1、第三章第三章 各向異性彈性力學各向異性彈性力學(l xu)(l xu)基基礎礎 3-1 各向異性彈性力學各向異性彈性力學(l xu)基本方程基本方程 xyzxyzzyxxyzxyzzyxwvu,應力分量：應變分量：位移分量：基本基本(jbn)未知量：未知量：第一頁，共23頁。基本基本(jbn)方程：方程：1、平衡、平衡(pnghng)方程方程0,ijijf)3 , 2 , 1,(ji 分量分量(fn ling)形形式為：式為：0Yzyxyzyyx0Xzyxxzxyx0Zzyxzzyzx第二頁，共23頁。)(21,ijjiijuu2、幾何關系、幾何關系(gun x)（小變形）（小變形）分量分量(

2、fn ling)形形式為：式為：zvywyzxwzuzxzwzyuxvxyxuxyvy第三頁，共23頁。xzzxzxxz222220,ljkikiljijklklij)3 , 2 , 1,(lkji變形協調方程：六個應變變形協調方程：六個應變(yngbin)分量應該滿分量應該滿足的一個關系，即足的一個關系，即6個獨立個獨立(dl)等等式：式：yxxyxyyx22222zyyzyzzy22222共有共有81個方程，但只有個方程，但只有6個是不同的，其余個是不同的，其余(qy)的不是恒等式就是由于的不是恒等式就是由于ij的對稱性而的對稱性而都是重復的。都是重復的。 第四頁，共23頁。xzyxzyy

3、zxyzxy22)(zyxzyxxyzxyzx22)(yxzyxzzxyzxyz22)(前三個分別是前三個分別是xy，yz，zx平面內的平面內的3個應變量間的協個應變量間的協調關系調關系(gun x)；而后三者則分別是正應變和；而后三者則分別是正應變和3個切個切應變之間的協調關系應變之間的協調關系(gun x)。 第五頁，共23頁。)(*STniiij在)(*uiiSuu在jijijijiSC及)6 , 2 , 1,(jijiijCC jiijSS3、邊界條件、邊界條件力邊界條件：力邊界條件：位移位移(wiy)邊界條件：邊界條件：4、各向異性本構方程、各向異性本構方程(fngchng)（小變形

4、）（小變形）剛度剛度(n d)矩陣矩陣柔度矩陣柔度矩陣 jiijjiijSCW2121 各向異性體的彈性應變能為：各向異性體的彈性應變能為：第六頁，共23頁。拉拉 - 拉 耦 合拉 耦 合（泊桑效應）（泊桑效應）剪剪-剪耦剪耦合合拉 剪 耦拉 剪 耦合合665544332211CCCCCC第七頁，共23頁。 6165154143132121111SSSSSS3-2 各向異性各向異性( xin y xn)彈性力學的本構方程彈性力學的本構方程一、完全各向異性( xin y xn)（21個彈性常數） 其中其中Sij為柔度系數，為柔度系數，4、5和和6即為即為剪應力剪應力23、31和和12。可見。可見

5、(kjin)各向各向異性體一般具有耦合現象：正應力引起剪應變，異性體一般具有耦合現象：正應力引起剪應變，剪應力也可以引起正應變；反之亦然。剪應力也可以引起正應變；反之亦然。 第八頁，共23頁。二、有一彈性對稱(duchn)面（13個彈性常數）彈性彈性(tnxng)對稱面：沿這些平面的對稱方向對稱面：沿這些平面的對稱方向彈性彈性(tnxng)性能是相同的。性能是相同的。材料主軸（或彈性材料主軸（或彈性(tnxng)主軸）：垂直于彈主軸）：垂直于彈性性(tnxng)對稱面的軸。對稱面的軸。第九頁，共23頁。 利用兩個方向下材料的應變能密度表達式應利用兩個方向下材料的應變能密度表達式應保持不變（即利

6、用兩個坐標系計算得到的單位體保持不變（即利用兩個坐標系計算得到的單位體積積(tj)應變能的結果是相同的）可以推得：應變能的結果是相同的）可以推得： 24411421112SSW014S41,設僅有設僅有，即有，即有41而而在在x3變向時要變號，為保證變向時要變號，為保證W相同，相同，則有則有第十頁，共23頁。005635251546342414SSSSSSSS6655454436332623221613121100000000SSSSSSSSSSSSS稱對同理：同理：獨立獨立(dl)常數減少為常數減少為13個，即個，即第十一頁，共23頁。 336126333331532322343131 ;0

