1、7.概率與統計第四篇回歸教材，糾錯例析，幫你減少高考失分點要點回扣易錯警示查缺補漏 欄目索引要點回扣1.隨機抽樣方法簡單隨機抽樣、系統抽樣、分層抽樣的共同點是抽樣過程中每個個體被抽取的機會相等，且是不放回抽樣.問題1某社區現有480個住戶，其中中等收入家庭200戶、低收入家庭160戶，其他為高收入家庭.在建設幸福社區的某次分層抽樣調查中，高收入家庭被抽取了6戶，則該社區本次抽取的總戶數為_.242.對于統計圖表問題，求解時，最重要的就是認真觀察圖表，從中提取有用信息和數據.對于頻率分布直方圖，應注意的是圖中的每一個小矩形的面積是數據落在該區間上的頻率.莖葉圖沒有原始數據信息的損失，但數據很大或

2、有多組數據時，莖葉圖就不那么直觀、清晰了.問題2從某校高三年級隨機抽取一個班，對該班50名學生的高校招生體檢表中視力情況進行統計，其結果的頻率分布直方圖如圖所示.若某高校A專業對視力的要求在0.9以上，則該班學生中能報A專業的人數為_.203.眾數：在一組數據中，出現次數最多的數據叫做這組數據的眾數.眾數為頻率分布直方圖中最高矩形的底邊中點的橫坐標.中位數：將一組數據按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數據(或最中間兩個數據的平均數)叫做這組數據的中位數.中位數為平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標.平均數等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小距形底邊中點的橫坐標之

3、和.標準差的平方就是方差，方差的計算問題3已知一個樣本中的數據為0.12,0.15,0.13，0.15，0.14,0.17,0.15,0.16,0.13,0.14，則該樣本的眾數、中位數分別是_.0.15、0.1454.變量間的相關關系5.獨立性檢驗的基本方法一般地，假設有兩個分類變量X和Y，它們的取值分別為x1，x2和y1，y2，其樣本頻數列聯表如表：y1y2總計x1ababx2cdcd總計acbdabcd問題5為了解某班學生喜愛打籃球是否與性別有關，對該班50名學生進行了問卷調查，得到了如下的22列聯表：喜愛打籃球不喜愛打籃球合計男生20525女生101525合計302050則至少有_的把

4、握認為喜愛打籃球與性別有關.(請用百分數表示)P(K2k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828答案99.5%6.互斥事件有一個發生的概率P(AB)P(A)P(B)(1)公式適合范圍：事件A與B互斥.7.古典概型問題7連擲兩次骰子分別得到點數m、n，則向量(m，n)與向量(1,1)的夾角90的概率是()解析(m，n)(1,1)mnn.基本事件總共有6636(個)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,4)，(6,1)，(6,5)，共1234515

5、(個).A8.幾何概型問題8在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中心，在正方體ABCDA1B1C1D1內隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為()解析記“點P到點O的距離大于1”為A，B9.解排列、組合問題的依據：分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合.解排列、組合問題的規律：相鄰問題捆綁法；不相鄰問題插空法；多排問題單排法；定位問題優先法；定序問題倍縮法；多元問題分類法；有序分配分步法；綜合問題先選后排法；至多至少問題間接法.(1)排列數公式(2)組合數公式(3)組合數性質問題9(1)將5封信投入3個郵筒，不同的投法共有_種.(2)從4臺甲型和5臺乙型電

6、視機中任意取出3臺，其中至少要甲型和乙型電視機各一臺，則不同的取法共有_種.357010.二項式定理(2)二項式系數的性質在二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數相等，即二項式系數的和等于2n(組合數公式)，即特別提醒：二項式系數最大項與展開式系數最大項是兩個不同的概念，在求法上也有很大的差別，往往因為概念不清導致出錯.3626C ( 1) 2,kkkkx4111.要注意概率P(A|B)與P(AB)的區別：(1)在P(A|B)中，事件A，B發生有時間上的差異，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同時發生.(2)樣本空間不同，在P(A|B)中，事件B成為樣本空間；在P(AB)中，樣

