1、4.1 多 邊 形（1）由這些圖片你由這些圖片你抽象出什么幾抽象出什么幾何圖形？何圖形？不在同一直線上的三條線段首位順次連接不在同一直線上的三條線段首位順次連接而成的圖形稱為三角形而成的圖形稱為三角形.三角形的邊三角形的邊三角形的內角三角形的內角三角形的頂點三角形的頂點三角形的內角和為三角形的內角和為180。外角外角三角形不在同一頂點三角形不在同一頂點的三個外角和為的三個外角和為360。ABCD想一想：你能根據三角形的定義類比想一想：你能根據三角形的定義類比出四邊形的定義嗎出四邊形的定義嗎?四邊形：四邊形：不在同一直線上的四條線段首尾不在同一直線上的四條線段首尾順次連接而成的圖形。順次連接而成

2、的圖形。邊邊內角內角頂點頂點外角外角運用運用類比類比的思想方法的思想方法可以讓我們辨別不同可以讓我們辨別不同概念之間的區別和聯概念之間的區別和聯系系. 大家說說怎樣的圖形是四邊形？大家說說怎樣的圖形是四邊形？ABCDE凹四邊形溫馨提示：我們現在所學的是凸多邊形，即多邊形的各邊都在溫馨提示：我們現在所學的是凸多邊形，即多邊形的各邊都在 任意一條邊所在直線的同一側。任意一條邊所在直線的同一側。CDBA三角形的熟悉概念三角形的熟悉概念內角內角四邊形的未知概念四邊形的未知概念邊邊頂點頂點DACB運用運用類比類比的思想方法可以讓我們的思想方法可以讓我們辨別不同概念之間的區別和聯系辨別不同概念之間的區別和

3、聯系.ABC邊邊內角內角頂點頂點 ABC四邊形四邊形ABCDEE外角外角外角外角ABCD四邊形的四邊形的邊邊：組成四邊形的這些線段。：組成四邊形的這些線段。 四邊形的表示法：四邊形的表示法：四邊形的內角：相鄰兩邊所組成的角。四邊形的內角：相鄰兩邊所組成的角。 如線段如線段AB，BC。如如A， D。 拿起你手中的四邊形剪下它的四個角，拿起你手中的四邊形剪下它的四個角，把它們拼在一起（四個角的頂點重合），你發把它們拼在一起（四個角的頂點重合），你發現了什么？其他同學與你的發現相同嗎？你能現了什么？其他同學與你的發現相同嗎？你能把你把你 的發現概括成一個命題嗎？的發現概括成一個命題嗎？ABCD猜：四

4、邊形猜：四邊形的四個內角的四個內角和是多少？和是多少？ 四邊形內角和四邊形內角和等于等于360 在一張紙上任意畫一個四邊在一張紙上任意畫一個四邊形形,剪下它的四個角剪下它的四個角, 把它們拼在把它們拼在一起一起(四個角的頂點重合四個角的頂點重合).你發現你發現了什么了什么? 其他同學與你的發現相其他同學與你的發現相同嗎同嗎?DCBA一般地一般地, ,四邊形有以下的定理四邊形有以下的定理: 你能把你的發現概括成你能把你的發現概括成一個命題嗎一個命題嗎?探索：四邊形的內角和等于探索：四邊形的內角和等于360 已知：四邊形已知：四邊形ABCD（如圖）（如圖）求證：求證： A+B+ C+ D=360

5、ABCD證明：連結證明：連結AC B+BAC+ BCA =180 D+DCA+ CAD =180 (三角形三個內角的和等于三角形三個內角的和等于180 ) B+BAC+ BCA+ D+DCA+ CAD =180 + 180 = 360即即BAD+B+BCD+D=360 你還有其他添輔助線方法來證明嗎你還有其他添輔助線方法來證明嗎? 4人小組合作人小組合作,共同探討共同探討 其他的證明方法其他的證明方法.ABCDP探索：探索： 四邊形的內角和等于四邊形的內角和等于360 證明思路：證明思路： 四邊形的內角和四邊形的內角和=3個三角形的內角和個三角形的內角和1個平角個平角 =3180180 =36

6、0ABCD O 證明思路：證明思路：四邊形的內角和四邊形的內角和=4個三角形的內角和一個三角形的內角和一1個周角個周角 =4180360 =360探索：探索： 四邊形的內角和等于四邊形的內角和等于360 探索：探索： 四邊形的內角和等于四邊形的內角和等于360 ABCDP 證明思路：證明思路：四邊形的內角和四邊形的內角和=3個三角形的內角和一個三角形的內角和一1個個三角形的內角和三角形的內角和 =3180180 =360探索：探索： 四邊形的內角和等于四邊形的內角和等于360 ABCD 證明思路：證明思路：四邊形的內角和四邊形的內角和=2個三角形的內角和個三角形的內角和+1對同旁內角和對同旁內

7、角和一一2個個直角直角 =2180+ 180 180 =360探索：探索： 四邊形的內角和等于四邊形的內角和等于360 ABCDE過點過點D作作DEBC 證明思路：證明思路：四邊形的內角和四邊形的內角和=1個三角形的內角和個三角形的內角和+2對同旁內角的和對同旁內角的和 一一1個個平角平角 =180+2 180 180 =360探索：探索： 四邊形的內角和等于四邊形的內角和等于360 ABCD 證明思路：證明思路：四邊形的內角和四邊形的內角和=2個平角個平角+1個個三角形的內角和一三角形的內角和一1個三個三 角形的內角和角形的內角和 =2180+ 180 180 =360=2個平角個平角=21

