1、教師版平面區域與線性規劃【一】 基本內容 (一)二元一次不等式表示的區域 對于直線(A>0) 當B>0時, 表示直線上方區域; 表示直線的下方區域.當B<0時, 表示直線下方區域; 表示直線的上方區域.（二）線性規劃(1)不等式組是一組對變量x、y的約束條件，由于這組約束條件都是關于x、y的一次不等式，所以又可稱其為線性約束條件.z=Ax+By是欲達到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，我們把它稱為目標函數.由于z=Ax+By又是關于x、y的一次解析式，所以又可叫做線性目標函數. 另外注意：線性約束條件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2)一般地，求線性目標

2、函數在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統稱為線性規劃問題.例如：我們研究的就是求線性目標函數z=Ax+By在線性約束條件下的最大值和最小值的問題，即為線性規劃問題.(3)那么，滿足線性約束條件的解（x,y）叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域.在上述問題中，可行域就是陰影部分表示的三角形區域.其中可行解（）和（）分別使目標函數取得最大值和最小值，它們都叫做這個問題的最優解. 線性目標函數的最值常在可行域的頂點處取得;而求最優整數解必須首先要看它們是否在可行(4)用圖解法解決簡單的線性規劃問題的基本步驟：1.首先，要根據線性約束條件畫出可行域（即畫出不等式組所表示的公共區域）.2.

3、設z=0，畫出直線l0.3.觀察、分析，平移直線l0，從而找到最優解.4.最后求得目標函數的最大值及最小值.(5) 線性規劃的兩類重要實際問題的解題思路：首先，應準確建立數學模型，即根據題意找出約束條件，確定線性目標函數.然后，用圖解法求得數學模型的解，即畫出可行域，在可行域內求得使目標函數取得最值的解.最后，還要根據實際意義將數學模型的解轉化為實際問題的解，即結合實際情況求得最優解.【二】 例題解析題1：選擇題1.不等式組表示的平面區域是( )2已知x、y滿足約束條件，則(x+2)2+y2的最小值為 DAB2C8D5D4不等式組圍成的區域中，整數點的個數有（ ）AA6B7C8D95設二元一次

4、不等式組所表示的平面區域為M，使函數yax(a0，a1)的圖象過區域M的a的取值范圍是（A）1,3 (B)2, (C)2,9 (D),9【解析】本題考查線性規劃與指數函數。如圖陰影部分為平面區域M， 顯然，只需要研究過、兩種情形。且即答案：C題2.選擇填空題1已知動點所在的區域是如圖所示的陰影部分（包括邊界），則目標函數的最小值和最大值分別為（C）A.2，12 B.2,4C.1,12 D.1,492 已知x、y滿足約束條件的最小值為（ C）A7BC5D53.若,則的取值范圍是 .2,64平面直角坐標系中，若不等式組（為常數）所表示的平面區域內的面積等于2，則的值為A. -5 B. 1 C. 2

5、 D. 3 【答案】：D【解析】如圖可得黃色即為滿足的直線恒過（0，1），故看作直線繞點（0，1）旋轉，當a=-5時，則可行域不是一個封閉區域，當a=1時，面積是1；a=2時，面積是；當a=3時，面積恰好為2，故選D. 5. 已知，求：（1）的最小值;（2）的范圍【解題思路】分別聯想距離公式和斜率公式求解【解析】作出可行域，并求出頂點的坐標、（1）表示可行域內任一點到定點的距離的平方，過M作直線AC的垂線，易知垂足N在線段AC上，故的最小值是（2）表示可行域內任一點到定點連線斜率的兩倍；因為，故的取值范圍為題3:某公司準備進行兩種組合投資，穩健型組合投資每份是由金融投資70萬元，房地產投資90

