1、三角函數(shù)和解三角形 專題 高考數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué)之三角函數(shù)和解三角形【知識網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建】 【重點知識整合】一、三角恒等變換與三角函數(shù)1.三角函數(shù)中常用的轉(zhuǎn)化思想及方法技巧:(1)方程思想:, ,三者中,知一可求二;(2)“1”的替換: ;(3)切弦互化:弦的齊次式可化為切；(4)角的替換:, ;(5)公式變形： ;(6)構(gòu)造輔助角(以特殊角為主):.二、解三角形1正弦定理已知在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A、B、C的對邊，則2R(R為三角形外接圓的半徑)2余弦定理已知在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A、B、C的對邊，則a2b2c22bccosA，cosA，另外兩個同樣3面積公式已知在ABC中，a，b，

2、c分別為內(nèi)角A、B、C的對邊，則(1)三角形的面積等于底乘以高的；(2)SabsinCbcsinAacsinB(其中R為該三角形外接圓的半徑)；(3)若三角形內(nèi)切圓的半徑是r，則三角形的面積S(abc)r；(4)若p，則三角形的面積S.【高頻考點突破】【變式探究】已知角的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y2x上，則cos2()AB C. D.【方法技巧】1用三角函數(shù)定義求三角函數(shù)值有時反而更簡單； 2同角三角函數(shù)間的關(guān)系、誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)式的化簡中起著舉足輕重的作用，應(yīng)注意正確選擇公式、注意公式的應(yīng)用條件. 考點二 三角函數(shù)的性質(zhì) 三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：ysinx的遞增區(qū)間是

3、2k，2k(kZ)，遞減區(qū)間是2k，2k(kZ)；ycosx的遞增區(qū)間是2k，2k(kZ)，遞減區(qū)間是2k，2k(kZ)；ytanx的遞增區(qū)間是(k，k)(kZ)例2、已知a(sinx，cosx)，b(cosx，cosx)，函數(shù)f(x)a·b.(1)求f(x)的最小正周期，并求其圖像對稱中心的坐標(biāo)；(2)當(dāng)0x時，求函數(shù)f(x)的值域【變式探究】已知函數(shù)f(x)sin(2x)，其中為實數(shù)，若f(x)|f()|對xR恒成立，且f()>f()，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是()Ak，k(kZ) Bk，k(kZ)Ck，k(kZ) Dk，k(kZ)考點三 函數(shù)yAsin(x)的圖像及變換

4、函數(shù)yAsin(x)的圖像：(1)“五點法”作圖：設(shè)zx，令z0，2，求出x的值與相應(yīng)的y的值，描點、連線可得(2)圖像變換：ysinx ysin(x)ysin(x)yAsin(x)例3、已知函數(shù)f1(x)Asin(x)(A>0，>0，|<)的一段圖像經(jīng)過點(0,1)，如圖所示(1)求f1(x)的表達(dá)式；(2)將函數(shù)f1(x)的圖像向右平移個單位長度得到函數(shù)f2(x)的圖像，求yf1(x)f2(x)的最大值，并求出此時自變量x的集合【變式探究】已知函數(shù)f(x)Atan(x)(>0，|<)，yf(x)的部分圖像如圖，則f()()A2B. C. D2 考點四 三角變換

5、及求值 三角函數(shù)求值有以下類型： (1)“給角求值”，即在不查表的前提下，通過三角恒等變 換求三角函數(shù)式的值； (2)“給值求值”，即給出一些三角函數(shù)值，求與之有關(guān)的 其他三角函數(shù)式的值； (3)“給值求角”，即給出三角函數(shù)值，求符合條件的角例1、已知函數(shù)f(x)2sin(x)，xR.(1)求f(0)的值；(2)設(shè)，0，f(3)，f(32).求sin()的值【變式探究】已知：cos(2)，sin(2)，0<<<<，則的值為_考點五 正、余弦定理的應(yīng)用 【變式探究】ABC中，B120°，AC7，AB5， 則ABC的面積為_ 考點 六 解三角形與實際應(yīng)用問題 在實

6、際生活中，測量底部不可到達(dá)的建筑物的高度、不可到達(dá)的兩點的距離及航行中的方位角等問題，都可通過解三角形解決例6、如圖，A，B是海面上位于東西方向相距5(3)海里的兩個觀測點現(xiàn)位于A點北偏東45°，B點北偏西60°的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60°且與B點相距20海里的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時，該救援船到達(dá)D點需要多長時間？【難點探究】難點一簡單的三角恒等變換例1 、(1)若0<<，<<0，cos（），cos（），則cos（）()A. B C. D(2)已知sincos，且，則的值為_【點評】 在進(jìn)

