1、4專題05導數壓軸題的零點及恒成立、有解問題1 1.( 20182018 新課標全國 n 理科)已知函數 f(x)=ef(x)=ex x-ax-ax2.(1) 若 a a= =1 1，證明：當 x x _0_0 時，f f (x)(x) _1_1 ;(2) 若 f(x)f(x)在(0,(0,；)只有一個零點，求a.【解析】(1 1)當a=1時，f (x) _1等價于(x2 1)e-10.設函數g(x) =(x21)e-1，則g(x)二-(X2-2x 1)e二-(x-1)2e.當x=1時，g(x) : 0，所以g(x)在(0,r)單調遞減.而g(0) =0，故當x _0時，g(x)乞0，即f (

2、x) _ 1.(2)設MA(x) = l-e-J.在(Q他)只有一個零點當且僅當鳳在(Q十力)只有一個零點(i)當0時，內(沒有零點；(ii)當GAO時,葉(力=c(x2尢7 .當施(0,2)時，h hr r(x)(x) 0 .所漢鳳力在(2)單調遞減，在柯)單調遞増.故h(2) = 1 .是h(x)h(x)在Q七的最小值.e21若h(2)0，即 a a： ,h(x)在(0,：)沒有零點；4e22若h(2) =0，即a - ,h(x)在(0,；)只有一個零點；22若h(2)：0，即a .，由于h(0) =1，所以h(x)在(0,2)有一個零點,4故h(x)在(2,4 a)有一個零點，因此h(x

3、)在(0, ：)有兩個零點.2綜上，f(x)在(0,二)只有一個零點時，a二乞.42 2. ( 20172017 新課標全國 I 理科)已知函數f (x) = ae2x亠(a 2)ex x. .(1)討論f (x)的單調性;(2(2)若f (x)有兩個零點，求a的取值范圍. .【解析】(1 1)f (x)的定義域為(-：),f (x) =2ae2x (a-2)ex-1 r(aex-1)(2ex 1),(i)若a豈0，則f (x)：0,所以f(x)在單調遞減. .(ii)若a 0，則由f (x) =0得x = -1 n a. .當x(-：，一1 n a)時，f (x)：0;當x (-1 na,：

4、)時，f (x) 0,所以f (x)在(-：，-1 na)單調遞減，在(-1 na, ：)單調遞增. .(1 )若必0，由知，耳至多有一個零點一ii)若GAO,由(1)知，當兀=-lw時，兀工)取得最小值，最小值淘/(一= l-丄+a當口=1時，由T/(-ho)=oJ故于00只有一個霧點寸,由故/(力浚有零點；a當口 時，1一丄+1D0,即/(-h c) 0.一-4-2-2又f(-2) =ae(a-2)e2-2e2 0，故f(x)在(：，Tn a)有一個零點. .設正整數n0滿足n0 In(3-1)，則f(n)= en0(aen0，a -2) - ne%- n 2% - n0. .a3由于ln

5、( 1) T na，因此f (x)在(T na,=：)有一個零點. .a由(1 1 )知，當x 0時,ex x2，所以h(4a) =116a34ae=116a3/ 2a 2(e )16a31荷蔦03綜上，a的取值范圍為(0,1). .【名師點睛】研究函數零點問題常常與研究對應方程的實數根問題相互轉化 已知函數f (x)有 2 2 個零點求參數a的取值范圍，第一種方法是分離參數，構造不含參數的函數，研究其單調性、極值、最值，判斷y=a與其交點的個數，從而求出a的取值范圍；第二種方法是直接對含參函數進行研究， 研究其 單調性、極值、最值，注意點是若f (x)有 2 2 個零點，且函數先減后增，則只

6、需其最小值小于0 0,且后面還需驗證最小值兩邊存在大于 0 0 的點 3 3.( 20152015 新課標全國 n理科)設函數f (x) = emx x2- mx.(I)證明：f (x)在(-：,0)單調遞減，在(0, ：)單調遞增；(n)若對于任意x1, x2 -1,1,都有| f(為)-f區)|乞e-1，求m的取值范圍.【解析】(I )稱(產 T)十2JC 若朋工0,貝I呂工己(4)時,廣(蠱)弋0$當兀E(a燉”寸,廣 若朋0,貝時，廣(刃弋0?當兀燉H寸,廣 所悅 丿在(YOQ 單調遞減，在9+X)單調遞増.( (n) )由( (I) )知，對任意的m,f(x)在-1,0單調遞減，在0

