1、函數(shù)及解析式函數(shù)及解析式問題一：以下對應中，哪些是映射？問題一：以下對應中，哪些是映射？1-12-214f：平方：平方12341964張三張三李四李四王五王五趙高趙高劉邦劉邦關(guān)公關(guān)公ABBBAA圖圖1圖圖2圖圖35743194AB圖圖4對函數(shù)要注意：對函數(shù)要注意：1、函數(shù)是映射，映射不一定是函數(shù)，只有兩非、函數(shù)是映射，映射不一定是函數(shù)，只有兩非空數(shù)集之間的映射才是函數(shù)；空數(shù)集之間的映射才是函數(shù)；2、要克服、要克服“函數(shù)就是解析式函數(shù)就是解析式”的片面認識，有的片面認識，有此對應法則很難甚至于無法用解析式表達（可此對應法則很難甚至于無法用解析式表達（可用列表法圖象法表示出來）用列表法圖象法表示出

2、來）3、定義域、定義域=原象集合原象集合A，值域，值域C 象集合象集合B。3、對函數(shù)符號、對函數(shù)符號f（X）的涵義的理解：）的涵義的理解： f（X）是表示一個整體符號，而記號）是表示一個整體符號，而記號“f”可可看作是對看作是對“x”施加的某種法則（或運算）施加的某種法則（或運算） “f”可看作一部機器，把可看作一部機器，把“x”輸入輸入“f”中，中，輸出函數(shù)值。輸出函數(shù)值。4、函數(shù)有三要素：定義域、值域、對應法則。、函數(shù)有三要素：定義域、值域、對應法則。只有當兩個函數(shù)的三要素相同時，它們才是同只有當兩個函數(shù)的三要素相同時，它們才是同一函數(shù)。一函數(shù)。5、定義域優(yōu)先原則：函數(shù)定義域是函數(shù)的靈魂，

3、它是、定義域優(yōu)先原則：函數(shù)定義域是函數(shù)的靈魂，它是研究函數(shù)的基礎(chǔ)依據(jù)，對函數(shù)性質(zhì)的討論，必須在定義研究函數(shù)的基礎(chǔ)依據(jù)，對函數(shù)性質(zhì)的討論，必須在定義域上進行，堅持定義域優(yōu)先的原則，之所以要做到這一域上進行，堅持定義域優(yōu)先的原則，之所以要做到這一點，不僅是為了防止出現(xiàn)錯誤，有時，優(yōu)先考慮定義域點，不僅是為了防止出現(xiàn)錯誤，有時，優(yōu)先考慮定義域還會解題帶來很大的方便。還會解題帶來很大的方便。一、判斷兩個函數(shù)是否是同一函數(shù)一、判斷兩個函數(shù)是否是同一函數(shù)例例1、下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是、下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是： （ ）2332)(|,|.,.1, 11., 1.xyxyDxyxyCxyx

4、xyBxxyyA變式：下列四組函數(shù)中，其函數(shù)圖像相同的是（變式：下列四組函數(shù)中，其函數(shù)圖像相同的是（ ）33222220,0,)(0,)(.|,)(.1,.xyxxxxyDxyxxCyxyxyByxyACD二、對函數(shù)概念的理解二、對函數(shù)概念的理解)()(,)(,20|,22|:2的圖象可能是則值域為定義域為的函數(shù)設(shè)例xfNMxfyyNxxM-22xy-22xy-22xy-22xyOOOO222ABCD變式：已知函數(shù)變式：已知函數(shù)f（x）的定義域為）的定義域為-2，4，在同一坐，在同一坐標系下，函數(shù)標系下，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線）的圖象與直線x=2的交點個數(shù)是的交點個數(shù)是（ ） A、0個個

5、 B、1個個 C、2個個 D、0個或個或1個個B三、對映射概念的理解三、對映射概念的理解例例3、設(shè)、設(shè)f：MNN是集合是集合M M到集合到集合N N的映射，下的映射，下列說法正確的是（列說法正確的是（ ）A A、M M中每一個元素在中每一個元素在N N中必有象；中必有象；B B、N N中第一個元素在中第一個元素在M M中必有原象；中必有原象；C C、N N中每一個元素在中每一個元素在M M中的原象是唯一的；中的原象是唯一的；D D、N N是是M M中所有元素的象的集合。中所有元素的象的集合。A變式：映射變式：映射f：ABB，其中，其中A=-3A=-3，-2-2，-1-1，1 1，2 2，3 3