6、萬元，電腦投資75萬元組成；進取型組合投資是由每份金融投資40萬元，房地產投資90萬元，電腦投資150萬元組成。已知每份穩健型組合投資每年可獲利25萬元，每份進取型投資每年可獲利30萬元。若可作投資用的資金中，金融投資不超過290萬元，房地產投資不超過450萬元，電腦投資不超過600萬元，那么這兩種組合投資應各注入多少份，能使一年獲利總額最大？最大值是多少？題4.已知有三個居民小區A、B、C構成ABC，AB700、BC 800、AC300現計劃在與A、B、C三個小區距離相等處建造一個工廠，為不影響小區居民的正常生活和休息，需在廠房的四周安裝隔音窗或建造隔音墻據測算，從廠房發出的噪音是85分貝，

7、而維持居民正常生活和休息時的噪音不得超過50分貝每安裝一道隔音窗噪音降低3分貝，成本3萬元，隔音窗不能超過3道；每建造一堵隔音墻噪音降低15分貝，成本10萬元；距離廠房平均每25噪音均勻降低1分貝（1）求C的大小； （2）求加工廠與小區A的距離（精確到1）；（3）為了不影響小區居民的正常生活和休息且花費成本最低，需要安裝幾道隔音窗，建造幾堵隔音墻?（計算時廠房和小區的大小忽略不計）解：（1）由余弦定理得cosC，C60º；3分（2）由題設知，所求距離為ABC外接圓半徑R，4分由正弦定理得R4046分答：加工廠與小區A的距離約為404；7分（3）設需要安裝x道隔音窗，建造y堵隔音墻，總

8、成本為S萬元，由題意得：即9分其中S3x10y，當x2，y1時，S最小值為16萬元11分答：需安裝2道隔音窗，建造1堵隔音墻即可12分題5. 某工藝品加工廠準備生產具有收藏價值的奧運會標志“中國印·舞動的北京”和奧運會吉祥物“福娃”.該廠所用的主要原料為A、B兩種貴重金屬，已知生產一套奧運會標志需用原料A和原料B的量分別為4盒和3盒，生產一套奧運會吉祥物需用原料A和原料B的量分別為5盒和10盒.若奧運會標志每套可獲利700元，奧運會吉祥物每套可獲利1200元，該廠月初一次性購進原料A、B的量分別為200盒和300盒.問該廠生產奧運會標志和奧運會吉祥物各多少套才能使該廠月利潤最大，最大

9、利潤為多少？【解題思路】將文字語言轉化為數學式子建立線性規劃模型.解析:設該廠每月生產奧運會標志和奧運會吉祥物分別為套，月利潤為元，由題意得 （）目標函數為作出可行域如圖所示目標函數可變形為，當通過圖中的點A時，最大，這時Z最大。解得點A的坐標為（20,24），10分將點代入得元答:該廠生產奧運會標志和奧運會吉祥物分別為20，24套時月利潤最大，最大利潤為42800元.【規律總結】要注意到生產的產品數量是整數這一隱含條件.題6. 某工廠生產甲、乙兩種產品，已知生產每噸甲、乙兩種產品所需煤、電力、勞動力、獲得利潤及每天資源限額（最大供應量）如下表所示： 產品 消耗量資源甲產品（每噸）乙產品（每噸

10、）資源限額（每天）煤（t）94360電力（kw·h）45200勞力（個）310300利潤（萬元）612 問：每天生產甲、乙兩種產品各多少噸，獲得利潤總額最大？解：設此工廠應分別生產甲、乙兩種產品x噸y噸，獲得利潤z萬元1分依題意可得約束條件：5分 （圖2分） 利潤目標函數8分如圖，作出可行域，作直線向右上方平移至l1位置，直線經過可行域上的點M，且與原點距離最大，此時取最大值。10分解方程組12分所以生產甲種產品20t，乙種產品24t，才能使此工廠獲得最大利潤。14分線性規劃練習一、選擇題1不在 3x+ 2y < 6 表示的平面區域內的一個點是 （ ） A（0，0）B（1，1）

11、C（0，2）D（2，0）2已知點（3 ， 1）和點（4 ， 6）在直線 3x2y + m = 0 的兩側，則 （ ）Am7或m24 B7m24 Cm7或m24 D7m 243若，則目標函數 z = x + 2 y 的取值范圍是 （ ）A2 ，6B 2，5C 3，6D 3，54不等式表示的平面區域是一個（ ）A三角形B直角三角形C梯形D矩形5在ABC中，三頂點坐標為A（2 ，4），B（1，2），C（1 ，0 ）， 點P（x，y）在ABC內部及邊界運動，則 z= x y 的最大值和最小值分別是 （ ）A3，1B1，3C1，3D3，16在直角坐標系中，滿足不等式 xy20 的點（x，y）的集合（用陰

