1、復習與回想復習與回想定理二定理二.) ,( ),( ),( : ),(),()( 00000處連續處連續在在和和連續的充要條件是連續的充要條件是在在函數函數yxyxvyxuiyxzyxivyxuzf 定理一定理一.),(lim,),(lim )(lim , , ),(),()( 000000000000vyxvuyxuAzfiyxzivuAyxivyxuzfyyxxyyxxzz 的的充充要要條條件件是是那那末末設設.)0(arg)( 連連續續連連續續，在在負負實實數數軸軸上上不不點點和和負負實實數數軸軸的的區區域域上上在在整整個個復復平平面面除除去去原原求求證證： zzzf12x）設 為負實數

2、軸上任意一點（如圖），. arg 在負實數軸上不連續在負實數軸上不連續故故z習題補充習題補充 ; arglim ,arglim 0Im0Im11 zzzxzzxz有有xOy1x證證. arglim 1不不存存在在所所以以zxz1arg0argzzz）在處無定義，在原點處不連續；. argarg, 000圖）與負實數軸不相交（如使得角形區域則zz，包包含含在在上上述述角角形形區區域域中中鄰鄰域域的的，則則取取 00sin|zz 00 | |argarg|zzzz即時，0zyxO.)( 0連連續續在在從從而而zzf0( )arg . zf zz由 的任意性，在除去原點和負實軸的區域內處處連續,0軸

3、的區域上恣意一點軸的區域上恣意一點為全平面除原點和負實為全平面除原點和負實3)3)設設z第二章第二章 解析函數解析函數一一 . . 復變函數的導數與微分復變函數的導數與微分 二二 . 解析函數概念解析函數概念 三三 . . 函數解析的充要條件函數解析的充要條件 一、復變函數的導數與微分1.導數的定義導數的定義:, , , )( 00的的范范圍圍不不出出點點點點中中的的一一為為定定義義于于區區域域設設函函數數DzzDzDzfw , )( . )( 00的的導導數數在在這這個個極極限限值值稱稱為為可可導導在在那那末末就就稱稱zzfzzf.)()(limdd)(00000zzfzzfzwzfzzz

4、記記作作 , )()(lim 000存在存在如果極限如果極限zzfzzfz 等價定義等價定義000,z 當時 000f zzf zfzz 恒有 f zD如果在區域 內處處可導， f zD則稱在內可導。2. 可導與延續的關系可導與延續的關系 00f zzf zz在 點可導在 點連續，反之，不成立。 2f zzz 例證明：在 平面上處處不可導證：證： f zzf zzzzzzzz 0z 沿實軸當時， 0001zxyzxlimlimzx 0z 沿虛軸當時， 0001zyxzyilimlimzyi f zzz 在復平面上處處不可導，但在 平面上處處連續 0zxy0求導法那么求導法那么:求導公式與法那么

5、求導公式與法那么: . , 0)()1(為為復復常常數數其其中中cc .,)()2(1為為正正整整數數其其中中nnzznn ).()()()()3(zgzfzgzf ).()()()()()()4(zgzfzgzfzgzf )0)(.)()()()()()()()5(2 zgzgzgzfzgzfzgzf )( ).()()()6(zgwzgwfzgf 其其中中0)( ,)()( ,)(1)()7( wwzzfwwzf 且且函函數數兩兩個個互互為為反反函函數數的的單單值值是是與與其其中中微分的概念微分的概念:. )( )( , )(, 0)(lim ,)()()()(,)( 000000線線性性

6、部部分分的的的的改改變變量量是是函函數數小小的的高高階階無無窮窮是是式式中中則則可可導導在在設設函函數數wzfwzzfzzzzzzzzfzfzzfwzzfwz .)( , )( )(000zzfdwzzfwzzf 記記作作的的微微分分在在點點稱稱為為函函數數定義定義. )( , 00可微可微在在則稱函數則稱函數的微分存在的微分存在如果函數在如果函數在zzfz特別地特別地, , )( 時時當當zzf dzzzf )(0, z ,d)()(d00zzfzzfw 0dd)( 0zzzwzf 即即 .)(00可微是等價的可微是等價的可導與在可導與在在在函數函數zzzfw 二、解析函數的概念. )( ,

