1、專題 1 函數（ 1）張家港市塘橋高級中學羅小兵一、填空題：1已知 a20.2 , b0.40.2 , c0.40.6 ，則 a , b , c 從大到小為【答案】 abc2設 f ( x) lg(2f ( x) 0 的 X 的取值范圍是a) 的奇函數，則使1 x【答案】（一 1， 0）若x ， ，且 x2y1 ，則2x 3y230y0的最小值是【答案】 344已知函數f (x) ( x a)(xb) （其中 ab ， a,b 為常數），若 f ( x) 的圖象如右圖所示，則函數g( x)axb 在區間 1， 1 上的最大值是【答案】 1ba5. 設 函 數 f (x ) 是 定 義 在 R

2、上 的 奇 函 數 ， 且 對 任 意 xR都 有 f ( x )f ( x4)，當x( 2，0) 時， f ( x) 2 x，則 f (2012) f (2011) 的值為【答案】126對于給定的函數f ( x)2 x2 x ，有下列四個結論： f (x) 的圖象關于原點對稱； f (log 2 3)2； f ( x) 在 R 上是增函數；f (| x |) 有最小值 0其中正確結論的序號是（寫出所有正確結論的序號）【答案】7. 定 義 在 R 上 的 函 數 f x 滿 足 f xlog 2 8x , x 0f x 1f x， 則 f 3 的 值2 , x 0為【答案】38函數 y| lo

3、g 1 x | 的定義域為 a,b ，值域為 0 ， 2 ，則區間 a,b 的長 ba 的最大值2是【答案】1549對于任意實數x, 符號 x 表示不超過x 的最大整數 , 例如 -1 5=-2,25=2, 定義函數xx x , 則給出下列四個命題：函數x 的定義域是R, 值域為 0,1；方程1x有無數個解；函數x是周期函數；函數x是增函數其中正確命題的序號2是【答案】10已知函數 f ( x) =x 2 ,( x 2,2) ， g( x)a2 sin(2 x6)3a, x0, ， x12,2 ，2總 x00, 使得 g( x0 )f ( x1) 成立，則實數 a 的取值范圍是2【答案】 (,

4、 4 U6,)x1 , x0, 1)11已知函數 f (x)22 若存在 x1, x2 ，當 0x1x22 時， f (x1)f (x2 ) ，2x 1, x1 ,2)2則 x1 f ( x2 ) 的取值范圍是【答案】22 ,14212已知定義域為D 的函數 f ( x) ，對任意 xD ，存在正數 K，都有 |f (x) | K 成立，則稱 函 數 f ( x) 是D 上 的 “ 有 界 函 數 ” 已 知 下 列 函 數 ： f ( x)2 sin 2x1 ； f ( x)1x2； f (x)1log 2 x ； f (x)x1，其中是“有界函數”的x2是（寫出所有滿足要求的函數的序號）【

5、答案】13. 設 f ( x) 是定義在 R 上的偶函數， 對任意 xR ，都有 f ( x)f ( x4) ，且當 x 2,01x時， f (x)1，若在區間 ( 2,6 內關于 x 的方程 f ( x)log a( x2) 0(a1) 恰有2三個不同的實數根，則a 的取值范圍為【答案】 ( 3 4, 2)【 解 析 】 令 g(x) log a(x2)，由題意若在區間(2,6內 關 于 x的 方 程g ( 2)3，解得 3f ( x) log a ( x2)0(a1)恰有三個不同的實數根，所以g (6)34a214. 定義在1,1上的函數f xf yxy； 當 x1,0 時 fx0.若fx

