1、2019 屆浙江省湖州市五校高三模擬考試數(shù)學(xué)試題、單選題1已知集合 A x|0 x 5，B x|x2 2x 8 0，則 A B ( )A 2,4B 4,5C 2,5 D 0,4【答案】 D【解析】 求出集合 B ，由交集定義即可得結(jié)果【詳解】2B x|x2 2x 8 0 x| 2 x 4A x|0 x 5A B x|0 x 40，4故選 D【點(diǎn)睛】 本題主要考查了集合的交集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題2 i （i 為虛數(shù)單位） ，D2（2018屆浙江省寧波市 5月模擬）已知復(fù)數(shù) z滿足 z 1 i則 z 的虛部為333A iB i C 222【答案】 C解析】 分析：先根據(jù)已知求復(fù)數(shù) z，再求復(fù)數(shù) z

2、 的虛部得解詳解：由題得 z2i1i3 23i 23 32i.所以復(fù)數(shù) z 的虛部為 23.第 3 頁 共 19 頁故答案為 C.點(diǎn)睛： （1） 本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的虛部概念，意在考查復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí) 的掌握能力和基本的運(yùn)算能力 .（2） 復(fù)數(shù) a+bi（ a, b R） 的實(shí)部是 a, 虛部是 b，不是 bi.D 既不充分也不3已知 a, b為實(shí)數(shù)， p:a b 0,q:a2 b2 0 ，則 p是q的（）A 充分不必要條件B必要不充分條件C 充分必要條件必要條件【答案】 B【解析】 根據(jù)充分條件、必要條件的定義即可得出結(jié)果 .詳解】 由 a b 0，取 a 1,b 1則a2 b2

3、 0，所以 p 是q的不充分條件； 由 a2 b2 0 則有 a=b=0， a b 0 成立，所以 p 是 q的必要條件 綜上， p 是 q的必要不充分條件故選： B【點(diǎn)睛】 本題考查了充分條件、必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題 .uruururuur4已知向量 e1(1,2), e2(3,4), xe1ye2 (5,6), x,y R，則 x y ( )A3B3C1D 1【答案】 B【解析】 根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量相等即可求解 .【詳解】ur uur因?yàn)?xe1 ye2 (x,2 x) (3 y,4 y) (x 3y,2x 4y) (5,6) ，x 3y 5x 1所以 ，解得 ，所以 x y

4、3 ，2x 4y 6y 2故選： B【點(diǎn)睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量相等，考查了基本運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題 .325已知函數(shù) f x ax3 x2 x b a,b R ，下列圖象一定不能表示 f x 的圖象詳解】依題意x 在 x 0 處切線的斜率大2'x 3ax2 2ax 1，故 f ' 0 1 0.所以于零，所以 D 選項(xiàng)圖像不符合 故選： D【點(diǎn)睛】 本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖像，屬于基礎(chǔ)題 .6在VABC 中，內(nèi)角 C為鈍角， sinC 3， AC 5，AB 3 5，則 BC （）5A 2B 3C5D 10答案】 A解析】 先根據(jù)同角三角函數(shù)平方關(guān)系求cosC

5、，再根據(jù)余弦定理求 BC.第 9 頁 共 19 頁【詳解】,C 為鈍角，54,5因?yàn)?sinC所以 cosC2因此由余弦定理得 3 552 BC2 2 5 BCBC 2 （負(fù)值舍去） ，選 A.點(diǎn)睛】 解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活 轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的 .7若用紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色填涂如圖方格，要求有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)格子顏色不72種A答案】 CC 96種D 216 種解析】 分析：直接按照乘法分步原理解答 詳解：A:C41 B:C31D:C21 C:C21E:C11F :C21,所以由乘法分步原理得總的方案數(shù)為 C41 C

6、31 C21 C21 C21 96 種.所以總的方案數(shù)為 96， 故答案為： C點(diǎn)睛：（1）本題主要考查排列組合計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的邏輯思維能力和排列組合的基本運(yùn)算能力 .解答排列組合時(shí)，要思路清晰，排組分清.（ 2）解答本題時(shí)，要注意審題，“有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)格子顏色不同”，如C和D 有公共的頂點(diǎn)，所以顏色不能相同 .28設(shè)拋物線 y2 4x 的焦點(diǎn)為 F ，過點(diǎn) P（5,0） 的直 線與拋物線相交于 A,B 兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線相交于C ，若 BF5，則 BCF 與 ACF 的面積之比 S BCF S ACF5A6【答案】 D20 B3315C3120 D29解析】 分析：分別過A