6、，44，集合，集合B B中元素都是中元素都是A A中的元素在映射中的元素在映射f f下的象，且對下的象，且對于任意的于任意的a aA，在集合，在集合B中和它對應的元素是中和它對應的元素是|a|，則，則B中元素有（中元素有（ ） A、4個個 B、5個個 C、6個個 D、7個個A五、對函數(shù)符號五、對函數(shù)符號f（x）的理解）的理解21.81.8 .2 .)()3(,2,)21(2),2()(:5DCBAfxxxfxfx的值為則已知函數(shù)例C53.53.1.1 .)()21()2(,11)(:122DCBAffxxxf則函數(shù)變式B求函數(shù)的定義域求函數(shù)的定義域1. 方方 法法: 常規(guī)方法常規(guī)方法v 分母分

7、母v 根式根式(開偶次方開偶次方)v 真數(shù)真數(shù)v 底數(shù)底數(shù)v 指數(shù)為零指數(shù)為零 時，底數(shù)不為零時，底數(shù)不為零 例例 題題:的定義域求函數(shù)265)(:12xxxxf練練 習習:的定義域求函數(shù)21)1()1 (log)(:1xxfxx2.復合函數(shù)求定義域的幾種題型的定義域求的定義域已知一題型)(,)(: )(xgfxf的定義域求的定義域是若例) 12(,2 , 0)(. 2xfxf的定義域求的定義域是若練習)(,2 , 0)(:22xfxf 的定義域求的定義域已知題型二)(,: )(xfxgf的定義域求的定義域已知例)(,5 , 1(12:3xfxf的定義域求的定義域已知)52(,5, 1) 12

8、(xfxf練習3:題型三：已知函數(shù)的定義域，求含參數(shù)的取值范圍題型三：已知函數(shù)的定義域，求含參數(shù)的取值范圍的定義域是一切實數(shù)函數(shù)為何值時當例347,:2kxkxkxyk430:, 0:0)2(kK解得時當時當知綜上430,)2(),1 ( k恒成立對分母可知的定義域為一切實數(shù)由Rxkxkxkxkxkxy034,34722 (1)當當K=0時時, 30成立成立的定義域是一切實數(shù)3472kxkxkxy解解:Rmxmxym的定義域是為何值時當練習 53lg 42歸納小結(jié)：求定義域的方法：歸納小結(jié)：求定義域的方法：（1）常規(guī)求定義域的方法（1）分母（2）根式（開偶次方）（3）真數(shù)（4）底數(shù)（5）指數(shù)為

9、零時，底數(shù)不為0（4）已知函數(shù)的定義域,求 含參數(shù)的取值范圍 的定義域求的定義域已知 ,)()2(xgfxf 的定義域求的定義域）已知（)(, 3xfxgf布置作業(yè)布置作業(yè)：的定義域求函數(shù))432(log 1)(1)12(20 xxxfx的定義域，求的定義域是已知函數(shù)xfyxf2 , 2)(2的定義域求的定義域是函數(shù)已知)31 (,2 , 012 3xfxf 的取值范圍求實數(shù)定義域是的，若已知函數(shù)aRxfxaxaxf,)(1) 1() 1(lg422求函數(shù)的解析式求函數(shù)的解析式求函數(shù)的解析式求函數(shù)的解析式 把兩個變量的函數(shù)關(guān)系，用一個等式來表示，把兩個變量的函數(shù)關(guān)系，用一個等式來表示，這個等式

10、叫函數(shù)的解析式，簡稱解析式。這個等式叫函數(shù)的解析式，簡稱解析式。 函數(shù)解析式的常用方法有：函數(shù)解析式的常用方法有： 待定系數(shù)法待定系數(shù)法 換元法換元法 解函數(shù)方程組法解函數(shù)方程組法 代入法代入法湊配法湊配法 在給定條件下求函數(shù)的解析式在給定條件下求函數(shù)的解析式 f(x), 是高中數(shù)學中經(jīng)常涉是高中數(shù)學中經(jīng)常涉及的內(nèi)容及的內(nèi)容, 形式多樣形式多樣, 沒有一定的程序可循沒有一定的程序可循, 綜合性強綜合性強, 解起解起來有相當?shù)碾y度來有相當?shù)碾y度, 但是只要認真仔細去探索但是只要認真仔細去探索, 還是有一些常用還是有一些常用之法之法. 下面談談求函數(shù)解析式下面談談求函數(shù)解析式 f(x) 的方法的方

