1、CAPM模型Capital Asset Pricing Model資本資產(chǎn)定價模型本節(jié)內(nèi)容提示l 重點：理解單指數(shù)模型、CAPM模型的內(nèi)涵，掌握CAPM模型的應用l 難點：CML和SML模型的推導、風險的分解和系統(tǒng)性風險的定價依據(jù)l 目標：理解資產(chǎn)定價是風險與收益相匹配的本質(zhì) 本節(jié)主要內(nèi)容l單指數(shù)模型lCAPM模型的內(nèi)涵lCAL，SML，CML的區(qū)別及聯(lián)系l市場組合重要性l風險的分解單指數(shù)模型l 單指數(shù)模型（single index model，簡稱SIM）是由夏普（William Sharpe）提出，其基本思想為風險資產(chǎn)的收益率只與一個因素有關(guān)。l 在夏普的單指數(shù)模型中并沒有給出明確的內(nèi)涵，

2、在模型中應為特征線方程與縱軸的截距，可以稱為風險資產(chǎn)的特有收益率或超額收益率。 iiiiryi模型假設(shè)l 即隨機擾動項的期望收益為0；l 不同隨機擾動項之間是互不相關(guān)的；l 系統(tǒng)性風險與非系統(tǒng)性風險之間是相互獨立的。l 若用這 種風險資產(chǎn)構(gòu)建的組合滿足： ，說明組合是一個完全分散化的投資組合。 ( )0iE()0ijE ,(| )0ii EyN10Niiix單指數(shù)模型的均衡定價l 首先對組合中第 種證券求期望收益率和風險 iiii mrr 2222222222 2 iiiii miii mimmiimmiimmiimmiE rrrrErrE rrErrEE rrE222 imi 市場風險貢獻市

3、場風險貢獻市場風險貢獻市場風險貢獻總風險總風險l 組合中不同風險資產(chǎn)的協(xié)方差可計算為： 22 ijiijjimmijmmjijmmjimmijmmijijmErrrrErrrrE rrErrErrE l 對于風險資產(chǎn)組合 而言，組合的期望收益和風險為：P111NNNpi iiiii miiirx rxxr2222222221111111NNNNNNNPiiijijiimijijmiiiijiijij ij ixx xxx xX 我們假設(shè)1NPiiix，1NPiiix為組合P的特征值，則有： PPP mrr 若我們構(gòu)建的組合P與市場指數(shù)組合m一樣，則有Pmrr，此時P應為零，而P應為 1，也即市

4、場組合的超額收益為0m，敏感系數(shù)1m。 在單指數(shù)模型中，被認為是單個風險資產(chǎn)或風險資產(chǎn)組合的某種屬性。我們把市場指數(shù)組合m作為比較的基準。若風險資產(chǎn)組合的1p，則稱其為比市場平均水平更激進，若1p，則稱其為比市場平均水平更保守。 l在單指數(shù)模型下，組合的方差為： 2222222111122211122211122221 NNNNPiimijijmiiiijij iNNNijijmiiijiNNNiijjmiiijiNPmiiixx xxx xxxxxx 多指數(shù)模型假設(shè)風險資產(chǎn)的收益率受到若干個共同因素12,KI II的影響， 則多指數(shù)模型可以表示為： 1 122iiiiiKKirab Ib I

5、b I 其中：12,KI II分別表示K個指數(shù)，12,iiiKb bb為風險資產(chǎn)i對這K個指數(shù)的敏感性，i表示隨機擾動項。 * i 在多指數(shù)模型中，同樣存在以下假設(shè)： （1）( )0iE，即隨機擾動項的期望收益為 0； （2）()0ijE ，不同隨機擾動項之間是互不相關(guān)的； （3）()0ijEI，隨機擾動與不同的指數(shù)之間不相關(guān)，這條假設(shè)很重要，表明除了K個因素外，沒有其它因紗影響證券收益的相關(guān)性。 （4）對于一切ij，()()0iijjE IIII，表明指數(shù)之間互不相關(guān)。 1 122iiiiiKKrab Ib Ib I222222221122iiIiIiKIKibbb222111222ijij

