1、精品文檔勾股定理（知識點）【知識要點】1. 勾股定理的概念：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為 c，那么 a 2 b2c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。B弦 ca 勾AC常用關系式b 股由三角形面積公式可得：AB· CD=AC· BC2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c 有下面關系： a2 b2 c2，那么這個三角形是直角三角形，其中 c 為斜邊。3. 勾股數 ：滿足 a2 b2 c2 的三個 正整數 叫做勾股數（注意： 若 a，b， c、為勾股數，那么 ka， kb， kc 同樣也是勾股數組。 ）記住常見的勾股數可以提高解題速

2、度，如3,4,5；6,8,10；7,24,25；8,15,17等5,12,13用含字母的代數式表示n 組勾股數：n21,2n,n 21 （ n2, n為正整數）；2n1,2n22n,2 n22n1 （ n 為正整數）m2n 2 ,2mn, m2n 2 （ mn, m ， n 為正整數）4. 判斷直角三角形 ：（ 1）有一個角為 90°的三角形是直角三角形。（ 2）有兩個角互余的三角形是直角三角形。（ 3）如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。（ 4）如果三角形的三邊長 a、 b、 c 滿足 a2+b2=c2 ，那么這個三角形是直角三角形。（經典直角三角形：

3、勾三、股四、弦五）用勾股定理逆定理判斷三角形是否為直角三角形的一般步驟是：（ 1）確定最大邊（不妨設為 c）；（ 2）若 c2 a2 b2，則 ABC是以 C 為直角的三角形；若 a2 b2 c2，則此三角形為鈍角三角形（其中c 為最大邊）；若 a2 b2 c2，則此三角形為銳角三角形（其中c 為最大邊）5. 直角三角形的性質（ 1）直角三角形的兩個銳角互余。可表示如下：C=90° A+ B=90°。1 歡迎下載精品文檔（ 2）在直角三角形中， 30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。 A=30°可表示如下：BC=1 AB2 C=90°（ 3）直角

4、三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。 ACB=90°可表示如下：CD=1AB=BD=AD2D為 AB的中點6. 數軸上表示無理數第一步：分析所有表示二次根式中被開方數可以寫成哪兩個有理數的和第二步：在數軸上畫出其中一個有理數，以該有理數為垂足做垂線，在垂線上標出第二個有理數的長度。連接端點和原點，以原點為圓心，端點為半徑畫圓，于數軸交點即為所有無理數。勾股定理專項練習。2 歡迎下載精品文檔一、基本應用考點 1：勾股定理1. 下列是勾股數的一組是（ D ）A.4,5,6B.5,7,12C.12,13,15D.21,28,352. ABC中，A： B： C=2：1：1，a，b，c 分別是

5、A、 B、 C的對邊，則下列各等式中成立的是（）A.a 2+b2=c2B.a2=2b2C.c2=2a2D.b2=2a23. 矩形 ABCD,AB=5 cm,AC=13 cm,則這個矩形的面積為60 cm2.4.如圖，在 ABC中， BAC=90o，AB=15，AC=20，AD BC，垂足為 D，則 ABC斜邊上的高 AD=125. 已知等腰三角形底邊長為 10cm，腰長為 13cm，則腰上的高 為( C )A.12cmB.60cmC.120cmD.10 cm1313136.一個直角三角形的三邊為三個連續偶數，則它的三邊長分別為6 ， 8，107.（易錯題）已知直角三角形的兩邊x， y 的長滿足

6、 x 4 +y 3=0，則第三邊的長為5 或.8.若直角三角形的三邊長分別為2，4， x，則 x 的可能值有（）A.1 個B.2個C.3個D.4個9.已知直角三角形兩邊長分別為3、4，則第三邊長為10. 已知直角三角形的兩直角邊之比為3：4，斜邊為 10，則直角三角形的兩直角邊的長分別為11. 如圖，分別以 Rt ABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用S 、S 、S 表示，容易得出S 、S、12312S 之間有的關系式 S1+S =S32312. （易錯題）如圖，已知在 Rt ABC中 ACB=90°， AB=4，分別以 AC，BC為直徑作半圓，面積分別記為S1， S2，則 S

7、1+S2 的值等于2 13. 如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形邊長為7cm，則正方形 A， B， C，D 的面積之和為49 cm2。第 4 題第11題第12題第13題14. 在 Rt ABC， C=90°（ 1）已知 c=17， b=8,求 a。（ a=15）。3 歡迎下載精品文檔（ 2）已知 a b=1 2， c=5, 求 a。（ a= ）（ 3）已知 b=15， A=30° ，求 a，c。（ a=， c=）15. 若直角三角形的三邊長分別是n+1， n+2， n+3，求 n。（ n=2）16. 若直角三角形兩直角邊的比是3： 4