6、y1Pf1f1,Qf1, Rf0；則 P,Q, R 的大小關系為5112【答案】 RPQ【解析】令 xy0 ，則可得 f (0)0 ，令 x0 ，則f ( y)f (y) ，即 f ( x) 為奇函數，令 1xy0 ，則 xy0 ，所以 fxfyfxy0，即 x0,1 時f x1xy1xy遞減，1111112又 Pffff511，f1151111f ( )571115因 212f (1) ，即0PQ .7，所以f ( )227二、解答題：15.設函數 f xa xk1a xa0且a1 是定義域為 R 的奇函數（1）求 k 值；（2）若 f 10 ，試判斷函數單調性并求使不等式fx2txf4 x

7、0 恒成立的的取值范圍；（3）若 f 13，且 g xa2 xa 2 x2mfx ，在 1,上的最小值為2 ，求 m 的值.2解： (1) f(x) 是定義域為 R 的奇函數， f(0)0，1- （ k 1） 0， k 2，（2）f( )axax(a0且a1),xf (1)0,a10, 又 a0,且 a1, 0a 1aa x 單調遞減， a x 單調遞增，故 f(x)在 R 上單調遞減。不等式化為 f ( x2tx)f ( x4)x2txx4,即x2(t1)x40恒成立，(t1)2160 ，解得3 t53a13，即 2a 23a20,(3) f(1) ，21a2a2或 a（舍去）。2 g(x)

8、 22x 2 2x 2m(2x 2 x) (2 x 2 x) 2 2m(2x 2 x) 2. 令 t f(x) 2x 2x，x x3由(1) 可知 f(x) 2 2為增函數， x1， t f(1) 2，令 h(t)22(t223 t 2mt m) 2 m (t )232若 m 2，當 t m時， h(t)min 2 m 2， m 2331725 3若 m< ，當 t 時， h(t)min 3m 2，解得 m> ，舍去22412 2綜上可知 m 2.16. 已知函數 f ( x)xa4 (aR ) .（ 1）若 a0 ，求不等式 f ( x)0 的解集；x（2）當方程 f (x)2

9、恰有兩個實數根時，求a 的值；（3）若對于一切x(0,) ，不等式 f (x)1 恒成立，求 a 的取值范圍 .解：（ 1）由 a 0得 f ( x)x4x當 x0 時， f (x)40 恒成立x x0x當 x0 時， f (x)x42或 x2 又 x 00 得 x x2x所以不等式 f ( x)0 的解集為 (,2(0,)（2）由 f ( x) 2 得 x a 24x令 y1x a , y242x由函數圖象知兩函數圖象在y 軸右邊只有一個交點時滿足題意，x a 24 即 x2(a 2) x 4 0x由0 得 a 2, 6由圖知 a2 時方程 f ( x) 2恰有兩個實數根（3） x41( x

10、0)ax44當 a 0 時， xa1(x0) ， x1 a(x0) ， a3 ， 所以 a 0xx當 a0時4axaxf ( x)x4a0xaxx當 x a 時， x4a1 ，即 a x4 1 ( x0) ，令 g ( x) x4 1xxx0a 2 時， ag (2)3，所以 0 a2a2時， a g(a)a41 ，所以 a4， 2 a4a所以 0a4當 0xa4a 1，即 a x4時， x1(x 0)4xx所以 aa1， a 4a綜上， a 的取值范圍是 (,417. 已知集合 D(x1, x2 ) x10,x20,x1 x2 k其中 k 為正常數（1）設 ux1x2 ，求 u 的取值范圍（

11、2）求證：當 k1 時不等式1x1 )(1k22對任意 ( x , x)D 恒成立；(x2 ) ()1 2x1x22k（3）求使不等式 ( 1x1)( 1x2 )( k2 )2 對任意 ( x1 , x2 )D 恒成立的 k 的范圍x1x22k解：（ 1） x1x2x1x2)2k 2x2k時等號成立，(2，當且僅當 x124故 u 的取值范圍為 (0, k2 4（2） 變形，得 ( 1x1 )( 1x2 )1x1x2x1x2x1x2x1x2x2x1x x1x12x22x xk 2 1 2 uk 2 1 2 .12x1x2x1x212x1x2u由 0uk 2，又 k1 ， k 210 ， f (