6、IijIiKjKIKb bb bb b CAPM模型的認識l Mean-Variance模型的簡化，同樣刻畫的是風險與收益之間的均衡l 前提假設(shè)l 金融市場是有效的l 投資者均是理性的（風險厭惡的），且具有相同的預期l 市場無摩擦且存在無風險資產(chǎn)的借貸市場無摩擦且存在無風險資產(chǎn)的借貸 CAPM的推導l 引入了無風險資產(chǎn)的概念l 考慮的是在無風險資產(chǎn)和風險資產(chǎn)之間的最優(yōu)配置決策CAPM模型 用R表示僅由風險資產(chǎn)構(gòu)成的任意組合，它屬于 Markowitz 可行集。P表示引入無風險資產(chǎn)后的任意組合。x表示在新組合P中無風險資產(chǎn)所占的比例，1x表示投資于風險資產(chǎn)組合R的比例。 假設(shè)無風險利率為fR，

7、風險資產(chǎn)組合m的預期收益率為RR，標準差為R，則由無風險資產(chǎn)和風險資產(chǎn)組合R共同構(gòu)成的新的組合P的預期收益率為： (1)pfRrxrx r 其中，當0 x 時，表示投資者將初始資金一部分以無風險利率借出，一部分投資于風險資產(chǎn)組合R；當0 x 時，表示全部資金投資于該風險資產(chǎn)組合R；當0 x 時，則表示以無風險利率借入資金，與初始資金一起投資于風險資產(chǎn)組合R。 組合P的方差為： 22222,(1)2 (1)PfRf RfRxxxx 其中，2f為無風險資產(chǎn)收益率的方差，顯然，20f；為無風險資產(chǎn)與風險資產(chǎn)組合R的相關(guān)系數(shù)。組合的可以簡化為： 222(1)PRx 所以，組合P收益率的標準差為： (1

8、)PRx 1.資本配置線 我們用資本配置線（Capital Allocation Line）來描述引入無風險借貸后，將資本在某一特定的風險資產(chǎn)組合R與無風險資產(chǎn)之間分配， 從而得到所有可能的新組合的預期收益與風險之間的關(guān)系。 由式(1)PRx得： 1PRx 將式(1)pfRrxrx r和1PRx 聯(lián)立， 可推導出資本配置線的函數(shù)表達式，即： fpfPRrrrr fr M pr p 圖 1 資本配置線 m mr A B “兩基金分離原理”l (two mutual fund theorem)，即所有投資者的最優(yōu)資產(chǎn)組合僅包括兩個子組合：一個為市場風險資產(chǎn)組合，另一個為無風險資產(chǎn)，不同投資者之間的

9、差異僅僅取決于在無風險資產(chǎn)和市場風險資產(chǎn)組合之間配置的資金比例不同，而對持有的風險資產(chǎn)組合的構(gòu)成均相同。 2.資本市場線（CML） 通過對切點組合 M 的分析可知， 所得到的線性有效集實際上是從無風險資產(chǎn)所對應的點 F 出發(fā)，經(jīng)過市場組合對應點 M 的一條射線，它反映了市場組合 M和無風險資產(chǎn)的所有可能組合的收益與風險的關(guān)系。 這個線性有效集就是我們通常所說的資本市場線（Capital Market Line，簡記 CML） ，見圖。其函數(shù)表達式如下： MfPfPMrrrr 其中，Mr是市場組合M的預期收益率；M是市場組合M收益率的標準差。 我們可認為MFMrR 是有效風險資產(chǎn)組合單位風險的市