12、影部分來表示）的是 （ ） A B C D7不等式表示的平面區域內的整點個數為（ ）A 13個 B 10個 C 14個 D 17個8不等式表示的平面區域包含點和點則的取值范圍是（ ）AB CD oxy9已知平面區域如右圖所示，在平面區域內取得最大值的最優解有無數多個，則的值為 （ ） A B C D不存在10如圖所示，表示陰影部分的二元一次不等式組是（ ） AB CD二、填空題（本題共4小題，每小題6分，共24分）11已知x，y滿足約束條件 ，則的最小值為_12已知約束條件，目標函數z=3x+y，某學生求得x=， y=時，zmax=， 這顯然不合要求，正確答案應為x= ; y= ; zmax=

13、 .13某電腦用戶計劃用不超過500元的資金購買單價分別為60元，70元的單片軟件和盒裝磁盤，根據需要軟件至少買3件，磁盤至少買2盒，則不同的選購方式共有_種.14已知x，y滿足，則的最大值為_，最小值為_三、解答題（本大題共6題，共76分）15由圍成的幾何圖形的面積是多少?（12分）16已知當a為何值時，直線及坐標軸圍成的平面區域的面積最小？（12分）方式種類輪船飛機小麥 300噸150噸大米250噸100噸17有兩種農作物（大米和小麥），可用輪船和飛機兩種方式運輸，每天每艘輪船和每架飛機運輸效果如下:在一天內如何安排才能合理完成運輸2000噸小麥和1500噸大米的任務？（12分）18設，式

14、中變量滿足條件，求z的最小值和最大值（12分）19某家俱公司生產甲、乙兩種型號的組合柜，每種柜的制造白坯時間、油漆時間及有關數據如下：工藝要求產品甲產品乙生產能力/（臺/天）制白坯時間/天612120油漆時間/天8464單位利潤/元2024 問該公司如何安排甲、乙二種柜的日產量可獲最大利潤，并且最大利潤是多少？（14分）20某運輸公司接受了向抗洪搶險地區每天至少送180t支援物資的任務.該公司有8輛載重為6t的A型卡車與4輛載重為10t的B型卡車，有10名駕駛員；每輛卡車每天往返的次數為A型卡車4次，B型卡車3次；每輛卡車每天往返的成本費A型車為320元，B型車為504元.請你們為該

15、公司安排一下應該如何調配車輛，才能使公司所花的成本費最低？若只調配A型或B型卡車，所花的成本費分別是多少？（14分）參考答案一選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）題號12345678910答案DBACCBAAAC二填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分）11 123，2，11 13 7 14 2，0三、解答題（本大題共6題，共76分）xyOCBDE15（12分）解析：如下圖由圍成的幾何圖形就是其陰影部分，且. （2，2）（2，2）y=xy=x+1（1,2）（1，2）y=xy=x+116（12分）解析： 如圖，由題意知及坐標軸圍成的平面區域為ACOD，17（12分）解析：設輪船

16、為x艘、飛機為y架，則可得，目標函數z=x+y，作出可行域，利用圖解法可得點A（，0）可使目標函數z=x+y最小，但它不是整點，調整為B（7，0）AxyOC-11B（1,1)2答：在一天內可派輪船7艘，不派飛機能完成運輸任務18（12分）解析： 作出滿足不等式的可行域，如右圖所示.作直線19（14分）解析：設x，y分別為甲、乙二種柜的日產量，可將此題歸納為求如下線性目標函數Z=20x+24y的最大值.其中線性約束條件為 ，由圖及下表（x，y）Z=20x+24y（0，10）240（0，0）0（8，0）160（4，8）272Zmax=272 答：該公司安排甲、乙二種柜的日產量分別為4臺和8臺可獲最大利潤272元.A型車B型車物資限制載重（t）61