7、， B作準(zhǔn)線的垂線 AM，BN，根據(jù) |BF|求出 B 點(diǎn)坐標(biāo)，得出直線 AB 的方程，從而得出A點(diǎn)坐標(biāo)，于是S BCFS ACF詳解：拋物線的準(zhǔn)線方程為 l ： x= 1，分別過 A， B 作準(zhǔn)線 l 的垂線 AM，BN，則 |BN|=|BF|=5 ，y聯(lián)立方程組 2y2設(shè) A 橫坐標(biāo)為 x0，則 x0+4= 41，故而 x0=25 44 B點(diǎn)橫坐標(biāo)為 4，不妨設(shè) B（4， 4），則直線 AB的方程為 y=4x 20，4x 20，得 4x 2 41x+100=0 ，4x |AM|=x 0+1= 294S BCFS ACF故答案為： D.點(diǎn)睛： (1)解答本題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化，先把面積比轉(zhuǎn)化為線段

8、比S BCFS ACF|BC|AC，再根據(jù)相似轉(zhuǎn)化為|BC|ACBNAM，再轉(zhuǎn)化為BNAMxB ( 1)xA ( 1)x1B , 再求點(diǎn) A 和點(diǎn) B 的橫 xA 1坐標(biāo) .(2)轉(zhuǎn)化的思想是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要思想，遇到復(fù)雜的、陌生的數(shù)學(xué)問題， 都要想到通過轉(zhuǎn)化把復(fù)雜變簡單，把陌生變熟悉 .9如圖，在棱長為 1 的正方體 ABCDA1B1C1D1中， P,Q 分別為 BD1 , BB1上的動(dòng)點(diǎn)，C3482則 VC1PQ 周長的最小值為()A2 15B 4 2 22 133答案】 B解析】 由題意構(gòu)造出三棱錐，求解展開圖中三角形邊長，即可得出結(jié)論 .詳解】 連接 BC1,B1D1，將三棱錐 C1

9、 BB1D1 展開得到如圖所示的平面展開圖，則 VC1PQ 周長的最小值為 C1C1 的距離在四邊形 BB1D1C1中，易知 BB1 D1C1,B1D1 BC1 ，所以四邊形BB1D1C1 為平行四邊形又易知 BB1B1D1 ，所以四邊形 BB1D1C1 為矩形，所以 BB1BC1 ，即 B1BC1 90 又 B1BC145 ，所以 C1BC1 135 ，在 VBC1C1 中， C1C1BC12 BC12 2BC1 BC1 cos1354故選： B 點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的展開圖，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題10已知數(shù)列an 是等差數(shù)列，其公差為 d,a11，且對(duì)任意的，均有22 an

10、an 1anan 1，則 d 的所有值構(gòu)成的集合為A 0,12B 0, 34C,0)1,2,D答案】解析】由題意以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得 1(n1)dd2(2n1)d1 nd ，整理可得2 2 22d 2 d n d2 3d 1， d 2d22dd21 ，不妨設(shè)2d 2 d，代入不等式可得與矛盾， 從而可得2d2 d0，進(jìn)而可得 2d 2即可求解 .詳解】Q an an0 ，且 an1 (n 1)d 由 an an 12 anan 1 ，得 1(n 1)d d2 (2n 1)d 1 nd ，2整理得 2d23d1 ，d 2d2 n22d d 2 1若 2d 2 d0 ，取正整數(shù)N02d 2

11、3d 1 ， 2，2d2 d則當(dāng) n N0 時(shí)，2d22d n 2d22d N0 d2 3d 1 ，與矛盾，因此2d 2 d0同理可得式中，d2d 20，所以22d2 d 0 又 d 0 ，所以 d1經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng) d1時(shí)，兩式對(duì)任意的n N* 恒成立，22故選： D 【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列不等式，屬于中檔題二、雙空題211雙曲線 x2 y 1 的離心率是 ，漸近線方程是 3【答案】 2， y3x【解析】 分析：直接利用雙曲線的幾何性質(zhì)解答即可 . 詳解：由題得 a 1,b 3,c 2.所以雙曲線的離心率為 e c 2, 漸近線方程為 y 3 x 3xa1故答案為 2， y 3x

12、 .點(diǎn)睛：本題主要是考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，意在考查雙曲線的基礎(chǔ)知識(shí)掌握能力.注意焦點(diǎn)在 x 軸上的雙曲線的漸近線方程為 yb x ，焦點(diǎn)在 y 軸上的雙 a曲線的漸近線方程為 y a x ，不要記錯(cuò)了 .b3n12 若3 x 的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值之和大于x100 ，則 n 的最小值為；當(dāng) n 取最小值時(shí)該展開式中的常數(shù)項(xiàng)是 【答案】 4 -12解析】 根據(jù)題意可知3 3 x 的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和大于x100，令 x 1 ，解得 n 3，即 n 的最小值為 4，再利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)即可求解【詳解】3 3 x 的展開式中所有項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和xn 等于 3 3 x 的展開式中