7、行三角恒等變換時，一個重要的技巧是進(jìn)行角的變換，把求解的角用已知角表示出來，把求解的角的三角函數(shù)使用已知的三角函數(shù)表示出來，常見的角的變換有，把2變換成2，()()，2()()，2()()，2·，等；在進(jìn)行三角函數(shù)化簡或者求值時，如果求解目標(biāo)較為復(fù)雜，則首先要變換這個求解目標(biāo)，使之簡化，以便看出如何使用已知條件難點二三角函數(shù)的圖象例2 (1)已知函數(shù)f(x)Atan(x+)，yf(x)的部分圖象如圖所示，則f _.(2)要得到函數(shù)ycos（2x）的圖象，只需將函數(shù)ysin2xcos2x的圖象() A向左平移個單位 B向右平移個單位 C向右平移個單位 D向左平移個單位難點三三角函數(shù)的性

8、質(zhì) 例3已知函數(shù)f(x)sin(2x)，其中為實數(shù)，若f(x)對xR恒成立，且f >f()，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.(kZ) B.(kZ) C.(kZ) D.(kZ)【規(guī)律方法】1根據(jù)三角函數(shù)的圖象求解函數(shù)的解析式時，要注意從圖象提供的信息確定三角函數(shù)的性質(zhì)，如最小正周期、最值，首先確定函數(shù)解析式中的部分系數(shù)，再根據(jù)函數(shù)圖象上的特殊點的坐標(biāo)適合函數(shù)的解析式確定解析式中剩余的字母的值，同時要注意解析式中各個字母的范圍2進(jìn)行三角函數(shù)的圖象變換時，要注意無論進(jìn)行的什么樣的變換都是變換的變量本身，特別在平移變換中，如果這個變量的系數(shù)不是1，在進(jìn)行變換時變量的系數(shù)也參與其中，如把函數(shù)ys

9、in的圖象向左平移個單位時，得到的是函數(shù)ysinsin2x的圖象3解答三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)類的試題，變換是其中的核心，把三角函數(shù)的解析式通過變換，化為正弦型、余弦型、正切型函數(shù)，然后再根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行研究難點四正余弦定理的應(yīng)用例4 、(1)在ABC中，若b5，B，sinA，則a_.(2)在ABC中，sin2Asin2Bsin2CsinBsinC，則A的取值范圍是()A B. C. D.難點五函數(shù)的圖象的分析判斷例5 、在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.(1)求的值；(2)若cosB，b2，求ABC的面積S.【點評】 本題的難點是變換時，變換方向的

10、選取，即是把角的函數(shù)轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，還是把邊轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)，從已知式的結(jié)構(gòu)上看，把其中三個內(nèi)角的余弦轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系是較為復(fù)雜的，而根據(jù)正弦定理把其中邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的正弦，則是較為簡單的，在含有三角形內(nèi)角的三角函數(shù)和邊的混合關(guān)系式中要注意變換方向的選擇正弦定理、余弦定理、三角形面積公式本身就是一個方程，在解三角形的試題中方程思想是主要的數(shù)學(xué)思想方法，要注意從方程的角度出發(fā)分析問題探究點六解三角形的實際應(yīng)用例6、如圖61，漁政船甲、乙同時收到同一片海域上一艘漁船丙的求救信號，此時漁船丙在漁政船甲的南偏東40°方向距漁政船甲70 km的C處，漁政船乙在漁政船甲的南偏西20°

11、方向的B處，兩艘漁政船協(xié)調(diào)后立即讓漁政船甲向漁船丙所在的位置C處沿直線AC航行前去救援，漁政船乙仍留在B處執(zhí)行任務(wù)，漁政船甲航行30 km到達(dá)D處時，收到新的指令另有重要任務(wù)必須執(zhí)行，于是立即通知在B處執(zhí)行任務(wù)的漁政船乙前去救援漁船丙(漁政船乙沿直線BC航行前去救援漁船丙)，此時B、D兩處相距42 km，問漁政船乙要航行多少千米才能到達(dá)漁船丙所在的位置C處實施營救？【變式探究】如圖62，某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)在北偏東45°距A處8海里處有一走私船，正沿南偏東75°的方向以12海里/小時的速度向我岸行駛，巡邏艇立即以12海里/小時的速度沿直線追擊，問巡邏艇最少需要多長時間才能追到

12、走私船？并指出巡邏艇航行方向圖62【規(guī)律技巧】1使用正弦定理能夠解的三角形有兩類，一類是已知兩邊及其中一邊的對角，一類已知一邊和兩個內(nèi)角(實際就是已知三個內(nèi)角)，其中第一個類型也可以根據(jù)余弦定理列出方程求出第三邊，再求內(nèi)角在使用正弦定理求三角形內(nèi)角時，要注意解的可能情況，判斷解的情況的基本依據(jù)是三角形中大邊對大角2當(dāng)已知三角形的兩邊和其中一個邊的對角求解第三邊時，可以使用正弦定理、也可以使用余弦定理，使用余弦定理就是根據(jù)余弦定理本身是一個方程，這個方程聯(lián)系著三角形的三個邊和其中的一個內(nèi)角3正弦定理揭示了三角形三邊和其對角正弦的比例關(guān)系，余弦定理揭示了三角形的三邊和其中一個內(nèi)角的余弦之間的關(guān)系【

