈曲軸的扭轉屈曲平衡微分方程：平衡微分方程：lzMMMAxAxx)1 (AxBxMM0)1 (2)1 ( lMlzMMuEIAxAxAxy0)1 ()( ulzMMRGIEIAxAxk221lGIEIGIEIlMkkybcr23 . 005. 175. 11bAxBxbMM4 . 06 . 04 . 06 . 01235. 065. 0MMb1.1.兩端簡支跨中受集中力兩端簡支跨中受集中力 圖示跨中圖示跨中受集中荷載作用受集中荷載作用的的兩

9、端簡支雙軸對稱兩端簡支雙軸對稱截面受彎構截面受彎構件，荷載通過截面的件，荷載通過截面的剪力中剪力中心心且作用點至剪心的距離為且作用點至剪心的距離為 by，構件任意截面處的彎矩，構件任意截面處的彎矩Mx為：為：代入繞代入繞y軸的彎曲屈曲及軸的彎曲屈曲及繞繞z軸的扭轉屈曲平衡微分方軸的扭轉屈曲平衡微分方程：程：zPMyx21021 yyyPzPuEI021)( uzPRGIEIyk3.3 3.3 橫向荷載作用的彈性受彎構件橫向荷載作用的彈性受彎構件上述微分方程適用于上述微分方程適用于z l/2，邊界條件除利用，邊界條件除利用z=0處外，還處外，還可利用跨中處，即：可利用跨中處，即： 以上第以上第3

10、式為跨中扭矩的邊界條件，是由跨中截面的側向式為跨中扭矩的邊界條件，是由跨中截面的側向位移位移u0和扭轉角和扭轉角 0引起。方程仍需用引起。方程仍需用數值法或能量法數值法或能量法求解，解求解，解得的臨界彎矩可表達為下列近似公式：得的臨界彎矩可表達為下列近似公式： 當荷載作用在截面形心上時，當荷載作用在截面形心上時，by=0， 臨界彎矩修正系數：臨界彎矩修正系數： )(2/; 00; 02/00yyybuPEIuEIulz221lGIEIGIEIlMkkybcr自由端受集中荷載作自由端受集中荷載作用的懸臂梁，當建立起繞用的懸臂梁，當建立起繞y軸的彎曲屈曲及繞軸的彎曲屈曲及繞z軸的軸的扭轉屈曲平衡微

11、分方程后，扭轉屈曲平衡微分方程后，亦只能用數值方法或能量亦只能用數值方法或能量法求解，解得的臨界彎矩法求解，解得的臨界彎矩計算公式為：計算公式為：22)2(12lGIEIGIEIlMkkybcr在其他橫向荷載作用下，當在其他橫向荷載作用下，當同時考慮荷載作用形式、荷載同時考慮荷載作用形式、荷載作用點的位置、端部約束條件及截面不對稱影響等諸多因素作用點的位置、端部約束條件及截面不對稱影響等諸多因素時，受彎構件的臨界彎矩可統一表達為下列近似公式的形式：時，受彎構件的臨界彎矩可統一表達為下列近似公式的形式：式中式中 1 臨界彎矩修正系數，取決于荷載作用形式；臨界彎矩修正系數，取決于荷載作用形式； 2

12、 荷載作用點位置影響系數；荷載作用點位置影響系數； a 荷載作用點距剪心的距離，剪心之下為正；荷載作用點距剪心的距離，剪心之下為正； 3單軸對稱截面修正系數，取決于橫向荷載形式；單軸對稱截面修正系數，取決于橫向荷載形式； 截面不對稱系數。截面不對稱系數。)1)(2223232221lEIRGIIIaalEIMkyyyycr022)(21ydAyxyIAxy3.4 3.4 受彎構件的彈塑性彎扭屈曲受彎構件的彈塑性彎扭屈曲 如果梁的側向彎曲長細比不是很大，梁在失穩時如果梁的側向彎曲長細比不是很大，梁在失穩時截面應力截面應力超出彈性范圍，會發生彈塑性彎扭失穩。超出彈性范圍，會發生彈塑性彎扭失穩。 對

13、焊接組合的截面梁，在焊縫近旁處的殘余應力有時高達對焊接組合的截面梁，在焊縫近旁處的殘余應力有時高達材料的屈服強度，當梁一開始受載時，截面就會出現局部范圍材料的屈服強度，當梁一開始受載時，截面就會出現局部范圍的屈服，特別是受壓翼緣局部進入塑性對梁整體穩定會產生不的屈服，特別是受壓翼緣局部進入塑性對梁整體穩定會產生不容忽視的影響。容忽視的影響。求解梁彈塑性彎扭失穩問題，可以采取一個典求解梁彈塑性彎扭失穩問題，可以采取一個典型的截面和典型的殘余應力分布模式，考慮幾何缺陷，用數值型的截面和典型的殘余應力分布模式，考慮幾何缺陷，用數值方法得到梁的臨界彎矩。方法得到梁的臨界彎矩。 xtxMvEI )(xt

