1、導體表面電荷分布與導體表面曲率的關系(1)靜電平衡條件下導體表面的電荷分布是一個復雜的靜電學問題。它不僅與導體表面的曲率有關。而且與導體本身的形狀、周圍導體和介質的分布及帶電 狀態有關。一般情況下對孤立導體它也不是與曲率有簡單正比關系。下面我們通過帶電旋轉橢球形導體的例子加以說明。橢球面的數學表達式是比較簡單的，當它的三個半軸相等時，它就變成球；細長 的橢圓繞長軸旋轉而成的橢球就相當丁細長棒；細長橢圓繞短鈾旋轉時形成的橢 球就相當丁平板，因此研究橢球帶電的電荷分布，有較普遍的意義。無論什么形狀的導體決定電荷平衡分布的唯一條件是導體內部各點的場強必須 為零。凡是能滿足這個條件的分布，便是實際存在

2、的分布。根據這個條件，以及 靜電場的基本性質求解橢球上的電荷分布， 是一個典型的電磁學問題要用到較復 雜的數學工具，本書不嚴格處理這一問題。這里用一個不夠嚴格的方法導出其結 果。假沒我們考慮的是一個旋轉橢球如圖 9.8所示，它有兩個焦點 O和Q。表面 電荷的分布使橢球內任一點的合場強為零。 一般說來，這是表面所有的電荷綜合 抵消的結果。但是對丁焦點 O和Q,很巧，這種抵消是一對一的。 過焦點O 作一個小立體角，它在橢球表面上切出兩塊表面 dS和dS2,嚴格的理論證明， dS上的電荷在 O產生的場強與 O上的電荷在 O產生的場強恰恰抵消，因此 整個橢球面上的電荷在 O產生的場強之和為零。循著這一

3、途徑，便可找出表面 電荷分布的規律。設dS處電荷密度為 g ,距O的距離為ri , dS上的電量dqi = dS”，這 部分電荷在 O產生的場強dEi應為：d阡上.零 4嗎 4而dS = d S/cos ai 。 a 1是ri與dS2表面法線ni問的火角。同時類=f , d Qi是dSi對O所張的立體角。因此有：= -峋4跟荀 cos用同樣的方法，可以得到dS2在O產生的場強d巳為:場= 峋4陌與。$輪a 2是dL與dS2表面法線n2間的火角。dS2對O所張的立體角仍然由丁在焦點上對應電荷產生的場相互抵消，故有 dEi = d日，從而得到:%電*電，也就是說：° m這就是橢球表面電荷

4、分布的具體規律。 運用微積分和基本的欠量分析，由焦點為 原點的橢圓方程：r=-l + 5cosp+ 2t5cos這里P是焦點參數，a是橢圓偏心率。可以求出r, 4處的cos a為：從而可以求出任何兩點（即4 1和4 2 ）的表面電荷密度之比。圖9.9中，如在橢圓最尖銳的一端 A, 4 A = 0, cos a A = 1。在最平的一點B,''，可見叫血掰。而在a與B之間的其它的點，cos a的值介丁 1與據薩之間，電荷的面密度是逐漸由1向 部-尹過渡的。當a趨向丁 1,橢球逐漸向細長桿過渡；當 a很接近丁 1時，焦點O和Q趨向兩瑞，橢球上很大一部分面積的2 ,因而cos 0,故

5、電荷分布集中丁桿的兩端很小的區域內， 桿身絕大部分基本上沒有電荷分布。搞活楚了橢球上電荷分布的具體規律以后， 再來看面電荷密度與表面曲率的關系。定性地看一下，可以說，表面曲率大 -： 的地方，a角小，cos a的值大；表面曲率小的地方，a角， 大，cos a的值小。因此曲率大的地方電荷密度大丁曲率小歹二 二的地方，這是正確的。但 b是不是一定與表面曲率 K成，'正比呢？這就要用數學方法把橢圓各處的曲率求出來。按平面曲線曲率的定義：da cos odcr K =-=dJ rddl是橢圓上的一段弧長，經過計算可知 K并不簡單地與cos a成正比，因此， a也不是簡單地與 K成正比，它們之間

6、是一個很復雜的函數關系。曲率大的地 方電荷密度大只能說是一個大致的、 定性的規律，不能簡單地依據兩處的曲率來 比較它們的電荷密度。(2)狐立導體表面能否出現電荷異號面一個孤立導體的表面會不會出現異號的 面電荷分布呢？例如，如圖9.10所示導體中凹陷進去的地方的曲率為負值，會 不會出現異號面荷分布。結論是不可能。對此可以借助電力線用反證法證明。 設 圖中導體帶有凈正電荷，假如在凹陷處出現負面電荷分布，則該處要會聚電力線。 會聚丁凹陷處的電力線只有兩個可能的來源： 一種可能是來自無窮遠處，一種可 能來自導體上的正電荷。假設無窮遠處為零電勢點，對來自無窮遠處的電力線， 則沿此電力線求場強的線積分會得出導體的電勢是負值，這與沿導體表面帶正電處發出的電力線到無窮遠處的線積分應得導體的電勢是正值的結論產生矛