13、歷屆高考真題】【2012年高考試題】一、選擇題1.【2012高考真題重慶理5】設(shè)是方程的兩個根，則的值為（A）-3 （B）-1 （C）1 （D）33.【2012高考真題新課標(biāo)理9】已知，函數(shù)在上單調(diào)遞減.則的取值范圍是（ ） 4.【2012高考真題四川理4】如圖，正方形的邊長為，延長至，使，連接、則（ ）A、 B、 C、 D、7.【2012高考真題遼寧理7】已知，(0，)，則=(A) 1 (B) (C) (D) 18.【2012高考真題江西理4】若tan+ =4,則sin2=A B. C. D. 9.【2012高考真題湖南理6】函數(shù)f（x）=sinx-cos(x+)的值域為 A -2 ,2 B

14、.-, C.-1,1 D.- , 10.【2012高考真題上海理16】在中，若，則的形狀是（ ）A銳角三角形 B直角三角形 C鈍角三角形 D不能確定13.【2012高考真題全國卷理7】已知為第二象限角，則cos2=(A) （B） (C) (D)二、填空題14.【2012高考真題湖南理15】函數(shù)f（x）=sin ()的導(dǎo)函數(shù)的部分圖像如圖4所示，其中，P為圖像與y軸的交點，A,C為圖像與x軸的兩個交點，B為圖像的最低點.（1）若，點P的坐標(biāo)為（0，），則 ;（2）若在曲線段與x軸所圍成的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點，則該點在ABC內(nèi)的概率為 .17.【2012高考真題安徽理15】設(shè)的內(nèi)角所對的邊為；則下列命

15、題正確的是若；則 若；則 若；則 若；則若；則18.【2012高考真題福建理13】已知ABC得三邊長成公比為的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值為_.19.【2012高考真題重慶理13】設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，且，,則 20.【2012高考真題上海理4】若是直線的一個法向量，則的傾斜角的大小為 （結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）。22.【2012高考江蘇11】（5分）設(shè)為銳角，若，則的值為 24.【2012高考真題湖北理17】（本小題滿分12分）已知向量，設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，其中，為常數(shù)，且. （）求函數(shù)的最小正周期； （）若的圖象經(jīng)過點，求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍.【2011年高考試題】一、選擇題:1.

16、(2011年高考安徽卷理科9)已知函數(shù)，其中為實數(shù)，若對恒成立，且，則的單調(diào)遞增區(qū)間是（A） （B）（C） （D）4.(2011年高考浙江卷理科6)若，則（A） （B） （C） （D）二、填空題:1.(2011年高考遼寧卷理科16)已知函數(shù)f（x）=Atan（x+）（0，），y=f（x）的部分圖像如下圖，則f（）=_.2.(2011年高考安徽卷理科14)已知 的一個內(nèi)角為120o，并且三邊長構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，則的面積為_6.(2011年高考安徽卷江蘇7)已知 則的值為_4. (2011年高考江西卷理科17)（本小題滿分12分）在ABC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c,已知sinC+

17、cosC=1-sin （1）求sinC的值（2）若 a2+b2=4(a+b)-8，求邊c的值6. (2011年高考廣東卷理科16)（本小題滿分12分）已知函數(shù)（1）求的值；（2）設(shè)求的值.7. (2011年高考湖北卷理科16)（本小題滿分10分）設(shè)ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為，已知.() 求ABC的周長；()求cos(AC.). 8(2011年高考陜西卷理科18)（本小題滿分12分）敘述并證明余弦定理9.(2011年高考重慶卷理科16)（本小題滿分13分）設(shè)滿足，求函數(shù) 在上的最大值和最小值10. (2011年高考四川卷理科17)（本小題共12分）已知函數(shù)（）求的最小正周期和最小值；（）已知，求證：.13(2011年高考北京卷理科15)（本小題共13分）已知函數(shù)。（）求的最小正周期：（）求在區(qū)間上的最大值和最小值。【2010年高考試題】（2010浙江理數(shù)）（9）設(shè)函數(shù)，則在下列區(qū)間中函數(shù)不存在零點的是（A） （B） （C） （D）（2010遼寧理數(shù)）（5）設(shè)>0,函數(shù)y=sin(x+)+2的圖像向右平移個單位后與原圖像重合，則的最小值是（A） (B) (C) (D)3 （2010江西理數(shù)）17.（本小題滿分12高考資源*網(wǎng)分）已知函數(shù)。(1) 當(dāng)m=0時，求在區(qū)間上的取值范圍；(2) 當(dāng)時，求m的值。（2010北京理數(shù)）已知函數(shù)。（）求的值；（）求的最大值和最小值