1、第2 2課時平面與平面垂直一二一、兩個平面垂直的定義【問題思考】 1.兩個平面有夾角嗎?是如何刻畫的?提示:如圖所示兩半平面,交線為l,在l上任取一點E,在內(nèi)作AEl,在內(nèi)作BEl,則ABE的大小就能夠刻畫平面的張角.特殊地,當AEB=90時.2.填空:如果兩個相交平面的交線與第三個平面垂直,又這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線互相垂直,就稱這兩個平面互相垂直.一二二、平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理【問題思考】 1.填寫下表:一二2.過平面的一條垂線能作多少個平面與平面垂直?提示:無數(shù)個.可以將自己的課本打開立放在桌面上進行觀察.3.經(jīng)過平面的一條斜線與該平面垂直的平面有多少個?提示

2、:只有一個.4.兩個平面互相垂直,其中一個平面內(nèi)的直線與另一個平面的位置關(guān)系是怎樣的?提示:兩個平面互相垂直,其中一個平面內(nèi)的直線與另一個平面的位置關(guān)系可能是平行,也可能是相交,還可能是在平面內(nèi).一二5.做一做:已知PA垂直于平行四邊形ABCD所在的平面,若PCBD,平行四邊形ABCD一定是.解析:因為PA平面ABCD,所以PABD.又因為PCBD,PAPC=P,所以BD平面PAC,所以BDAC,所以平行四邊形ABCD一定是菱形.答案:菱形一二思考辨析判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)畫“”,錯誤的畫“”.(1)一個二面角的平面角有且只有一個. ()(2)若直線l與平面交于點O,且l與

3、不垂直,l,則與一定不垂直. ()(3)如果兩個平面垂直,且經(jīng)過第一個平面內(nèi)一點作一條直線垂直于第二個平面,那么該直線一定在第一個平面內(nèi). ()答案:(1)(2)(3)探究一探究二探究三思維辨析面面垂直的判定面面垂直的判定【例1】如圖,在四面體ABCD中,BD= a,AB=AD=CB=CD=AC=a,求證:平面ABD平面BCD.思路分析:圖形中的垂直關(guān)系較少,不妨考慮利用定義法證明.探究一探究二探究三思維辨析證明:取BD的中點為E,連接AE,CE,因為CB=CD=AB=AD,所以AEBD,CEBD,則有BD平面AEC.因為AB=AD=CB=CD=AC=a,BD= a,所以ABD和BCD都是等腰

4、直角三角形,AE,CE都是斜邊上的中線.又AC=a,所以AE2+CE2=AC2.所以AECE.又AE,CE分別是平面AEC與平面ABD、平面BCD的交線,所以平面ABD平面BCD.探究一探究二探究三思維辨析反思感悟?qū)τ诿婷娲怪庇幸韵屡卸ǚ椒?(1)根據(jù)面面垂直的定義進行判定證明第三個平面與兩個相交平面的交線垂直;證明這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線互相垂直;根據(jù)定義,這兩個平面互相垂直.(2)根據(jù)面面垂直的判定定理進行判定.在證明兩個平面垂直時,一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線,若這樣的直線在現(xiàn)有的圖中不存在,則可通過作輔助線來解決.探究一探究二探究三思維辨析變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1在正方

5、體AC1中,求證:平面BDD1B1平面ACC1A1.證明:如圖所示,因為AA1平面ABCD,BD平面ABCD,所以AA1BD.又在底面ABCD內(nèi),對角線ACBD,且AA1AC=A,所以BD平面ACC1A1.又BD平面BDD1B1,所以平面BDD1B1平面ACC1A1.探究一探究二探究三思維辨析面面垂直的性質(zhì)面面垂直的性質(zhì)【例2】如圖,AB是O的直徑,C是圓周上不同于A,B的任意一點,平面PAC平面ABC,(1)判斷BC與平面PAC的位置關(guān)系,并證明.(2)判斷平面PBC與平面PAC的位置關(guān)系.解:(1)BC平面PAC.證明:因為AB是O的直徑,C是圓周上不同于A,B的任意一點,所以ACB=90

6、,所以BCAC.又因為平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=AC,BC平面ABC,所以BC平面PAC.(2)因為BC平面PBC,所以平面PBC平面PAC.探究一探究二探究三思維辨析反思感悟1.當所給的題目中有面面垂直的條件時,一般要注意是否有垂直于兩個平面交線的垂線,如果有,可利用性質(zhì)定理將面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直或線線垂直;如果沒有,一般需作輔助線,基本作法是過其中一個平面內(nèi)一點作交線的垂線,這樣把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直或線線垂直.2.面面垂直性質(zhì)定理的常用推論:(1)兩相交平面同時垂直于第三個平面,那么兩相交平面的交線也垂直于第三個平面.(2)兩個互相垂直的平面的垂線也互相垂直.(3)