7、,1單調遞增，故f (x)在x =0處取得最小值.所以對于任意xx2 -1,1,|f(xj-f(X2)|e-1的充要條件是f-fg 1即1f(1)f (0)蘭e1,g(t)0.故g(t)在(-=0)單調遞減，在(0, V)單調遞增.又g(1) = 0,g(-1) 2-eV 0,故當t -1,1時，g(t)乞0.當m -1,1時，g(m)E0,g(-m)0，即式成立；當m 1時，由g(t)的單調性，g(m) 0，即em-m e -1；當m：-1時，g(-m) 0，即e知+m e -1.綜上可知，m的取值范圍是-1,1.【名師點睛】(I)先求導函數f(x)二m(emx-1) 2x,根據m的取值范圍

8、討論導函數在(：,0)和(0,r)的符號即可；(n)f(音)-f化)|e-1恒成立，等價于|f (xj - f區)max乞e-1.由為必是emm e1,e+m e1,設函數g(t) =7 -e 1，則g二dT.當t：0時,g(t) : 0; 當t 0時,兩個獨立的變量，可研究f(x)的值域，由( (I) )可得最小值為f(0) =1，最大值可能是f(一1)或f (1),X4f(1)f(0)蘭e1,故只需，從而得關于m的不等式，因不易解出，故利用導數研究其單調性和符號，廿(1) f(0)蘭e1,從而得解.1 1 利用導數研究函數的零點問題，一般出現在解答題的壓軸題中，難度較大，這類零點一般都不能

9、直接求 出數值，而是利用數形結合、分類討論、轉化思想和分離變量等求零點的個數或根據零點的個數求參數的 取值范圍 2 2 利用導數解決函數恒成立問題或有解問題是近年來高考的熱點問題，這類問題往往融函數、導數、不等 式等知識于一體，以函數知識為載體，禾U用導數為工具研究函數的性質，如單調性、極值、最值，綜合性 強，很好地考查了考生的分析問題和解決問題的能力，解決這類問題的關鍵是運用等價轉化的數學思想及 整體構造法和參數分離法 B指點 1 1：利用導數研究函數的零點問題對于含參數的函數零點的個數問題，由函數y二f (x)有n個零點=方程f(x) =0有n個實數根=函數y二f (x)與x軸有n個交點可

10、轉化為方程解的個數問題，若能分離參數，可將參數分離出來，再作出函數的圖象，根據函數的圖象特征從而求出參數的取值范圍 也可以根據函數的最值或極值的符號，即利用函數的性質去確定函數零點的個數，此方法主要是通過數形結合的方法確定存在零點的條件【例 1 1】設函數f(x) =ex -alnx, ,其中e為自然對數的底數.(1 1 )若a =1, ,求f (x)的單調區間；(2)若0乞ae, ,求證：f (x)無零點.令 心)二討i _ L(址Q)貝 y y 匸&) = O O + +亟 0)當巨迥時，陋鞏即回單調遞增，又 F F二,【解析】(1 1)若旦 I,I,則血城心 0)0)xerw =

11、 -5fa)=耳 3 +咔 貝貝(町=:丸 2 十巾2 =Sx02+m;2 =-2x0當醫匹時.|l(刈OfQO吒0/(旬|單調遞減,當嚇 億+8刀時,p(x) A 0,廠工)乏0J(町|單調遞增.的單調遞減區間為只陰,單調遞增區間為匚 (2)當叵衛時,F(#)丙,顯然冋無零點.當卩 V蘭耳時,(i)當卩 V 尤玉1|時,1 -列，顯然凹無零點(ii)當巨H時，易證0吒1口尤吒*刁，.吒口(乂一1)蘭已O1),.f(K)=芒丁 1 _ 仇 I 譏耳： 亡”令肝鬥=于i_鞏篦_1)|,貝y gYx) = exe,令g x = 0,得x =2，當仁：x：2時，g (x) 0;當x 2時，g(x)