7、 ;0 ;SSSS 03如果如果，其余應力分量為零，則有：，其余應力分量為零，則有：此公式說明此公式說明(shumng)：當沿彈性主軸拉伸時，：當沿彈性主軸拉伸時，除縱向伸長、橫向收縮外，還會引起與主軸垂除縱向伸長、橫向收縮外，還會引起與主軸垂直的面內剪應變，且彈性主軸方向不變。直的面內剪應變，且彈性主軸方向不變。第十二頁，共23頁。三、正交各向異性三、正交各向異性( xin y xn)( xin y xn)（9 9個彈性常數）個彈性常數）正交各向異性是指有三個互相正交各向異性是指有三個互相(h xing)正交的彈性正交的彈性主軸的情況。（有三個互相主軸的情況。（有三個互相(h xing)正交

8、的彈性對正交的彈性對稱面）稱面）321,xxx取取為三個正交彈性主軸，如圖所示：為三個正交彈性主軸，如圖所示：第十三頁，共23頁。045362616SSSS 由由a）、）、b）兩坐標系中計算的應變能應該）兩坐標系中計算的應變能應該(ynggi)相同，而在兩坐標系下：相同，而在兩坐標系下：12311231,6565,（即（即）變號，可得：）變號，可得：即：即：665544332322131211000000000000SSSSSSSSS稱對第十四頁，共23頁。123123233112321,GGGEEE由此可得：由此可得：1）當采用材料主軸）當采用材料主軸(zhzhu)來描述正交來描述正交異性體

9、時，沒有任何拉剪耦合現象；異性體時，沒有任何拉剪耦合現象；2）在非材料主）在非材料主軸軸(zhzhu)系里，正交異性材料仍有耦合現象。系里，正交異性材料仍有耦合現象。 纖維纖維(xinwi)在橫在橫截面內按矩形排列的單截面內按矩形排列的單向纖維向纖維(xinwi)復合材復合材料，宏觀而言則是一正料，宏觀而言則是一正交異性體。共有交異性體。共有9個彈性個彈性常數：常數：第十五頁，共23頁。jiij1軸沿纖維方向，并有軸沿纖維方向，并有，而是，而是ijijijEEij即即沒有對稱性。沒有對稱性。ijS可展開為：可展開為：第十六頁，共23頁。)1 (223223EG 四、橫觀同性（5個彈性(tnxn

10、g)常數） 纖維在橫截面內隨機排列的，宏觀而言，其在纖維在橫截面內隨機排列的，宏觀而言，其在橫向的所有方向的彈性性能橫向的所有方向的彈性性能(xngnng)相同，則稱相同，則稱為橫向同性。由于橫向同性，則在為橫向同性。由于橫向同性，則在2-3平面內應為平面內應為各向同性，則有各向同性，則有故只有故只有(zhyu)5個獨立常數：個獨立常數：2121,EE122312,GG23（或（或），），（或（或）第十七頁，共23頁。666644222321232221121211000000000000000000000000SSSSSSSSSSSS由工程由工程(gngchng)應變形式的展開式為：應變形式

11、的展開式為：即：即：第十八頁，共23頁。,E)(2000000)(2000000)(2000000000000121112111211111212121112121211SSSSSSSSSSSSSSS五、各向同性( xin tn xn)（2個彈性常數）)1 (2EG第十九頁，共23頁。1231231231232131323213212312123211)(1,GEGGGEEE第二十頁，共23頁。jiijSW21 0det , , 0 , 02221121111ijSSSSSS六、彈性(tnxng)常數的取值范圍 判定依據是非零應力狀態判定依據是非零應力狀態(zhungti)下，材料下，材料的彈性應變能位正值，應變能應是應變（或應力）的彈性應變能位正值，應變能應是應變（或應力）的正定二次型。的正定二次型。Wi S為為的正定二次型的充要條件是矩陣的正定二次型的充要條件是矩陣的所有主要主子式大于零，即：的所有主要主子式大于零，即：第二十一頁，共23頁。0E2112101、對于、對于(duy)各向同性，可推得：各向同性，可推得：實際上一般實際上一般(ybn)為：為：2、對于、對于(duy)