1、一階中立型微分方程的反周期解的存在性【摘要】本文利用krasnoselskiis不動點定理，可以使我們得到中 立型微分方程反周期解的一些存在性定理，而口這些定理還可以進一步擴 展并能提供給我們一些己知的重耍結論.【關鍵詞】中立型微分方程；反周期解；krasnoselskiis不動點定理; 存在性【基金項目】高等數學教學團隊為2014年安徽三聯學院的基金項 目,編號：14zlgc005一、引言反周期解一開始是用來解決物理問題的，而且還可以被我們引入并用 來解決物理過程、工程學、神經網絡學，控制理論學等其他學科中的一些 數學模型問題.(見1-30,參考文獻)據作者了解，幾乎很少冇文獻能夠 詳細地分

2、析中立型微分方程的反周期解所以本文中，我們將考慮如下中 立型微分方程：u(t)-p(t)u(t-t)j, =-q (t)u(t)+g(t, u(t-t)(1. 1)英中滿足 qwc (r, (0, +8), peci (r, r), fec (rxr, r), t >0 且p，q均是以t為周期的函數，函數f又滿足條件f (t+t, x)二-f (t, x)本文的內容分布如下：在下面第二部分的內容中，我們首先引入一些定義和引理在第三部分內容中，我們通過利用krasnoselskii' s不動點 定理，得到方程(11)式的以t?櫓芷詰姆粗芷謂獲嬖詰囊恍松?在第 四部分，我們會在第三部

3、分內容的基礎上介紹一些實例，通過這些實例來 進一步論證我們所得結論的可行性.二、定義和引理在這一部分內容屮，我們將介紹一些定義、注釋，以及引理.定義2.1 (反周期函數)函數u (t), uec (r, r)若滿足u (t+t)=-u (t),則稱它為周期是t的反周期函數.定義 pt (r, x) =x： xec (r, r), x (t+t) =-x (t), ter為反周 期函數集合，且用符號llxll =sup|x (t) i，ter表示x的范數，很顯 然，集合pt (r, x)為banach空間.設積分方程x (t)二 lp ( t+ t ) x (t+t)+ jt +t+t t+tg

4、 (t +t, s) (p (s) q(s) x (s- t ) -f (s, x (s- t ) ds(2 1)且滿足 g (t, s)二exp j stq (u) duexp j toq (u) dut.引理2. lu (t)是方程(1. 1)的反周期解當且僅當u (t)是方程(2. 1) 的反周期解.引理2.2 (krasnoselskiis不動點定理)令x是一個banach空間，q是x的一個有界閉凸子集，再設si, s2是q到x上的兩個映射，還滿 足對每一對x, ye q,均有這樣一個組合slx+s2ye q.如果s1是壓縮的, s2是全連續的，則方程slx+s2x二x在集合q上一定有

5、解.三、反周期解的存在性 定理3. 1假設lplwp (t) wp2+8,且存在一個常數不等式0<m<m,使得(pll) mwp (t) x-f (t, x) q (t) w (pol) m, (t, x) w 0, t x m, m, (3. 1)則方程(11)式至少有一個反周期解.證明根據引理2.1,我們知道u (t)是方程(1.1)式的反周期解的 充要條件是u (t)也是方程(2.1)式的反周期解我們設一個集合s = x ept (r, x)： mwxwm，很顯然這個集合是pt (r, x)的有界閉凸子集. 下面再定義兩個算子：所以，我們從(3.8)式和(3.9)式中得出ox

6、： xe x在0, t± 是一致有界和等度連續的因此根據ascoli-arzela定理，(x)是列緊 的故由引理2.2,存在一個xes,使得這樣一個方程x+屮x二x成立. 故x (t)是方程(11)式的反周期解證畢.按照定理3.1的結論，我們可以得出下列三個結論和定理(3.1)結 論相同的定理.定理3. 2假設滿足-8p3wp (t) wp4-1,且存在不等式0<m<m,使 得下式成立，m-plmwf (t, x) q (t) -p (t) xwm-p3m, (t, x) w 0, t x m,m, (3. 10)則方程(11)式存在至少一個反周期解.定理3.3假設滿足o

7、wp (t) wp5l,且存在不等式0<m<m,使得下 式成立，mwf (t, x) q (t) -p (t) xw (l-p5) m, (t, x)丘0, t x m,m, (3. 11)則方程(11)式存在至少一個反周期解.定理3. 4假設滿足-lp6wp (t) wo,且存在不等式0<m<m,使得下 式成立，m-p6mwf (t, x) q (t) -p (t) xwm, (t, x) g 0, t x m, m,(3. 12)則方程(11)式存在至少一個反周期解.四、舉例設一階中立型微分方程x (t) -1+exp (cos2t) 200x (t-3)'二-110+cos2t20x (t) +34sin (x3 (t-3), (4. 1)滿足 t二 n , p (t)二 1+exp (cos2t) 200, q (t)二 110+cos2t20,