7、 )(000解析解析在在那末稱那末稱導導的鄰域內處處可的鄰域內處處可及及在在如果函數如果函數zzfzzzf).( )( .)( ,)(全全純純函函數數或或正正則則函函數數個個解解析析函函數數內內的的一一區區域域是是或或稱稱內內解解析析區區域域在在則則稱稱內內每每一一點點解解析析區區域域在在如如果果函函數數DzfDzfDzf2. 奇點的定義奇點的定義.)( , )(00的奇點的奇點為為那末稱那末稱不解析不解析在在如果函數如果函數zfzzzfu注解、“可微有時也可以稱為“單演，而“解析有時也稱為“單值解析、“全純、“正那么等；例如 f (z) = z2 在整個復平面上解析；2)(zzfw僅在原點可

8、導，故在整個復平面上不解析；留意留意 001f zzf zz在 解析在 可導。 2f zD在區域 內解析 03fzz在解析反之，不成立。 fzD在區域 內可導。 00f zzNz 在 的某鄰域內解析。定理定理 . )( )( )( )1(內內解解析析在在除除去去分分母母為為零零的的點點和和、差差、積積、商商的的與與內內解解析析的的兩兩個個函函數數在在區區域域DzgzfD. )( , )( , . )( , )( )2(內解析內解析在在那末復合函數那末復合函數于于都屬都屬的對應值的對應值函數函數內的每一個點內的每一個點對對如果如果內解析內解析平面上的區域平面上的區域在在函數函數內解析內解析平面上

9、的區域平面上的區域在在設函數設函數DzgfwGhzgzDGhhfwDzzgh 以上定理的證明以上定理的證明, 可利用求導法那么可利用求導法那么.根據定理可知根據定理可知:(1) 一切多項式在復平面內是處處解析的一切多項式在復平面內是處處解析的. , )()( )2(它的奇點它的奇點使分母為零的點是使分母為零的點是的的零的點的區域內是解析零的點的區域內是解析在不含分母為在不含分母為任何一個有理分式函數任何一個有理分式函數zQzP例例 .)(2的解析性研究zzh , )( 2的的解解析析性性下下面面討討論論zzh zzhzzh )()(00zzzz 2020zzzzzzz 0000)(,00zzz

10、zz , 0)1(0 z. 0)()(lim000 zzhzzhz, 0)2(0 z , 0 沿直線趨于令z zzyixyix xyixyi 11ikik 11 , 的的任任意意性性由由于于 k .11不趨于一個確定的值不趨于一個確定的值kikizz .)()(lim000不不存存在在zzhzzhz . , , 0 )( 2析析它它在在復復平平面面內內處處處處不不解解根根據據定定義義不不可可導導而而在在其其他他點點都都處處可可導導僅僅在在因因此此 zzzh例例.1 的解析性的解析性研究函數研究函數zw 解解 , 0 1 處處處處可可導導在在復復平平面面內內除除因因為為 zzw ,1dd 2zz

11、w 且且 , 0 外外處處處處解解析析在在復復平平面面內內除除所所以以 zw . 0 為它的奇點為它的奇點 z問題：對函數問題：對函數 f (z) = u(x,y) + iv(x,y)，如何判別其解析可導性？( ),f zu v的解析 可導 與的偏導數之間有什么關系？換句話說：偏導定義偏導定義.),(yxfw在點), (), (lim000yfyfx存在,xyxyxfw對在點),(),(00的偏導數，記為),(00yx的某鄰域內;),(00yxxfxx00 x那么稱此極限為函數極限設函數x; ),(00yxfx機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 0),(dd0yyyxfy同樣可定義對 y 的偏

12、導數 lim0y),(00yxfy) ,(0 xf),(0 xfyyy00y全微分的定義全微分的定義 定義定義: 假設函數假設函數 w = f ( x, y )在定義域在定義域 D 的內點的內點( x , y ),(),(yxfyyxxfw可表示成, )(oyBxAw其中 A , B 不依賴于 x , y , 與 x , y 有關，稱為函數),(yxf在點 (x, y) 的全微分, 記作yBxAfw dd假設函數在域 D 內各點都可微,22)()(yx那么稱函數 f ( x, y ) 在( x, y) 可微，處全增量那么稱此函數在D 內可微.yBxA),(),(yxfyyxxfz函數 f (x

