1、1曲率第七節一、弧微分二、曲率及其計算公式三、曲率圓與曲率半徑四、小結2:問題問題?曲程度曲程度如何定量描述曲線的彎如何定量描述曲線的彎3一、弧微分NRTA0 xMxxx .),()(內具有連續導數內具有連續導數在區間在區間設函數設函數baxfxyo),(:00yxA基基點點,),(為任意一點為任意一點yxM規定：規定：;)1(增大的方向一致增大的方向一致曲線的正向與曲線的正向與x,)2(sAM .,取負號取負號相反時相反時取正號取正號一致時一致時的方向與曲線正向的方向與曲線正向當當ssAM4).(xss 單調增函數單調增函數),(yyxxN 設設如圖，如圖，NTMTMNMN ,0時時當當 x

2、22)()(yxMN xxy 2)(1,12dxy sMN ,ds22)()(dydxMT ,12dxy dyyNT , 0.12dxyds 故故,)(為單調增函數為單調增函數xss .12dxyds 故故弧微分公式弧微分公式NMTRA0 xxxx xyo5二、曲率及其計算公式曲率是描述曲線局部性質（彎曲程度）的量。曲率是描述曲線局部性質（彎曲程度）的量。1M3M)2 2M2S 1S MM 1S 2S NN )（）當弧長相同時，（）當弧長相同時，轉角越大曲線彎曲程轉角越大曲線彎曲程度越大。度越大。（）轉角相同（）轉角相同時弧段越短彎曲時弧段越短彎曲程度越大程度越大1.曲率的定義曲率的定義1 )

3、6) S S) .M .MC0Myxo.sKMM 的平均曲率為的平均曲率為弧段弧段（設曲線設曲線C是光滑的，是光滑的，.0是是基基點點M,sMM （. 切切線線轉轉角角為為MM定義定義sKs 0lim曲線曲線C在點在點M處的曲率處的曲率,lim0存在的條件下存在的條件下在在dsdss .dsdK 7注意(1)直線的曲率處處為零。sRMM如圖所示 , 有RssKs0limR1可見: R 愈小, 則K 愈大 , 圓弧彎曲得愈厲害 ;R 愈大, 則K 愈小 , 圓弧彎曲得愈小 ;(2) (2) 圓上各點處的曲率等于半徑的圓上各點處的曲率等于半徑的倒數倒數, ,且半徑越小曲率越大且半徑越小曲率越大.

4、.82.曲率的計算公式曲率的計算公式,)(二階可導二階可導設設xfy ,tany ,12dxyyd .)1(232yyk ,arctany 有有.dxyds21.dsdK 9,),(),(二階可導二階可導設設 tytx .)()()()()()(2322ttttttk ,)()(ttdxdy .)()()()()(322tttttdxyd 101例例.),(),()(處的曲率處的曲率及點及點在點在點求求aaaxy10003:解解,23axy ,axy6 2321)(yyk 2342916)(xaxa000K處處在點在點),(2329161)(),(aaKa處處在點在點11例例2 2?2上哪一點

5、的曲率最大上哪一點的曲率最大拋物線拋物線cbxaxy 解解,2baxy ,2ay .)2(12232baxak 顯然顯然,2時時當當abx .最最大大k,)44,2(2為拋物線的頂點為拋物線的頂點又又aacbab .最大最大拋物線在頂點處的曲率拋物線在頂點處的曲率12三、曲率圓與曲率半徑定義定義D)(xfy Mk1 .),(,.1,).0(),()(處的曲率圓處的曲率圓稱此圓為曲線在點稱此圓為曲線在點如圖如圖作圓作圓為半徑為半徑為圓心為圓心以以使使在凹的一側取一點在凹的一側取一點處的曲線的法線上處的曲線的法線上在點在點處的曲率為處的曲率為在點在點設曲線設曲線MDkDMDMkkyxMxfy ,曲

6、曲率率中中心心 D.曲率半徑曲率半徑 xyo131.曲線上一點處的曲率半徑與曲線在該點處的曲線上一點處的曲率半徑與曲線在該點處的曲率互為倒數曲率互為倒數.1,1 kk即即注意注意: :2.曲線上一點處的曲率半徑越大曲線上一點處的曲率半徑越大,曲線在該點曲線在該點處的曲率越小處的曲率越小(曲線越平坦曲線越平坦);曲率半徑越小曲率半徑越小,曲曲率越大率越大(曲線越彎曲曲線越彎曲).3.曲線上一點處的曲率圓弧可近似代替該點附曲線上一點處的曲率圓弧可近似代替該點附近曲線弧近曲線弧(稱為曲線在該點附近的二次近似稱為曲線在該點附近的二次近似).143例例.:必為直線必為直線證明曲線證明曲線03142822

7、2yxyxyx:證明證明隱函數求導隱函數求導014216222yyyyxyx781xyyxy278181178)()()( xyyyxyxyy）（代入得代入得將將y0783142829222 )()(xyyxyxyxy2321)(yyk 0.所以曲線必為直線所以曲線必為直線15四、小結運用微分學的理論運用微分學的理論,研究曲線和曲面的性研究曲線和曲面的性質的數學分支質的數學分支微分幾何學微分幾何學.基本概念基本概念: 弧微分弧微分,曲率曲率,曲率圓曲率圓.曲線彎曲程度的描述曲線彎曲程度的描述曲率曲率;曲線弧的近似代替曲率圓曲線弧的近似代替曲率圓(弧弧).1617773P習題7 , 4 , 3

8、, 1182P總習題三19,17,15,13),2(11),4 , 2 , 1 (10, 8 , 6 , 5 , 417思考題思考題 橢圓橢圓 上哪上哪些點處曲率最大？些點處曲率最大？,cos2tx tysin3 18思考題解答思考題解答232)(1|yyk 2322)cos9sin4(6tt 232)cos54(6t 要使要使 最大，最大，k232)cos54(t 必有必有 最小，最小，23,2 t此時此時 最大，最大，k19一、一、 填空題：填空題：1 1、 曲率處處為零的曲線為曲率處處為零的曲線為_；曲率處處相等；曲率處處相等的曲線為的曲線為_._.2 2、 拋 物 線拋 物 線342

9、xxy在在 (2,-1)(2,-1) 處 的 曲 率 為處 的 曲 率 為_；曲率半徑為；曲率半徑為_._.3 3、 曲 線曲 線)1ln(2xxy 在在 (0,0)(0,0) 處 的 曲 率 為處 的 曲 率 為_._.二、二、 求曲線求曲線)ln(secxy 在點在點),(yx處的曲率及曲率半處的曲率及曲率半徑徑. .三、三、 求曲線求曲線 taytax33sincos在在0tt 處的曲率處的曲率 . .四、四、 證明曲線證明曲線axaycosh 在任何一點處曲率半徑為在任何一點處曲率半徑為ay2. .練練 習習 題題20五五、 曲曲線線弧弧xysin )0( x上上哪哪一一點點處處的的曲曲率率半半徑徑最最小小？求求出出該該點點處處的的曲曲率率半半徑徑 . .六六、 曲曲線線上上曲曲率率最最大大的的點點稱稱為為此此曲曲線線的的頂頂點點，試試求求指指數數曲曲線線xey 的的頂頂點點，并并求求在在該該點點處處的的曲曲率率半半徑徑 . .2