10、場價格，它和P的乘積表示由于該組合承受風險而得到的報酬，fr是無風險資產(chǎn)收益，可看作是對延遲消費的一種補償，故上式可表述為如下意義方程式： 風險資產(chǎn)收益無風險資產(chǎn)的時間價格單位風險的市場價格風險量 F fr m ()mE r 圖 2 資本市場線（CML） M CML p ()pE r A D E i 本講內(nèi)容：證券市場線本講內(nèi)容：證券市場線內(nèi)容提要l 重點：證券市場線的內(nèi)涵、應用及與資本市場線的區(qū)別l 難點：證券市場線的推導過程l 要求：掌握證券市場線的內(nèi)涵、能利用證券市場線方程對風險資產(chǎn)定價的合理性進行判斷，并對風險資產(chǎn)的投資提出建議。內(nèi)容回顧l 資本市場線資本市場線反映了市場達到均衡時均衡

11、時有效組合的預期收益與風險預期收益與風險之間的關(guān)系。但作為構(gòu)成市場組合的單個資產(chǎn)以及它們的其他組合，往往是非有效的，資本市場線并沒有體現(xiàn)其預期收益與風險之間的關(guān)系。1小明將其財富的 30%投資于一項預期收益為 15%，方差為 0.04 的風險資產(chǎn)，將其財富的70%投資于收益為 6%的國庫券，他的資產(chǎn)組合的預期收益率與標準差分別為（ ） A11.4%與 0.12 B8.7%與 0.06 C29.5%與 0.12 D8.7%與 0.12 2在資本資產(chǎn)定價模型中，是用（ ）來測度風險的。 A非系統(tǒng)性風險 B貝塔值 C收益率的標準差 D收益率的均值 5假定小李有 1000 元用于投資，該 1000 元

12、全部投資于股票或全部投資于無風險國債的預期收益見下表，則投資于股票的風險溢價是（ ） 投資方式 概率 預期凈收益（元） 0.6 500 投資于股票 0.4 -300 投資于無風險國庫券 1.0 50 A20% B15% C18% D13% 1.單個風險資產(chǎn)對市場組合的風險貢獻我們假設(shè)組合中有n種風險資產(chǎn)，則組合的風險可表示為： 211221cov(,)nMi iMMMMMnMnMix r rxxx 其中，iMx表示風險資產(chǎn)i在市場組合M中所占的比例；iM為風險資產(chǎn)i與市場組合的相關(guān)系數(shù)。 可見， 市場組合收益的方差等于構(gòu)成組合的所有資產(chǎn)與市場組合的協(xié)方差的加權(quán)平均和， 權(quán)重為各項資產(chǎn)在組合中所

13、占的比重， 單個資產(chǎn)與組合的協(xié)方差代表它對整個組合的風險貢獻程度。 2.單個資產(chǎn)預期收益與風險的關(guān)系達到均衡時市場組合的預期收益率可以表示為： ()MfMfrrrr F 2m ()pE r 圖 3 證券市場線-協(xié)方差 M SML ()mE r fr 2p F 1 ()pE r 圖 4 證券市場線-貝塔系數(shù) M SML ()mE r fr 推導證券市場線的三種方法l 基于市場均衡定價模型l 基于組合最優(yōu)化定價模型l 基于單指數(shù)模型1.基于市場均衡定價模型()MfMfrrrr22()MfMfMMrrrr21()NMfMfiiMiMrrrrx211()NNMfMifiiMiiMrrrx rx21()

14、NMfMifiMiMrrrxr211()NNMfi iifiMiiMrrxrxr2()MfifiMMrrrr2iMiM定義()ifiMfrrrr1.基于組合優(yōu)化的定價模型l 當證券市場達到均衡時，無法通過改變市場組合中任意一項資產(chǎn)或資產(chǎn)組合的比重，而使得整個組合的預期收益相對于風險有所上升或使得單位風險的回報增加。PiMrrrPiMMiP)21 ()1 (22MMiMPMiMP2202()/00/MiMPPPPiMMrrrr2()MfMiMMiMMrrrr2MfifiMMrrrrl 風險回避風險回避的投資者都盡量通過資產(chǎn)的多元化來降低風險資產(chǎn)的多元化來降低風險，當市場達到均衡時，所有的投資者都