13、, y) 在點 (x, y) 可微函數在該點延續定理定理1(1(必要條件必要條件) ) 假設函數 w = f (x, y) 在點(x, y) 可微 ,那么該函數在該點偏導數yfxf,yyfxxffd必存在,且有定理定理2 (充分條充分條件件)yzxz,假設函數),(yxfz 的偏導數,),(連續在點yx那么函數在該點可微分.解析函數的充要條件解析函數的充要條件yixyxivyxuyyxxivyyxxu ),(),(),(),(則則可可導導在在點點設設函函數數,),(),()(iyxzyxivyxuzfw zzfzzf)()(xyxvyxxvixyxuyxxuxyxivyxuyxxivyxxuz

14、zfzzfzfxxxz ),(),(lim),(),(lim ),(),(),(),(lim )()(lim)(0000)0( yzzz若若沿沿平平行行于于實實軸軸的的方方式式xvixu 偏導數的定義yiyxvyyxviyiyxuyyxuyiyxivyxuyyxivyyxuzzfzzfzfyyyz ),(),(lim),(),(lim),(),(),(),(lim)()(lim)(0000)0( xzzz若沿平行于虛軸的方式若沿平行于虛軸的方式yuiyvyvyui 1 yuxvyvxuyuiyvxvixuzf )( 存存在在定義定義 方程方程稱為稱為Cauchy-Riemann方程方程(簡稱簡

15、稱C-R方程方程).yuxvyvxu 定理定理 設設 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在在 D 內有定義，內有定義， 那么那么 f (z)在點在點 z=x+iy D處可導的充要條件是處可導的充要條件是 u(x, y) 和和 v(x, y) 在點在點 (x, y ) 可微，且滿足可微，且滿足 Cauchy-Riemann方程方程yuxvyvxu 上述條件滿足時上述條件滿足時,有有xyyyyxxxivviuviuuivuzf )( 內內解解析析的的充充要要條條件件函函數數在在區區域域 D. , ),( ),( : ),(),()( 程程并并且且滿滿足足柯柯西西黎黎曼曼方方內內

16、可可微微在在與與內內解解析析的的充充要要條條件件是是域域在在其其定定義義函函數數定定理理二二DyxvyxuDyxivyxuzf 推論 ：,( , )u vx yCR若在處一階偏導數連續且滿足方程,( )f zuivzxiy則在處可導.例題1 ,u v解析 可導可微且滿足C-R方程 222f zxyi xyuivfz已知，求解： 2222xxfzuivxi yxiyz2222yyviuxiyxiyz例：u(x,y)、v(x,y)如下：000),(),(222222yxyxyxvyxuyxxy方程：滿足，則在點令RCzyxivyxuzf0),(),()(0 0 xvyuyvxu.,0)()0 ,

17、0(),(),(從而不可導不連續在函數不連續，所以復變在點、但zzfyxvyxu二、典型例題例例1 斷定以下函數在何處可導斷定以下函數在何處可導, 在何處解析在何處解析:).Re()3();sin(cos)()2(;)1(zzwyiyezfzwx 解解,)1(zw ,yvxu . 1, 0, 0, 1 yvxvyuxu不滿足柯西黎曼方程不滿足柯西黎曼方程, . ,處處處處不不解解析析在在復復平平面面內內處處處處不不可可導導故故zw )sin(cos)()2(yiyezfx ,sin,cosyevyeuxx ,sin,cosyeyuyexuxx ,cos,sinyeyvyexvxx . , xv

18、yuyvxu 即即四個偏導數四個偏導數均延續均延續 . ,)(處處處處解解析析在在復復平平面面內內處處處處可可導導故故zf).()sin(cos)(zfyiyezfx 且且指數函數指數函數)Re()3(zzw ,2xyix ,2xyvxu ., 0,2xyvyxvyuxxu 四個偏導數均延續四個偏導數均延續 , , 0 滿足柯西黎曼方程滿足柯西黎曼方程時時僅當僅當 yx ,0 )Re(處處可可導導僅僅在在故故函函數數 zzzw .在在復復平平面面內內處處處處不不解解析析解解? )( , , , , ),()( 2222解析在復平面內處處取何值時問常數設例：zfdcbaydxycxibyaxyx