11、法.（一）、待定系數(shù)法（一）、待定系數(shù)法( )f x2 2(2)f x(2)fx 設(shè)二次函數(shù)設(shè)二次函數(shù) 滿足滿足 且圖象在且圖象在 軸上的截距為軸上的截距為1，在，在 軸截軸截得的線段長為得的線段長為 ，求，求 的解析式。的解析式。xy( )f x例例1 解法一、122 2xxa2248baca21( )212f xxx1c 又1,2,12abc解得2( )(0)f xaxbxc a設(shè)(2)(2)f xfx 由40ab得 解法二、解法二、 (0)1f41ak122 2xx22 2ka1,12ak 221( )(2)121212f xxxx( )yf x2x 得得 的對稱軸為的對稱軸為(2)(2

12、)f xfx 由由2( )(2)f xa xk設(shè)設(shè) 解法三、解法三、(0)1f12a21( )(22)(22)21212f xxxxx( )yf x2x 有對稱軸122 2xx又( )yf xx( 22,0) , ( 22,0) 與 軸交點為( )(22)(22)f xa xx故設(shè)變式變式: 設(shè)設(shè) f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x- -1, 求求 f(x). 解解: 由原式可知由原式可知 fg(x) 中的中的 g(x) 一個是一個是 2x, 另一個是另一個是 3x+1, 都是一次式都是一次式. 而右端是二次式，故而右端是二次式，故 f(x) 是一個二次式是一個二次式, 則可設(shè)則可設(shè):

13、 f(x)=ax2+bx+c, 從而有從而有: f(2x)+f(3x+1)=13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c). 比較系數(shù)得比較系數(shù)得: a=1, b=0, c=- -1. 從而有從而有: f(x)=x2- -1. 評注評注: 先分析出先分析出 f(x) 的基本形式的基本形式, 再用待定系數(shù)法再用待定系數(shù)法, 求出各求出各系數(shù)系數(shù).又由已知又由已知 f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x- -1, 13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c) 與與 13x2+6x- -1 表示同一個式子表示同一個式子, 即即 13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c)13x2+6x- -

14、1 . （二）、換元法（二）、換元法( )f x211(1) (1)1fxx2211(2) ()f xxxx例例2、根據(jù)條件，分別求出函數(shù)、根據(jù)條件，分別求出函數(shù) 的解析式的解析式22( )(1)12f tttt11tx（1）解：令）解：令11tx 1t 則則且且2( )2f xxx(1)x 即即換元法換元法2( )2f xx(2)x 湊配法湊配法x1xx用用 替代式中的替代式中的12xx又考慮到又考慮到211()()2f xxxx（2）解：解：所以所以 f(x)=2lnx- -3 (x0). 評注評注: 通過換元通過換元, 用用“新元新元”代替原表達式中的代替原表達式中的“舊元舊元”, 從而

15、求得從而求得 f(x). 又如又如: 已知已知 f(cosx- -1)=cos2x. 求求 f(x). 變式變式: 已知已知 f(ex)=2x- -3, 求求 f(x). 解解: 設(shè)設(shè) t=ex, 則則 x=lnt 且且 t0, 有有: f(t)=2lnt- -3 (t0). f(x)=2x2+4x+1(- -2x0) （三）、解函數(shù)方程組法（三）、解函數(shù)方程組法13 ( )2 ( )f xfxx(0)x( )f x例3、已知 ， 求13 ( )2 ( )113 ( )2 ( )f xfxxff xxx解：由32( )55xf xx(0)x 解得變式變式已知已知 f(x)+f( )=1+x (

16、x0, 1), 求求 f(x). xx- -1解解: 記題中式子為式記題中式子為式, 用用 代替中的代替中的 x, 整理得整理得:xx- -1f( )+f( )= , xx- -11- -x1x2x- -1再用再用 代替中的代替中的 x, 整理得整理得:1- -x1f( )+f(x)= , 1- -x11- -x2- -x解由解由 , , 組成的方程組組成的方程組, 得得: 2x(x- -1)x3- -x2- -1f(x)= . 評注評注: 把把 f(x), f( ), f( ) 都看作都看作“未知數(shù)未知數(shù)”, 把已知條把已知條件化為方程組的形式解得件化為方程組的形式解得 f(x). 又如又如

17、: 已知已知 af(x)+bf( )=cx, 其其中中, |a|b|, 求求 f(x). xx- -1 1- -x 1 1xf(x)= (ax- - ). a2- -b2cbx（四）、代入法（四）、代入法1( )f xxx1C1C(2,1)A2C2C( )g x例例4、設(shè)函數(shù)、設(shè)函數(shù) 的圖象為的圖象為 ， 關(guān)于點關(guān)于點 對稱的圖象為對稱的圖象為 ， 求求 對應的函數(shù)對應的函數(shù) 的表達式。的表達式。( )yg x( , )x y(2,1)A(4,2)xy( )yf x 設(shè) 圖象上任一點 ，則關(guān)于 對稱點為 在 上，解：1244yxx即124yxx即1( )24g xxx(4)x 故例例5 已知已