7、本空間仍為，因而有P(A|B)P(AB).12.求分布列，要檢驗概率的和是否為1，如果不是，要重新檢查修正.還要注意識別獨立重復試驗和二項分布，然后用公式.問題12若隨機變量的分布列如下表，則E()的值為_.012345P2x3x7x2x3xxP(X)0.682 6；P(2X2)0.954 4；P(3X3)0.997 4.問題13已知隨機變量服從正態分布N(2，2)，且P(4)0.8，則P(02)等于()A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2解析P(4)0.2，由題意知圖象的對稱軸為直線x2，P(4)0.2，P(04)1P(4)0.6.C易錯點1統計圖表識圖不準、概念不清易錯警示例1如

8、圖所示是某公司(共有員工300人)2015年員工年薪情況的頻率分布直方圖，由此可知，員工中年薪在1.4萬元1.6萬元之間的共有_人.錯因分析解本題容易出現的錯誤是審題不細，對所給圖形觀察不細心，認為員工中年薪在1.4萬元1.6萬元之間的頻率為1(0.020.080.10)20.60，從而得到員工中年薪在1.4萬元1.6萬元之間的共有3001(0.020.080.10)2180(人)的錯誤答案.解析由所給圖形，可知員工中年薪在1.4萬元1.6萬元之間的頻率為1(0.020.080.080.100.10)20.24，所以員工中年薪在1.4萬元1.6萬元之間的共有3000.2472(人)答案72易錯

9、點2誤解基本事件的等可能性例2若將一枚質地均勻的骰子(一種各面上分別標有1,2,3,4,5,6個點的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現向上的點數之和為4的概率為_.錯因分析解本題時易出現的錯誤在于對等可能性事件的概率中“基本事件”以及“等可能性”等概念的理解不深刻 ， 錯 誤 地 認 為 基 本 事 件 總 數 為 11 ( 點 數 和 等 于2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)，或者將點數和為4的事件錯誤地計算為(1,3)(2,2)兩種，從而導致出錯.解析將先后擲2次出現向上的點數記作點坐標(x，y)，則共可得點坐標的個數為6636，而向上點數之和為4的點坐標有(1,3)，(2,

10、2)，(3,1)，共3個，易錯點3幾何概型中“測度”確定不準例3在等腰直角三角形ABC中，直角頂點為C.(1)在斜邊AB上任取一點M，求AMAC的概率；(2)在ACB的內部，以C為端點任作一條射線CM，與線段AB交于點M，求AMAC的概率.錯因分析本題易出現的問題是混淆幾何概型中對事件的度量方式，不注意題中兩問中點M生成方式的差異，誤以為該題兩問中的幾何概型都是用線段的長度來度量造成錯解.由于點M是在斜邊AB上任取的，所以點M等可能分布在線段AB上，因此基本事件的區域應是線段AB.(2)由于在ABC內作射線CM，等可能分布的是CM在ACB內的任一位置(如圖所示)，因此基本事件的區域應是ACB，

11、易錯點4互斥事件概念不清例4對飛機連續射擊兩次，每次發射一枚炮彈.設A兩次都擊中飛機，B兩次都沒擊中飛機，C恰有一彈擊中飛機，D至少有一彈擊中飛機，其中彼此互為互斥事件的是_；互為對立事件的是_.錯因分析對事件互斥意義不明確，對事件的互斥與對立之間的關系不清楚，就會出現錯誤的判斷.對立事件和互斥事件都不可能同時發生，但對立事件必有一個要發生，而互斥事件可能都不發生.所以兩個事件都對立，則兩個事件必是互斥事件；反之，兩事件是互斥事件，但未必是對立事件.解析因為AB ，AC ，BC ，BD ，故A與B，A與C，B與C，B與D為彼此互斥事件，而BD ，BD，故B與D互為對立事件.答案A與B，A與C，

