1、l樣本均值l樣本方差l樣本標準差l樣本偏度l樣本峰度l次序統計量l樣本分位數l樣本中位數當人們需要從樣本獲得對總體各種參數的認識時，最好的方法是構造樣本的函數，不同的函數反映總體的不同特征。定義5.3.1 設設 x1, x2, , xn 為取自某總體的樣為取自某總體的樣 本，若樣本函數本，若樣本函數T = T(x1, x2, , xn)中不含有中不含有 任何未知參數。則稱任何未知參數。則稱T為為統計量。統計量。 統計量的分布稱為統計量的分布稱為抽樣分布。抽樣分布。按照這一定義：若 x1, x2, , xn 為樣本，則 以及經驗分布函數都是統計量是統計量。而當, 2 未知時，x1, x1/ 等均

2、不是統計量不是統計量。l統計量是樣本的一個函數l統計量是統計推斷的基礎l 盡管統計量不依賴于未知參數，但是它的分布一般是依賴于未知參數的。niiniixx121,定義5.3.2 設 x1, x2, , xn為取自某總體的樣本，其算術平均值稱為樣本均值，一般用 表示，即思考：在分組樣本場合，樣本均值如何計算？ 二者結果相同嗎？ x x= (x1+xn)/n定理5.3.2 數據觀測值與均值的偏差平方和 最小，即在形如 (xic)2 的函數中，樣本均值的基本性質：定理5.3.1 若把樣本中的數據與樣本均值之差 稱為偏差，則樣本所有偏差之和為0，即 最小，其中c為任意給定常數。1()0.niixx2(

3、)ixx樣本均值的抽樣分布：定理5.3.3 設x1, x2, , xn 是來自某個總體的樣本，x為樣本均值。(1) 若總體分布為N(, 2)，則xx的精確分布為N(, 2/n) ; 若總體分布未知或不是正態分布， 但 E(x)=, Var(x)=2,則n 較大時 的漸近分 布為N(, 2/n) 。這里漸近分布是指n 較大時的近似分布.在重復選取容量為n的樣本時，由樣本均值的所有可能取值形成的相對頻數分布一種理論概率分布推斷總體均值的理論基礎2211()1niisxxn稱為樣本標差。s*= s*2定義5.3.3稱為樣本方差，其算術平方根在n 不大時，常用 作為樣本方差,其算術平方根也稱為樣本標準

4、差。221*1()niisxxnxi與樣本均值的平均偏差平方和與樣本均值的平均偏差平方和在這個定義中， ( xi x )2n1稱為偏差平方和的自由度。其含義是：x在 確定后, n 個偏差x1x, x2x, , xnx能自由取值，因為只有n1個數據可以自由變動，而第n個則不 (xi x ) = 0 .稱為偏差平方和，中樣本偏差平方和有三個不同的表達式：( xix )2 = xi2 (xi)2/n = xi2 nx它們都可用來計算樣本方差。思考：分組樣本如何計算樣本方差？樣本均值的數學期望和方差，以及樣本方差的數學期望都不依賴于總體的分布形式。定理5.3.4 設總體 X 具有二階矩，即 E(x)=

5、 , Var(x)=2 x1, x2, , xn 為從該總體得到的樣本，x和s2 分別是樣本均值和樣本方差，則E( x )=, Var( x )=2 /n, E(s2) =2 Q8Q3Q7l樣本矩l次序統計量l樣本分位數l箱線圖樣本均值和樣本方差的更一般的推廣是樣本矩，這是一類常見的統計量。定義5.3.4 ak = (xik)/n 稱為樣本 k 階原點矩， 特別，樣本一階原點矩就是樣本均值。 稱為樣本k階中心矩矩。 特別，樣本二階中心矩就是樣本方差。 bk = (xi x)k/nx樣本偏度1反映了總體分布密度曲線的對稱性信息。樣本峰度2反映了總體分布密度曲線在其峰值附近的陡峭程度。定義： 1

6、= b3/b23/2 稱為樣本偏度， 2 = b4/b22 稱為樣本峰度。x數據分布偏斜程度的測度偏態系數=0=0為對稱分布偏態系數 0 0為右偏分布偏態系數 0 0為左偏分布偏態系數大于1或小于-1，被稱為高度偏態分布；偏態系數在0.51或 -1-0.5之間，被認為是中等偏態分布；偏態系數越接近0，偏斜程度就越低 數據分布扁平程度的測度峰態系數=0=0扁平峰度適中峰態系數000為尖峰分布一、定義定義5.3.7 設設 x1, x2, , xn 是取自總體是取自總體X的樣本的樣本, , x(i) 稱為該樣本的第稱為該樣本的第i 個個次序統計量，次序統計量，它的取值它的取值 是將樣本觀測值由小是將