13、所有項(xiàng)的系數(shù)和，x令 x 1，得 4n 100 ，解得 n 3 因?yàn)?n N* ，所以 n 的最小值為 44 r 4 r4 當(dāng) n 4 時(shí)，該展開式的通項(xiàng) Tr 1 C4r 3 ( 3 x)r ( 1)r 34 r C4r x3 ，x4 3 3 由 3r 4 0 ，得 r 3，所以該展開式中的常數(shù)項(xiàng)是 ( 1)3 3 C43123故答案為： 4； -12【點(diǎn)睛】本題考查了賦值法求二項(xiàng)式的系數(shù)和以及二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)， 需熟記公式， 屬于基礎(chǔ) 題.13某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm )，則該幾何體的體積是 cm3 ，表面積是 cm2 352答案】 321，高為 2 的圓柱解析】 根據(jù)三視圖

14、直觀想象出幾何體的結(jié)構(gòu)特征：底面圓的半徑為 被截去四分之一，然后根據(jù)柱體的體積公式以及表面積的求法即可求解【詳解】由三視圖可知該幾何體是由底面圓的半徑為1，高為 2 的圓柱被截去四分之一得到，33故所求體積 V12 2 34 32 cm3 ，表面積 S212 2 2 1232 1 52 cm24故答案為：3 ； 522 ； 52第8 頁 共 19頁點(diǎn)睛】 本題考查了由三視圖求幾何體的體積、表面積，需熟記柱體的體積公式，屬于基礎(chǔ)題x y214設(shè) x, y滿足約束條件 x y 2 ，則目標(biāo)函數(shù) z1 2x y 的最大值是 y, 2目標(biāo)函數(shù) z2 x2 y2 的最小值是 【答案】 6 2【解析】 作

15、出約束條件表示的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)表示的幾何意義即可求解 . 【詳解】第 14 頁 共 19 頁z1 取得最大值，即 z1 max 2 4 2 622目標(biāo)函數(shù) z2 x2 y2 的幾何意義是原點(diǎn)與平面區(qū)域內(nèi)點(diǎn)的距離的平方， 由圖知原點(diǎn)到直線 x y 2 0 距離的平方即為所求，2所以 z2 min | 2|2 2 min 2故答案為： 6； 2【點(diǎn)睛】 本題主要考查簡單的線性規(guī)劃問題，考查考生的作圖能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié) 合思想，考查的核心素養(yǎng)是直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題 .p 記該同學(xué)投籃 4三、填空題15某同學(xué)參加投籃訓(xùn)練，已知每投籃一次，投進(jìn)球的概率均為【答案】 21【解析

16、】 根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式可得 4p(1 p) 1，求出 p，再由均值運(yùn)算公式21可得 E( ) 42 即可求解 .2【詳解】 由題意知離散型隨機(jī)變量 B(4, p) ，1則由 D( ) 1，得 4p(1 p) 1，即 (2 p 1)2 0，解得 p ，21所以 E( ) 4 2 2故答案為： 2【點(diǎn)睛】 本題考查了離散型隨機(jī)變量的二項(xiàng)分布的方差、均值，屬于基礎(chǔ)題16在同一個(gè)平面內(nèi)，OuuAur 與OuuCur 的夾角為uuur uuur uuur向量 OA,OB , OC 的模分別為 1，2，3，且 cos1 uuur uuur uuur uuuuur uuuur ,OB與OC的夾角為 60

17、°，若 OC mOA nOB(m,n R)，則3m 3n 【答案】 9【解析】 由題意以 O 為原點(diǎn)， OuuCur 的方向?yàn)?x軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)A,B 均在第一象限內(nèi)，可得C(3,0) ， A 1,2 233B(1, 3) ，從而求出 OC ，uuru OB ，OuuAur ，代入 OuuCuruuuuur uuuur mOA nOB(m,n1R)，得出3 31m n即可求解 .詳解】根據(jù)題意以 O 為原點(diǎn)，OuuCur 的方向?yàn)閤 軸的正方向建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)點(diǎn) A, B均在第一象限內(nèi)，則 C（3,0） ，由 cos3 ，得sin232 ，則點(diǎn)