8、80=360E探索：探索： 四邊形的內角和等于四邊形的內角和等于360 ABCD 證明思路：證明思路：四邊形的內角和四邊形的內角和=4個三角形的內角和一個三角形的內角和一1個周角個周角 =4180360 =360O。ABCD探索：探索： 四邊形的內角和等于四邊形的內角和等于360 E 證明思路：證明思路：四邊形的內角和四邊形的內角和=1個周角個周角=360ABCD探索：探索： 四邊形的內角和等于四邊形的內角和等于360 EF 證明思路：證明思路：四邊形的內角和四邊形的內角和=2個三角形的內角和個三角形的內角和=2180 =360ABCD探索：探索： 四邊形的內角和等于四邊形的內角和等于360

9、探索：探索： 四邊形的內角和等于四邊形的內角和等于360 ABCDABCDABCDABCDABCD四邊形問題通常要轉化為四邊形問題通常要轉化為 來解決，而來解決，而連結連結 是其常用輔助線之一是其常用輔助線之一三角形三角形 對角線對角線如圖，四邊形風箏的四個內角如圖，四邊形風箏的四個內角AA、BB、CC、DD的度數之比為的度數之比為1 1 0.6 1，求它的四個內角的度數求它的四個內角的度數（四邊形的內角和等于（四邊形的內角和等于360）度，設xA 03606 . 0 xxxx則100 x解得：000600.6100C ,100DBAABCDA+ B+ C+ D=360A、B、C、D的度數的度

10、數之比為之比為1 1 0.6 1，解解:1.已知四邊形已知四邊形ABCD中，中， A80 , B60, C=70則則D=_.3. 如圖，在四邊形如圖，在四邊形ABCD中，中， A=85 ，D110 ， 1的外角是的外角是71 ，則，則1_,2_.B85 ADC110 271 1150 128 10956 2.已知四邊形已知四邊形ABCD中，中， A與與C互互補，補，B80 ，則，則D.1004.已知四邊形已知四邊形ABCD中，中， A72 , B： C ： D =4：2：3 ,則其中則其中最大的角為最大的角為 . 四邊形的內角和四邊形的內角和=360 用一批大小用一批大小,形狀一樣的四邊形木板

11、形狀一樣的四邊形木板,可以拼成大面積的地板。可以拼成大面積的地板。四邊形的外角：由四邊形四邊形的外角：由四邊形的角的一邊與另一邊的反的角的一邊與另一邊的反向延長線組成的角。如向延長線組成的角。如CDEEDABC2134四邊形的四個四邊形的四個不同頂點的外不同頂點的外角之和等于多角之和等于多少度？少度？推論：四邊形推論：四邊形的外角和等于的外角和等于360妞妞原先站在妞妞原先站在A處面朝處面朝B。按逆時針方向走一圈回到。按逆時針方向走一圈回到A出，然后轉出，然后轉一個角度一個角度 1使面仍朝使面仍朝B。很明顯她一共旋轉了多少度？這也驗證。很明顯她一共旋轉了多少度？這也驗證了四邊形的什么性質定理了

12、四邊形的什么性質定理？妞妞原先站在妞妞原先站在A處面朝處面朝B。按逆時針方向走一圈回到。按逆時針方向走一圈回到A出，然后轉出，然后轉一個角度一個角度 1使面仍朝使面仍朝B。很明顯她旋轉了多少度？這也驗證了。很明顯她旋轉了多少度？這也驗證了四邊形的什么性質定理？四邊形的什么性質定理？妞妞原先站在妞妞原先站在A處面朝處面朝B。按逆時針方向走一圈回到。按逆時針方向走一圈回到A出，然后轉出，然后轉一個角度一個角度 1使面仍朝使面仍朝B。很明顯她一共旋轉了多少度？這也驗證。很明顯她一共旋轉了多少度？這也驗證了四邊形的什么定理？了四邊形的什么定理？ ？四邊形的什么性質定理？探索探索(2)：四邊形的外角和等

13、于多少度？：四邊形的外角和等于多少度？已知：如圖，1 , 2,3 ,4 是四邊形的四個外角。 求： 1 2+ 3 +4 =？1DABC234解解: 1+ =2+ = 3+= 4+= 180 1+ +2+ + 3+ 4+ =4 180= 720 即即: ( 1+2 + 3 + 4)+ ( + + +) = 720 + + +=360(根據四邊形的內角和是根據四邊形的內角和是360) 1 + 2 + 3 +4 = 720 360= 360 推論推論: 四邊形的外角和等于四邊形的外角和等于360 探究新知探究新知拓拓拓1 1 1外角外角外角拓拓拓2 2 2小結小結小結ABCDACABCADCCD A

14、B 如圖，四邊形中，。求證：ACBDA AB BC CD DE EF F3 34 4BADC1 12 2EF拼接拼接拼接例例例1 1 1練習練習練習外角外角外角三角形三角形 四邊形四邊形 圖形圖形 定義定義 頂點個數頂點個數 邊的條數邊的條數 表示法表示法 內角和內角和外角和外角和 ABCDABC由不在同一條直線上的三條由不在同一條直線上的三條線段首尾相接所組成的圖形線段首尾相接所組成的圖形叫三角形叫三角形3個個3條條可以表示為可以表示為 ABC、 BCA、 CAB等等180 360360在同一平面內在同一平面內，由不在同一直，由不在同一直線的四條線段線的四條線段首尾順次相接首尾順次相接組組成的圖形叫做四邊形。成的圖形叫做四邊形。4個個4條條可以表示為四邊形可以表示為四邊形ABCD、四、四邊形邊形BCDA、四邊形、四邊形C