1、一、問題的提出一、問題的提出二、二重積分的概念二、二重積分的概念三、二重積分的性質三、二重積分的性質四、小結四、小結 思索題思索題第一節第一節 二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質柱體柱體(cylindrical body)體積體積=底面積底面積 高高特點：平頂特點：平頂.曲頂柱體體積曲頂柱體體積=？特點：曲頂特點：曲頂(curved vertex surface).),(yxfz D曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積(volume)一、問題的提出求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、近似、分割、近似、 求和、取極限的方法，先看動畫演示求和、取極限的方法，先看動畫演示.剛剛大家看到是

2、曲頂剛剛大家看到是曲頂 柱體的底面網格劃分比較稀柱體的底面網格劃分比較稀 的情況，下面請大家繼續觀看網格劃分較密時的的情況，下面請大家繼續觀看網格劃分較密時的情況情況.曲頂柱體體積的計算步驟是：曲頂柱體體積的計算步驟是：用假設干個小平頂柱用假設干個小平頂柱體體積之和近似表體體積之和近似表示曲頂柱體的體積示曲頂柱體的體積.xzyoD),(yxfz i),(ii.),(lim10iiniifV 曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積先分割曲頂柱體的先分割曲頂柱體的底，并取典型小區底，并取典型小區域域 ，求對應小，求對應小曲頂柱體體積的近曲頂柱體體積的近似值似值.i 求平面薄片的質量求平面薄片的質量i),(i

3、i將薄片分割成假設干小塊，將薄片分割成假設干小塊，取典型小塊，將其近似取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，求質量看作均勻薄片，求質量. 一切小塊質量之和一切小塊質量之和近似等于薄片總質量近似等于薄片總質量.),(lim10iiniiM xyO二、二重積分的概念(1) 在在二二重重積積分分的的定定義義中中，對對閉閉區區域域的的劃劃分分是是任任意意的的.(2)當當),(yxf在在閉閉區區域域上上連連續續時時，定定義義中中和和式式的的極極限限必必存存在在，即即二二重重積積分分必必存存在在. 對二重積分定義的闡明：對二重積分定義的闡明：二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義:當被積函數大于零時，二重積分是

4、柱體的體積當被積函數大于零時，二重積分是柱體的體積當被積函數小于零時，二重積分是柱體的體積的當被積函數小于零時，二重積分是柱體的體積的負值負值性質性質( ,)( ,)dDf x yg x y ( ,)d( ,)d.DDf x yg x y 二重積分與定積分有類似的性質二重積分與定積分有類似的性質三、二重積分的性質設設 、 為常數，那么為常數，那么 在直角坐標系下用平行于坐標軸的在直角坐標系下用平行于坐標軸的直線網來劃分區域直線網來劃分區域D，( , )d( , )d dDDf x yf x yx y dd dx y 故二重積分可寫為故二重積分可寫為xyO那么面積元素那么面積元素(areal e

5、lement)為為性質性質2對積分區域具有可加性對積分區域具有可加性12( , )d( , )d( , )d .DDDf x yf x yf x y 性質性質3 假設假設 為為D D的面積的面積, ,那那么么 性質性質4假設在假設在D D上上),(),(yxgyxf ( , )d( , )d .DDf x yg x y特殊地特殊地( , )d( , ) d .DDf x yf x y )(21DDD 那么有那么有 1dd .DD 性質性質5性質性質6二重積分中值定理二重積分中值定理( , )dDf x y ( , )d( , )Df x yf 二重積分估值不等式二重積分估值不等式m M 在在D

6、上上 2220ayx ,12220ayxeee 由由性性質質 6 知知222()d,xyaDee 解解22()dxyDe ab2.aab e區域區域 D的面積的面積 ,ab當當1 yxr時時, 1)(0222 yxyx故故 0)ln(22 yx;又又當當 1 yx時時, 0)ln(22 yx解解解解三三角角形形斜斜邊邊方方程程2 yx在在 D 內內有有 eyx 21,于于是是 2)ln()ln(yxyx ,oxy121D故二重積分的定義二重積分的定義二重積分的性質二重積分的性質二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積和式的極限和式的極限四、小結思索題思索題 將二重積分定義與定積分定義進展比較，將二重積分定義與定積分定義進展比較，找出它們的一樣之處與不同之處找出它們的一樣之處與不同之處. 定積分與二重積分都表示某個和式的極限定積分與二重積分都表示某個和式的極限值，且此值只與被積函數及積分區域有關不值，且此值只與被積函數及積分區域有關不同的是定積分的積分區域為區間，被積函數為同的是定積分的積分區域為區間，被積函數為定義在區間上的一元函數，而二重積