15、會建立市場組合與無風險資產(chǎn)的某種比例的組合，從而最大限度地降低風險，最終使得非系統(tǒng)風險等于0，只剩下不可分散的系統(tǒng)風險。因此因此單個資產(chǎn)的風險回報就應該與它對系統(tǒng)風險的貢獻單個資產(chǎn)的風險回報就應該與它對系統(tǒng)風險的貢獻而不是與總風險成比例，因為其中的非系統(tǒng)風險已經(jīng)通過而不是與總風險成比例，因為其中的非系統(tǒng)風險已經(jīng)通過組合消除了。組合消除了。所以不能認為總風險很大的資產(chǎn)，相對于總風險較小的資產(chǎn)，必然會給市場組合帶來較大的風險，從而應該提供較大的回報。習題習題 l 1假設(shè)市場組合由兩個證券A和B組成，它們的投資比例和方差分別是0.39、160以及0.61、340。兩種證券的協(xié)方差為190。計算兩種證

16、券的系數(shù)。l 2假設(shè)市場組合由兩個證券A和B組成，它們的投資比例分別是40%和60%。已知這兩個證券的期望收益率分別是10%、15%，標準差分別是20%、28%，其相關(guān)系數(shù)為0.3。假設(shè)無風險收益率為5%。寫出資本市場線方程。習題（續(xù)）習題（續(xù)） l 3假設(shè)無風險收益率為3%，市場已處于CAPM所描述的均衡狀態(tài)。如果已知市場上有一種風險證券，其期望收益率為6%、系數(shù)為0.5，那么系數(shù)為1.5的證券的期望收益率為多少？l 4基于資本資產(chǎn)定價模型中風險與收益之間的關(guān)系，補充下表中未填寫的數(shù)據(jù)。證券期望收益率% 系數(shù) 標準差%非市場風險 市場風險A0.881B19.01.536C15.0 120D7

17、.008E16.6152在資本資產(chǎn)定價模型中，是用（ ）來測度風險的。 A非系統(tǒng)性風險 B貝塔值 C收益率的標準差 D收益率的均值 4在存在無風險資產(chǎn)時，零貝塔證券的預期收益率是（ ） A市場收益率 B零收益率 C負收益率 D無風險資產(chǎn)收益率 5無風險收益率為 7%，市場期望收益率為 15%。某證券X的期望收益率為 12%，貝塔值為 1.3，那么他應該（ ） A買入X，因為它被高估了 B賣空X，因為它被高估了 C賣空X，因為它被低估了 D買入X，因為它被低估了 6一投資組合的收益率在不同市場狀況下的表現(xiàn)如下表，那么其預期收益率是（ ） 市場情況 熊市 正常 牛市 概率 0.2 0.5 0.3

18、收益率（%） -25 10 20 A4% B10% C8% D6% 3根據(jù) CAPM 模型，某個證券的收益應等于（ ） A ()fMrE r B ()fMfrE rr C ()fMfrE rr D()fMrE r 多因子模型假設(shè)風險資產(chǎn)的收益率受到若干個共同因素12,KI II的影響， 則多指數(shù)模型可以表示為： 1 122iiiiiKKirab Ib Ib I * i 其中：12,KI II分別表示K個指數(shù)，12,iiiKb bb為風險資產(chǎn)i對這K個指數(shù)的敏感性，i表示隨機擾動項。 在多指數(shù)模型中，同樣存在以下假設(shè)： （1）( )0iE，即隨機擾動項的期望收益為 0； （2）()0ijE ，不

19、同隨機擾動項之間是互不相關(guān)的； （3）()0ijEI，隨機擾動與不同的指數(shù)之間不相關(guān)，這條假設(shè)很重要，表明除了K個因素外，沒有其它因紗影響證券收益的相關(guān)性。 （4）對于一切ij，()()0iijjE IIII，表明指數(shù)之間互不相關(guān)。 在實際經(jīng)濟結(jié)構(gòu)中，所選取的宏觀因素的各指數(shù)之間可能有互相相關(guān)現(xiàn)象存在，在運用多指數(shù)模型估計時，需要將這K個指數(shù)先正交化，以滿足多指數(shù)模型的上述四個假設(shè)條件。 由上面的模型可推導得到一些結(jié)果： 1 122iiiiiKKrab Ib Ib I 222222221122iiIiIiKIKibbb 222111222ijijIijIiKjKIKb bb bb b 我們利用

