1、路邊苦李路邊苦李 王戎王戎7歲時歲時,與小與小伙伴們外出游玩伙伴們外出游玩,看看到路邊的李樹上結滿到路邊的李樹上結滿了果子了果子.小伙伴們紛小伙伴們紛紛去摘取果子紛去摘取果子,只有只有王戎站在原地不動王戎站在原地不動.王戎回答說王戎回答說:“樹在道邊而多子樹在道邊而多子,此必苦李此必苦李.”小伙伴摘取一個嘗了一下果然是苦李小伙伴摘取一個嘗了一下果然是苦李. 王戎是怎樣知道李子是苦的呢王戎是怎樣知道李子是苦的呢?他運用了怎樣他運用了怎樣的推理方法的推理方法?這與事實這與事實矛盾。矛盾。說明說明李子是甜的這個假設是錯李子是甜的這個假設是錯的還是對的的還是對的？假設假設李子不是苦的李子不是苦的,即李

2、子是甜的即李子是甜的,那么這長在人來人往的大路邊的李子會不會被那么這長在人來人往的大路邊的李子會不會被過路人摘去解渴呢過路人摘去解渴呢？那么那么,樹上的李子還會這么多嗎樹上的李子還會這么多嗎？所以所以,李子是苦的李子是苦的甲：在五一長甲：在五一長假里假里,我和爸爸、我和爸爸、媽媽去新加坡媽媽去新加坡玩了整整玩了整整6天天,真是太高興了真是太高興了.乙：這不可能乙：這不可能,5月月4號號上午還看見你和丙在上午還看見你和丙在“長廊長廊”逛街呢！逛街呢！丙：是啊丙：是啊,5月月4號我確實號我確實和甲在和甲在“長長廊廊”逛街！逛街！假設假設甲去新加坡玩了甲去新加坡玩了6天天,乙：甲沒有去新加坡玩了乙：

3、甲沒有去新加坡玩了6天天.那么甲從那么甲從5月月1號至號至6號或是號或是2號至號至7號在號在新加坡新加坡,即即5月月4號甲在新加坡號甲在新加坡,這與這與“5月月4號甲在達州市的號甲在達州市的“長廊長廊”矛矛盾盾,所以所以假設假設“甲去新加坡玩了甲去新加坡玩了6天天”不正確不正確,于是于是“甲沒有去新加坡玩了甲沒有去新加坡玩了6天天”正確正確. 在古希臘時,有三個哲學家,由于爭論和天氣的炎熱感到疲倦,于是就在花園里的一棵大樹下躺下休息睡著了。這時一個愛開玩笑的人用炭涂黑了他們的前額,當他們醒過來后,彼此相看時都笑了。一會兒其中有一個人卻突然不笑了,他是覺察到什么了？ 他運用了怎樣的推理方法？他運

4、用了怎樣的推理方法？各抒己見各抒己見假設假設自己的前額沒有被涂黑自己的前額沒有被涂黑,那么另一個哲學家也不會有異常行為那么另一個哲學家也不會有異常行為,自己的前額也被涂黑了自己的前額也被涂黑了.這與另一個哲學家笑個不停這與另一個哲學家笑個不停矛盾矛盾,所以所以假設假設“自己的前額沒有涂黑自己的前額沒有涂黑”不正不正確確,于是自己的前額也被涂黑了于是自己的前額也被涂黑了.證明證明：假設假設a a與與b b不止一個交點不止一個交點, ,不不妨假設有兩個交點妨假設有兩個交點A A和和A A。 因為兩點確定一條直線因為兩點確定一條直線, ,即經即經過點過點A A和和A的直線有且只有一條的直線有且只有一

5、條, ,這與這與與已知兩條直線與已知兩條直線矛盾矛盾, ,假設不成立。假設不成立。 所以所以兩條直線相交只有一個交點。兩條直線相交只有一個交點。小結：小結：根據假設推出結論除了可以與已知根據假設推出結論除了可以與已知條件矛盾以外條件矛盾以外,還可以與我們學過的定理、還可以與我們學過的定理、公理矛盾公理矛盾例例1 1求證：兩條直線相交只有一個交點。求證：兩條直線相交只有一個交點。已知：如圖兩條相交直線已知：如圖兩條相交直線a、b。求證：求證：a與與b只有一個交點。只有一個交點。abAA A，A A證明：假設證明：假設a a與與b b不平行不平行, ,則可則可設它們相交于點設它們相交于點A A。