18、A 13,232uuur，即 OA12213,232又因?yàn)閡uru uuurOB 與 OC 的夾角為 60°，所以B(1, 3) ，即 OuuBur (1, 3) 由 OuuCuruuur uuurmOA nOB ，得 (3,0)1, 2 23, 3n(1, 3) ，所以 313m n，即 m 3n 9故答案為： 9【點(diǎn)睛】 本題考查了向量的坐標(biāo)表示、向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題 .17已知實(shí)數(shù) a 0，函數(shù) f x x2 x a 3 在區(qū)間 1,1 上的最大值是 2，則 a 5【答案】 3 或 54【解析】 由題意可得 f （0） 2，求得 a 的范圍，去掉一個(gè)絕對(duì)值，再由最

19、值的取得在 頂點(diǎn)和端點(diǎn)處，計(jì)算得 a 的值，再檢驗(yàn)可得 a 的值【詳解】因?yàn)楹瘮?shù) f （x） |x 2+|x a| 3|在區(qū)間 1， 1上的最大值是 2，可得 f （0）2，2且 a> 0，得|a 3|2，解得 1a5，即有 f（x） |x 2x+a3|，1x1，由 f （ x）的最大值在頂點(diǎn)或端點(diǎn)處取得，當(dāng) f（ 1） 2，即|a 1| 2，解得 a3 或 1（舍去）；當(dāng) f （ 1） 2，即|a 3| 2，解得 a5或 a1；1135 21當(dāng) f（ ）2，即|a| 2，解得 a 或 21 （舍去）24442 1 9當(dāng) a1時(shí)，f（x）|x 2x2|，因?yàn)?f（ ） > 2，不符

20、題意； （舍去）24當(dāng) a5時(shí)，f（x）|x 2x+2| ，因?yàn)?f （ -1） 4> 2，不符題意； （舍去）當(dāng) a 3 時(shí)， f （x） |x x| ，顯然當(dāng) x 1 時(shí)，取得最大值 2，符合題意；57 當(dāng) a 時(shí)， f ( x) |x 2 x |，f（1） 7 ，f （ 1） 411，f （ ） 2，符合4244題意故答案為： 3或 54【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用分類討論思想方法，以及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題四、解答題18已知函數(shù)1x sinxcosx23 2 3 cos x 241）求的最小正周期；2）若x00, ，且 f x0201

21、，求 f 2x0 的值 .2答案】(1) T(2) 43解析】1）直接化簡函數(shù)，再利用三角函數(shù)的周期公式求解. (2)先解方程 f x0得到 x0 的值，再求 f 2x0的值.3第 16 頁 共 19 頁詳解】1) f x1sinxcosx232cos x23 1 sin2x441 cos2x31sin422x所以 f x 的最小正周期 T2）因?yàn)?x00, ，2第 28 頁 共 19 頁所以 2x0 3 3 3又 f x0sin 2x02 0 3所以2x0解得2x0所以f 2x01sin214sin23點(diǎn)睛】把形如 y asin x bcos x 的函數(shù)化為y a2 b2sin x的形式，可

22、進(jìn)一步研究函數(shù)的周期、 單調(diào)性、 最值與對(duì)稱性 ，這是解決類似問題的必備步驟 根據(jù)三角函數(shù)值求 角時(shí)，必須先求出角的范圍，然后在該范圍內(nèi)求解 19如圖，四邊形 ABCD為梯形， AB/CD, C 60o 點(diǎn)E在線段 CD上，滿足1BE CD,且CE AB CD 2，現(xiàn)將 ADE 沿 AE翻折到 AME 位置，使得4MC 2 10 1）證明： AE MB ；2）求直線 CM 與面 AME 所成角的正弦值答案】（）見解析） sinhMC1515解析】 分析：（） 先證明 AE平面 MNB ，即證 AEMB.（ ）利用空間向量法求直線 CM 與面 AME 所成角的正弦值詳解：（）連 BD交 AE于

23、N ，所以 BE 2 tan600 2 3.所以 BD= 2 3 62 4 3.因?yàn)?BC 2 BD2 CD 2 BC BD又 BC/AE AE BD從而 AE BN,AE MN 所以 AE 平面MNB AE MB（）由 MB 面 ABCE ， 如圖建系，A 0,2,0 ,C 2 3, 2,0 ,E 2 3,0 ,M 0,0,2 6 uuuuv uuuv則 AM 0, 2,2 6 ,AE 2 3, 2,0 ,uuuuvMC 2 3, 2, 2 6設(shè)平面 AME 的法向量為 mv x,y,z ，v uuuuvm AM 0 v由 v uuuv， 可取 m 2, 6,1m AE 0sinuuuuvm