20、單因素模型來進行推導，單因素模型如下： iiiirbF 對于 APT 模型，證明其能夠成立的充分條件是：在市場上存在著多種風險資產(chǎn)，使得能夠構(gòu)造這樣一種含有N種風險資產(chǎn)的組合。該組合滿足兩個條件：零投資和零風險，即10Niix和10Niiixb。同時要求組合風險資產(chǎn)的數(shù)量N要充分大，這樣可以保證組合不受非因素風險的影響，即：10Niiix。 由于該組合為零投資和零風險，在不存在套利機會的情況下，其收益必將為零，這也必然意味著該組合的預期收益率為零，即：10Ni iix r 利用數(shù)學知識我們可以給出如下解釋： （1）10Niix， 意味著組合中不同風險資產(chǎn)的權(quán)重向量12( ,)TNxx xx與N

21、維單位向量1(1,1,1)T正交； （2）10Niiixb意味著權(quán)重向量x與不同風險資產(chǎn)相對于因素的敏感系數(shù)向量12( ,)TNbb bb正交； （3）10Ni iix r意味著權(quán)重向量x與組合中不同風險期望收益向量12( , ,)TNrr rr正交； 若一個向量和1N 個向量正交就意味著和第N個向量也正交，則這N個向量可以被1N 個向量線性組合而成。在這里也就意味著r向量可被向量1和b線性表示，即： 011rb 對于組合中第i個風險資產(chǎn)，意味著套利方程如下： 01iirb (1,2,iN) 那么在套利定價方程中出現(xiàn)的常數(shù)0和1表示何種涵義呢？ 首先，假設(shè)存在一種風險資產(chǎn)，這種風險資產(chǎn)具有常數(shù)

22、的預期收益率fr，那么由于該風險資產(chǎn)對因素無敏感性，則有0ib ，這意味著0ir，可見0表示的是與風險資產(chǎn)和因素無關(guān)的常數(shù)，從而可知0fr,。此時套利方程可改寫為： 1ifirrb 若此時我們構(gòu)建一個純因素組合， 用F來表示， 那么該組合對因素就具有單位的敏感性，這意味著1Fb ，從而可推得1： 1Ffrr 這表明1是相對于因素具有單位敏感性的組合的預期超額收益率，即因素風險溢價。 從而可得到套利定價方程的一般形式： ()ifFfirrrr b 若此時因素為市場組合，則有 ()ifmfirrrr b 若此時套利模型中假定有多種因素共同影響，假設(shè)市場上有N種風險資產(chǎn)，有12,KF FF共K個因素

23、，每一種風險資產(chǎn)在K因素模型中具有K個敏感性，記敏感系數(shù)向量為12(,)TiiiKb bb。此時，多因素的套利方程可以描述為： 1122iiiiiKKirab Fb Fb F 1,2,iN 在均衡狀態(tài)下，如果不存在套利組合或套利機會，則應有：10Niix、10(1,2,)NiikixbkK、10Ni iix r，這意味著r可由1K 個向量線性表示，即可得到套利定價方程為： 01122iiiKiKrbbb 在多因素的套利方程中，0為無風險利率， 因為無風險資產(chǎn)對任何因素均無敏感性。 設(shè)jFr代表一個因素組合jF的預期收益率， 該組合只對因素j有單位敏感性而對其他因素無敏感性，該組合的因素敏感系數(shù)為1Pjb，0()Pkbkj ，則多因素的定價模型為： 1122()()()ifFfiFfiFKfiKrrrr brr brr b 因此， 風險資產(chǎn)的預期收益率等于無風險收益率與風險資產(chǎn)對K個因素敏感性的風險溢價之和。 APTAPT 與與 CAPMCAPM 的關(guān)系的關(guān)系 APT 是比 CA