12、u)uk 2 12 在 (0, k 2 上是增函數，4u411x2 ) uk2 1k2k 2 12k 224(2 k 2所以 (x1 )(u24k 24k2) x1x2k 24即當 k1時不等式(11k22 成立x1x1)( x2x2 )( 2k )（3）令 ( 1x )(1x)u1 k22f (u) ，則 ( k2 )2f ( k 2 ) ，x11x22u2k4即求使 f (u)f ( k2) 對 u(0, k2 恒成立的 k 的范圍44由（ 2）知，要使 ( 1x1 )( 1x2 )( k2)2 對任意 ( x1, x2 )D 恒成立，必有 0k 1，x1x22k因此 1k20 ，函數 f

13、 (u)u1k22在 (0,2 上遞減， 在 1 k2,) 上遞u1 k增，要使函數 f (u) 在 (0, k 2 上恒有 f (u)f ( k 2) ，必有 k 21k 2，444即 k 416k2160 ，解得0k252 18對于函數f ( x) , 若存在實數對 ( a, b), 使得等式 f ( ax)f (ax)b 對定義域中的每一個 x 都成立 , 則稱函數 f (x) 是“ ( a, b ) 型函數” .(1)判斷函數 f (x)4x是否為“ ( a, b) 型函數”，并說明理由；(2)已知函數 g(x) 是“ (1,4)型函數” ,當 x0, 2時, 都有 1 g ( x)3

14、 成立 , 且當 x0,1時, g( x)x2m( x 1)1 ( m0) , 若 , 試求 m 的取值范圍 .解: (1) 函數 f ( x)4x是“ ( a, b ) 型函數”因為由 f (ax)f (ax)b , 得 16ab , 所以存在這樣的實數對, 如 a1,b16(2)由題意得,g(1x) g(1x)4, 所 以 當 x1,2時, g( x)4, 其 中g(2x)2x0,1 ,而 x 0,1 時 ,g(x)x2m(1x)1x2mxm10 , 且其對稱軸方程為xm ,當 m21 , 即 m2時 ,g( x) 在0,1上的值域為 g(1), g(0) , 即 2, m1 , 則 g(

15、x) 在244m130,2 上的值域為 2, m 1 U ,2, m1 , 由題意得4,1此時無解m1m1m1當 1m1, 即1m2 時 ,g(x) 的值域為 g( m ), g (0) , 即 m1m2, m1 ,2224所以則 g (x) 在 0,2上的值域為 m1m2, m1U 4,42 ,4m1 m1m44m23m1m2141m2則由題意得m1且44, 解得1m13m1當 0m1, 即 0m1 時 , g( x) 的值域為 g ( m), g(1) , 即 m1m2, 2 , 則 g( x)2224在 0,2上的值域為 m 1m2, 2U 2,42 = m1 m2,4m2 ,4m4m1

16、m 144m1m214則,解得 226m1.43m23m 14綜上所述 , 所求 m 的取值范圍是22623m19已知函數g(x)ax 22ax1b（ a0 ）在區間 2 , 3 上有最大值 4 和最小值 1設g( x)f ( x)x（1）求 a 、 b 的值；（2）若不等式f (2 x )k 2 x0 在 x1 , 1 上有解，求實數k 的取值范圍；（3）若 f | 2 x1|k| 2 x21|3k0 有三個不同的實數解，求實數k 的取值范圍解：（ 1） g (x)a( x1) 21ba ，因為 a0 ，所以 g ( x) 在區間 2 , 3 上是增函數，故g (2)1a1g (3)，解得b40（2）由已知可得f ( x)x12，x1所以 f (2 x )k2x0 可化為 2x2k2 x ，2 x12111,2 ，化為 12k ，令 t，則 kt 22t 1 ，因 x 1 , 1 ，故 t2x2x2x2記