6、那么過點那么過點A A 就有兩條直就有兩條直線線a a、b b與直線與直線c c平行平行, ,這與這與“過直線外一點有且只有一過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行矛盾條直線與已知直線平行矛盾, ,假設不成立。假設不成立。 a/b.a/b.小結：小結：根據假設推出結論除了可以與已知根據假設推出結論除了可以與已知條件矛盾以外條件矛盾以外,還可以與我們學過的定理、還可以與我們學過的定理、公理矛盾公理矛盾 已知：如圖有已知：如圖有a a、b b、c c三條直線，三條直線，且且a/c,b/c.a/c,b/c. 求證：求證：a/ba/babc例例2 2 求證：在一個三角形中求證：在一個三角形中, ,

7、至少有一個內角小于或至少有一個內角小于或等于等于6060。已知：已知：ABCABC求證：求證：ABCABC中至少有一個內角小于或等于中至少有一個內角小于或等于6060. .證明：假設證明：假設,則則。, ,即即。這與這與矛盾假設不成立矛盾假設不成立ABCABC中沒有一個內角小于或等于中沒有一個內角小于或等于6060A60A60,B60,B60,C60,C60A+B+C180A+B+C180三角形的內角和為三角形的內角和為180180度度ABCABC中至少有一個內角小于或等于中至少有一個內角小于或等于6060. .點撥：至少的反面是沒有！點撥：至少的反面是沒有！例例3 3A+B+C60A+B+C

8、60+60+60+60+60=180=180求證求證:在同一平面內在同一平面內,如果一條直線和兩條平行如果一條直線和兩條平行線中的一條相交線中的一條相交,那么和另一條也相交那么和另一條也相交.已知已知: 直線直線l1, l2, l3在同一平面內在同一平面內,且且l1l2, l3與與l1相相交于點交于點P.求證求證:l3與與l2相交相交.證明證明:假設假設_,那么那么_.因為已知因為已知_,這與這與“_ _”矛盾矛盾.所以所以假設不成立假設不成立,即求證的命題正確即求證的命題正確.l1l2l3Pl3與與l2 不相交不相交.l3l2l1l2 經過直線外一點經過直線外一點,有且只有一條直有且只有一條

9、直線平行于已知直線線平行于已知直線所以過直線所以過直線l2外一點外一點P,有有兩條直線兩條直線和和l2平行平行,例例6、用反證法證明：等腰三角形的底、用反證法證明：等腰三角形的底角必定是銳角角必定是銳角分析分析：解題的關鍵是反證法的第一步否定結：解題的關鍵是反證法的第一步否定結論論,需要分類討論需要分類討論.已知：在已知：在ABC中中,AB=AC.求證：求證：B、C為銳角為銳角.證明：證明：假設等腰三角形的底角不是銳角假設等腰三角形的底角不是銳角,那么那么只有兩種情況：只有兩種情況：(1)兩個底角都是直角；兩個底角都是直角；(2)兩個底角都是鈍角；兩個底角都是鈍角；（1)由由A=B=90則則A

10、+B+C=A+90+90180,這與三角形內角和定理矛盾這與三角形內角和定理矛盾,A=B=90這個假設不成立這個假設不成立.(2)由由90B180, 90C180,則則 A+B+C180,這與三角形內角和定理矛盾這與三角形內角和定理矛盾.兩個底角都是鈍角這個假設也不成立兩個底角都是鈍角這個假設也不成立故原命題正確故原命題正確 等腰三角形的底角必定是銳角等腰三角形的底角必定是銳角.說明說明：本例中：本例中“是銳角是銳角(小于小于90)”的反面有的反面有兩種情況兩種情況,這這時時,必須分別證明命題結論反面的每一種情況都不可能成必須分別證明命題結論反面的每一種情況都不可能成立立,最后才能肯定命題的結

11、論一定正確最后才能肯定命題的結論一定正確.此題是對反證法的此題是對反證法的進一步理解進一步理解.假設結論的反面正確假設結論的反面正確推理論證推理論證得出結論得出結論回顧與歸納回顧與歸納反證法反證法反設反設歸謬歸謬結論結論 得出矛盾（已知、得出矛盾（已知、公理、定理等）公理、定理等） 假設不成立，原假設不成立，原命題成立命題成立.反證法的一般步驟反證法的一般步驟:假設命題結假設命題結論不成立論不成立假設不假設不成立成立假設命題結假設命題結論反面成立論反面成立與已知條與已知條件件矛盾矛盾假設假設推理得出推理得出的結論的結論與與定理定理,定義定義,公理公理矛盾矛盾所證命題所證命題成立成立什么時候運用

12、反證法呢？什么時候運用反證法呢？動動腦證明真命題證明真命題 的方法的方法 直接證法直接證法 間接證法間接證法 反證法反證法萬事開頭難萬事開頭難, ,讓我們走好第一步！讓我們走好第一步！寫出下列各結論的反面：（1）a/b； （2）a0；（3）b是正數；（4）aba0b是0或負數a不垂直于bab1.在一個梯形中在一個梯形中,如果同一條底邊上的兩個內角如果同一條底邊上的兩個內角不相等不相等,那么這個梯形是等腰梯形嗎？請證明你那么這個梯形是等腰梯形嗎？請證明你的猜想的猜想誰來試一試！ 2.已知：如圖已知：如圖ABC中中,D、E兩兩 點點分別在分別在AB和和AC上上 求證：求證：CD、BE不能互相平分不