14、yMuEI )(uMMRGIEIxxytkt 2)()()1)(2223232221lIERIGIIaalIEMtktyyyytcr3.4 3.4 受彎構件的彈塑性彎扭屈曲受彎構件的彈塑性彎扭屈曲彈塑性階段取不同模量值時對臨界彎矩的影響彈塑性階段取不同模量值時對臨界彎矩的影響Mp為最大彎為最大彎矩截面全截矩截面全截面屈服形成面屈服形成塑性鉸時的塑性鉸時的極限彎矩。極限彎矩。當為跨中集中荷載作當為跨中集中荷載作用時，由于截面上的應力用時，由于截面上的應力分布沿梁長變化，使截面分布沿梁長變化，使截面上剪力中心的位置偏移量上剪力中心的位置偏移量不相等。不相等。若考慮剪力中心若考慮剪力中心軸的偏移，上

15、述公式不能軸的偏移，上述公式不能繼續沿用！繼續沿用！ 有文獻建議可在平衡有文獻建議可在平衡微分方程中引入剪力中心微分方程中引入剪力中心軸與上翼緣的夾角值，或軸與上翼緣的夾角值，或借用楔形梁的彈性彎扭屈借用楔形梁的彈性彎扭屈曲微分方程。曲微分方程。剪剪力力中中心心位位置置改改變變對對臨臨界界彎彎矩矩的的影影響響殘余應力對臨界彎矩的影響殘余應力對臨界彎矩的影響橫向荷載初始偏心對臨界彎矩的影響橫向荷載初始偏心對臨界彎矩的影響3.5 3.5 梁的彎扭失穩理論在設計中的應梁的彎扭失穩理論在設計中的應用用回顧與分析回顧與分析 純彎受力狀態純彎受力狀態2222(1)ykcryEIIGI lMlIEIOhSx

16、yyh21y0b21bniikbtI131324yI hI自由扭轉慣性矩自由扭轉慣性矩約束扭轉慣性矩約束扭轉慣性矩3.5 3.5 梁的彎扭失穩理論在設計中的應梁的彎扭失穩理論在設計中的應用用回顧與分析回顧與分析 單軸對稱截面與一般受力狀態單軸對稱截面與一般受力狀態2222(1)ykcryEIIGI lMlIEIOhSxyyh21y0b21b對比？對比？2221232322()(1)ytcryEIIGI lMcc ac bc ac blIEI)1)(2223232221lEIRGIIIaalEIMkyyyycr3.5 3.5 梁的彎扭失穩理論在設計中的應梁的彎扭失穩理論在設計中的應用用回顧與分析

17、回顧與分析 單軸對稱截面與一般受力狀態單軸對稱截面與一般受力狀態OhSxyyh21y0b21b2221232322()(1)ytcryEIIGI lMcc ac bc ac blIEIS1c2c3ca35. 11c55. 02c40. 03c13. 11c46. 02cb53. 03c00. 11c00. 02c00. 13c3.5 3.5 梁的彎扭失穩理論在設計中的應梁的彎扭失穩理論在設計中的應用用回顧與分析回顧與分析 整體穩定的影響因素整體穩定的影響因素OhSxyyh21y0b21b2221232322()(1)ytcryEIIGI lMcc ac bc ac blIEI 與荷載類型有關與

18、荷載類型有關 純彎受力狀態純彎受力狀態 跨中集中荷載受力狀態跨中集中荷載受力狀態 與荷載的作用位置有關與荷載的作用位置有關Mdudzdzdudzdv( a )( c )( b )( d )與梁的剛度與梁的剛度( (截面形式截面形式) )有關有關 梁的側向剛度梁的側向剛度 , ,顯著顯著! ! 梁的抗扭剛度梁的抗扭剛度 和抗翹曲剛度和抗翹曲剛度yEItGIEI與受壓翼緣的自由長度與受壓翼緣的自由長度 有關有關1l1lcrM3.5 3.5 梁的彎扭失穩理論在設計中的應梁的彎扭失穩理論在設計中的應用用回顧與分析回顧與分析 單軸對稱截面與一般受力狀態單軸對稱截面與一般受力狀態OhSxyyh21y0b2

19、1b 無論跨中有無側向支承，在支座處均應采無論跨中有無側向支承，在支座處均應采取構造措施以防止梁端截面的扭轉！取構造措施以防止梁端截面的扭轉！夾支！夾支！3.5 3.5 梁的彎扭失穩理論在設計中的應梁的彎扭失穩理論在設計中的應用用 鋼結構設計中，為了保證梁不發生彎扭失穩，要求鋼結構設計中，為了保證梁不發生彎扭失穩，要求梁的最大壓應力不應大于對應臨界彎矩梁的最大壓應力不應大于對應臨界彎矩 的臨界壓的臨界壓應力應力 。 fWMxbx式中：式中：Mx為繞強軸作用的最大彎矩；為繞強軸作用的最大彎矩； Wx為按受壓纖維確定的梁毛截面的抵抗矩為按受壓纖維確定的梁毛截面的抵抗矩 為梁的整體穩定系數。為梁的整體穩定系數。 bfffWMbyyycrRcrxxcrMcrcrcrbxyyMW ff3.5 3.5 梁的