8、，斜邊長是 20，求此直角三角形的面積。 （ S=96）考點 2. 勾股定理逆定理1. 以下列各組線段為邊長，能構成三角形的是_，能構成直角三角形的是 _ （填序號）3， 4，5 1 ，3， 4 4 ，4，6 6 ，8，10 5 ，7，2 13 ，5，12 7 ，25，242. 在下列以線段a、 b、 c 的長為三邊的三角形中，不能構成直角三角形的是（D）A.a=9 ， b=41， c=40B.a=b=5， c= 5 2C.a b c=3 45D.a=11，b=12， c=153. 若一個三角形三邊長的平方分別為：32， 42， x2，則此三角形是直角三角形的x2 的值是（ D ）A42B52

9、C7D52或 74. 下列 說法不正確的是（ B ）A. 三個角的度數之比為134的三角形是直角三角形B. 三個角的度數之比為345的三角形是直角三角形C. 三邊長度之比為345 的三角形是直角三角形D.三邊長度之比為51213的三角形是直角三角形5. 若 ABC的三邊 a、 b、c，滿足（ a b）（a2 b2 c2） =0，則 ABC是（C）A. 等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形6. 有下列說法： 若兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，則此三角形是直角三角形；在 ABC中，a、b、c 分別是 A、B、 C 的對邊， 若 a2+b2 c2，則 ABC是鈍角三角

10、形； 在 ABC中，a、b、c 分別是 A、 B、 C 的對邊，若 b2+c 2=a2，則 C=900；在 ABC中， a、b、 c 分別是 A、 B、 C 的對邊， C900，則 a2 +b2 c2。其中正確的是（D）A. B.C.D.。4 歡迎下載精品文檔7. 下列說法中正確的有（）如果 A+ B+ C=3： 4： 5，則 ABC是直角三角形；如果 A+ B= C，那么 ABC是直角三角形；如果三角形三邊之比為6：8：10，則 ABC是直角三角形；如果三邊長分別是22n -1，2n，n +1（ n 1），則 ABC是直角三角形。A.1 個B.2個C.3個D.4個8. 若c 13 +|a-1

11、2|+(b-5)2=0, 則以 a、 b、 c 為三邊的三角形是直角三角形 .9. 如果 ABC的三邊 a,b,c滿足關系式 a2b18 + （ b-18 ） 2+ c 30 =0 則 ABC是三角形。10. 已知 :a 、 b、c 為 ABC的三邊 , 且滿足 a2c2-b 2c2=a4-b 4, 試判斷 ABC的形狀 .解 : a2 c2-b 2c2 =a4-b 4, c2(a 2-b 2)=(a 2+b2)(a 2-b 2). 2 2 c =a +b . 2 ABC是直角三角形.問 :(1)在上述解題過程中, 從哪一步開始出現錯誤?請寫出該步的代號 :(2)錯誤的原因為除數可能為零;11

12、. 已知 ABC的三邊為a、b、c，且 a : b : c1:1:2 ，求三角形三個內角度數的比（ A：B：C=1:1：）12. ABC的三邊 a、b、c 滿足 | ab50 |ab32(c40) 20 試判斷 ABC的形狀（直角三角形）13. 已知 ABC的三邊為 a、 b、 c，且 a+b=4，ab=1， c= 14 ，試判定 ABC的形狀。 （直角三角形）14. 若 ABC的三邊 a， b， c 滿足條件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c ，試判定 ABC的形狀（直角三角形）。5 歡迎下載精品文檔15. 一根 24 米繩子，折成三邊為三個連續偶數的三角形，則三邊長分別為多少

13、米？此三角形的形狀為？（ 6； 8； 10；直角三角形）16. 若 ABC的三邊長為 a, b, c，根據下列條件判斷 ABC的形狀 .222(2)a322223（ 1） a +b +c +200=12a+16b+20c a b+abac +bc b =0考點 3. 數軸表示無理數（尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）1. 用圓規與尺子在數軸上作出表示13 的點，并補充完整作圖方法2. 在數軸上畫出表示17 的點？3. 在數軸上作出表示 3- 2 的點考點 4: 勾股定理幾何應用1. 如圖在矩形 ABCD中 ,M 是 CD中點， AB=8，AD=3（1）求 AM的長；（ 2） MAB是直角三角形

14、嗎？為什么？（ AM=5；不是直角三角形）。6 歡迎下載精品文檔2. 如圖所示，在Rt ABC中， ACB=90°， CD是 AB 邊上高，若AD=8， BD=2，求 CD（ CD=4）3. 一個長方體木箱沿斜面下滑，當木箱滑至如圖位置時，AB=3m，已知木箱高BE= 3 m，斜面坡角為30°，求木箱端點E 距地面 AC的高度 EF。（ EF=3）4. 有一塊土地形狀如圖所示, B= D=90° ,AB=20 米 ,BC=15 米 ,CD=7 米 , 請計算這塊地的面積. （ S=234）5. 四邊形 ABCD中， B=90° ， AB=3，BC=4，