7、如果兩個平面互相垂直,那么其中一個平面的垂線與另一個平面平行或在另一個平面內(nèi).探究一探究二探究三思維辨析變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2如圖所示,三棱錐P-ABC的底面在平面內(nèi),且ACPC,平面PAC平面PBC,點P,A,B是定點,則動點C運動形成的圖形是 ()A.一條線段B.一條直線C.一個圓D.一個圓,但要去掉兩個點解析:因為平面PAC平面PBC,ACPC,AC平面PAC,且平面PAC平面PBC=PC,所以AC平面PBC.又因為BC平面PBC,所以ACBC,所以ACB=90,所以動點C運動形成的圖形是以AB為直徑的圓,除去A和B兩點,故選D.答案:D探究一探究二探究三思維辨析探索型問題探索型問題【例3】

8、 在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1平面ABC,且AB=BC,能否在側(cè)棱BB1上找到一點E,恰使截面A1EC側(cè)面AA1C1C?若能,指出點E的位置,并說明為什么;若不能,請說明理由.解:如圖,作EMA1C于點M,因為截面A1EC平面AA1C1C,所以EM平面AA1C1C.取AC的中點N,連接BN,MN.因為AB=BC,所以BNAC.而AA1平面ABC,AA1平面AA1C1C,所以平面ABC平面AA1C1C,且交于AC,所以BN平面AA1C1C.所以BNEM,BNMN.探究一探究二探究三思維辨析又BE平面AA1C1C,平面BEMN平面AA1C1C=MN,所以BEMNA1A.所以四邊形BEMN

9、為平行四邊形.因為AN=NC,所以A1M=MC.所以BE=MN= A1A,即E為BB1的中點時,平面A1EC平面AA1C1C.反思感悟1.垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化:2.探究型問題的兩種解題方法:(1)(分析法)即從問題的結(jié)論出發(fā),探求問題成立的條件.(2)(反證法)先假設(shè)使結(jié)論成立的條件存在,然后進行推證,推出矛盾,否定假設(shè),確定使結(jié)論成立的條件不存在.探究一探究二探究三思維辨析如圖,在三棱錐A-BCD中,BCD=90,BC=CD=1,AB平面BCD,ADB=60,E,F分別是AC,AD上的動點,且 =(0BD2,矛盾,故四邊形ABCD不可能是空間四邊形,只能是平面四邊形,所以四邊形ABCD是矩形.

10、防范措施1.要克服上述錯誤,一定要將有關(guān)定理或性質(zhì)的適用條件及內(nèi)涵把握清楚,不能憑想當然進行毫無邏輯的論證.2.涉及空間中討論問題,不能僅局限于初中所學平面幾何的范疇.一些平面幾何中的結(jié)論也不能隨意照搬到立體幾何中.探究一探究二探究三思維辨析變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為正方形,則截面ACB1與對角面BB1D1D垂直嗎?解:四邊形ABCD是正方形,ACBD.BB1底面ABCD,ACB1B.B1BBD=B,AC對角面BB1D1D.又AC截面ACB1,截面ACB1對角面BB1D1D.1234561.下列結(jié)論中正確的是()垂直于同一條直線的兩條直線平行

11、;垂直于同一條直線的兩個平面平行;垂直于同一個平面的兩條直線平行;垂直于同一個平面的兩個平面平行.A.B.C.D.答案:C1234562.已知平面平面,=l,則下列命題中錯誤的是 ()A.如果直線a,那么直線a必垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線B.如果直線a,那么直線a不可能與平面平行C.如果直線a,al,那么直線a平面D.平面內(nèi)一定存在無數(shù)多條直線都垂直于平面內(nèi)的所有直線答案:B1234563.在三棱錐A-BCD中,若ADBC,BDAD,BCD是銳角三角形,那么必有()A.平面ABD平面ADCB.平面ABD平面ABCC.平面ADC平面BCDD.平面ABC平面BCD解析:ADBC,ADBD,AD平面BCD.又AD平面ADC,平面ADC平面BCD.答案:C1234564.如圖所示,平面ABC平面BDC,BAC=BDC=90,且AB=AC=2,則AD=.答案:21234565.設(shè),是空間兩個不同的平面,m,n是平面及外的兩條不同的直線.從“mn;n;m”中選取三個作為條件,余下一個作為結(jié)論,寫出你認為正確的一個命題:(用序號表示).解析:將作為條件,可結(jié)合長方體進行證明,即從長方體的一個頂點出發(fā)的兩條棱與其對面