19、zf,2ydxyv ,2ayxxu ,2byaxyu ,2dycxxv , , xvyuyvxu 欲使欲使 ayx2,2ydx ,2byax dycx2. 2 , 1 , 1 , 2 dcba所所求求 3f zDf zD例如果在區域 內解析，也在 內解析，解解 f zuiv,f zuiv 設則 .fzfzCR 及解析滿足方程xyxyxyxyuvuvvuvu 故且 fzD證明：在 內為常數.00 xyxyuuvv 解得， uvfz 常數，常數 , 從而為常數. )( , )( 內為一常數區域在則內處處為零在區域例：如果DzfDzf 證證xvixuzf )(, 0 yuiyv, 0 xvyuyvx

20、u故故 , , 常常數數常常數數所所以以 vu . )( 內內為為一一常常數數在在區區域域因因此此Dzf2.2 初等函數及其解析性一、指數函數二、對數函數三、乘冪 ab 與冪函數四、三角函數和雙曲函數五、反三角函數和反雙曲函數六、小結與思索指數函數指數函數一一、)1 . 2()sin(cosexpyiyeezexiyxz 數數定定義義復復變變函函數數的的指指數數函函)2 . 2()(2,ZkkyArgeeezxz 這這時時1212221:(1)0;(2)();(3);(4)1,2.zzzzzzzzzizizzeeeeeeeeeeeei 定定理理指指數數函函數數 具具有有下下述述性性質質在在全全

21、平平面面解解析析且且即即 是是以以為為周周期期的的周周期期函函數數對一函數。是一個周期函數，即多ze(5)lim.zze不存在( lim, lim0)zzz xz xee .函數的全部優點函數的全部優點指數指數的指數函數保留了實的的指數函數保留了實的這些性質表明復變函數這些性質表明復變函數1.zzee 例例證證明明,cossincossinzx iyxxxxzxiyeeeyieyeyiey 證證 設設則則ziyxxxeeyieye )sin()cos(zie2)1( )(2iyxie ,)21(2yixe ;22xziee 2)2(ze2)(iyxe ,222xyiyxe ;222yxzee

22、ze1)3(yixe 1,2222yxyiyxxe .cos)Re(22122yxyeeyxxz 例例1 );Re()3(;)2(;)1( , 122zzzieeeiyxz 求求設設二、對數函數1. 定義定義 (0) ( ) , Ln ,:LnlnArg .wez zwf zwzzziz滿足方程的函數稱為對數函數 記為易見 .2 , )( , Arg 的整數倍并且每兩值相差也是多值函數所以對數函數為多值函數由于izfwz iArgzzkyixeLneLneLnLnzkyixwln)2()()()()2(wez 設多對一多對一一對多一對多,arg Arg ArglnLn zzzizz取取主主值值

23、中中如如果果將將 . Ln ln Ln 的的主主值值稱稱為為，記記為為為為一一單單值值函函數數，那那末末zzz.arglnlnzizz 其他各值為其他各值為), 2, 1(2lnLn kikzz. Ln , , 的一個分支的一個分支稱為稱為上式確定一個單值函數上式確定一個單值函數對于每一個固定的對于每一個固定的zk特殊地特殊地, .,lnln Ln , 0 是是實實變變數數對對數數函函數數的的主主值值時時當當xzzxz 例例2 解解 . )1(Ln , 2Ln 以以及及與與它它們們相相應應的的主主值值求求 ,22ln2Ln ik 因因為為 ln2. Ln2 的的主主值值就就是是所所以以)1(Arg1ln)1(Ln i因為因為 )()12(為為整整數數kik . 1)Ln( i 的主值就是的主值就是所以所以留意留意: 在實變函數中在實變函數中, 負數無對數負數無對數, 而復變數對而復變數對數函數是實變數對數函數的拓廣數函數是實變數對數函數的拓廣. 復變量對數函數具有與實變量對數函數同樣 的根本性質： 1 2 3 4 xzxzlnln0時，0 Lnln(21)zxxx