12、. 0,故g(x)min= g(2) = 0,從而f)AO,顯然空無零點.綜上，回無零點.指點2:利用導數解決函數恒成立、有解問題利用導數研究恒成立問題、有解問題，通常采用分類討論思想或分離參變量的方法，通過函數的單調性研究函數的最值，利用最值去研究恒成立問題、有解問題，此類問題最后都化歸為與函數最值有關的問題一般地，若f(X)_a恒成立，只需f(x)min-a即可；若f(X)乞a恒成立，只需f(x)max乞a即可若存在x,使得f(x) _a成立，只需f(x)max_a即可；若存在x，使得f(x)乞a成立，只需f(x)min乞a即可.【例2】已知函數Rx)=點+皿彳b=7,不.(1) 若曲線亙

13、回與曲線叵回在它們的交點處的公共切線為巨互壬目，求回，冋，目的值；(2)_ 當=1時，若W*二，求L的取值范圍【解析】(1)設它們的公共交點的橫坐標為1_1,貝貝上町十用北口 =_龍。？十葉=2龍口 +q(*)則_由得6將恂=_1|=_1|, ,趴二_1 1代入冋得十心=0|0|, ,二 ”=1|=1|, ,. .(2)由町 幾得* +巾疋 V加十12 舁 1( F 龍空)護十)(龍 +1)( 2玄十 x lj22 2其中_ 2/ + x -1 0,.f(x)在2J上單調遞增，f(x)min= f(2) =3.h*(Q= 1 - 2 玄-/ f (x)的單調遞減區間是故的取值范713要使關于x

14、的不等式f(x) f (x)min=3,即卩mt m3 mlnm對任意m匸(0,2恒成立,2 21812只需t m -Inm在m (0,2上恒成立. .212設h(m) mlnm,2當(0,2時，h(m)在0,1上單調遞減，在1,2 上單調遞增,12要使t m -Inm在m (0,2上恒成立，只需t：h(m)min,2一1故t的取值范圍是22 2 .已知函數f(x) =(x -1)ex.(2(2)當k 0時，討論關于 x x 的方程2f(x)_kx2=0的根的個數.【解析】依題青，要證兀 g 斗一1,即證(丸一1心斗一1,即證(1)*-斗+40,山令鞏兀)=(x-l)eI- + l1x0,貝(

15、JFr(x) = jce1-x = (es-l)x,X-當xcO時，Fx)OfF(功單調遞増，所以F(力巫=F(0) = 0,所以F(力二0,艮卩(x-l)e1 + 10,2故當xetO.+x)時(2(2)當X=0時，易得關于 x x 的方程2f(x)-kx2=0不成立;x當x=0時，由2f(x)-kx2=0可得k二2，即k=2(x)ex2(x T)ex令g(x)2,x=0，則問題可轉化為討論直線y = k與函數g(x)的圖象的交點個數 時，g (x)：0,g(x)單調遞減；當x 0時，g (x)0,g(x)單調遞增,又易知當x：0時，g(x)：0恒成立，且g(1)=0.m (0,2，則h (

16、m)二m1 (m)(mm(1)證明：當x 0,：)時,2xf(x) 1;2x由g(x)=2(x21)e，可得g (x)=2(x2-2x 2)ex，易知(x2-2x 2)ex0恒成立，所以當x：x219所以當k 0時，直線y二k與函數g(x)的圖象有且只有一個交點，即關于x的方程2f(x)-kx2且只有一個實數根 10- l 血)- - -lnxtmE E /?/?3 3 .設函數_ . .(1) 討論函數阿的單調性;(2) 若穴丘，且0)40)4 在區間冋上恒成立，求冋的取值范圍一疋+1 1，函數回在區間 函上單調遞增，在區間 巨王辺上單調遞減;【解析】(1 1)函數回的定義域為匹壬巴當皿=(I(I 時，當 m.m. 0 0時,當二:.時,單調遞增；當時,當空衛時,，函數回在區間匹!3上單調遞增，在區間，函數回在區間匹切上單調