12、B與C，B與D；B與D易錯點5排列、組合問題混淆例5如圖所示，A，B，C，D是海上的四個小島，要建三座橋，將這四個島連接起來，不同的建橋方案共有多少種？錯因分析搞不清幾個元素之間有無順序，混淆排列與組合的區別.解由題意可能有兩種結構，如圖：第一種： ，第二種： 易錯點6事件理解不準例6某氣象站天氣預報的準確率為80%，計算：(結果保留到小數點后第2位)(1)5次預報中恰有2次準確的概率；(2)5次預報中至少有2次準確的概率；(3)5次預報中恰有2次準確，且其中第3次預報準確的概率.錯因分析這是一個5次獨立重復試驗的概率模型.解本題容易出錯的地方，一是對“恰有2次”“至少有2次”理解錯誤，誤用二

13、項分布；二是對隨機事件“5次預報中恰有2次準確，且其中第3次預報準確”的意義理解錯誤，不能把問題歸結為只要在第1,2,4,5次預報中預報1次準確即可，出現仍然用5次獨立重復試驗模型解決問題的錯誤.(1)“5次預報中恰有2次準確”的概率為(2)“5次預報中至少有2次準確”的概率為P(X2)1P(X0)P(X1)10.000 320.006 40.99.易錯點7隨機變量分布列的性質用錯例7已知隨機變量X的概率只能取三個值a，b，c，其概率依次成等差數列，則公差d的取值范圍是_.錯因分析本題將隨機變量的分布列與等差數列聯系起來，知識跨度大，考生往往審題不清，不能從分布列的性質以及等差數列的性質入手解

14、題，或者考慮問題不全面而導致錯解.解析由已知，得abc1，而2bac，查缺補漏1.如圖是2015年某大學自主招生面試環節中，七位評委為某考生打出的分數的莖葉統計圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數據的平均數和眾數依次為()A.85,84 B.84,85C.86,84 D.84,8解析由圖可知，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數據為84,84,84,86,87.答案A2.一組數據3,4,5，s，t的平均數是4，這組數據的中位數是m，對于任意實數s，t，從3,4,5，s，t，m這組數據中任取一個，取到數字4的概率的最大值為()D3.(2014湖北)根據如下樣本數據x345678y4.02.5

15、0.50.52.03.0解析作出散點圖如下：答案B4.某電視臺節目開展親子闖關游戲，其規則是：父母兩人蒙上眼睛在流水滑板上相互扶持爬過，并將水中的7個粉色氣球與3個藍色氣球隨意用身體擠破(這些氣球的形狀都相同，隨意漂浮在身旁，且都在父母所觸及的范圍內).已知小光的父母參加游戲，并在第1次擠破一個藍色氣球，則他們第2次擠破的是粉色氣球的概率為()解析方法一設事件A為“第1次擠破的是藍色氣球”，事件B為“第2次擠破的是粉色氣球”，方法二第1次擠破的是藍色氣球，則還剩下2個藍色氣球和7個粉色氣球，答案D5.如圖，矩形ABCD中，點E為邊CD上任意一點，若在矩形ABCD內部隨機取一個點Q，則點Q取自A

16、BE內部的概率等于()解析這是一道幾何概型的概率問題，故選C.C6.某企業三個分廠生產同一種電子產品，三個分廠產量分布如圖所示，現在用分層抽樣方法從三個分廠生產的該產品中共抽取100件做使用壽命的測試，則第一分廠應抽取的件數為_；由所得樣品的測試結果計算出一、二、三分廠取出的產品的使用壽命平均值分別為1 020小時、980小時、1 030小時，估計這個企業所生產的該產品的平均使用壽命為_小時.解析第一分廠應抽取的件數為10050%50；該產品的平均使用壽命為1 0200.59800.21 0300.31 015小時.答案501 015424C ( 1),kkkx6解析該人投籃4次，命中3次的概率為9.某路段檢查站監控錄像顯示，在某時段內，有1 000輛汽車通過該站，現在隨機抽取其中的200輛汽車進行車速分析，分析的結果表示為如圖所示的頻率分布直方圖，則估計在這一時段內通過該站的汽車中車速不小于90 km/h的約有_輛.(注：分析時車速均取整數)解析由圖可知，車速大于等于90 km/h的車輛未標出頻率，而小于90 km/h的都標出了，故考慮對立事件.由題圖知車速小于90 km/h的汽車總數的頻率之和為(0.010.020.04)100.7，所以車速不小于9