13、能互相平分 E D C B A （平行四邊形對邊平行）做一做做一做學習是件很愉快的事學習是件很愉快的事證明：假設CD、BE互相平分互相平分連結DE,故四邊形BCED是平行四邊形BDCE這與BD、CE交于點A矛盾假設錯誤, CD、BE不能互相平分不能互相平分四、鞏固新知四、鞏固新知1 1、試說出下列命題的反面：、試說出下列命題的反面：（1 1）a a是實數。是實數。（2)a2)a大于大于2 2。（3 3）a a小于小于2 2。 （4 4）至少有）至少有2 2個個（5 5）最多有一個）最多有一個 （6 6）兩條直線平行。）兩條直線平行。2 2、用反證法證明、用反證法證明“若若a a2 2 b b2

14、 2, ,則則a a b b”的第一步是的第一步是。3 3、用反證法證明、用反證法證明“如果一個三角形沒有兩個相等的角如果一個三角形沒有兩個相等的角, ,那么那么這個三角形不是等腰三角形這個三角形不是等腰三角形”的第一步的第一步。a a不是實數不是實數a a小于或等于小于或等于a a大于或等于大于或等于沒有兩個沒有兩個一個也沒有一個也沒有兩直線相交兩直線相交假設假設a=ba=b假設這個三角形是等腰三角形假設這個三角形是等腰三角形已知：在梯形已知：在梯形ABCDABCD中中, ,AB/CDAB/CD, ,CDCD求證：梯形求證：梯形ABCDABCD不是等腰梯形不是等腰梯形. .證明：假設梯形證明

15、：假設梯形ABCDABCD是等腰梯形。是等腰梯形。 C=DC=D（等腰梯形同一底（等腰梯形同一底上的兩內角相等）上的兩內角相等） 這與已知條件這與已知條件CDCD矛盾矛盾, ,假設不成立。假設不成立。梯形梯形ABCDABCD不是等腰梯形不是等腰梯形. .、求證：如果一個梯形同一底上的兩個內角不、求證：如果一個梯形同一底上的兩個內角不相等，那么這個梯形不是等腰梯形相等，那么這個梯形不是等腰梯形。A AB BC CD D五、拓展應用五、拓展應用1 1、已知：如圖，在、已知：如圖，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，APBAPCAPBAPC。求證：求證：PBPCPBPCA AB BC CP

16、P證明：假設證明：假設PB=PCPB=PC。 在在ABPABP與與ACPACP中中 AB=AC(AB=AC(已知）已知） AP=APAP=AP（大眾邊）（大眾邊） PB=PCPB=PC（已知）（已知） ABPABPACPACP（S.S.S)S.S.S) APB=APC( APB=APC(全等三角形對應邊全等三角形對應邊相等）相等） 這與已知條件這與已知條件APBAPCAPBAPC矛盾矛盾, ,假設不成立假設不成立. . PBPC PBPC六、全課總結六、全課總結1 1、知識小結：、知識小結： 反證法證明的思路：假設命題不成立反證法證明的思路：假設命題不成立正確的推理正確的推理, ,得出矛盾得出

17、矛盾肯定待定命題的結論肯定待定命題的結論2 2、難點提示、難點提示: : 利用反證法證明命題時利用反證法證明命題時, ,一定要準確而全面的找出一定要準確而全面的找出命題結論的反面。至少的反面是沒有命題結論的反面。至少的反面是沒有, ,最多的反面是不止。最多的反面是不止。大家議一議！ 通過本節內容的學習,你們覺得哪些題型宜用反證法 ？ 我來告訴你（我來告訴你（經驗之談經驗之談） （1）以否定性判斷作為結論的命題；）以否定性判斷作為結論的命題；（2）以）以“至多至多”、“至少至少”或或“不多于不多于”等形等形式陳述的命題；式陳述的命題；（3）關于）關于“唯一性唯一性”結論的命題；結論的命題；（4）一些不等量命題的證明；）一些不等量命題的證明；（5）有些基本定理或某一知識體系的初始階段）有些基本定理或某一知識體系的初始階段等等等等.(如平行線的傳遞性的證明）如平行線的傳遞性的證明）注意注意:用反證法證題時用反證法證題時,應注意的事項應注意的事項 : （1）周密考察原命題結論的否定事項）周密考察原命題結論的否定事項,防止否防止否定不當或有所遺漏；定不當或有所遺漏； （2）推理過程必須完整）推理過程必須完整,