15、CD=12，AD=13，求四邊形 ABCD的面積。（ S=36）CBAD6. 如圖，在四邊形 ABCD中,AB=12 cm,BC=3 cm,CD=4 cm, C=90°(1) 求 BD的長 ; （ BD=5） (2) 當 AD為多少時 , ABD=90° ?（ AD=13）7. 農民牛伯伯承包了一塊四邊形水稻田ABCD，他量得邊長AB=90m，BC=120m，CD=130m，DA=140m，且邊 AB、BC正好位于兩條相互垂直的公路的拐角處，請你幫牛伯伯計算一下這塊水稻田的面積。（ S=13800）。7 歡迎下載精品文檔8. 如圖所示的一塊地，AD=12m， CD=9m，

16、ADC=90°， AB=39m，BC=36m，求這塊地的面積（二）、實際應用：1. 梯子滑動問題：1.一架長2.5 m 的梯子，斜立在一豎起的墻上，梯子底端距離墻底0.7 m （如圖），如果梯子的頂端沿墻下滑 0.4m ，那么梯子底端將向左滑動0.8米2.如圖，一個長為 10 米的梯子，斜靠在墻面上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8 米，如果梯子的頂端下滑 1 米，那么，梯子底端的滑動距離-1米3.小明想知道學校旗桿的高度， 他發現旗桿上的繩子垂到地面上還多1 m，當他把繩子的下端拉開5 米后，發現繩子下端剛好觸到地面，試問旗桿的高度為12米4. 如圖，一根12 米高的電線桿兩側各用1

17、5 米的鐵絲固定，兩個固定點之間的距離是18。第 1 題第 2 題第 4題5.如圖，一個 3 米長的梯子，斜著靠在豎直的墻上，這時的距離為2.5米AB8AOAO求梯子的底端 B 距墻角 O多少米？（ 1.66 ）如果梯的頂端A 沿墻下滑0.5 米至 C算一算，底端滑動的距離近似值（結果保留兩位小數）（ 0.58 ） 66. 如圖所示，梯子 AB靠在墻上，梯子的底端A 到墻根 O 的距離為2m，梯子的頂端B 到地面的距離為7m現將梯子的底端 A 向外移動到 A , 使梯子的底端 A到墻根 O的距離為 3m，同時梯子的頂端 B 下降到 B ，那么 BB 也等于 1m嗎 ?（不等于 1，小于 1）。

18、8 歡迎下載精品文檔M2. 爬行距離最短問題：1.如圖，正方體盒子的棱長為2，AB 中點為 M，一只螞蟻從點M沿正方體ABN的表面爬到點 C ，螞蟻爬行的最短距離是（B）A.13B.17C.5D.252.如圖，一塊磚寬AN=5 ，長 ND=10， CD上的點 F 距地面的高FD=8，地面上 A 處的一只螞蟻到 F處吃食，要爬行的最短路線是17cm3.如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為20dm、3dm、2dm，A 和 B 是這個臺階兩相對的端點， A 點有一只昆蟲想到B 點去吃可口的食物，則昆蟲沿著臺階爬到B 點的最短路程是 25分米？4. 一只螞蟻從長、寬都是3，高是 8 的長

19、方體紙箱的A 點沿紙箱爬到B 點，那么它所爬行的最短路線的長是10.5. 在一個長為2 米，寬為1 米的矩形草地上，如圖堆放著一根長方體的木塊，它的棱長和場地寬AD 平行且 >AD，木塊的正視圖是邊長為0.2 米的正方形， 求一只螞蟻從點A 處，到達 C 處需要走的最短路2.6第1題第2題第3題第4題第5題3. 方向問題：1. 一座垂直于兩岸的橋長 15 米 , 一艘小船自橋北頭出發 , 向正南方向駛去 , 因水流原因 , 到達南岸后 , 發現已偏離橋南頭9 米 , 則小船實際行駛了_334 _米.2. 一職工下班后以50 米 / 分的速度騎自行車沿著東西馬路向東走了5.6 分 , 又沿

20、南北馬路向南走了19.2 分到家 , 則他的家離公司距離為（D）A.100mB.500mC.1 240mD.1 000m3. 有一次，小明坐著輪船由A 點出發沿正東方向AN航行，在A 點望湖中小島M，測得 MAN 30°，當他到 B 點時，測得 MBN 45°， AB 100 米，你能算出AM的長嗎？（ x=50+50）4.“遠航” 號、“海天” 號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行， “遠航”。9 歡迎下載精品文檔號每小時航行16 海里，“海天”號每小時航行12 海里，它們離開港口一個半小時后相距30 海里如果知道“遠航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？（西北方向）5. 一輪船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km，接著，它又掉頭向正東方向航行15 千米 此時輪船離開出發點多少km? （ 17km） 若輪船每航行 1km，需耗油 0.4 升，那么在此過程中輪船