18、知 fff(x)=27x+13, 且且 f(x) 是一次式是一次式, 求求 f(x). 解解: 由已知可設(shè)由已知可設(shè) f(x)=ax+b, 則則: 五、迭代法五、迭代法ff(x)=a2x+ab+b. fff(x)=a3x+a2b+ab+b. 由題意知由題意知: a3x+a2b+ab+b27x+13. 比較系數(shù)得比較系數(shù)得: a=3, b=1. 故故 f(x)=3x+1. 評注評注: 本題的解法除了用迭代法本題的解法除了用迭代法, 還用了待定系數(shù)法還用了待定系數(shù)法. 課堂練習課堂練習1.已知已知 f(x) 是一次函數(shù)是一次函數(shù), 且且 ff(x)=4x- -1, 求求 f(x) 的解析式的解析式

19、.5.若若 3f(x- -1)+2f(1- -x)=2x, 求求 f(x).2.已知已知 f(4x+1)= , 求求 f(x) 的解析式的解析式. 4x+616x2+14.已知已知 2f(x)+f(- -x)=10 x , 求求 f(x). 6.已知已知 f(0)=1, f(a- -b)=f(a)- -b(2a- -b+1), 求求 f(x). 7.已知已知 f(x) 是是 R 上的偶函數(shù)上的偶函數(shù), 且且 f(x+4)=f(- -x), 當當 x(- -2, 2)時時, f(x)=- -x2+1, 求當求當 x(- -6, - -2) 時時 f(x) 的解析式的解析式.f(x)=- -2x+

20、1 或或 2x- - 13x+5 x2- -2x+2 f(x)= f(x)=x2- -1(x1) f(x)= 10 x - - 10- -x 1323f(x)=2x+ 25f(x)=x2+x+1 f(x)=- -x2- -8x- -158.已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)= 求求 f(x+1) . x2, x 0, +), , x(-(-, 0) ), 1xf(x+1)= (x+1)2, x - -1, +). , x(-(-, - -1) ), x+1 1 3.已知已知 f( x +1)=x+2 x , 求求 f(x). 9.已知已知 F(x)=f(x)- -g(x), 其中其中 f(x)=log

21、a(x- -b), 當且僅當點當且僅當點 (x0, y0)在在 f(x) 的圖象上時的圖象上時, 點點 (2x0, 2y0) 在在 y=g(x) 的圖象上的圖象上( (b1, a0 且且a1) ), (1)求求 y=g(x) 的解析式的解析式; (2)當當 F(x)0 時時, 求求 x 的范圍的范圍.解解: (1) 由已知由已知 y0=loga(x0- -b),2y0=g(2x0) g(x)=2loga( - -b). x2(2) 由由(1) 知知: F(x)=f(x)- -g(x)=loga(x- -b)- -2loga( - -b). x2故由故由 F(x)0 可得可得: loga(x-

22、-b)2loga( - -b). x2當當 a1 時時, x- -b( - -b)2, x2- -b0, x2解得解得: 2bx2b+2+2 b+1 . 解得解得: x2b+2+2 b+1 . 當當 0a0, x2綜上所述綜上所述: 當當 a1 時時, 2bx2b+2+2 b+1 ; 當當 0a1 時時, x2b+2+ 2 b+1. 函數(shù)值域的常見解法1函數(shù)的值域的定義在函數(shù)y=f(x)中，與自變量x的值對應的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。知識點知識點2確定函數(shù)的值域的原則當函數(shù)y=f(x)用表格給出時，函數(shù)的值域是指表格中實數(shù)y的集合；當函數(shù)y=f(x)用圖象給出時，函數(shù)的值

23、域是指圖象在y軸上的投影所覆蓋的實數(shù)y的集合；當函數(shù)y=f(x)用解析式給出時，函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域及其對應法則唯一確定；當函數(shù)y=f(x)由實際問題給出時，函數(shù)的值域由問題的實際意義確定。 3求函數(shù)值域的方法直接法:從自變量x的范圍出發(fā)，推出y=f(x)的取值范圍二次函數(shù)法：利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域反函數(shù)法：將求函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為求它的反函數(shù)的值域判別式法：運用方程思想，依據(jù)二次方程有根，求出y的取值范圍；單調(diào)性法：利用函數(shù)的單調(diào)性求值域；不等式法：利用平均不等式求值域；圖象法：當一個函數(shù)圖象可作時，通過圖象可求其值域求導法：當一個函數(shù)在定義域上可導時，可據(jù)其導數(shù)求最值，再得值域；幾何意義法：由數(shù)形結(jié)