24、MCv uuuuv m MC1515220已知正項(xiàng)數(shù)列 an 的前 n項(xiàng)和為 Sn，且 4Sn an2 2an 3,n N1）試求 a1,a2 的值及數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；1，求 bn 的取值范圍2）若數(shù)列 bn 滿足 b1 1 ，且 bn 1 bn Sn 1答案】（ 1） a1 3， a25， an2n 1；（ 2）1,1172解析】（1）由 4Snan2 2an 3,n N* ，分別賦值 n 1，n 2可求出 a1,a2 的值；根據(jù) Sn 與 an 的關(guān)系即可求出 an 的通項(xiàng)公式2）由（ 1）得 Snn(n2)，再由疊加法以及裂項(xiàng)相消法求出 bn 的通項(xiàng)公式，根據(jù)通項(xiàng)公式即可求解 .詳

25、解】1）由題意得4S12a12a13,QS1a1,2a12 2a1 3 0 ，Q a1 0, a13Q 4 a1 a22a22a23,2a22a2150，Q a2 0, a25，4Sn an 2an 3,4Sn 12 an2an 13,n2 ，兩式作差可得， 4 Sn Sn 12an 13，整理得， an an 1 an an 12 0 ，又 an0,an an120，即 an an 1 2,n2 an 是以 3為首項(xiàng)、 2 為公差的等差數(shù)列，2n 12）由（ 1）得 Snn(n 2)當(dāng)n2 時(shí)， bnbn1Sn1 n(n2) 0，bnbn 1,n2當(dāng)bn1 bn 2 Lb2b1b1n(n2)

26、(n 1)(n 1)111112nn22n111111223n2n1172n317122(n1)(n 2)12171b1b2Lbn12bn11n1N，,nn2 時(shí)， bnbn 111121241n21123bn171,12點(diǎn)睛】本題考查了 Sn 與 an的關(guān)系、疊加法求通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，屬于中檔題21如圖，橢圓2C: ax2ab21（a b 0） 的離心率為3 ，點(diǎn) M22,1 是橢圓內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn) M 作兩條斜率存在且互相垂直的動(dòng)直線l1,l2，設(shè) l1與橢圓 C相交于點(diǎn) A,B ，l2與橢圓 C相交于點(diǎn) D,E 當(dāng)點(diǎn) M 恰好為線段 AB的中點(diǎn)時(shí)，AB = 10 1）求橢圓 C

27、 的方程；2）求 uAuDuv uEuBuv 的最小值答案】（1） 1x2 y3 1；（2）156.解析】分析：（）根據(jù)離心率為3 和弦長 |AB|= 10 列一個(gè)方程組，解方程組即2得 a,b,c的值，即得橢圓的方程uuuv uuuv）先求出 AD EB 的表達(dá)式uuuvAD20 1 k 2uuuvuEuBuv 1 4k2 4 k2再求函數(shù)的最小值即得uAuDuv uEuBuv 的最小值22詳解：（）由題意設(shè) a2 4b2，即橢圓 C:4xb2 by2 1，設(shè) A x1,y1 ,B x2,y2 ,C x3,y3 ,D x4, y4由 xx122 44yy122 44bb22 作差得，x2 4

28、y2 4bx1x2x1x24y1y2y1y20又 M 2,1 , 即 x1 x24,y1 y2 2 ，AB斜率y1 y2x1x2x2由 4b22 y b2 1x2消 x 得，4x2b2 0 則 ABk2x1x214 168 2b210 解得 b23，于是橢圓C 的方程為：121）設(shè)直線AB: ykx1, 由x212k2y23x2消 x 得，114k22x8k2k1 x 4于是x1x28k2k11214kuuuvuuuvuuuuvuuuuvuuuuvADEBAMMDEM2x1,1y12x2,y22x1,1y12x2,y2x211uuuvMB22k 11202 121 4k24 2k 1uuuuv

29、 uuuv AMMBuuuuv uuuuv EMMDk2x1x2x1x2同理可得x4,1y42 x3,y341x4,1k2k24k2y4x3,y3 12 x14 1 k24 k2x2uuuv uuuv AD EB11 4k 21k220 1k2221 4k2 4 k 220 1k2 21 4k 2 4 k2165 , 當(dāng) k1時(shí)取等號(hào)綜上，uAuDuv uEuBuv 的最小值為 165uuuv uuuv 點(diǎn)睛： 本題的難點(diǎn)在求得 AD EB20 11 4k2k2 22 之后，4 k 2如何求該函數(shù)的最小值 . 這里可以利用導(dǎo)數(shù)， 也可以換元， 但是最好的方法是利用基本不等式，2 2 2 220 1k 2 20 1k2 161 4k24k 21 4k24k22 5 ，