7、樣本觀測值由小到大排列后得到的第到大排列后得到的第 i 個個 觀測值。觀測值。其中，其中，x(1)=min x1, x2, xn 稱為該樣本的稱為該樣本的最小次序統計量，最小次序統計量，稱稱 x(n)=max x1,x2,xn 為該樣本的為該樣本的最大次序統計量。最大次序統計量。xp在一個樣本中，在一個樣本中，x1, x2,xn 是獨立同分布的，而是獨立同分布的，而次序統計次序統計量量 x(1), x(2), x(n) 則既不獨立，分布也則既不獨立，分布也不相同不相同，看下例。，看下例。xpP(x(1)=0) = ? 0 1 2 (1)xp1927727127(3)x7271927p127 0

8、 1 2可以清楚地看到這三個次序統計量的分布是不相同的。三個次序統計量的分布是不相同的。(2)x1327727p727 0 1 2進一步，我們可以給出兩個次序統計量的聯合分布，如，x(1) 和x(2) 的聯合分布列為01207/279/273/27104/273/272001/27x(1)x(2)因為 P(x(1) = 0, x(2) = 0) =7/27 ，二者不等，由此可看出x(1) 和和 x(2)是不獨立的是不獨立的。而 P( x(1) = 0)*P( x(2) = 0) = (19/27)*(7/27)，二、單個次序統計量的分布定理5.3.5 設總體X的密度函數為p(x)，分布 函數為

9、F(x)， x1, x2, xn為樣本，則第k個 次序統計量x(k)的密度函數為)()(1 ()()!()!1(!)(1xpxFxFknknxpknkk例例5.3.7 設總體密度函數為設總體密度函數為 p(x)=3x2, 0 x 1. 從該總體抽得一個容量為從該總體抽得一個容量為5的樣本，的樣本， 試計算試計算 P(x(2) 1/2)。)()(1 ()()!()!1(!)(1xpxFxFknknxpknkk例例5.3.8 設總體分布為設總體分布為U(0,1)， x1, x2, xn為樣為樣 本，本，試求第試求第 k 個次序統計量的分布。個次序統計量的分布。)()(1 ()()!()!1(!)(

10、1xpxFxFknknxpknkk三、多個次序統計量的聯合分布對任意多個次序統計量可給出其聯合分布，以兩個為例說明：定理5.3.6 在定理5.3.5的記號下，次序統計 量 (x(i), x(j), (i j) 的聯合分布密度函數為zyzpypzFyFzFyFjnijinzypjnijiij),()()(1 )()()()!()!1()!1(!),(11次序統計量的函數在實際中經常用到。次序統計量的函數在實際中經常用到。如如 樣本極差樣本極差 Rn = x(n) x(1)令令 R = x(n) x(1) ，由 R 0, 可以推出0 x(1) = x(n)R 1 R ，則例5.3.9 設總體分布為

11、U(0,1)， x1, x2, xn 為 樣本，則(x(n), x(1)的聯合密度函數為p1,n(y,z)=n(n1)(zy)n-2, 0 y z 1這正是參數為(n1, 2)的貝塔分布。1220( )(1)()d(1)(1)rnnRprn nyryyn nrr樣本中位數也是一個很常見的統計量，它也是次序統計量的函數，通常如下定義：更一般地，樣本p分位數mp可如下定義： 120.5122,12nnnxnmxxn 為奇數，為偶數(1)()(1),1(2nppnpnpxnpmxxnp若不是整數)， 若是整數例：某數學補習小組11人年齡（歲）為：17，19，22，24，25，28，34，35，36，

12、37，38(另一種方法)三個四分位數的位置分別為：Q1所在的位置=（11+1）/4=3，Q2所在的位置=2（11+1）/4=6，Q3所在的位置=3（11+1）/4=9。下四分位數、中位數和上四分位數，即：Q1=22（歲）、Q2=28（歲）、Q3=36（歲）定理5.3.7 設總體密度函數為p(x)，xp為其p分 位數， p(x)在xp處連續且 p(xp) 0，則特別，對樣本中位數，當n時近似地有當n 時樣本 p 分位數 mp 的漸近分布為2(1),pppppmNxn p x0.50.520.51,4mNxn p x例5.3.10 設總體為柯西分布，密度函數為p(x,)= 1/(1+(x)2) ,

13、 x0.5 x1, x2, xn m0.5 m0.5 AN( , 2/4n) .Q30次序統計量的應用之一是五數概括與箱線圖。在得到有序樣本后，容易計算如下五個值：最小觀測值 xmin= x(1) , 最大觀測值 xmax=x(n) ,中位數 m0.5 , 第一4分位數 Q1 = m0.25, 第三4分位數 Q3 = m0.75.所謂五數概括就是指用這五個數：xmin , Q1 , m0.5 , Q3 , xmax來大致描述一批數據的輪廓。課程名稱課程名稱學生編號學生編號1234567891011英語英語經濟數學經濟數學西方經濟學西方經濟學市場營銷學市場營銷學財務管理財務管理基礎會計學基礎會計學統計學統計學計算機應用基礎計算機應用基礎76659374687055859095818775739178975176857092688171748869846573957078669073788470936379806087816786918377769070828382928481706972787578918866948085718674687962818155787075687177Min-M